Метод фурье для уравнения свободных колебаний струны реферат

Обновлено: 06.07.2024

Тема 1 Свободные поперечные колебания струны. Стоячие волны.

Рассмотрим струну- тонкую гибкую упругую нить- длины l. Пусть в положении равновесия струна занимает отрезок [0, l] на оси Ох, причем в точках х=0 и х=l струна жестко закреплена и туго натянута. Если струна выведена из положения равновесия, она начинает колебаться. Предположим, что ее вывели из положения равновесия в начальный момент времени t=0; будем наблюдать колебание при t>0. Проведем через точку х=0

ось Ou, перпендикулярную оси Ох. Будем считать, что при t>0 каждая точка х струны может колебаться только в плоскости Oxu и только по перпендикуляру к оси Ох ( такие колебания называются поперечными колебаниями ). Через u(x,t) обозначим величину отклонения струны от положения равновесия в точке х и в момент времени t. График функции u=u(x, .) при фиксированном значении t называется мгновенным профилем струны (или мгновенным фото ).

В начальный момент времени струна может быть выведена из положения равновесия,

если ее оттянуть, придав ей некоторую начальную форму, и если точкам струны сообщить начальные скорости.

Предположим, что при t>0 на струну не действуют внешние силы; такие колебания называются свободными .

Функция u(x,t) является решением дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, линейного, однородного ( в дальнейшем мы узнаем, почему это уравнение еще называют гиперболическим уравнением):

Постоянная в правой части уравнения имеет физический смысл, она зависит от линейной плотности струны и от силы, с которой струна натянута.

Такое уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы из множества решений выделить одно, задаются начальные и (или) краевые условия; при этом исходят из физического смысла задачи:

то, что струна жестко закреплена на концах, приводит к КРАЕВЫМ условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0;

то, что в начальный момент струне придали некоторую форму, приводит к НАЧАЛЬНОМУ условию u(x,o)=(x) с некоторой известной функцией (x);

то, что в начальный момент времени точкам струны сообщили некоторые скорости, приводит к НАЧАЛЬНОМУ условию

c некоторой известной функцией (x).

Таким образом, надо решить следующую задачу

Эта задача называется первой краевой задачей для данного дифференциального уравнения (по краевым условиям первого типа , когда на концах струны задано именно значение функции, а не производной от нее). Ту же задачу иногда называют начально-краевой задачей (или смешанной, т.к. в дополнительных условиях на решение уравнения есть и начальные, и краевые).

Найдем сначала хотя бы одно решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) ( мы увидим в дальнейшем, что нами будет получено на самом деле бесконечное множество решений задачи (1)-(2)). Подчеркнем , что начальные условия (3)

мы пока использовать не будем.

Решение задачи (1)-(2) методом Фурье

Представим функцию u(x,t) в виде произведения функций X(x) и T(t), т.е. как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной из двух переменных x и t . В таком разделении переменных состоит смысл метода Фурье ;

и его иногда так и называют: метод разделения переменных . Итак, пусть

Дробь, стоящая в левой части этого тождества, не зависит от t, а дробь в правой части не зависит от x, и они связаны между собой знаком тождества. Отсюда заключаем, что каждая из этих дробей является постоянной. Нас будет интересовать (и мы объясним это в дальнейшем) только случай отрицательной постоянной. Так что

обозначим эту постоянную через - 2 (>0) и придем к двум обыкновенным (!) дифференциальным уравнениям.

Каждое из этих уравнений является однородным, линейным, имеет постоянные коэффициенты. Значит, мы найдем общее решение того и другого уравнения с помощью соответствующего характеристического уравнения, воспользовавшись теоремой о структуре общего решения дифференциального уравнения названного типа:

C i и K i — произвольные постоянные.

Напомним, что мы решаем не просто дифференциальное уравнение (1), а хотим найти решение, удовлетворяющее краевым условиям (2). Поэтому имеем (если хотим получить нетривиальное решение)

T(t) не зависит от х, поэтому краевые условия (2) никак не сказываются на T.

Каждому значению m соответствует своя функция X(x), поэтому мы получаем бесконечное множество решений X m (x)=C ( m ) sin(m/l)x первого из рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений. А при каждом найденном  m =m/l второе уравнение имеет решение

(Вместо постоянной С 2 в выражении для Х мы ввели для каждой функции X m (x) свою постоянную С ( m ) ).

[Если предположить, что вместо постоянной - 2 мы взяли, скажем, постоянную к=4, то корни характеристического уравнения r 2 -4=0 равны 2, так что Х(х)=С 1 e 2 x +C 2 e -2 x , X(0)=C 1 +C 2 , X(l)=C 1 e 2 l +C 2 e -2 l . Используя краевые условия для функции X(x), получим систему алгебраических уравнений

Это приведет нас к тривиальному (тождественно равному нулю) решению Х(х)0. Подставляя его в формулу (4), получим u(x,t)0. Такой результат мы будем иметь при любой неотрицательной постоянной k. С физической точки зрения он неинтересен, т.к. означает, что струна все время наблюдения при t>0 находится в положении равновесия, не колеблется] .

Теперь подставим найденные нами функции в формулу (4) ( при этом каждому значению m будет соответствовать свое решение задачи (1)-(2), которое мы обозначим

Преобразуем полученное для u m выражение. Сначала обозначим

Уравнение (1) является, как мы отметили ранее, линейным и однородным, поэтому сумма конечного числа решений этого уравнения тоже является его решением (принцип суперпозиции). Оказывается, что этим свойством при некотором дополнительном предположении может обладать и сумма бесконечного числа решений ( обобщенный принцип суперпозиции ): примем без доказательства, что

функциональный ряд u 1 (x,t)+u 2 (x,t)+..+u m (x,t)+…

сходится и его сумма (функция, которую мы обозначим через u(x, t)) — решение уравнения (1). (Подробнее про обобщенный принцип суперпозиции мы скажем в одной из следующих лекций.)

Решение смешанной задачи (1)-(3)

Итак, рассмотрим функцию

Коэффициенты остались неизвестными. В то же время мы еще не воспользовались начальными условиями (3). Чтобы применить начальное условие для частной производной функции u(x,t) при t=0, нам придется продифференцировать функциональный ряд в любом из соотношений (5). Примем без доказательства, что этот ряд можно дифференцировать

Напомним, что функции  и  известны по условию и что 0 тригонометрический ряд Фурье по ортогональной в интервале [0, l] бесконечной системе функций Поэтому коэффициенты и коэффициенты

являются коэффициентами Фурье и находятся по известным формулам

Мы получили, что

решение первой краевой (смешанной) задачи (1)-(3) имеет вид

Изучим каждый из членов ряда (функции u 1 (x, t), u 2 (x, t),…) , через которые выражается

В выражении для функции X m (x) возьмем постоянную C ( m )

равной единице. Тогда

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Как функция u m (x, t) зависит от х?

1)u m (x, t)0 при T m (t)=0, т.е. все точки струны одновременно проходят положение равновесия, когда

2)|u m (x,t)| достигает наибольшего значения, когда

т.е. все точки струны одновременно достигают наибольшего для каждой из них

отклонения от положения равновесия.

Колебание, имеющее два указанных свойства, называется стоячей волной .

Это название можно объяснить и так: в любой фиксированный момент времени t>0

струна имеет форму синусоиды(кроме тех моментов, когда струна проходит положение равновесия), в разные моменты времени ординаты лишь умножаются на некоторую постоянную, положительную или отрицательную.

Рис.1.2 u=X 1 (x) — чёрная линия

Рис1.3 y=X 2 (x) — чёрная линия

Рис.1.4 y=sin3x — чёрная линия

Мгновенные профили струны u 1 (x, ), u 2 (x, ), u 3 (x, ) при различных фиксированных значениях времени t>o см. на рисунках 1.2, 1.3, 1.4, соответственно.

Функция u(x, t) представляет собой наложение друг на друга стоячих волн (сумму бесконечного числа этих волн). Говорят, что u(x, t) является суперпозицией стоячих волн u m (x, t). Мы увидим в дальнейшем, что в связи с этим в любой момент времени, когда струна не находится вся в положении равновесия, она имеет сложную форму. Это

станет видно уже тогда, когда вместо суммы бесконечного числа стоячих волн мы рассмотрим сумму только первых двух-трех.

Узлы и пучности.

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Точки x, 0 0 остаются на оси Ox (не колеблются), называются узлами . Функция u 1 узлов не имеет; функция u 2 имеет один узел ; функция u 3 имеет два узла C ростом m число узлов растет.

Точки струны, которые в любой момент времени (кроме тех, когда струна проходит положение равновесия) отстоят от оси Ох дальше, чем все остальные точки струны, называются пучностями . Функция u 1 имеет одну пучность ; u 2 — две, х=(¼)l, х=(¾)l; u 3 — три, х=(¼)l, х=(½)l, х=(¾)l. С ростом m число пучностей растет.

Мы теперь хотим изучить, как функция u m (x, t) зависит от t. Чтобы это лучше понять, мы сначала вспомним о том, что такое периодические функции и гармонические колебания.

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени T, называемый периодом ( незатухающие колебания маятника, явление переменного тока и т.д.).

Величины, связанные с периодическими явлениями, по истечении периода T возвращаются к своим прежним значениям и, следовательно, представляют собой периодические (по времени t) функции :

Не считая постоянной, простейшей из периодических функций является синусоидальная величина

Asin(t+), где - частота,

Гармонические колебания — это периодические колебания по указанному закону

(или по закону Acos(t+), о котором мы здесь говорить не будем).

С помощью синусоидальных величин образуем более сложные периодические функции.

1. Сложим функции sin(½)t и ½sin(½)t. Эти функции имеют одинаковую частоту и в сумме дают синусоидальную величину той же частоты, равной ½.

Рис.1.5 y=sin(½)t — чёрная линия

2. Сложим функции sint и sin2t, имеющие разные частоты. Функция, представляющая собой сумму, остается периодической, но (!) перестает быть синусоидальной величиной.

Рис.1.6 y=sint — чёрная линия, y=sin2t — зелёная линия

Мы получим периодическую функцию, если сложим конечное (или бесконечное) число синусоидальных величин Asinkt c различными частотами. Но, как и в примере 2 (Рис.1.6), сумма этих величин не будет синусоидальной величиной.

Снова рассмотрим стоячую волну

Фиксируем значение x=x 0 , 0 0 гармонические колебания около положения равновесия; частота этих колебаний равна A m 0 - амплитуда колебаний.

Стоячая волна u n носит название n -ой гармоники. Чем больше номер гармоники,

тем больше частота колебаний по закону u= u n (x, t).

Как мы показали выше, сумма синусоидальных величин с разными частотами уже не является синусоидальной величиной. Так что колебания струны по закону , полученные с помощью суперпозиции функций u m (x, t),

являются колебаниями сложными, отличными от гармонических колебаний в каждой фиксированной точке струны.

Колебания струн музыкальных инструментов

Мы имеем формулу для величины отклонения струны u(x, t) от положения равновесия в точке х, 0xl, в момент времени t:

Коэффициенты находятся по формулам, указанным выше.

В ударных (рояль) и щипковых (арфа, гитара) инструментах струна совершает поперечные колебания. В щипковых инструментах колебания возбуждаются приданием струне некоторого начального отклонения u(x, 0)=(x) без начальной скорости ((x)0).

В ударных – ударом, придающим струне начальные скорости

без начальных отклонений ((x)0). Например, в рояле струна возбуждается ударом молоточка, обтянутого кожей.

Колеблющаяся струна вызывает колебания воздуха, которые человеческое ухо воспринимает как звук, издаваемый струной.

Высота тона зависит от частоты колебания, соответствующего этому тону. Сила тона (громкость) определяется его амплитудой. Самый низкий тон, который может создавать струна, определяется основной частотой . Это основной тон струны. Остальные тона, соответствующие частотам  2 ,  3 ,…, называются обертонами . Впервые на наличие в звуке кроме основного тона обертонов обратил внимание французский математик Жан Мари Дюамель (мы встретимся еще с его работами в одной из последующих лекций). Тембр звука (его окраска) зависит от присутствия наряду с основным тоном обертонов. В теории музыки объясняется, что наличие высоких обертонов, соответствующих u i (x, t), i>6, нарушает гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса.

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции:

Тогда коэффициенты при m=1, 2,… равны нулю, поскольку

Считая, что l=1, a=1, построить приближенно при t=1/3 мгновенный профиль струны.

Рассмотрим теперь первую краевую задачу с такими начальными данными, что все коэффициенты легко вычисляются, а ряд, в виде которого у нас представлена функция u(x, t), превращается в одно(!) слагаемое.

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции

(x)=sin2x, (x)0 и l=1, а=1.

Как в уже рассмотренной задаче, получаем, что коэффициенты

Так как sin2x — одна из функций ортогональной на отрезке [0, 1] системы , то

На Рис.1.2-1.10 изображены мгновенные профили струны в различные фиксированные моменты времени.

При t=¼ струна находится в положении равновесия:

Араманович И.Г. и Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Бином, 2009.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1999.

Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М., Мир, 1985.

Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и

ее приложениях , 1996

Трофимова т.и. курс физики

. свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания . в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что .

Кинетическая теория газов

Пегги Феникс Дабро

. ! Поперечное сечение . Фурье . колебания в действительности являются колебаниями . СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ Генераторы однородной “свободной . метод аккумулирования личной энергии – посредством механизма стоячих волн . стоячих волн создают n-мерную (n>3) сеть струн .

Основные периоды и этапы в развитии физики предыстория физики (от древнейших времен до ХVII в.)

. свете как поперечных волнах. 1665 . ввел представление о стоячих волнах. 1703 – . открыл продольные колебания струн и стержней . труд Ж. Фурье “Аналитическая . кристаллов метод ячеек (метод Вигнера . – Измерен магнитный момент свободного нейтрона (Л. Альварес, .

Домашний доктор

. покрыта струнами и . свободного . поперечном плоскостопии уплощается поперечный . производные нитрофурана, противотуберкулезные, . Метод электролечения, основанный на воздействии на больного электромагнитных колебаний с длиной волны . стоячей водой .

Вывод уравнения колебаний струны. Постановка начальных и краевых условий при решении однородных линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Построение графической модели колебания струны с жестко закрепленными концами.

Подобные документы

Доказывание существования счетного числа периодических по времени решений квазилинейного уравнения колебаний струны с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана на отрезке с непостоянными коэффициентами. Решение квазилинейного волнового уравнения.

статья, добавлен 27.05.2018

Свойства интегралов различных видов. Уравнение колебаний струны и мембраны, типы краевых условий. Распространение волн в пространстве. Преобразование Фурье и представление функций интегралом. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности.

курс лекций, добавлен 02.09.2013

Стоячие волны как особый случай интерференции, анализ причин возникновения. Рассмотрение способов вычисления абсолютной и относительной погрешностей собственных частот струны. Характеристика источников когерентных колебаний, знакомство с особенностями.

лабораторная работа, добавлен 28.06.2013

Алгоритмы решения уравнения колебания струны и уравнения теплопроводности. Преобразование формулы Даламбера к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Использование формулы Пуассона. Разработка программы с применением пакета Mathematica 5.0.

лабораторная работа, добавлен 30.10.2013

Исследование, на основе механико-математической модели, процесса взаимодействия частицы с волной. Диссипативный характер излучения. Воздействие волны на шарик. Уравнение движения шарика и струны. Определение энергетических соотношений струны и шарика.

статья, добавлен 14.08.2013

Уравнение Лагранжа, малые колебания двойного маятника. Преобразование Лежандра и уравнения Гамильтона. Численное моделирование хаотических колебаний. Построение математической модели двойного маятника в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений.

реферат, добавлен 20.11.2019

Доказательство существования свободных периодических колебаний стержня или балки с закрепленными концами. Свойства дифференциального оператора. Зависимость нетривиального решения стационарной задачи от времени. Условие нерезонантности на бесконечности.

статья, добавлен 27.05.2018

Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Начальные и граничные условия. Метод разделения переменных или метод Фурье. Нахождение функций, описывающих собственные колебания прямоугольных мембран.

курсовая работа, добавлен 11.11.2013

Основные задачи и уравнений математической физики. Уравнения гиперболического типа. Задача о свободных колебаниях струны. Решение однородного уравнения теплопроводности методом разделения переменных (Фурье). Решение уравнения эллиптического типа.

курсовая работа, добавлен 10.04.2017

Малые колебания вблизи положения равновесия. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний. Уравнение второго закона Ньютона. Энергия гармонических колебаний. Затухающие гармонические колебания. Характеристики колебательной системы.

Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде
—
произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая только от .

1) Найдем частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие граничным условиям (3).

Подставим в исходное уравнение .

Поделим обе части полученного равенства на

Пояснение: Получено равенство, левая часть которого зависит только от , а правая часть – только от . Функции разных переменных могут быть равны между собой только в том случае, если они равны какому то числу, константе, обозначается эта константа .

Получены два уравнения:
и , или, после преобразований

Рассмотрим первое из них. Необходимо найти нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям
.
Замечание: Это есть граничные условия .
Это задача Штурма-Лиувилля. Однако её может решить любой, изучивший курс дифференциальных уравнений.

(4)
— линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение:

Замечание: Не вдаваясь в подробности: .

Общее решение уравнения (4):
.
Определим значение коэффициентов и из условий .
1)

Подставляем в общее решение и получаем: .
2)

, иначе решением будет только .

— это, в зависимости от — собственные значения задачи.
Т.к. выполнение условий не зависит от коэффициента , то примем его значение равным 1.
Итак, нетривиальными решениями уравнения (4) являются функции
.

Решим уравнение , причем уже известно, что .

Общее решение уравнения (4):
.
Возвращаемся к поставленной задаче (1):
Функции

Являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3) .
Т.к. уравнение (1) линейно и однородно, то сумма частных решений

также является решением.
Теперь стоит разобраться с начальными условиями : .
1)

Замечание: Из теории рядов Фурье известно, что произвольная, кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье
, где .

Можно заметить, что (5) и (6) есть разложения в ряд Фурье функций и , а и — коэффициенты этих разложений, значит, их можно определить по формулам

Тема 1 Свободные поперечные колебания струны. Стоячие волны.

В начальный момент времени струна может быть выведена из положения равновесия,

если ее оттянуть, придав ей некоторую начальную форму, и если точкам струны сообщить начальные скорости.

Предположим, что при t>0 на струну не действуют внешние силы; такие колебания называются свободными .

то, что струна жестко закреплена на концах, приводит к КРАЕВЫМ условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0;

то, что в начальный момент времени точкам струны сообщили некоторые скорости, приводит к НАЧАЛЬНОМУ условию

c некоторой известной функцией (x).

Таким образом, надо решить следующую задачу

мы пока использовать не будем.

Решение задачи (1)-(2) методом Фурье

и его иногда так и называют: метод разделения переменных . Итак, пусть

обозначим эту постоянную через - 2 (>0) и придем к двум обыкновенным (!) дифференциальным уравнениям.

C i и K i — произвольные постоянные.

Напомним, что мы решаем не просто дифференциальное уравнение (1), а хотим найти решение, удовлетворяющее краевым условиям (2). Поэтому имеем (если хотим получить нетривиальное решение)

T(t) не зависит от х, поэтому краевые условия (2) никак не сказываются на T.

Каждому значению m соответствует своя функция X(x), поэтому мы получаем бесконечное множество решений X m (x)=C ( m ) sin(m/l)x первого из рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений. А при каждом найденном  m =m/l второе уравнение имеет решение

(Вместо постоянной С 2 в выражении для Х мы ввели для каждой функции X m (x) свою постоянную С ( m ) ).

Преобразуем полученное для u m выражение. Сначала обозначим

функциональный ряд u 1 (x,t)+u 2 (x,t)+..+u m (x,t)+…

Решение смешанной задачи (1)-(3)

Итак, рассмотрим функцию

являются коэффициентами Фурье и находятся по известным формулам

Мы получили, что

решение первой краевой (смешанной) задачи (1)-(3) имеет вид

Изучим каждый из членов ряда (функции u 1 (x, t), u 2 (x, t),…) , через которые выражается

В выражении для функции X m (x) возьмем постоянную C ( m )

равной единице. Тогда

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Как функция u m (x, t) зависит от х?

1)u m (x, t)0 при T m (t)=0, т.е. все точки струны одновременно проходят положение равновесия, когда

2)|u m (x,t)| достигает наибольшего значения, когда

т.е. все точки струны одновременно достигают наибольшего для каждой из них

отклонения от положения равновесия.

Колебание, имеющее два указанных свойства, называется стоячей волной .

Это название можно объяснить и так: в любой фиксированный момент времени t>0

Рис.1.2 u=X 1 (x) — чёрная линия

Рис1.3 y=X 2 (x) — чёрная линия

Рис.1.4 y=sin3x — чёрная линия

Узлы и пучности.

Пусть струна колеблется по закону u=u m (x, t).

Не считая постоянной, простейшей из периодических функций является синусоидальная величина

Asin(t+), где - частота,

Гармонические колебания — это периодические колебания по указанному закону

(или по закону Acos(t+), о котором мы здесь говорить не будем).

С помощью синусоидальных величин образуем более сложные периодические функции.

Рис.1.5 y=sin(½)t — чёрная линия

Рис.1.6 y=sint — чёрная линия, y=sin2t — зелёная линия

Снова рассмотрим стоячую волну

Стоячая волна u n носит название n -ой гармоники. Чем больше номер гармоники,

тем больше частота колебаний по закону u= u n (x, t).

являются колебаниями сложными, отличными от гармонических колебаний в каждой фиксированной точке струны.

Колебания струн музыкальных инструментов

Коэффициенты находятся по формулам, указанным выше.

В ударных – ударом, придающим струне начальные скорости

без начальных отклонений ((x)0). Например, в рояле струна возбуждается ударом молоточка, обтянутого кожей.

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции:

Тогда коэффициенты при m=1, 2,… равны нулю, поскольку

Считая, что l=1, a=1, построить приближенно при t=1/3 мгновенный профиль струны.

Пусть в задаче (1)-(3) известны начальные функции

(x)=sin2x, (x)0 и l=1, а=1.

Как в уже рассмотренной задаче, получаем, что коэффициенты

Так как sin2x — одна из функций ортогональной на отрезке [0, 1] системы , то

На Рис.1.2-1.10 изображены мгновенные профили струны в различные фиксированные моменты времени.

При t=¼ струна находится в положении равновесия:

Араманович И.Г. и Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Бином, 2009.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1999.

Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М., Мир, 1985.

Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и

ее приложениях , 1996

Трофимова т.и. курс физики

Кинетическая теория газов

Пегги Феникс Дабро

Основные периоды и этапы в развитии физики предыстория физики (от древнейших времен до ХVII в.)

Домашний доктор

Определим закон свободных колебаний однородной струны размером l (0 0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) заданы смещение равное φ(x) и его скорость равная ψ(x). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом

, (16.1)

(16.2)

. (16.3)

Будем искать нетривиальные частные решения уравнения (16.1), удовлетворяющие условиям (16.2) и (16.3), в виде произведения двух функций, зависящих только от одного аргумента X=X(x) и T=T(t), а именно

, (16.4)

Вычислив производные от (16.4) и, подставив их в уравнение (16.1), получим

(16.5)

. (16.6)

Равенство (16.6) выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.

. (16.7)

Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка

(16.8)

. (16.9)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (16.4), удовлетворяющие граничным условиям (16.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (16.10)

Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра l, которые, назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (16.9), которые соответствуют этим собственным значениям, назовем собственными функциями, удовлетворяющие граничным условиям (16.10). Задачу отыскания собственных значений и собственных функций называют задачей Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим три случая задачи (16.9), (16.10)

1) l 0.

В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид

удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим

В уравнении постоянная С₂ не может быть равной нулю, поскольку в этом случае, мы получим тривиальное решение задачи (16.9), (16.10) - Х(х) ≡ 0. Поэтому для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы выполнялось равенство , а оно выполняется только тогда, когда (n-любое целое число). Следовательно, нетривиальное решение задачи (16.9), (16.10) возможно лишь при собственных значениях l_n равных

. (16.11)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (16.12)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (16.9), (16.10).

Собственные значения (16.12) подставим в уравнение (16.8)

. (16.13)

Общее решение этого уравнения имеет вид

. (16.14)

Подставляя функции (16.12) и (16.14) в (16.4), найдем

, (16.15)

где a_n и b_n – произвольные постоянные.

Эта функция удовлетворяет уравнению (16.1) и граничным условиям (16.3) при любых коэффициентах a_k и b_k. В силу линейности и однородности уравнения (16.1) всякая конечная сумма решений (16.15) также будет решением уравнения (16.1), поэтому можно записать

. (16.16)

Для определения значений постоянных a_n и b_n необходимо воспользоваться начальными условиям (16.2). Удовлетворяя в решении (16.16) первому из условий (16.2), получим

. (16.17)

Это равенство представляет собой разложение функции φ(x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная a_n является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле

. (16.18)

Для определения коэффициента b_n, вычислим производную по t от функции (16.16)

и удовлетворим в решении (16.16) второму из условий (16.2), в результате получим

. (16.19)

Это равенство представляет собой разложение функции ψ(x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная b_n является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле

. (16.20)

Таким образом, ряд (16.16) полностью определяет решение исходной краевой задачи (16.1)-( 16.3).

Пример 16.1. Определить закон свободных колебаний однородной струны единичного размера (0 0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) начальное смещение равно нулю, а его скорость равна x=(1-х). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом

, (П16.1.1)

, (П16.1.2)

. (П16.1.3)

▲Будем этой задачи, будем искать в виде (16.4)

, (П16.1.4)

Вычислив производные от (П16.1.4) и, подставив их в уравнение (П16.1.1), проведя вышеописанные преобразования, получим два уравнения для нахождения функций X=X(x) и T=T(t)

(П16.1.5)

. (П16.1.6)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (П16.1.4), удовлетворяющие граничным условиям (П16.1.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (П16.1.7)

Общее решение уравнения (П16.1.6) имеет вид

удовлетворяя граничным условиям (П16.1.7), получим

Нетривиальное решение задачи (П16.1.6), (16.1.7) возможно лишь при собственных значениях λ_n равных

. (П16.1.8)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (П16.1.9)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (П16.1.6), (П16.1.7).

Собственные значения (П16.1.8) подставим в уравнение (П16.1.5)

Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П16.1.10)

Подставляя функции (П16.1.9) и (П16.1.10) в (П16.1.4), найдем

. (П16.1.11)

Для определения значений постоянных a_n и b_n воспользуемся начальными условиям (П16.1.2). Удовлетворяя в решении (П16.1.11) первому из условий (П16.1.2), получим

Следовательно, постоянная a_n =0

Для определения коэффициента b_n удовлетворим в решении (П16.1.11) второму из условий (П16.1.2), в результате получим

Это равенство представляет собой разложение функции x(1-х) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная b_n является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле

.(16.20)

Вычислим оба интеграла

подставим найденные интегралы в (16.20)

Подставив найденное значение коэффициента b_n в решение (П16.1.11), получим окончательный вид решения исходной задачи

.▲

Пример 16.2. Струна, закрепленная на концах x=0 и x=l, имеет в начальный момент форму параболы . Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

▲ Запишем волновое уравнение