Непрерывные математические модели реферат

Обновлено: 04.07.2024

Введение
Математическое моделирование на протяжении многих веков было одним из важнейших инструментов научного познания окружающего мира. Но только в середине двадцатого века, из-за распространения компьютеров, он вышел за рамки научных изучений и стал широко применяться в повседневной практике. Это разрешило с помощью математического моделирования решить несколько ранее не решаемых технических и естественнонаучных задач. Без математического моделирования невозможно реализовать космический полет, построить современный сверхзвуковой самолет, спроектировать ядерный реактор и обеспечить его безопасную эксплуатацию. В этом и состоит актуальность данной работы.
У каждого специалиста свое понятие о предмете математического моделирования, но основное - это употребление математики для решения определенных задач. Математическое моделирование иногда называют интеллектуальным ядром математики. Ведь без моделирования невозможно обрабатывать и передавать информацию и использовать компьютерные системы.
Целью данной работы является определение особенностей применения методов математического моделирования в экономических исследованиях. В связи с этим в работе поставлены следующие основные задачи:
- охарактеризовать сущность методов математического моделирования;
- рассмотреть методы математического моделирования в экономике;
- выявить особенности применения методов математического моделирования в экономике.

1. Сущность методов математического моделирования
Математическая модель - это формализация осваиваемого процесса и его описание в виде количественных соотношений, то есть выявление существенных признаков и свойств процессов и объекта исследования и их описание с помощью математических уравнений и формул.[1, с. 23]
После того, как модель построена, то есть математическая форма записана, мы можем либо использовать известные математические методы для ее изучения, либо, если таковых нет, разработать новые.
Математические модели были построены давно. Модель движения абсолютно твердого тела под действием указанных сил можно назвать старой, но используется каждый день. Он основан на трех законах Ньютона.
Как начать строить модель? Отправной точкой является некая эмпирическая реальная картина процесса, которая ставит перед исследователем задачу, в которой необходимо дать ответы на поставленные вопросы. Но прежде всего, необходимо установить, в чем заключается задача. Процесс формирования проблемы, которую можно описать математически, часто бывает длительным и требует многих навыков и информации, которые могут не иметь отношения к математике. Как правило, математикам нужно обращаться к нематематикам. После построения и улучшения модели она проверяется. Схема, представленная на рисунке 1, показывает основные этапы построения конкретных моделей.

Заключение
В заключение работы можно сделать следующие выводы.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей, лежащих в природе экономических процессов и специфике экономической науки
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности её моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и. любой сложности, И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, её успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И, хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать неформализованные ещё проблемы, для которых математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список использованной литературы
Власенко В. Д. В58 Математическое моделирование: учеб. пособие / В. Д. Власенко. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2004. – 74 с.
Звягин Л. С. Математическое моделирование комплексных экономических процессов / Л. С. Звягин. — Текст : непосредственный // Экономика, управление, финансы : материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Пермь, апрель 2015 г.). — Пермь : Зебра, 2015. — С. 23-29.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных. - М.: Юнити, 2013. - 543 c.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных . - М.: Юнити, 2015. - 543 c.
Радковская Е.В. Математические методы в современных экономических исследованиях/ Е.В. Радковская. – Журнал Вестник Югорского государственного университета. – 2015. – 37-40с.
Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в моделировании экономических процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;

Нет нужной работы в каталоге?


Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Общие признаки и свойства моделей. Характеристика материальных и идеальных моделей, их классификация. Описание непрерывных и дискретных математических моделей, их основные понятия и положения. Условия скачкообразного изменения выходных свойств систем.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 21.10.2014
Размер файла 30,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Общие признаки и свойства моделей

2. Материальные и идеальные модели

3. Непрерывные и дискретные математические модели

Термин модель неоднозначен и охватывает чрезвычайно широкий круг материальных и идеальных объектов. Признаком, объединяющим такие, казалось бы, несопоставимые объекты как система дифференциальных уравнений математической физики и пара дамских туфель, выставленных на витрине, является их информационная сущность. Любая модель - идеальная или материальная, используемая в научных целях, на производстве или в быту - несет информацию о свойствах и характеристиках исходного объекта (объекта - оригинала), существенных для решаемой субъектом задачи. Модели - отражение знаний об окружающем мире.

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта - оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

1. Общие признаки и свойства моделей

Общие признаки моделей

2. Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.

3. Паре задача-объект соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.

4. Модель всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего.

5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

6. В частном случае роль объекта моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некая идеальная конструкция, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная.

1) конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

2) упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

3) приблизительность: действительность отображается моделью приблизительно;

4)·адекватность: степень успешности описания моделью объекта моделирования;

5) информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

2. Материальные и идеальные модели

Каждая модель характеризуется тремя признаками:

1) принадлежностью к определённому классу задач (по классам задач);

2) указанием класса объектов моделирования (по классам объектов);

3) способом реализации (по форме представления и обработки информации).

Рассмотрим более подробно последний вид классификации. По этому признаку модели делятся на материальные и идеальные.

1 Материальные модели:

1.1 геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно-геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);

1.2 основанные на теории подобия, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);

1.3 аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).

Аналоговое моделирование основано на том, что свойства и характеристики некоторого объекта воспроизводятся с помощью модели иной, чем у оригинала физической природы. Целый ряд явлений и процессов существенно различной природы описывается аналогичными по структуре математическими выражениями. Описываемые аналогичными математическими структурами разнородные объекты можно рассматривать как пару моделей, которые с точностью до свойств, учитываемых в математическом описании, взаимно отображают друг друга, причем коэффициенты, связывающие соответственные (сходственные) параметры, являются в этом случае размерными величинами.

2 Идеальные модели

2.1 неформализованные модели, т.е. системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу;

2.2 частично формализованные:

2.2.1 вербальные - описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента);

2.2.2 графические иконические - черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты);

2.2.3 графические условные - данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем;

2.2.4 вполне формализованные (математические) модели.

Основное отличие этого типа моделей от остальных состоит в вариативности - в кодировании одним знаковым описанием огромного количества конкретных вариантов поведения системы. Tак, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами описывают и движение массы на пружине, и изменение тока в колебательном контуре, и измерительную схему системы автоматического регулирования, и ряд других процессов. Однако еще более важно то, что в каждом из этих описаний одни и те же уравнения в буквенном (а вообще говоря, и в числовом) виде соответствуют бесконечному числу комбинаций конкретных значений параметров. Скажем, для процесса механических колебаний - это любые значения массы и жесткости пружины.

В знаковых моделях возможен дедуктивный вывод свойств, количество следствий в них обычно более значительно, чем в моделях других типов. Они отличаются компактной записью удобством работы, возможностью изучения в форме, абстрагированной от конкретного содержания. Все это позволяет считать знаковые модели наивысшей ступенью и рекомендовать стремиться к такой форме моделирования.

Заметим, что деление моделей на вербальные, натурные и знаковые в определенной степени условно. Так, существуют смешанные типы моделей, скажем, использующие и вербальные, и знаковые построения.

3. Непрерывные и дискретные математические модели

модель материальный скачкообразный дискретный

Будем предполагать, что возможно, хотя бы в принципе, установить и на некотором языке описания (например, средствами математики) охарактеризовать зависимость каждой из выходных переменных от входных. Связь между входными и выходными переменными моделируемого объекта в принципе может характеризоваться графически, аналитически, т.е. посредством некоторой формулы общего вида, или алгоритмически. Независимо от формы представления конструкта, описывающего эту связь, будем именовать его оператором вход-выход и обозначать через В.

Пусть М=М(X,Y,Z), где X - множество входов, Y - выходов, Z - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X Z Y.

Рассмотрим теперь наиболее существенные с точки зрения моделирования внутренние свойства объектов разного класса. При этом придется использовать понятие структура и параметры моделируемого объекта. Под структурой понимается совокупность учитываемых в модели компонентов и связей, содержащихся внутри объекта, а после формализации описания объекта - вид математического выражения, которое связывает его входные и выходные переменные (например: у=au+bv). Параметры представляют собой количественные характеристики внутренних свойств объекта, которые отражаются принятой структурой, а в формализованной математической модели они суть коэффициенты (постоянные переменные), входящие в выражения, которыми описывается структура (а и b).

Непрерывность и дискретность.

Все те объекты, переменные которых (включая, при необходимости, время) могут принимать несчетное множество сколь угодно близких друг к другу значений называются непрерывными или континуальными. Подавляющее большинство реальных физических и теоретических объектов, состояние которых характеризуется только макроскопическими физическими величинами (температура, давление, скорость, ускорение, сила тока, напряженность электрического или магнитного полей и т.д.) обладают свойством непрерывности. Математические структуры, адекватно описывающие такие объекты, тоже должны быть непрерывными. Поэтому при модельном описании таких объектов используется главным образом, аппарат дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Объекты, переменные которых могут принимать некоторое, практически всегда конечное число наперед известных значений, называются дискретными. Примеры: релейно-контактные переключательные схемы, коммутационные системы АТС. Основой формализованного описания дискретных объектов является аппарат математической логики (логические функции, аппарат булевой алгебры, алгоритмические языки). В связи с развитием ЭВМ дискретные методы анализа получили широкое распространение также для описания и исследования непрерывных объектов.

Свойство непрерывности и дискретности выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и входы, выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Z, Т, Х, Y ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность -- к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействий и др.) в общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояний системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Типичный пример последнего - замена непрерывной математической функции на набор ее значений в фиксированных точках.

Непрерывные математические модели

Для реализации ММ, представляемых ДУЧП или системами ОДУ, используются численные методы непрерывной математики, поэтому рассмотренные ММ называют непрерывными.

На рис. 1 показаны преобразования непрерывных ММ в процессе перехода от исходных формулировок задач к рабочим программам, представляющим собой последовательности элементарных арифметических и логических операций. Стрелками 1, 2 и 3 показаны переходы от описания структуры объектов на соответствующем иерархическом уровне к математической формулировке задачи. Дискретизация (4) и алгебраизация (5) ДУЧП по пространственным переменным осуществляются методами конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ). Применение МКР или МКЭ к стационарным ДУЧП приводит к системе алгебраических уравнений (АУ), а к нестационарным ДУЧП--к системе ОДУ. Алгебраизация и дискретизация системы ОДУ по переменной t осуществляются методами численного интегрирования. Для нелинейных ОДУ (6) это преобразование приводит к системе нелинейных АУ, для линейных ОДУ (7) -- к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Нелинейные АУ решаются итерационными методами. Стрелка 8 соответствует решению методом Ньютона, основанному на линеаризации уравнений, стрелка 9--методами Зейделя, Якоби, простой итерации и т. п. Решение системы ЛАУ сводится к последовательности элементарных операций (10) с помощью методов Гаусса или LU-разложения.

Рис. 1- Преобразования непрерывных математических моделей

Непрерывные ММ и используемые для их анализа методы вычислительной математики получили широкое распространение в САПР различных отраслей промышленности.

Создание методики автоматического формирования математических моделей систем позволило автоматизировать процедуры анализа и верификации широкого класса технических объектов. Инвариантный характер этой методики обусловил разработку на ее основе методов и алгоритмов, реализованных во многих ПМК проектирования электронных, механических, гидравлических, теплоэнергетических устройств и систем. Известны такие методы формирования ММ как узловой метод, контурный метод, метод переменных состояния.

Дискретные математические модели

Дискретной математической моделью называется модель, в которой выполнена дискретизация тех или иных переменных. Рассмотрим ММ, в которых дискретными являются зависимые переменные, характеризующие состояние моделируемого объекта.

Проектирование систем на функционально-логическом и системном уровнях основано на применении дискретных ММ. При моделировании в подсистемах функционально-логического проектирования принимаются те же допущения, что и при моделировании аналоговых систем на верхних уровнях. Кроме того, моделируемый объект представляется совокупностью взаимосвязанных логических элементов, состояния которых характеризуются переменными, принимающими значения в конечном множестве. В простейшем случае это множество . Непрерывное время t заменяется дискретной последовательностью моментов времени tк, при этом длительность такта . Следовательно, математической моделью объекта является конечный автомат (КА). Функционирование КА описывается системой логических уравнений КА

Появление параллельных и конвейерных систем, необходимость моделировать процессы функционирования не только аппаратных, но и программных средств привело к появлению класса дискретных ММ, называемых сетями Петри. Сети Петри можно использовать для моделирования на функционально-логическом и системном уровнях проектирования широкого круга систем и сетей.

Сети Петри и СМО широко используются для описания функционирования производственных участков, линий и цехов, ориентированных на многономенклатурное производство изделий. Сети Петри -- эффективный инструмент разработки самих САПР. Эти сети могут служить моделями алгоритмов функционирования различных устройств дискретной автоматики.

Подобные документы

Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.

контрольная работа [69,9 K], добавлен 09.10.2016

Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.

лабораторная работа [32,1 K], добавлен 21.06.2013

Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.

реферат [35,0 K], добавлен 15.05.2007

Вводные понятия. Классификация моделей. Классификация объектов (систем) по их способности использовать информацию. Этапы создания модели. Понятие о жизненном цикле систем. Модели прогнозирования.

реферат [36,6 K], добавлен 13.12.2003

Динамическая модель как теоретическая конструкция, описывающая изменение состояний объекта. Характеристика основных подходов к построению: оптимизационный, описательный. Рассмотрение способов построения математических моделей дискретных объектов.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Математическая модель – это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение)[2].

Определение моделирования

Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира. В общем виде модель - это абстракция реального явления, сохраняющая его существенную структуру таким образом, чтобы ее анализ дал возможность определить влияние одних сторон явления на другие или же на явления в целом. В зависимости от логических свойств и связей моделей с отображаемыми явлениями можно все модели разделить на три типа: изобразительные, аналоговые и математические.

Изобразительная модель отражает внешние характеристики явления и подобна оригиналу. Это наиболее простая и конкретная модель. Являясь в общем описательной моделью, она, как правило, не дает возможности установить причинные связи явления и соответственно определить или предсказать последствия изменений различных параметров явления. Характерная особенность такой модели - близкое совпадение ее свойств со свойствами отображаемого объекта. Эти свойства обычно подвергаются метрическому преобразованию, т.е. берется определенный масштаб.

В аналоговых моделях свойство данного явления отображается посредством свойств другого явления. Так, например, любая диаграмма представляет аналоговую модель некоторого явления. К аналоговым моделям относятся также морские карты, на которых совокупностью условных обозначений отображается совокупность свойств той или иной акватории. Преимущество аналоговой модели перед изобразительной состоит в том, что она позволяет отображать динамику явления. Другим преимуществом является большая универсальность этой модели: путем ее изменения можно отобразить различные процессы данного явления.

Математическая модель

Математическая модель является самой сложной и наиболее общей и абстрактной по сравнению с изобразительной и аналоговой. В ней для отображения свойств изучаемого явления используются символы математического или логического характера. Особые трудности возникают при решении задач с большой размерностью, расплывчатой постановкой, неопределенностью информации и т.д. В постановке таких задач появляются неклассические моменты, такие, как плохая формализуемость, нестандартность, противоречивость. Остановимся на понятии плохо формализуемой задачи, которое появляется в результате решения потока серьезных прикладных задач в самых различных областях. Это могут быть и формализованные правила рассуждений, и правила логического вывода. Математические модели служат отражению и анализу некоторых свойств действительных объектов. Рассмотрим один из видов математических моделей, характеризующихся простой структурой и широко применяющихся в приложениях. Модели такого вида содержат следующие элементы:

1. вектор x параметров, измеряемых на объекте x =[ x i . x n ], где x i - значение i -го параметра, которое является чаще всего вещественным числом. Можно назвать x вектором состояния объекта. Если изучается динамика моделируемого объекта во времени t , то считается, что состояние в каждой момент t описывается вектором x ( t )=[ x i ( t ). x n ( t )];

2. вектор y( t ) параметров, которые не могут быть непосредственно измеренными;

3. неизвестные связи между переменными координатами векторов x ( t ) и y( t ) ;

4. связи между переменными, являющиеся неизвестными;

5. математический аппарат исследования соотношений (связей).

В качестве примера можно привести имитационные модели, описывающие возможные пути развития сложных технико-экономических и природных систем.

1.3 Плохо формализуемые задачи

Поясним теперь, что понимается под плохо формализуемыми задачами: это задачи, условия которых определены не полностью, не все связи заданы в аналитической форме, при этом формулировка задачи может содержать противоречия, а также не все соглашения о понятии решения могут быть в наличии. Решению таких (плохо формализуемых) задач предшествуют этапы преобразования их формулировки, уточнений и упрощений. Результатом этих этапов является получение комплекса формализованных задач, имеющего некоторое отношение к исходной задаче.

Необходимо знание этого отношения, иначе точность, достигаемая формальными методами, может оказаться бесполезной. В сферу модели естественно также включить описание исходной задачи, выбираемый язык, критерии и ограничения, аппарат адекватности модели, средства интерпретации и подготовки к практическому внедрению, способы внемодельного анализа, учета плохо формализуемых факторов. Можно выделить следующие разновидности плохо формализуемых задач.

1. Нестационарные - эти задачи отличаются эволюцией информации об объекте и модельных представлений о нем.

2. Задачи с расплывчатым отражением некоторых зависимостей и плохо определенными ограничениями. Здесь для описания зависимостей и ограничений требуется использовать специальные процедуры диалога с экспертами, а также проводить целенаправленные серии экспериментов.

3. Задачи с несовместными системами условий и ограничений и неопределенным понятием решения (неособенные задачи). 4. Задачи, в которых оценка решения производится по системе несогласованных (противоречивых) критериев[3].

5. Задачи с неоднозначно определенным решением. 6. Неустойчивые или некорректные задачи.

1.4 Противоречивые модели

Противоречивые определения объектов и противоречивые модели иногда возникают в результате абсолютизации локальных свойств реально существующих объектов. Другая возможная причина появления противоречивых моделей - наличие различных несогласованных источников информации, которая служит основой моделирования.

В прикладной математике наблюдается заметный интерес к описанию противоречивых ситуаций; он вызван, вероятно, необходимостью повысить реальный результат применения математических моделей и методов к решению сложных практических задач. Примеры решения противоречивых задач можно видеть и в сфере оптимизации, и в сфере распознавания образов. В некоторых случаях содержательный смысл модели может диктовать такой вид работы с ней, как выделение ее непротиворечивых подмоделей, в других случаях возможно ослабление ограничений модели, приводящее к ее непротиворечивости[4].

1.5 Основы процесса выработки решений

В процессе выработки решений применимы такие конкретные методы, как анализ, синтез, индукция, дедукция, аналогия, абстракция и конкретизация.

Анализ - логический прием расчленения целого на отдельные элементы с рассмотрением каждого из них в отдельности. При этом в процессе выработки решения анализу подвергаются поставленная задача, данные обстановки.

Анализ неразрывно связан с синтезом - объединением всех данных, полученных в результате анализа. Синтез - это не простое суммирование результатов анализа. Задача его состоит в мысленном воспроизведении основных связей между элементами обстановки. Синтез дает возможность вскрыть сущность процессов, установить причинно-следственные связи, прогнозировать развитие действий.

Анализ и синтез тесно переплетаются с индукцией и дедукцией. Индукция - движение мысли от частного к общему, от ряда факторов к закону. Дедукция, наоборот, идет от общего к частному, от закона к отдельным его проявлениям. Индуктивный прием используется в тех случаях, когда на основе частного фактора можно сделать общие выводы, установить взаимосвязь между отдельными явлениями и каким-либо законом. Анализируя обстановку, необходимо следовать то от частного к общему (индукция), то от общего к частному (дедукция), стремясь установить взаимосвязь между явлениями обстановки и законом. В процессе выработки решения можно использовать абстрагирование - способность отвлечься от совокупности факторов и сосредоточить внимание на каком-либо одном вопросе. При абстракции хотя и достигаются частные цели, однако они не могут служить основанием для решения. Поэтому наряду с абстракцией должна применяться конкретизация - увязка того или иного явления с конкретными условиями.

Существенное значение в процессе выработки решений может сыграть аналогия - прием, в котором из сходства двух явлений в одних условиях делается вывод о сходстве этих явлений в других условиях. Однако, аналогия - не доказательство, она лишь дает почву для высказывания предположения о возможном развитии характера действий, дает толчок в мышлении.

В ходе выработки решения важно установить причинно-следственные связи между элементами. Причинность - одна из всеобщих форм объективной связи между предметами, явлениями и процессами реальной действительности.

1.6 Научный принцип исследования

Процесс исследования включает следующие основные этапы.

1. Постановка задачи.

2. Построение математической модели.

3. Нахождение решения с помощью модели.

4. Послемодельный анализ и корректировка полученного результата. Построение математической модели требует:

• выделения рассматриваемого объекта, отбрасывания всего несущественного и уяснения всего существенного;

• точного количественного описания ситуации, с тем чтобы это описание можно было перевести на математический язык;

• определение набора параметров, характеризующих как состояние системы, так и возможное управление системой;

• определение зависимости между параметрами состояния и управления;

• определение цели через параметры системы в терминах соответствующей математической модели.

Математическая модель устанавливает соответствие между значениями управляемых и неуправляемых переменных и определяет результаты решения.

Обычно речь идет о нахождении оптимума критерия эффективности при соблюдении данных ограничений.

Выбор метода решения зависит от вида модели. Существуют четыре типа методов нахождения решения: аналитический, численный метод, статистических испытаний и эвристический. Поскольку модель не может быть точным отображением реальности, полученное решение может оказаться неприемлемым для условий конкретной ситуации. Поэтому необходим анализ полученного в результате моделирования решения, который заключается в проверке адекватности модели, а также в корректировке решения при его использовании в качестве основы для выработки решения.

Нарушение адекватности отображения моделью реальности может произойти по следующим причинам.

1. Модель может неправильно отражать действительную зависимость, которая существует между результатом операции и переменными.

2. В модели могут не учитываться переменные, которые в действительности влияют на результат.

3. Значения переменных, входящих в модель, могут быть оценены неправильно.

Анализ результатов моделирования осуществляется для установления адекватности отображения моделью реальности, а в случае её нарушения - выявления причин нарушения и соответствующего изменения модели.

1.7 Критерии эффективности

Критерий эффективности как мера успешности решения задач. Выбор критерия эффективности является наиболее ответственным этапом всей постановки задачи. Основным требованием, предъявляемым к критерию эффективности, является установление строгого соответствия между ним и конечной целью. Если рассматривать применение критериев эффективности для оптимизации, то в самом общем виде оптимизация сводится к нахождению решений, соответствующих максимальному значению численного выражения избранного критерия эффективности[3].

1.8 Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по следующим признакам:

• по времени, как постоянного или переменного параметра;

• по числу сторон, принимающих решения;

• по наличию или отсутствию случайных (или неопределенных) факторов;

• по виду критерия эффективности и наложенных ограничений.

В зависимости от способа учета изменения времени математические модели делятся на два типа: статические и динамические. Статическая модель - это модель, в которой время не является переменной. В динамической же модели одной из переменных является время.

Математические модели в зависимости от числа сторон, принимающих решение, можно разделить на два типа: описательные и нормативные. В описательной модели нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые.

В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Для выработки решений, отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используются методы математического программирования

(линейное, нелинейное, динамическое).

Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если имеются две стороны с противоположными интересами, то используется теория игр, если число сторон более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то применяется теория бескоалиционных игр n лиц.

Математические модели в зависимости от наличия или отсутствия случайных (или неопределенных) факторов можно разделить на следующие типы.

Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.

В стохастических моделях реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими ожиданиями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого

явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.).

В теоретико-игровых моделях учитывается недостаточность информации о действиях противника и необходимость принимать решение в условиях неопределенности. Теоретико-игровой подход в том, по существу, и состоит, что выявляется наименее благоприятное вероятностное распределение значений неуправляемых переменных и определяется оптимальное действие в этих наименее благоприятных условиях.

Недостаток теоретико-игровой модели по сравнению со стохастической (точно так же, как и недостаток стохастической модели по сравнению с детерминированной) состоит в больших математических трудностях в теоретическом плане и в существенно большем объеме вычислительных работ в плане практическом.

Математические модели в зависимости от вида критерия эффективности и наложенных ограничений можно разделить на два типа: линейные и нелинейные. В линейных моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели (иначе нелинейные модели).

Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемо. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования. Приведенная классификация математических моделей в определенной мере весьма условна и неполна.

Актуальность проблемы. . Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве"ручной" технологии. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Задачи контрольной работы:

1. Математические модели процессов

2. Особенности симплексного метода

1.1 Математические модели процессов.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

1. находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2. способная замещать его в определенных отношениях;

3 .дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

Классификация моделей

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий :

- Линейные или нелинейные модели;

- Сосредоточенные или распределённые системы;

- Детерминированные или стохастические;

- Статические или динамические;

- Дискретные или непрерывные .

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом — распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

-Структурные или функциональные модели

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель[. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

В работе Р. Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Тип 1 : Гипотеза (такое могло бы быть)

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Тип 5 : Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена.

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − kx) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:



где означает вторую производную от x по времени: .


По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

Жёсткие и мягкие модели


Здесь — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, — некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы.Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени

Универсальность моделей

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, — вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки — разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др.Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

1.2 Особенности симплекс метода

Симплекс-метод позволяет отказаться от метода перебора при решении задач линейной оптимизации, является основным численным методом решения задач линейного программирования и позволяет за меньшее число шагов, чем в методе перебора, получить решение.

Реализация алгоритма симплекс-метода.

  1. Записать задачу в канонической форме: заменить все ограничения-неравенства с положительной правой;
  2. Разделить переменные на базисные и свободные: перенести свободные переменные в правую часть ограничений-неравенств.
  3. Выразить базисные переменные через свободные: решить систему линейных уравнений (ограничений-неравенств) – относительно базисных переменных;
  4. Проверить неотрицательность базисных переменных: убедиться в неотрицательности свободных членов в выражениях для базисных переменных. Если это не так, вернуться к пункту 2, выбирая другой вариант разделения переменных на базисные и свободные.
  5. Выразить функцию цели через свободные переменные: базисные переменные, входящие в функцию, выразить через свободные переменные;
  6. Вычислить полученное базисное решение и функцию цели на нем: приравнять к 0 свободные переменные;
  7. проанализировать формулу функции цели: если все коэффициенты свободных переменных положительны (отрицательны), то найденное базисное решение будет минимально (максимально) и задача считается решенной;
  8. Определить включаемую в базис и исключаемую из базиса переменные: если не все коэффициенты при свободных переменных в функции цели положительны (отрицательны), то следует выбрать свободную переменную, входящую в функцию цели с максимальным по модулю отрицательным (положительным) коэффициентом, и увеличивать ее до тех пор, пока какая-нибудь из базисных переменных не станет равной 0. Свободную переменную рассматриваем как новую базисную переменную (включаемую в базис), а базисную переменную рассматриваем как новую базисную переменную (исключаемую из базиса);
  9. Используя новое разделение переменных на базисное и свободное, вернуться к пункту 3 и повторять все этапы до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Для привидения системы ограничений неравенств к каноническому виду, необходимо в системе ограничений выделить единичный базис.

Алгоритм симплекс метода .

(первая симплекс таблица)

Пусть система приведена к каноническому виду.

X1+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+nXm+n = h1

X2+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+nXm+n = h1

X3+ q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+nXm+n = h1

Xm+ qm,m+1 Xm+1 + …. + qm,m+nXm+n =hm

В ней m базисных переменных, k свободных переменных. m+k=n - всего переменных.

Fmin= C1X1+ C2X2+ C3X3+. + CnXn

Все hi должны быть больше либо равны нулю, где i=1,2. m. На первом шаге в качестве допустимого решения принимаем все Xj=0 (j=m+1,m+2. m+k). При этом все базисные переменные Xi=Hi.

Для дальнейших рассуждений вычислений будем пользоваться первой симплекс таблицей (таблица 3.1).

Читайте также: