Вычисление площадей плоских фигур реферат

Обновлено: 02.07.2024

СПлощадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.
Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.
Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.
Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Содержание работы

Примечание
Свойства
Единицы измерения площади
Метрические единицы
Русские устаревшие
Античные
Площади плоских фигур
Декартовы координаты
Полярные координаты
Пример решения задач
Литература

Содержимое работы - 1 файл

БГОУ СПО ДТК.docx

Реферат по математике

Выполнил: студент 26 группы

Проверила: преподаватель по математике

Примечание
Свойства
Единицы измерения площади

Метрические единицы

Русские устаревшие
Античные

Площади плоских фигур

Декартовы координаты
Полярные координаты

Пример решения задач

Литература

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.

Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Площадь единичного квадрата равна 1.
Площадь аддитивна.
Площадь неотрицательна.
Площади конгруэнтных фигур равны.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими.

Единицы измерения площади

Метрические единицы:
Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
Гектар, 1 га = 10 000 м²
Ар (сотка), 1 а = 100 м²
Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² = 1 са (сантиар)
Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м².

Квадратная верста = 1,13806 км²
Десятина = 10925,4 м²
Копна = 0,1 десятины — сенные покосы мерили копнами
Квадратная сажень = 4,55224 м²

Площадь плоской фигуры

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a, b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f(x), g(x) на интервале [a, b] находится как разность определённых интегралов от этих функций:

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции и лучами вычисляется по формуле:

Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).

Примеры решения задач

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x 2 +2, y=0, x=-2, x=1.

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат

на тему

площадь плоских

фигур.

Подготовила: ученица 5 r класса

Агаева Кямаля Абатхановна.

1) ломаная . многоугольник.

3) свойства площадей

4) е диницы измерения

11) мозаика из геометрических фигур

Фигура, состоящая из точек и последовательно соединяющих их отрезков, называется ломаной . При этом точки называют вершинами ломаной, а отрезки — звеньями .Ломаная называется замкнутой , если она начинается и заканчивается в одной точке.Простая замкнутая линия называется многоугольником ,

если её соседние стороны не лежат на одной прямой.

Точки,из которых состоит многоугольник, называют вершинами,а отрезки, из которых состоит многоугольник- сторонами. Стороны, замкнутой ломаной называются сторонами

многоугольника, а вершины, его вершинами .

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Многоугольник, имеющий n сторон, называется n -угольником.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков (например, квадратный метр – м 2 ).

Свойства площадей
- Равные многоугольники имеют равные площади.

- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Единицы измерения площадей: км² ; га ; ар ; м² ; дм² ;см ² ; мм ².

Измерить площадь фигуры можно разными способами.

Н апример с помощью палетки.

Среди многоугольников выделяют правильные многоугольники, то есть многоугольники, у которых все стороны равны и все углы равны.Некоторые из них мы и рассмотрим:

Квадрат-это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Прямоугольник-это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны

Площадь прямоугольника равна произведению

его смежных сторон.

Параллелограмм -это четырёхугольник, у которого противоположные углы равны.

Площадь параллелограмм равна произведению

его основания на высоту.

Треугольник-это фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Площадь треугольника равна половине произведения его

основания на высоту.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы

ее оснований на высоту.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны

Площадь ромба равна половине произведения его

Мозаика из геометрических фигур

Из геометрических фигур разных дел мастера набирают великолепные мозаики . Наборная мозаика из геометрических фигур является наиболее сложным и дорогим видом отделки. Основным материалом для фигур выбирается мрамор, керамогранит, стекло .

(В двух словах сделай заключение о твоей выполненной работе)

Краткое описание документа:

Реферат на тему площадь плоских фигур. Подготовила: ученица 5r классаФейзиева Рейхан.Руководитель:Агаева К. А. 2014СОДЕРЖАНИЕ:1)ломаная. многоугольник.2)площадь многоугольника.3)свойства площадей4)единицы измерения5)квадрат6)прямоугольник7)параллелограмм8)треугольник9)трапеция10)ромб11) мозаика из геометрических фигур12)заключение МногоугольникЛоманаяФигура, состоящая из точек и последовательно соединяющих их отрезков, называется ломаной. При этом точки называют вершинами ломаной, а отрезки — звеньями .Ломаная называется замкнутой, если она начинается и заканчивается в одной точке.Простая замкнутая линия называется многоугольником,если её соседние стороны не лежат на одной прямой.Точки,из которых состоит многоугольник, называют вершинами,а отрезки, из которых состоит многоугольник- сторонами.Стороны, замкнутой ломаной называются сторонамимногоугольника, а вершины, его вершинами.Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Многоугольник, имеющий n сторон, называется n-угольником.Площадь многоугольникаПлощадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков (например, квадратный метр – м2). Свойства площадей - Равные многоугольники имеют равные площади.- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Единицы измерения площадей: км² ; га ; ар ; м² ; дм² ;см ² ; мм ².

Данная работа была представлена на районной научно-практической конференции (1 место).Кроме того её текст отражен в сборнике статей межвузовской конференции.

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 12

Городской округ город Выкса Нижегородской области

Работу выполнила:

учитель математики МБОУ СШ № 12

Костина Елена Евгеньевна

Глава 2. Материалы и методы исследований--------------------------------14-19

2.1 Нахождение площадей геометрических фигур в школьном курсе математики ---------------------------------------------------------------------------14-17

3.3. Результаты тестирования среди учащихся школы.-----------------------21-22

Актуальность данной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения одной задачи. Такие задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в КИМах и ЕГЭ. Я решила помочь учащимся освоить решения таких задач, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.

В своей работе я поставила следующую цель:

Расширение возможностей учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Мною были намечены следующие задачи: изучить литературу, изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге, провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Методы исследований:

Теоретический: изучение литературы

Эмпирический: эксперимент, анализ, сравнения.

Математический: построение таблиц, вычисления.

В результате я сделала вывод, что существует достаточное количество способов решения такого рода задач, но самым результативным является решение по формуле Пика.

Предмет исследования: площадь фигур.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Подобные задания включены в ЕГЭ.

В своей работе я поставила следующую цель:

Мною были намечены следующие задачи:

Изучить литературу с целью выявления разных способов решения задач

Изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге

Провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Практическая значимость: данная работа поможет учащимся при решении задач на нахождение площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге и выпускникам при подготовке и сдаче ЕГЭ.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Когда зародилась наука геометрия?

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки.
Но не только в процессе работы люди знакомились с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

С отни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

Ученый гордо ответил: "В геометрии нет царской дороги".

1.2. Измерение площадей

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.
Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был "плуг" - часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке - индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.
Похожую историю рассказывает Л. Н. Толстой в притче "Много ли человеку земли надо" (Толстой Л.Н. ,1886). Герой ее - мужик Пахом - покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли."Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил - три аршина, и закопал его" ( цит. по. кн. Толстой Л.Н., 1981, с.255). Так кончает писатель свой рассказ.
То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась "на все времена и для всех народов". В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес - в килограммах, а площадь земельных участков - в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Вот они и их перевод в современные единицы измерения.
Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2;

десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2;

кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = =0,5058 м 2 ;

кв. вершок = 19,758 см 2 .
Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет "О введении международной метрической десятичной системы мер и весов". Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

1.3. Меры площади

О возникновении мер площади известно крайне мало. Они появились так давно, что письменные источники, найденные в Двуречье, содержат и первые единицы мер. Никто точно не скажет, у какого народа появились первые мерила. Чтобы представить себе хотя бы общую картину возникновения мер, нам предстоит совершить экскурсию в глубину веков.

Россия. Десятина - мера земельной площади десятая часть. Введена в обиход в XVI в. В России существовали различные виды десятины. Они отличались друг от друга как по площади, так и названием. В словаре В.Даля приводятся следующие виды десятины: казённая, круглая, сотенная, астраханская и бахчевая. В XVIII-XIX в. пользовались владельческой (хозяйственной) десятиной.

Египет. В Египте сечат, ремен, хесеб, са - меры площади. 1 сечат = 2 ременам = 4 хесебам = 8 са = 100 мехам = 2735 кв. м.

Китай. Как и во всех древних государствах, основной ценностью в Китае была земля. По – видимому, полномерным можно было считать поле – цин, состоявшее из 100 му земли. Сама же му состояла из 240 квадратиков со стороной, равной двойному шагу бу. Такой квадрат содержал 2,75 квадратных метра, следовательно, в му был 661 кв. м. Поле - цин было большой площадью. 3 и три четверти цин составляли квадратный ли. Таким образом: 1 цин = 100 му = 24000 кв. бу = 6,61 га.

Рим. Основной единицей площади можно считать югер. Он делится на 2 квадратных акта, 2 югера составляли гередий. 200 югеров образовывали центурию, 4 центурии- сальт. Обычно мерили землю югерами, которые с древности делились на унции

Италия. Мерили землю в разных провинциях Италии по – разному: где пертикой (шестом), и там счётной единицей становилась квадратная пертика; где катеной (цепью) – с единицей квадратная катена. Основной поземельной единицей в большинстве мест Северной Италии была табула (полоса) и стайо.

Большинство старых мер забыто, вышло из употребления, но многие из них фигурируют в литературных произведениях, исторических памятниках. Они заложены в старинных постройках, в древних рецептах лекарств. У них есть история, как и у человеческого общества.

1.4. Формула Пика

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника изображенного на клетчатой бумаге. Я узнала, что существует универсальная формула для решения такого рода заданий, которая не рассматривается в школе.

Формула Пика (или теорема Пика) — формула, согласно которой площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна ½. Этот факт даёт геометрические доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Открыта австрийским математиком Георгом Пиком (см. приложение № 1) в 1899 году.

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня. Пример использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Площадь плоских фигур определяется через определённый интеграл от неотрицательной функции и равна площади криволинейной трапеции. В этом также заключается и геометрический смысл определённого интеграла.

Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной функции f(x)≥0, прямыми x=a, y=b и осью OX.

I. Площадь криволинейной трапеции на оси OX вычисляется по формуле:

II. Если функция f(x) , то криволинейная трапеция находится ниже оси OX и тогда её площадь определяется по формуле:

III. Если функция f₂(x)≥f₁(x), f₂(x)-f₁(x)≥0 то площадь фигуры находится по формуле:

Читается так: из верхней функции вычитаем нижнюю.

IV. Площадь криволинейной трапеции на оси OY определяется по формуле:

V. Если криволинейная трапеция расположена левее оси OY, то её площадь находится по формуле:

VI. Если функция φ₂(x)≥φ₁(x), φ₂(x)-φ₁(x)≥0, то площадь криволинейной трапеции ограниченна графиками x=φ₁(x), x=φ₂(x) и прямыми y=d, y=c и определяется по формуле:

Если плоская фигура не относится к криволинейной трапеции вышеперечисленных видов, то её разбивают прямыми на криволинейные трапеции, которые параллельны оси OX или OY. Затем используют приведённые формулы выше.

Найти площадь S фигуры, ограниченной функцией f(x)=e x и линиями x =0 и x=e

Построим график функции f(x)=e x

Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями y=x 2 и y=3x

Пределами интегрирования являются точки абсциссы пересечения этих функций.

Графически можно представить следующем образом.

Найдем их через решения системы уравнений.

Решая систему находим корни x₁=0 и x₂=3

6972

Читайте также: