Начертательная геометрия многогранники реферат

Обновлено: 05.07.2024

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Основные фигуры в пространстве — это точка, линия и плоскость. Помимо этих простейших фигур, стереометрия учитывает также геометрические тела и их поверхности. При изучении геометрических тел используйте изображения на чертеже.

Эти геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые типы и свойства многогранников.

Многогранная поверхность. Комплекс

Многостороннее поверхностное именование ассоциации конечного числа плоских многоугольников, так что каждая сторона любого многоугольника одновременно является стороной другого (но только одного) многоугольника, названного рядом с первым многоугольником.

Из каждого из полигонов, составляющих полигональную поверхность, можно добраться до любого другого, двигаясь по соседним полигонам.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются рёбрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.

Показаны комбинации полигонов, которые соответствуют заданным требованиям и являются многогранными поверхностями. Отображаются фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.

Многосторонняя поверхность делит пространство на две части — внутреннюю часть многогранной поверхности и внешнюю часть. Из двух частей внешней области той, в которой можно провести прямые, полностью принадлежащие поверхности, будет внешняя область.

Сочетание поверхности многогранника и его внутренней поверхности называется многогранником. Поверхность многогранника и его внутренняя площадь называются соответственно поверхностью многогранника и его внутренней площадью. Кромки, края и наконечники поверхности многогранника называются многогранными гранями, краями и наконечниками многогранника.

Пирамида

Многогранник, где одно ребро — это любой многогранник, а другое — треугольник с общей вершиной, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а другие стороны (треугольники) называются сторонами пирамиды.

Пирамиды отличаются треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т.д. в зависимости от типа многоугольника у основания пирамиды.

Треугольная пирамида также называется тетраэдром. Показана квадратная пирамида SABCD с базой ABCD и сторонами SAB, SBC, SCD, SAD.

Боковые стороны краев пирамид называются краями пирамид. Ребра, принадлежащие к основанию пирамиды, называются ребрами основания, а все остальные ребра — боковыми. Общая вершина всех треугольников (боковые ребра) называется вершиной пирамиды (точка S — вершина пирамиды, сечения SA, SB, SC, SD — боковые ребра, сечения AB, BC, CD, AD — ребра основания).

Высота пирамиды называется отрезком вертикали, проходящей от вершины пирамиды S до плоскости основания (концы этого отрезка — вершина пирамиды и вертикаль основания). SO — это высота пирамиды.

Правильная пирамида. Пирамида считается правильной, если основание пирамиды является правильным многоугольником, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Все боковые грани реальной пирамиды одинаковы; все боковые грани равны равнобедренным треугольникам.

Высота боковой поверхности реальной пирамиды, видимая с ее вершины, называется апофеозом этой пирамиды. SN — это апофема. Все апопеи правильной пирамиды равны между собой.

Призма

Многогранник, две стороны которого равны n-угольникам, лежащим в параллельных плоскостях, а остальные n сторон являются параллелограммами, называется n-угольной призмой.

Пара одинаковых n-угольников называется основами призмы. Остальные стороны призмы называются боковыми краями, а их сочетание называется боковой стороной призмы.

Боковые стороны краев призм называются ребрами, а концы ребер — кончиками призм. Ребра, не относящиеся к основанию призмы, называются боковыми ребрами.

Призма, боковые грани которой перпендикулярны плоскостям основания, называется прямой призмой. Иначе, призма называется наклонная.

Сечение, перпендикулярное базовым плоскостям призмы, концы которых принадлежат этим плоскостям, называется высотой призмы.

Прямая призма, основанная на правом многоугольнике, называется правой призмой.

Параллелепипед — это шестигранник, противоположные стороны которого параллельны попарно. Параллелепипед имеет 8 верхних сторон и 12 краев; его стороны параллельны попарно.

Параллелепипед называется прямой линией, если его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (в данном случае 4 боковых ребра — прямоугольники); прямоугольником, если этот параллелепипед прямой, а основание — прямоугольник (поэтому 6 сторон — прямоугольники);

Параллелепипед, все стороны которого квадратные, называется куб.

Объем параллелепипеда соответствует по высоте работе его основания.

Каждый многогранник имеет объем, который может быть измерен с помощью выбранных единиц объема. За единицу измерения объема принимается куб с краем, соответствующим единице измерения сегментов. Куб с краем 1см называется кубическим сантиметром. Кубический метр и кубический миллиметр и т.д. определяются аналогичным образом.

При измерении объема в выбранных единицах измерения объем тела выражается положительным числом, указывающим на то, сколько единиц объема и его частей вписывается в данный корпус. Число, выражающее объем тела, зависит от единицы измерения объема. Поэтому после этого номера дается единица измерения объема.

Основные свойства объемов:

Те же самые комитеты имеют те же самые тома.
Если тело состоит из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Для определения объема тел в некоторых случаях полезно использовать теорему, называемую принципом Кавальери.

Принцип Кавальери заключается в том, что если при пересечении двух тел любая плоскость, параллельная любой заданной плоскости, сечения одной и той же поверхности равны, то объемы тел равны друг другу.

Заключение

Итак, многогранники изучают участок геометрии, называемый стереометрией. Полиэдры бывают разных типов (пирамида, призма и т.д.) и обладают разными свойствами. Следует также отметить, что многогранники, в отличие от плоских фигур, имеют объем и расположены в пространстве.

Большинство вещей, которые нас окружают, находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам понять реальность вокруг нас с точки зрения геометрии.

Список литературы

Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина.
Википедия.

Образовательный сайт для студентов и школьников

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты . Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

6.1. Пирамида. Сечение пирамиды плоскостью. Развертка пирамиды

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками, которые называется гранями.

Грани, пересекаясь, образуют ребра .
Ребра, пересекаясь, образуют вершины .
Рассмотрим два основных вида многогранников:

Пирамида – многогранник, у которого боковыми гранями являются треугольники, а основанием – многоугольник.

Упражнение

Дана пирамида, основание которой параллельно π₁. Основание представляет собой некоторый треугольник.

S – вершина пирамиды (Рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Пересечение поверхности пирамиды прямой

Требуется построить точки пересечения прямой m общего положения с поверхностью пирамиды.

Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
Строим сечение ∆ (123) поверхности пирамиды с плоскостью σ.

Решение задачи сводится к нахождению линии пересечения плоскостей общего положения (боковые грани пирамиды) и плоскости частного положения (плоскость σ).

Примечание. При наличии круто падающих рёбер (близких к вертикали), построение недостающей проекции точки на ребре по одной данной проекции необходимо выполнять при помощи пропорционального деления отрезка.

В сечении находим точки M и N принадлежащие прямой m.
Определяем видимость прямой m.

Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью.

Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.

Для построения развёртки пирамиды нужно определить истинные величины всех рёбер пирамиды и построить грани пирамиды в виде треугольников, последовательно присоединяя их друг к другу.

Основание можно присоединить к любой грани, например, АС (Рисунок 6.2).

Рисунок 6.2 – Построение развёртки пирамиды

В упражнении истинные значения ребер определены способом вращения. Для построения линии сечения на развертке, на истинных величинах рёбер построим точки \overline,\overline,\overline , проведя горизонтальные линии (траектории перемещения точек 1, 2, 3) до пересечения с соответствующими истинными проекциями ребер.

6.2. Призма. Развертка призмы

Призма – многогранник, у которого боковыми гранями являются параллелограммы, а основания – многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Упражнение

Дана призма, основания которой параллельны плоскости проекций π₁.

Требуется построить точки пересечения прямой m с поверхностью призмы (Рисунок 6.3).

Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
Строим сечение поверхности призмы с плоскостью σ →(∆(123)).
В сечении находим точки K и L принадлежащие прямой m.
Определяем видимость прямой m. Если грань АВ на π₂ видна, то точка К на π₂ видима, грань ВС невидима, следовательно, точка Lневидима.

Рассмотрим наклонную призму. Пусть основание призмы параллельно π₁, а ребра параллельны π₂.

Построим нормальное сечение, то есть сечение плоскостью σ, перпендикулярной ребрам призмы (Рисунок 6.4).

Это сечение развернется в прямую линию. Боковые ребра перпендикулярны к линии сечения.

Рисунок 6.4 – Построение развёртки призмы
Порядок построения :

Найдем истинную величину сечения – (1₀2₀3₀), для чего повернём сечение (123) вокруг оси n⊥π₂, (можно ввести ДПП π₃//σ).
Проведём горизонтальную линию на свободном месте листа. Отложим на ней отрезки:
/1₀-2₀/; /2₀-3₀/; /3₀-1₀/.

Проведём направления рёбер перпендикулярно этой линии через точки: 1₀; 2₀; 3₀ и отмерим вверх и вниз расстояния от нормального сечения (на π₂) до верхнего и нижнего основания, откладывая их на линиях-ребрах.

6.3. Взаимное пересечение многогранников

В результате пересечения многогранников получим ломаную линию.

Возможны два случая пересечения многогранников (Рисунок 6.5):

Рисунок 6.5 – Варианты пересечения многогранников

Вершины ломаной – точки пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого.

Звенья ломаной – линии пересечения граней.

Для решения задачи нужно найти вершины ломаной, то есть точки пересечения всех рёбер, участвующих в пересечении.

Построенные точки соединить.

Упражнение

Построить линии пересечения призмы с пирамидой (Рисунок 6.6).

Рисунок 6.6. Построение линии пересечения призмы с пирамидой
Решение

Находим на π₂ проекции точек пересечения ребра пирамиды с проецирующими гранями призмы (точки 1₂ и 2₂). Находим их горизонтальные проекции.
Строим точки пересечения ребра призмы с боковыми гранями пирамиды (точки 3₂ и 4₂), для чего используем вспомогательную плоскость τ⊥π₂.
Полученные на π₁ точки 3, 2, 4, 1 соединяем отрезками прямых. Причем отрезки 1₁-3₁, 1₁-2₁, 1₁-4₁ невидимы. Получили замкнутую линию пересечения пирамиды с призмой.

Упражнение

остроить три проекции пирамиды с вырезом и развертку (Рисунок 6.7).

По двум проекциям построить третью;
На всех трех проекциях построить проекции линии пересечения призматического выреза с пирамидой;
Невидимые участки линии пересечения и участки рёбер многогранников показывать штриховой линией;
Построить развёртку пирамиды с нанесением линии пересечения.

Рисунок 6.7. Построение проекций пирамиды с вырезом и развертки
Решение :

Проводим линии рёбер призмы на всех проекциях.
Введём плоскость σ⊥π₂, σ//π₁:

σ//АВС – основанию пирамиды;
σ пересекает пирамиду сечение подобно ΔА₁В₁С₁.

Это сечение пересекается:

— с ребром D в двух точках 1 и 4;

— с ребром Е в двух точках 2 и 5.

Соединим найденные точки: 1-2-3-1; 4-6-5-7-4 и определим видимость.

Построение развертки рассмотрено ранее.

6.4. Задачи для самостоятельной работы

1-4. Построить линию пересечения гранных поверхностей. Показать видимость (Рисунки 6.8 – 6.11).

Рисунок 6.8

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

Рисунок 6.11

Читайте также: