Непрерывная случайная величина реферат

F(- ¥) ==0; F( ¥) === 1.

Дифференциальной функцией распределения

Так как F(х ) — неубывающая функция, то f(х ) ³ 0 (см. подразд. 3.7, п. 1).

Теорема 9.3.

f(x)=

Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(х) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (9.14).

= A arctg (+¥)-A arctg (-¥)=Аp ,

то Аp = 1, откуда А = 1/p.

Применяя формулу (9.13), получаем функцию распределения F(х) :

F(х) = =A arctg x = [ arctg x- arctg (-¥)]=

Наконец, формулы (9.6) и (9.9) с учетом найденной функции F(х) дают

P (0 Все темы данного раздела:

Цель: Изучить основные понятия теории вероятности План: 1.Основные понятия. Определение вероятности 2. Свойства вероятности 3. Вопросы для контроля знаний и подв

Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или

Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,… , В

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, ч

1. Дайте определения противоположным, независимым, несовместным событиям. Приведите примеры таких событий. 2. Что называется полной группой событий? 3. Сформулируй

1. Понятие математического ожидания.Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величин

1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине. Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно зн

1. Понятие дисперсии.Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные ве

Определение. Средним квадратическим отклонением s(X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии: s(X) =

Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k — натуральное

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сход

1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других и

Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления соб

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируетс

Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки. 1. Генеральная совоку

1. Выборка как набор случайных величин.Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении о

Цель: Изучить основные понятия теории графов План: 1. Основные понятия и определения графа и его элементов 2. Деревья. Лес. Бинарные деревья 3. Способы задания г

С вершины дорога вперед — только вниз. Я. Таранов Деревомназывают конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем),не имеющий циклов (

В этом проглядывается талант исследователя охватить значительные районы явлений с помощью немногочисленных допущений, представить разносторонние совокупности предметов и процессов в сжатой, компакт

Храни порядок, и порядок сохранит тебя. Латинская формула Сети получили широкое практическое применение потому, что они являются естественным и удобным способом изображения

Примеры похожих учебных работ

Распределение случайных величин и их числовые характеристики

. . Если , то . 5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно .

Случайные погрешности и способы их уменьшения

. законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального. Случайные погрешности . погрешностей измерений; описать способы уменьшения случайных погрешностей. Тема реферата «Случайные погрешности .

Применение датчиков случайных чисел для имитации реальных условий

. алгоритмизации и программирования задач с использованием датчиков случайных чисел, способами получения случайных чисел с различными законами распределения, навыками оценки качества псевдослучайных чисел и их соответствия их выполняемым задачам. .

Теория вероятности

. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. .

Программирование с использованием генератора случайных чисел

. Для получения двух последовательностей из 50 случайных чисел с показательным и нормальным законами распределения . соответствии заданием: Сгенерировать последовательность из 50 случайных чисел с нормальным законом распределения а=5,  =4) .

Непрерывной случайной величиной называют величину, которая может принимать любое числовое значение из некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.

Множество возможных значений такой величины бесконечно.

Примером таких величин являются: величина ошибки при измерении расстояний, веса и др.; время бессбойной работы прибора, размеры детали, рост человека при обследовании определённой группы людей и др.

Закон распределения непрерывной с.в. имеет две формы:

интегральная функция распределения F(x) и дифференциальная функция распределения f(x).

- Как и в случае с дискретной с.в., интегральная функция распределения F(x) имеет вид:

F(x)=P(X , то F()F();

p(

График F(x) на рисунке 11.

f (x)= (5.18)

(5.19)

F(x)= (5.20)

(5.21)

F(x)= (5.22)

Здесь a=M(x), - параметры распределения с.в.Х.

График f(x) представлен на рис.13 и называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

При a=0, имеем плотность нормированного распределения:

Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её на рис.14.

В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х есть функция Лапласа:

(5.23)

График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.

Из него видно, что:

3)

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (c,d), находим по формуле:

(5.24)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа, равна:

, (5.25)

()

При а=0 справедливо равенство:

(5.25а)

- Числовые характеристики непрерывной с.в.:

- математическое ожидание M(X)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Эти равенства можно заменить равносильными равенствами:

(5.30)

(5.31)

- среднее квадратическое отклонение

(5.32)

При этом для равномерного распределения:

(5.33)

(5.34)

(5.35)

Для показательного распределения

:

(5.36); (5.37); (5.38).

Для нормального распределения:

M(X)=a (5.39); (5.40); (5.41).

Задача №67. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус менее 3-х минут.

Решение. Пусть с.в. Т –время ожидания очередного автобуса – непрерывная случайная величина. Она распределена по равномерному закону с плотностью:

(см. формулу (5.18) )

По формуле (5.14) имеем:

Задача №68. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округлены до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).

Решение. Ошибку округления отсчёта можно рассматривать как с.в. Х, которая распределена равномерно в интервале между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью

,

Ошибка отсчёта не превысит 0,04, если она будет заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2). По формуле (5.14) имеем:

Задача №69. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичское отклонение с.в. Х, распределённой равномерно в интервале (2,8).

Решение. По формулам (5.32)-(5.34) получим:

.

Задача №70. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону, заданному при дифференциальной функцией ; при х

Решение. Исходя из формулы (5.19),

Пользуясь формулой (5.14), получим:

.

Искомая вероятность приближённо равна 0,414.

Задача №71. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону

.

Найти числовые характеристики с.в. Х и вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2,5).

1) Из формул (5.36)-(5.38) получим:

2) Из формулы (5.14) следует, что:

.

Задача №72. Задана плотность распределения количества прибыли Х:

Найти коэффициент a и вероятность получения величины прибыли Х из отрезка [0,5; 1] млн.гр

1) В соответствии с определением модуля х:

3) Используя формулу (5.16) и свойство аддитивности несобственного интеграла, получаем:

.

4) Используя формулу (5.14), получим:

Примечание. Подынтегральная функция , т.к. отрезок [0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.

Задача №73. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (15,25).

Решение. Воспользуемся формулой (5.24). Подставив

c=15, d=25, a=20, ,

По таблице (приложение 2) находим Ф(1)=0,3413

Задача №74. Контролируется длина Х выпускаемой детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм.

Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

1) Событие является достоверным

С другой стороны, по формуле (5.24):

Приравниваем правые части равенств для

=1

Теперь имеем: математическое ожидание с.в. Х а=50, среднее квадратическое отклонение

0,0823.

3)

Задача №75. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы выполнялось равенство: ?

Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:

Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:

Мы получили "правило 3-х сигм": вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределённой случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Ответ: (а-3 , а+3 ).

Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной.

Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найти их дисперсию.

Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.

Согласно формуле (5.24) имеем:

Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:

D(X)=

Задача №77 ("из жизни хищников").

Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна 0,4 при каждом столкновении с жертвой.

Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных жертв при 20-ти столкновениях.

Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону при п=20, р=0,4.

Согласно формуле (5.9), имеем:

Таблица значений функции

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.

Содержание работы

Введение
3
1.
Случайные величины
4
2.
Классификация случайных величин
5
3.
Закон распределения случайной величины
6
4.
Функция распределения случайной величины и ее свойства
7
5.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
9
5.1
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
9
5.2
Дисперсия случайной величины и ее свойства
13
5.3
Среднеквадратическое отклонение
16

Файлы: 1 файл

случ.величина.docx

ФГОУ ВПО Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Институт экономики и финансов

Кафедра математических наук

Выполнила: студентка 2 курса

группы Б-ЭБ24 Глухова Н.Д

Проверила: доцент кафедры математики

Классификация случайных величин

Закон распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины и ее свойства

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

Дисперсия случайной величины и ее свойства

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения, особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения – строчными буквами .Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

2.Классификация случайных величин

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .

3.Закон распределения случайной величины

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а – произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

Если , то событие равно сумме событий , и .

Аналогично, если , то .

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности , это указано в таблице (см.Приложение1)

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения:

Функция распределения принимает значения из промежутка : .

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем.

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий

1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:

Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, чт .

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому

Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

Читайте также:

  
• Теория управления качества реферат
  
• Нравственное и правовое сознание юриста реферат
  
• Значение мышечной релаксации реферат
  
• Электронные образовательные ресурсы реферат
  
• Классификация признаков внешности человека реферат