Методы прогнозирования на основе нечетких временных рядов реферат
Обновлено: 02.07.2024
1.В таблице 1.1. представлена среднесписочная численность по отраслям промышленности Курской области. Выберите временной ряд в соответствии с вариантом.
2.По данным временного ряда постройте графики значений и добавьте линии тренда с помощью диаграммы Excel в виде линейной, логарифмической, степенной, экспоненциальной и полиномиальной функций. Графики вставьте в текст отчета о лабораторной работе. На рисунке должны присутствовать уравнение тренда и коэффициент детерминации (коэффициент достоверности аппроксимации в терминах Excel).
3.Используя полученные уравнения, рассчитайте в таблице Excel теоретические значения среднесписочной численности и показатели адекватности моделей трендов.
Файлы: 1 файл
Лабораторная работа №1.docx
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Кафедра экономики и управления
Выполнил: студент группы ФК-32б
факультета Экономики и
Проверил: к.э.н., доцент ЭиУ
1.В таблице 1.1. представлена среднесписочная численность по отраслям промышленности Курской области. Выберите временной ряд в соответствии с вариантом.
2.По данным временного ряда постройте графики значений и добавьте линии тренда с помощью диаграммы Excel в виде линейной, логарифмической, степенной, экспоненциальной и полиномиальной функций. Графики вставьте в текст отчета о лабораторной работе. На рисунке должны присутствовать уравнение тренда и коэффициент детерминации (коэффициент достоверности аппроксимации в терминах Excel).
3.Используя полученные уравнения, рассчитайте в таблице Excel теоретические значения среднесписочной численности и показатели адекватности моделей трендов.
где - фактические значения показателей временного ряда;
- теоретические значения показателей временного ряда;
- среднее фактических значений показателей временного ряда;
- число элементов временного ряда.
где - фактические значения показателей временного ряда;
- теоретические значения показателей временного ряда;
- число элементов временного ряда.
- среднеквадратическое отклонение фактических значений показателей от расчетных (остаточная дисперсия или стандартное отклонение)
где - фактические значения показателей временного ряда;
- теоретические значения показателей временного ряда;
- число элементов временного ряда.
Выбранная прогнозная эмпирическая функция, описывающая временной ряд, должна минимизировать стандартное отклонение S на интервале оценивания, обеспечивать тесноту связи (по коэффициенту детерминации); аппроксимирующее уравнение должно быть адекватно фактической временной тенденции (А тренда, которую будете использовать для прогноза.
5.На основе модели тенденции временного ряда рассчитайте точечный прогноз на максимальный период упреждения. Период упреждения или прогнозный период не должен превышать одной трети периода наблюдения или длины временного ряда.
Интервальный прогноз может быть получен с использованием стандартной ошибки прогноза, что позволит рассчитать расширяющийся доверительный интервал, указывающий на рост неопределенности с повышением горизонта прогноза.
Стандартная ошибка прогноза, определяется по формуле 1.4.
где - середина временного интервала наблюдений;
Т – момент прогноза;
- число элементов временного ряда.
Sу – стандартная ошибка уравнения, определяемая по формуле 1.3.
Прогнозные результаты представьте в таблице 1.4.
Подробное описание выполнения работы:
Построим графики значений и добавим линии тренда в виде линейной, логарифмической, степенной, экспоненциальной и полиномиальной функций:
Таблица 1. Технологическая таблица расчета показателей адекватности функции y = -0,6102x + 19,775
Термин экономико-математические методы понимается как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономических процессов и систем.
Основным метод исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального процесса, отражающий его существенные свойства.
Под задачами экономико-математического моделирования понимаются: анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов.
Мы рассматриваем два вида экономико-математических моделей: адаптивные модели и компонентный анализ.
Адаптивные модели прогнозирования – это модели, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий.
Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии со схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Т.о. модель постоянно учитывает новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.
В курсе математического моделирования мы рассматриваем три адаптивные модели: модель Брауна, модель Хольта и модель Хольта-Уинтерса. Эти модели имеют параметры сглаживания: модель Брауна – один, модели Хольта и Хольта-Уинтерса – два и три соответственно.
Теперь о компонентном анализе временных рядов. Временной ряд состоит из нескольких компонент: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента (стационарный случайный процесс) и случайная компонента.
Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Оценка тренда осуществляется параметрическим и непараметрическим методами. Параметрический метод заключается в подборе гладкой функции, которая описывала бы тенденцию ряда: линейный тренд, полином и т.д. Непараметрический метод используется, когда нельзя подобрать гладкую функцию и заключается в механическом сглаживании временных рядов методом скользящей средней.
Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.
В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модель авторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).
Авторегрессионный процесс – процесс, в котором значения находятся в линейной зависимости от предыдущих. АР бывают первого порядка (Марковский процесс) и второго(процесс Юла). Порядок АР обозначается через p.
В моделях скользящего среднего мы выделяем период запаздывания (q).
Если у нас присутствуют и p и q, то мы имеем дело с моделью АРСС.
В моделях АР, СС, АРСС моделируют ряд без тренда и сезонной компоненты, т.е. ССП. Модель АРПСС позволяет исключить тренд путем перехода к разностям исходного ряда. Порядок разности, при котором ряд становится ССП дает нам d, которая является третьей неизвестной необходимой при моделировании АРПСС плюс ранее упомянутые p и q.
Прогнозирование с помощью компонентного анализа состоит из следующих шагов: оценка и удаление тренда, оценка и удаление сезонной компоненты, моделирование ССП, конструирование прогнозной модели и выполнение прогноза.
В конце, после прогнозирования мы проверяем полученную модель на адекватность, т.е. соответствие модели исследуемому объекту или процессу. Т.к. полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность – в какой-то мере – условное понятие. Модель временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.
2.Характеристика исходных данных.
| Дата | Данные | Дата | Данные |
| 17.09.2001 | 87,5546 | 31.10.2001 | 90,1826 |
| 18.09.2001 | 87,4391 | 1.11.2001 | 89,8761 |
| 19.09.2001 | 84,5301 | 2.11.2001 | 91,5291 |
| 20.09.2001 | 83,7572 | 5.11.2001 | 93,2659 |
| 21.09.2001 | 79,2693 | 6.11.2001 | 93,1579 |
| 24.09.2001 | 82,4232 | 7.11.2001 | 94,5799 |
| 25.09.2001 | 84,3556 | 8.11.2001 | 95,0691 |
| 26.09.2001 | 84,5737 | 9.11.2001 | 94,7875 |
| 27.09.2001 | 83,9814 | 12.11.2001 | 93,4776 |
| 28.09.2001 | 86,3375 | 13.11.2001 | 95,5143 |
| 1.10.2001 | 86,599 | 14.11.2001 | 96,8397 |
| 2.10.2001 | 87,3761 | 15.11.2001 | 97,4543 |
| 3.10.2001 | 88,0099 | 16.11.2001 | 97,5407 |
| 4.10.2001 | 89,8228 | 19.11.2001 | 98,2696 |
| 5.10.2001 | 88,9447 | 20.11.2001 | 98,2506 |
| 8.10.2001 | 89,3786 | 21.11.2001 | 97,4645 |
| 9.10.2001 | 89,2734 | 22.11.2001 | 98,0953 |
| 10.10.2001 | 89,7515 | 23.11.2001 | 98,0437 |
| 11.10.2001 | 92,0404 | 26.11.2001 | 98,6222 |
| 12.10.2001 | 91,4634 | 27.11.2001 | 97,7607 |
| 15.10.2001 | 91,8107 | 28.11.2001 | 96,628 |
| 16.10.2001 | 92,3968 | 29.11.2001 | 96,2972 |
| 17.10.2001 | 91,9989 | 30.11.2001 | 97,5226 |
| 18.10.2001 | 90,6101 | 3.12.2001 | 96,5187 |
| 19.10.2001 | 90,8081 | 4.12.2001 | 97,0024 |
| 22.10.2001 | 91,0108 | 5.12.2001 | 98,7592 |
| 23.10.2001 | 92,4902 | 6.12.2001 | 99,9798 |
| 24.10.2001 | 92,1829 | 7.12.2001 | 99,3854 |
| 25.10.2001 | 91,4308 | 10.12.2001 | 98,6803 |
| 26.10.2001 | 93,6935 | 11.12.2001 | 97,9448 |
| 29.10.2001 | 92,3283 | 12.12.2001 | 97,4542 |
| 30.10.2001 | 90,1196 | 13.12.2001 | 96,913 |
Эти данные – это низшая отметка индекса Доу Джонса на торгах. Данные взяты с интернета на период с 17 сентября по 13 декабря 2001г. Показания являются ежедневными, в неделе 5 дней торгов. Нужно будет дать прогноз на 26 декабря 2001г.
3.Практическая часть.
3.1.1.Оценка и удаление тренда.
А.) Сперва нужно выяснить, имеет ли исходный ряд тренд. Для этого проводится спектральный анализ исходного ряда.
На рис.1 показан спектр исходного ряда, по которому видно, что в ряде присутствует тренд.
Б.)Для того чтобы оценить тренд параметрическим методом подберем гладкую функцию, описывающую долгосрочную тенденцию исходного ряда.
На рис.2 - график исходного ряда и линейный тренд описывающий его тенденцию. Наш временной ряд имеет тенденцию к росту.
В.) Теперь, определив тренд, нужно его удалить вычитанием из исходного ряда.
На рис.3 показан график исходного временного ряда только уже без тренда.
3.1.2.Оценка и удаление сезонной компоненты.
А.) Выяснение наличия сезонной компоненты в ряде с удаленным трендом производится, как и в случае тренда, с помощью спектрограммы. Смотрится спектр ряда с удаленным трендом и выясняется наличие или отсутствие сезонности. В случае ее наличия также по спектрограмме находится период колебаний и потом удаляется сезонная компонента.
На рис.4 представлена спектрограмма ряда с удаленным трендом.
Б.) По спектрограмме видно, что в данном ряде сезонность отсутствует. Теперь можно приступать к моделированию случайного стационарного процесса (ССП).
Мы проведем моделирование ССП методами АРСС и АРПСС, а потом выберем наиболее верный.
А.) Модель АРСС строится на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой. Сначала выясняют порядки p и q. Для того, чтобы их выяснить, строят коррелограммы АКФ для нахождения q и ЧАКФ для нахождения p. Их строят на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой.
На рис.5 показана коррелограмма АКФ, на рис.6 – ЧАКФ. С помощью этих коррелограмм и эмпирического поиска наименьшей среднеквадратичной ошибки мы определяем неизвестные параметры: p=2, q=1.
Теперь можно приступать к моделированию ССП методом АРСС.
На рис.7 смоделирован ССП методом АРСС с параметрами p=2, q=1 и среднеквадратичной ошибкой 1,5822. Дальнейшее преобразование в прогноз временного ряда осуществляется сложением тренда и смоделированного ССП (рис.8).
| Дата | Прогноз |
| 14.12.2001 | 97,8013 |
| 17.12.2001 | 98,6445 |
| 18.12.2001 | 99,4309 |
| 19.12.2001 | 100,154 |
| 20.12.2001 | 100,809 |
| 21.12.2001 | 101,397 |
| 24.12.2001 | 101,921 |
| 25.12.2001 | 102,383 |
| 26.12.2001 | 102,791 |
Порядок мы определили: d=1. Но порядки p и q трудно определить по нашим коррелограммам, и поэтому мы их определяем эмпирическим методом по наименьшей среднеквадратичной ошибке: p=1, q=2.
Теперь строим модель АРПСС.
На рис.11 построена модель АРПСС с параметрами p=1, d=1, q=2. Среднеквадратичная ошибка равна 1,6853. прогноз на 26.12.2001 равен 99,429.
| Дата | Прогноз |
| 14.12.2001 | 97,179 |
| 17.12.2001 | 97,539 |
| 18.12.2001 | 97,868 |
| 19.12.2001 | 98,17 |
| 20.12.2001 | 98,452 |
| 21.12.2001 | 98,715 |
| 24.12.2001 | 98,965 |
| 25.12.2001 | 99,202 |
| 26.12.2001 | 99,429 |
3.1.4.Установление адекватности модели.
Спектральный анализ остатков после моделирования АРПСС (рис.13) также говорит о том, что построенная модель является неадекватной.
Строить прогноз с помощью адаптивных моделей мы будем моделью Хольта.
| Дата | Прогноз |
| 14.12.2001 | 97,063 |
| 17.12.2001 | 97,211 |
| 18.12.2001 | 97,36 |
| 19.12.2001 | 97,509 |
| 20.12.2001 | 97,657 |
| 21.12.2001 | 97,806 |
| 24.12.2001 | 97,954 |
| 25.12.2001 | 98,103 |
| 26.12.2001 | 98,251 |
На рис.14 построена адаптивная модель Хольта нашего исходного ряда. Параметры адаптации следующие: Альфа=0,998, Гамма=0. Среднеквадратичная ошибка равна 1,6469. Прогноз на 26.12.2001 составляет 98,251. По спектру ряда остатков (рис.15) видно, что эта модель является неадекватной.
Мы рассмотрели три модели – АРСС, АРПСС, адаптивную модель Хольта. Все построенные модели являются неадекватными. Тем не менее мы должны выбрать наиболее подходящую, ту, которая дает наиболее правдоподобный прогноз.
Модель АРПСС содержит наибольшую из трех моделей среднеквадратичную ошибку. Да и график прогноза не очень хорошо вписывается в динамику всего предыдущего процесса.
Адаптивная модель Хольта содержит чуть меньшую среднеквадратичную ошибку, чем АРПСС, но график ее прогноза, во всяком случае, не лучше совпадает с общей динамикой, показывая менее крутой подъем индекса, чем на протяжении всего ряда.
Наиболее удачной я считаю модель АРСС. Она содержит, пусть не сильно отличающуюся, но наименьшую среднеквадратичную ошибку. Ее прогноз показывает рост индекса, причем он более или менее соблюдает динамику всего временного ряда, динамику роста.
Т.о. я останавливаюсь на прогнозе, сделанном с помощью модели АРСС (рис.16).
1. Задачи анализа временных рядов. Первоначальная обработка временных рядов.
2. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
Список использованной литературы
Существует множество математических моделей, посредством которых решаются те, или иные задачи. Во всех сферах деятельности человека важным моментом является прогнозирование последующих событий. Сейчас существует более 100 методов и методик прогнозирования, Условно их можно разделить на фактографические и экспертные. Фактографические методы основаны на анализе информации об объекте, а экспертные – на суждениях экспертов, которые получены при проведении коллективных или индивидуальных опросов.
1. Задачи анализа временных рядов. Первоначальная обработка временных рядов
Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:
1.определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов ci ;
3.подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков et , и статистически оценить параметры этой модели.
Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анализа временных рядов.
Временные ряды отражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входным параметром х является момент времени.
Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярко выраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется. Ряд можно описать уравнением вида
F (t) – детерминированная функция времени.
ET – случайная величина
Во временных рядах проводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияние некоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий.
Существуют моментальные и интервальные ряды. В моментальных рядах отражаются абсолютные величины, по состоянию на определенный момент времени, а в интервальных – относительные величины (показатель за год, месяц, и т.д.). Исследование данных при помощи рядов позволяет во многих случаях более четко представить детерминированную функцию. При этом рассчитываются базисные и цепные показатели (прирост, коэффициент роста, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, и др.). Под базисными показателями понимают, показатели, которые соотносятся к начальному уровню ряда. Цепные показатели относятся к предыдущему уровню.
Прогноз явлений по временным рядам состоит из двух этапов:
- Прогноз детерминированной компоненты.
- Прогноз случайной компоненты.
Обе проблемы связаны с анализом результатов парных экспериментов. В отличие от аппроксимации и интерполяции анализ временных рядов включает в себя методы оценки случайных компонент. Поэтому прогнозирование при помощи временных рядов является более точным.
Исследование рядов имеет большое значение и для технических, и для экономических систем.
2. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов
Одна из важнейших задач статистики - определение в рядах динамики общей тенденции развития.
Основной тенденцией развития называется плавное и устойчивое изменение уровня во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в выявлении общей тенденции в изменении уровней ряда, освобожденной от действия различных факторов.
Изучение тренда включает два основных этапа:
· ряд динамики проверяется на наличие тренда;
· производится выравнивание временного ряда и непосредственно выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.
С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнение интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания:
1. Метод укрупнения интервалов.
Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики является укрупнение интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов, к которым относятся уровни ряда динамики. Например, преобразование месячных периодов в квартальные, квартальных в годовые и т.д.
2. Метод скользящей средней.
Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью скользящей средней.
Скользящая средняя - подвижная динамическая средняя, которая рассчитывается по ряду при последовательном передвижении на один интервал, то есть сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. Таким образом, средняя как бы скользит по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.
При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни). И так, суть метода заключается в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды.
Скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, но недостатком метода является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, что ведет к потери информации. Кроме того, скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда.
Период скользящей может быть четным и нечетным. Практически удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующие:
; ; и т.д.
Полученные средние записываются к соответствующему срединному интервалу.
Особенность сглаживания по четному числу уровней состоит в том, что каждая из численных (например, четырехчленных) средних относится к соответствующим промежуткам между смежными периодами. Для получения значений сглаженных уровней соответствующих периодов необходимо произвести центрирование расчетных средних.
Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дает теоретических рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность.
3. Метод аналитического выравнивания.
Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. Логический анализ при выборе вида уравнения может быть основан на рассчитанных показателях динамики, а именно:
· если относительно стабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживание может быть выполнено по прямой;
· если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительно равны), можно принять параболу второго порядка;
· при ускоренно возрастающих или замедляющихся абсолютных приростах - параболу третьего порядка;
· при относительно стабильных темпах роста- показательную функцию.
Для аналитического выравнивания наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей: прямая (линейная), парабола второго порядка, показательная (логарифмическая) кривая, гиперболическая.
Цель аналитического выравнивания - определение аналитической или графической зависимости. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости; линейная, параболическая и экспоненциальная.
После выяснения характера кривой развития необходимо определить ее параметры, что можно сделать различными методами:
1) решением системы уравнений по известным уровням ряда динамики;
2) методом средних значений (линейных отклонений), который заключается в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части, и вводятся преобразования, чтобы сумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, например, в случае выравнивания прямой линии ;
3) выравниванием ряда динамики с помощью метода конечных разностей;
4) методом наименьших квадратов: это некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты , характеризующих тренд или ряд изучаемого явления.
Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ.
Для менеджера предпочтительно применение именно этого метода, поскольку он определяет закон, по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда. Однако его применение требует достаточных знаний в области высшей математики и математической статистики.
2.1 Экстраполяция тенденции как метод прогнозирования
Основа большинства методов прогнозирования - экстраполяция тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы или, другими словами, это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.
Экстраполяция, проводимая в будущее,- это перспектива, а в прошлое,- ретроспектива.
Предпосылки применения экстраполяции:
·развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;
·общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.
Экстраполяцию в общем виде можно представить так:
,
где - прогнозируемый уровень; - текущей уровень прогнозного ряда;
Т- срок экстраполяции; - параметр уравнения тренда.
При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации.
Упрощенные приемы целесообразны при недостаточной информации о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ряда или информация заданна только двумя точками: на начало и конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних показателях динамики, и можно выделить:
1. Метод среднего абсолютного прироста.
Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.
,
где t- срок прогноза; i- номер последнего уровня.
2. Метод среднего темпа роста.
Осуществляется, когда общая тенденция характеризуется показательной кривой
,
где - последний уровень ряда динамики; k- средний коэффициент роста.
3. Выравнивание рядов по какой-либо аналитической формуле.
Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактических данных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, имеет малую вероятность.
Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза:
, ,
где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ; - средняя квадратическая ошибка тренда; k- число параметров в уравнении; - расчетное значение уровня.
Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).
Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.
Адаптивные методы используются в условиях сильной колеблемости уровней динамического ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований.
Цель адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся моделей, способных учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущим членам данного ряда. ТС
Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции. В разных методиках прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно выделить:
1) метод скользящей средней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);
2) метод экспоненциального сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальной средней).
Скользящие средние представляют собой средние уровни за определенные периоды времени путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, а при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.
Особенность метода экспоненциального сглаживания в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых с определенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении таких средних, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средние.
Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.
Список литературы
1. А.О. Крыштановский. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья]
2. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для Вузов / Под. ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 1999.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. -Вып. 1, 2.
- Регрессионные модели прогнозирования
- Авторегрессионные модели прогнозирования (ARIMAX, GARCH, ARDLM)
- Модели экспоненциального сглаживания (ES)
- Модель по выборке максимального подобия (MMSP)
- Модель на нейронных сетях (ANN)
- Модель на цепях Маркова (Markov chains)
- Модель на классификационно-регрессионных деревьях (CART)
- Модель на основе генетического алгоритма (GA)
- Модель на опорных векторах (SVM)
- Модель на основе передаточных функций (TF)
- Модель на нечеткой логике (FL)
- Что еще.
Регрессионные модели прогнозирования
Регрессионные модели прогнозирования одни из старейших, однако нельзя сказать, что она нынче очень популярны. Регрессионными моделями являются:
- Простая линейная регрессия (linear regression)
- Множественная регрессия (multilple regression)
- Нелинейная регрессия (nonlinear regression)
Авторегрессионные модели прогнозирования
Это широчайший и один из двух наиболее широко применимых классов моделей! Книг по этим моделям много, примеров применения много.
- ARIMAX (autoregression integrated moving average extended), об этом написано чрезвычайно много. Основой основ является книга Box, George and Jenkins, Gwilym (1970) Time series analysis: Forecasting and control. Лучше читать на английском!
- GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity), здесь множество модификаций FIGARCH, NGARCH, IGARCH, EGARCH, GARCH-M.
- ARDLM (autoregression distributed lag model), об этом только в учебниках по эконометрике.
Модели экспоненциального сглаживания
- Экспоненциальное сглаживание (exponential smoothing)
- Модель Хольта или двойное экспоненциальное сглаживание (double exponential smoothing)
- Модель Хольта-Винтерса или тройное экспоненциальное сглаживание (triple exponential smoothing)
Модель по выборке максимального подобия
Это моя модель (model on the most similar pattern), на ряде задач показывает высокую эффективность. К рядам FOREX и бирж применять не стоит, проверяли, работает неважно. Ее описание можно найти в диссертации по ссылке выше, кроме того, можно скачать пример реализации в MATLAB.
Модель на нейронных сетях
Вторая из двух наиболее популярных моделей прогнозирования временных рядов. Лучшая книга с примерами, на мой вкус, Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. Книгу с примерами в MATLAB можно скачать по ссылке.
Модель на цепях Маркова
Модель на цепях Маркова фигурирует в множестве обзоров, однако мне не удалось найти ни хорошей книги, ни хорошей статьи о ее конкретном применении для прогнозирования временных рядов. Сама эту модель разбирала в курсе теории надежности (учебник Гнеденко), принцип ее расчета хорошо понимаю, кроме того, читала, что ее часто применяют для моделирования финансовых временных рядов.
Вопрос к аудитории: посоветуйте хорошую и понятную (!) книгу/статью по применению цепей Маркова для прогнозирования временных рядов.
Модель на классификационно-регрессионных деревьях
Вот тут материалов немного, но они есть. В частности, неплохая статья по применению этой модели для прогнозирования Hannes Y.Y., Webb P. Classification and regression trees: A User Manual for IdentifyingIndicators of Vulnerability to Famine and Chronic Food Insecurity.
Модель на основе генетического алгоритма
Вопрос к аудитории: посоветуйте хорошую и понятную (!) книгу/статью по применению генетического алгоритма для прогнозирования временных рядов.
Модель на опорных векторах
Модель на основе передаточных функций
Модель на нечеткой логике
Все эти модели принадлежат, на мой вкус, классу иезуитских. Например, опорные векторы (SVM) применяется в основном для задач классификации. Нечеткая логика где только не применяется, однако найти ее понятно описанное применение для прогнозирования временных рядов мне не удалось. Хотя в обзорах специалисты почти всегда ее указывают.
Итого
Моделей мы наберем с десяток, со всеми модификациями — два десятка. Хотелось бы, чтобы в комментариях вы не только высказывали мнение, а по возможности делали полезные ссылки на понятные материалы. Лучше на английском!
PS. Всех любителей FOREX и всякого рода бирж большая просьба не долбится ко мне в личку! Вы мне ужасно надоели!
Невозможно отрицать, что прогнозирование является исходной предпосылкой для проектирования вообще и финансового в частности. Инвестиционный проект в данном контексте можно рассматривать как про гнозную модель денежных потоков.
Динамическая прогнозная модель такого рода может быть построена на основе финансовой отчетности в среде экономических таблиц (EXCEL, Super CALK, Lotus. ). Основные тенденции динамики финансового состояния и результатов деятельности можно прогнозировать с определенной точностью, сочетая формализованные и неформализованные методы. В условиях крайней нестабильности экономической конъюнктуры финансовое прогнозирование может быть сведено к расчету вариабельного значения NPV, либо другого критерия эффективности в зависимости от меняющихся значений ряда параметров: объем производства, состав и структура затрат по различным видам деятельности хозяйственного субъекта. Прогнозирование основано на признании факта существования определенной зависимости (функции или константы) происходящих изменений показателей финансово-хозяйственной деятельности от одного отчетного периода к другому. Поскольку любая экономическая, а значит и финансовая система обладает инерционностью развития, то данную предпосылку следует считать вполне реалистичной. Финансовое прогнозирование осуществляется для решения задач стратегического планирования на среднесрочную и долгосрочную перспективу. При чем следует учитывать, что с увеличением лага прогнозирования возрастает и риск прогноза. Снизить его позволяет использование многовариантных имитационных расчетов с помощью ЭВМ.
Следует отметить, что методы статистического прогнозирования “осмысливают” лишь формализованную часть информации, тогда как большая её часть является слабо формализуемой, но очень важной для прогнозирования будущего состояния объекта, поэтому на практике эти методы следует рассматривать в сочетании с неформальными методами прогнозирования. Прогнозирование в риск-менеджменте представляет собой разработку на перспективу изменений финансового состояния объекта в целом и / или его различных частей. Прогнозирование - это частная специфическая функция субъекта управления в риск-менеджменте. Особенностью прогнозирования является альтернативность в построении финансовых прогнозов, поскольку многовариантная имитация позволяет снизить риск прогноза. Прогнозирование может осуществляться как на основе экстраполяции прошлого в будущее, так и на основе прямого предвидения изменений, когда эти изменения недетерминированы предыдущим ходом событий и могут возникать неожиданно. В первом случае используют прогнозирование помощью авторегрессионных зависимостей. Используя аппарат авторегрессионных зависимостей строят уравнение регрессии для прогнозирования параметра ( объема реализации, цен на сырье и материалы, уровня инфляции и т. д.) на основании данных о динамике этого показателя. Уравнение регрессии строится в следующем виде:
Yt= A0 + A1Yt-1 + A2Y t-2 + . + AkY t-k
Yt - прогнозируемое значение параметра Y в момент времени t;
Ai - i-й коэффициент регрессии.
Коэффициенты регрессии данного уравнения могут быть найдены методом наименьших квадратов. Соответствующая система уравнений будет иметь вид:
Где:j - длина ряда динамики показателя Y, уменьшенная на единицу.
Для характеристики адекватности уравнения авторегрессионной зависимости можно использовать величину среднего относительного линейного отклонения v:
Читайте также: