Обработка результатов косвенных измерений реферат

Обновлено: 30.06.2024

В лабораторной практике большинство измерений косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

частные производные функции N = ƒ(x, y, z, . ) по аргументу x, y, z. найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;
δx, δy, δz систематические ошибки аргументов.

Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

где Δx, Δy, Δz, . доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, . . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, . должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ = . = P_n = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN будет тоже P.

Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, . ) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, . ) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P доверительная вероятность случайной ошибки:

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения ΔN = ε ¯ N найти абсолютную погрешность.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.
Оцените точность результата косвенных измерений по формулам (15) (16), где производные вычислите при средних значениях величин.
Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).
Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.
Результат измерения запишите в виде:

Приведем примеры расчета ошибки косвенного измерения.

Пример 1.Находится объем цилиндра по формуле

где d диаметр цилиндра, h высота цилиндра.

Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

d = (4.01 ± 0.03) мм ,

h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95.

Среднее значение объема, согласно (14) равно

Воспользовавшись выражением (18) имеем:

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм , систематические ошибки
δd = δh = 0.01 мм. На основании (16) систематическая ошибка δV будет

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

Таким образом, результат измерения оказывается

Пример 2. Найти абсолютную и относительную погрешности для следующей функциональной зависимости:

В этом случае удобнее сначала искать относительную погрешность. Тогда

До сих пор подразумевается математический смысл дифференциала, и знаки слагаемых учитываются. Раскроем теперь выражение d(m₁ + m₂ - m₃) = dm₁ + dm₂ - dm₃ и разделим почленно на знаменатель. Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

Используя формулу (18), получим

Абсолютную случайную погрешность найдем из выражения

Используя формулу (16) получаем

Абсолютную систематическую ошибку найдем из выражения

Приведем таблицу расчета систематических погрешностей для простейших функций.

Измерения являются одним из путей познания природы, т.к. они количественно характеризуют мир.
Единообразие измерений обеспечиваю за счет передачи единиц величин от детали к измерительным приборам.
Для обеспечения необходимой точности измерений измерительные приборы должны своевременно проходить поверку, посредством которой определяется погрешность измерительных приборов, а также установление их пригодности к использованию.
Единообразие измерительных приборов, заключается в то, что они проградуированы в определенных стандартизированных единицах, а их метрологические характеристики соответствуют необходимым нормам.
При автоматизированном измерении параметров деталей в процессе их изготовления большое значение имеют так называемые – динамические характеристики измерительных приборов, которые определяют функциональными зависимостями между изменяющимися по времени.
Точность изготовления деталей – нормируют для нормальных условий, определяемые методами их поверки, а также рабочих условий, при эксплуатации. Точность изготовления деталей для нормальных условий определяют для производителей измерительных приборов, а в процессе эксплуатации – для их потребителей.
Измерение любой физической величины производят экспериментальным путем при помощи измерительных инструментов. Таким образом, при выполнении измерений определяют значение физической величины [1]:

где q – численное значение искомой величины;
U – единица измерения искомой величины.
1 Этапы проведения измерений

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

При выполнении измерений изначально рассматривается вопрос о предварительной модели объекта. И в данном контексте должна использоваться вся имеющаяся в наличии необходимая информация. Также необходимо использовать всю имеющуюся информацию о статистических характеристиках измеряемого объекта. В случае, если есть сомнение в правильности принятой модели, то необходимо провести предварительно дополнительные измерения и скорректировать модель либо взять измерительное устройство, не реагирующее на отклонение одного или нескольких малозначительных параметров измеряемого объекта [2].
При уточнении модели объекта измерения существуют некоторые варианты. Выбор того или другого из них обосновывается целью, а также задачей и условием измерения. Правильное принятие модели даеьт возможность правильно оценить результат измерений и получить требуемую точность.
Следующий подготовительный этап – принятие необходимой точности эксперимента. Проработка данного вопроса должна выполняться с учетом поставленной цели измерения при ряде некоторых ограничений, которые связаны с техническими особенностями, экон6омическими и временными затратами и др. Точность измерения должна быть их основной целью.
Избыточность точности измерений может привести к нерациональному усложнению и повышению стоимости эксперимента. Точность измерений во многом обосновывается выбором метода, средства и условиями измерений.
Данная задача может быть решена подбором возможных вариантов состава и степени влияния составляющих суммарной погрешности, которая не должна превышать требуемых значений. Таким образом, используется вариант, в большей степени соответствующий необходимым требованиям, простоты при соблюдении требуемой точности измерений [2].
Главным этапом подготовки измерительного опыта является разработка методики проведения опыта, под которой понимается совокупность некоторых действий при использовании различных способов и средств, обеспечивающих измерения с требуемой точностью .
В число измерительных устройств, применяемых в соответствии с методикой, входят средства измерений, вычислительные и различные вспомогательные устройства.
Важное место при проработке методики измерений занимает выбор типа измерений: прямых, косвенных, совместных или совокупных, а также методики измерений: непосредственной оценки, сравнения с мерой и т.п.
Дополнительно решается вопрос, будут производится ли одно - или многократные измерения. На данном этапе подготовки прорабатывается схема измерений, план проведения опыта, подготавливается методика обработки результатов измерений, а также оценки влияния условий измерения на его результат.
Важным этапом подготовки измерительного опыта является выбор измерительных устройств. Используемые в эксперименте измерительные устройства должны соответствовать принятым моделям, измеряемым параметрам, целям, а также условиям проведения опыта [2].
Возможны некоторые варианты, связанные с автоматической регистрацией результата наблюдения, представлений результата в аналоговой или цифровой формах, ввода полученной измерительной информации в компьютер и др.
Однако каждый из этих вариантов должен разрабатываться на соответствие метрологических параметров используемых средств измерений, установленным необходимым требованиями точности и их влиянию на результат измерения.
Главным разделом методологии проведений измерительных опытов должен быть раздел, посвященный обработке результатов измерений с целью определения параметров измеряемых величин, а также оценки погрешностей полученных результатов измерений.

2 Классификация погрешностей

Опыт подтверждает, что вследствие неточности измерительных устройств, несовершенства органов чувств, неполноты необходимой информации, трудностей учета всех сторонних факторов, при многократном повторении одних и тех же измерений получаются разные числовые значения наблюдаемой физической величины. Такое происходит, даже в случае если измерение проводить в совершенно равных условиях (равноточные измерения). При практическом использовании результатов тех или иных измерений формируется вопрос об истинном значении наблюдаемой физической величины, о необходимой точности измерений.
Само понятие "точность измерений", а именно степень приближения результата измерения к некоторым действительным значениям, применяется для качественного сравнения измерительных этапов.
Для количественной оценки применяется понятие "погрешность (ошибка) измерений". Данные определения напрямую связаны друг с другом, а именно – чем меньше погрешность, тем выше точность [1].
Оценка погрешностей измерения это одно из самых главных мероприятий по обеспечению достоверности измерения.
Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно большое, и любая классификация погрешностей измерения в известной степени условна.
При проведении измерений также есть определение погрешности измерений, представляющее собой отклонение результатов измерения x от истинного значения x0 измеряемой величины.
В зависимости от формы представления различают абсолютную, относительную и приведенную погрешность измерения.
Абсолютная погрешность измерения – определяется как разность x0-x=Dx между истинным и измеренным значениями физической величины [3].
Относительная погрешность измерения это отношение абсолютной погрешности к истинному значению или к результату измерения.
Приведенная погрешность - отношение абсолютной погрешности к нормированному значению xn, определяемое в процентном соотношении.

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомая величина вычисляется по некоторой известной формуле на основе результатов прямых или косвенных измерений величин, связанных с искомой величиной определенной функциональной зависимостью и входящих формулу.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений

Пусть y - измеряемая величина, которая является функцией величин х₁, х₂, … , х_n, найденных в ходе n прямых измерений:

Тогда для обработки результата косвенного измерения величины y необходимо:

1. Обработать результаты прямых измерений, задав некоторое значение доверительной вероятности α (например, α = 0,95) и представить их в виде доверительных интервалов:

2. Рассчитать среднее значение величины как функцию величин , , . :

3. Рассчитать полуширину доверительного интервала Dy по формуле (число слагаемых в формуле равно числу переменных):

где - частная производная функции по переменной х_i .

В формулу 3.1.1 подставляют значения частных производных, найденные при подстановке средних значений переменных .

4. Записать результат измерений в виде доверительного интервала

y = ( ± Dy) ед. изм., a = 0,95.

5. Указать относительную погрешность

3.1.2 Пример выполнения задания

Проводник длиной ℓ = (60,0 ± 0,1) м и площадью сечения S = (0,34 ± 0,01) мм 2 имеет сопротивление R = 3,0 Ом, определённое с относительной погрешностью δR = 2%. Определить (с учётом погрешности) удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление проводника рассчитывается по формуле

т.е. измеряемая величина r является функцией трёх переменных R, S и ℓ

r = f (R, S, ℓ).

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом обработки результатов косвенных измерений.

1. Обработаем результаты прямых измерений. Из условия задачи следует, что

= 60,0 м; Dℓ = 0,1 м;

= 0,34·10 –6 м 2 ; DS = 0,01·10 –6 м 2 ;

= 3,0 Ом; DR = ·δR = 3,0 Ом·0,02 = 0,06 Ом.

2. Найдем среднее значение величины по формуле:

3. Найдём полуширину доверительного интервала Δr по формуле:

Для этого найдём значения частных производных функции при средних значениях величин , , :

Косвенные измерения − это измерения, результат которых определяют на основании прямых измерений величины, связанной с измеряемой величиной известной зависимостью (известными математическими формулами).

Уравнение косвенных измерений имеет вид

где y − искомая величина, являющаяся функцией величин x1, x2 … xn , полученных методом прямых измерений.

На практике для определения искомой величины зачастую необходимо иметь результаты нескольких независимых наблюдений величин x, y, z, которые образуют функцию f = f(x, y, z).

Функция f предполагается дифференцируемой по всем переменным, а также предполагается, что на интервалах, куда попадают значения x, y, z функции f не имеет нулей частных производных.

Обозначение функции fi = f(xi, yi, zi)

Существуют два метода обработки результатов косвенных измерений:

− метод переноса погрешностей;

Обработка результатов измерений методом переноса погрешностей.

Этот метод используется в случае, когда каждая из величин x, y, z, представляющих собой аргументы функций, измеряется независимо от остальных в своей серии опытов, и эти величины организуют выборку (или они близки друг к другу). Число опытов в сериях не обязательно должно быть одинаково, но обязательным условием остается неизменность условий для прямого измерения величин в своей серии, неизменность условий для f во всех сериях и взаимная независимость всех опытов.

Обработка полученных данных измерений каждого опыта производится по алгоритму прямых измерений с многократным наблюдением.

Рассчитать значение функции = f(,, )

Вычислить частные производные от функций

, ,

Или, для легко логарифмируемой функции f, от ее логарифма

Вычислить полную погрешность функции

(формула переноса погрешностей) или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции

Результаты измерений представляются в форме

P %, n

6. Обработка данных косвенных измерений выборочным методом

Этот метод применяется в том случае, если совместно измеренные значения аргумента функции xi, yi, zi не образуют выборок, но можно создать выборку значений функции .

По каждому набору совместно измеренных значений аргументов рассчитать значения функции fi = f(xi, yi, zi).

Провести обработку полученной выборки согласно алгоритму обработки данных прямых измерений, находя среднее значение и случайную погрешность ∆f функции.

Произвести вывод выражений для частных производных от функции

или для легко логарифмируемой функции f − от ее логарифма

По каждому набору совместно измеренных значений аргументов и погрешности СИ рассчитать погрешность СИ функции

Предполагается, что погрешности СИ измеряемых величин могут быть разными в разных опытах или, если функция имеет удобный для логарифмирования вид, по эквивалентной формуле

где fi − соответствующее данному набору аргументов значение функции.

Вычислить среднюю погрешность СИ функции

Если погрешности СИ аргументов одинаковы во всех опытах или при нахождении максимальных по всей серии опытов значений погрешностей СИ Иx = maxИxi, Иy = maxИyi, Иz = maxИzi, для определения погрешности СИ величины f можно использовать выражение

где , , .

Вычислить полную погрешность функции

Результаты измерений представляются в форме

P %, n

Методы обработки результатов совместных измерений.

Совместными называют производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. Уравнение совместных измерений имеет вид

yi = f (x1i, x2i, …, xni ; a, b, c, . ), i = 1, 2, . n,

где yi, x1i, x2i, . xni – значения величин, измеренных одновременно (прямо или косвенно) в i-й измерительной операции; а, b, с, . – неизвестные искомые величины. Если число уравнений превышает число неизвестных, то эти уравнения в отличие от обычной системы уравнений называют условными. Для решения полученной системы используют метод наименьших квадратов.

Задача нахождения наилучшей аппроксимилирующей кривой в общем случае является достаточно сложной и наиболее просто решается, если функциональная зависимость имеет вид прямой линии y = ax + b. Поэтому на практике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят к линейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кривой сводится к решению следующих задач:

− линеаризация нелинейных зависимостей, которая производится путем соответствующей замены переменных с целью получения новой функции,

− нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в линейной зависимости y = ax + b или коэффициента a в линейной зависимости

y = ax согласно методу наименьших квадратов (МНК),

− нахождение случайных погрешностей и погрешностей СИ этих коэффициентов,

− нахождение по найденным значениям коэффициентов a и b физических констант, содержащихся в этих коэффициентах. Последняя задача решается стандартным приемом метода переноса погрешностей при косвенных измерениях.

Метод обработки результатов измерений по методу наименьших квадратов (МНК) для уравнения y = ax + b

Все данные результатов замеров свести в таблицу и произвести обработку этих данных по МНК для уравнения y = ax + b.

Вычислить средние значения x и y

Определить средние значения … …

Рассчитать дисперсии и СКО

, , ,

Определить случайные погрешности a и b. Для расчета необходимо брать коэффициент Стьюдента tp,n – 1 , в отличие от прямых измерений, где использовался tp,n :

Вычислить погрешность СИ коэффициента b (погрешность СИ коэффициента a равна нулю)

Определить полные погрешности a и b

Результаты измерений представляются в форме

, P

Метод обработки результатов измерений по методу наименьших квадратов (МНК) для уравнения y = ax.

Все данные результатов замеров свести в таблицу и провести обработку этих данных по МНК для уравнения y = ax

Вычислить среднее значение a

Вычислить дисперсию и СКО

Вычислить случайную погрешность коэффициента a

Вычислить погрешность СИ коэффициента a

Вычислить полную погрешность коэффициента a

Результат измерения представляется по форме

, Р

Список использованной литературы

1. ГОСТ Р 8. 563 – 96 Государственная система обеспечения единства измерений. Методика выполнения измерений.

2. МИ 1317 – 2001 Государственная система обеспечения единств измерений. При

Результаты и характеристика погрешностей измерений.

4. Р 50. 2. 038 – 2004 Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешности и неопределенности результата измерения.

5 МИ 1552 – 86 Методика выполнения прямых однократных измерений.

6. ГОСТ 8. 207 – 76 Государственная система обеспечения единства измерений.

Прямые измерения с многократными наблюдениями, методы обработки результатов наблюдений.

7. ГОСТ ИСО 5479 – 2002 Государственная система обеспечения единства измерений. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

8. МИ 199 – 70 Государственная система обеспечения единства измерений. Методика установления вида математической модели распределения погрешностей.

9. МИ 2083 – 90 СИ Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.

10. ГОСТ Р ИСО 5725 – 4 – 2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений.

11. А.Г.Сергеев, В.Г.Крохин. Метрология: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Логос, 2001. 408 с.

12. И.Ф.Шишкин. Теоретическая метрология. М.: Издательство стандартов, 1991.472 с.

13. И.Ф.Шишкин, В.Н.Яншин. Прикладная метрология. М.: РИЦ "Татьянин день", 1993. 150 с.

14. Артемьев Б.Г., Лукашов Ю.Е. Справочное пособие для специалистов метрологических служб. – М.: ИПК Издательство стандартов, 2004.

15. И.Ф.Шишкин. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества. М.: Стандарты, 1988.

Читайте также: