Матрица планирования эксперимента реферат

Обновлено: 08.07.2024

Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования… Читать ещё >

Математические методы планирования экспериментов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

СОДЕРЖАНИЕ планирование эксперимент модель

ВВЕДЕНИЕ
1 Общие сведения о планировании эксперимента

2 Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков

2.1 Общие положения о планировании второго порядка
2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка
2.3 Рототабельные планы второго порядка

Цель планирования эксперимента — нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

1. Общие сведения о планировании эксперимента

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ — Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране — в трудах Г. К. Круга , Е. В. Маркова и др.

Черный ящик — объект исследования, имеющий (k + p) входов и m выходов.

Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1):

Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство — факторным пространством.

Рисунок 2 — Поверхность отклика

Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение:

где — перемешнные факторы при i=1,…, k; u=1,…, k; iu;

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с .

На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов, и данный полином заменяется уравнением вида:

которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении означает модельное, т. е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т. е.

В регрессионной модели члены второй степени, характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью.

Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным.

Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента.

Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов.

2. Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения:

Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:

Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов:

· выбор основных факторов и их уравнений;

· планирование и проведение собственного эксперимента;

· определение коэффициентов уравнения регрессии;

· статистический анализ результатов эксперимента.

2.1 Общие положения о планировании второго порядка

Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6).

В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное. Так, при их 27, а число коэффициентов, при число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.

Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т. д. , описываемую в общем виде уравнением:

Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т. е. факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5−9-6), (1−9-4) и т. д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.

Рисунок 3 — Планы второго порядка при: а — ортогональный;

б — рототабельный Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ, а при — дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

1) добавить (2 — k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства где — звездное плечо, или расстояние до звездной точки;

2) провести опытов при значениях факторов в центре плана.

При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:

При этом величина звездного плеча и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана.

Общие черты эксперимента и наиболее распространенные типовые задачи исследования. Составление линейных планов. Матрица планирования эксперимента, объект исследования. Построение и анализ уравнений регрессии при линейном и композиционном планировании.

Рубрика	Экономико-математическое моделирование
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	18.03.2013
Размер файла	887,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Построение и анализ уравнений регрессии при линейном планировании

Построение и анализ уравнения регрессии при композиционном планировании

Список использованных источников

Эксперимент в ходе развития науки выступал мощным средством исследования явлений природы и технических объектов. Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования. Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент, возникло не случайно, а является следствием достигнутого уровня и масштаба экспериментальных работ на современном этапе развития науки и техники. Этот этап с рассматриваемой точки зрения характеризуется ростом общего числа проводимых экспериментальных работ; увеличением количества специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью; существенным усложнением объектов исследования и используемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; настоятельной необходимостью всемерного увеличения эффективности и улучшения качества проводимых исследований; начавшимся процессом внедрения средств и систем автоматизации эксперимента.

Из всего сказанного понятна закономерность появления нового научного направления: теории планирования эксперимента как методологической основы современных экспериментальных исследований.

Предмет исследования научного направления очевиден -- эксперимент. Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

контролировать любой эксперимент, т. е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;

определять точность измерительных приборов и получаемых данных;

уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;

проверять правильность (приемлемость) полученных результатов и их точность;

выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Конечно, даже при наличии сформулированных общих черт эксперимент не стал бы предметом отдельной науки, если бы задачи, решаемые различными исследователями, не имели ничего общего и полностью определялись спецификой той области знаний, где они работают.

Однако это не так. Оказывается, можно выделить типовые задачи исследования, с которыми приходится сталкиваться каждому экспериментатору. К основным, наиболее распространенным типовым задачам исследования обычно относят:

получение некоторых предварительных сведений о процессе (обработка литературных данных, опросы специалистов и анализ результатов опросов, отсеивающий эксперимент);

получение формульных зависимостей;

проверку гипотез, т. е. некоторых содержательных предположений о свойствах объекта;

оптимизацию свойств изучаемого объекта (определение оптимальных соотношений, слежение за оптимумом и т. д.).

Можно сказать, что теория планирования эксперимента в основном предназначена для решения типовых задач исследования (типовые приемы для типовых задач). Они не предназначены для получения кардинально новых данных о свойствах природы, совершения научных открытий (хотя такая возможность и не исключается). Теория планирования эксперимента может во многом облегчить работу экспериментатора, повысить ее эффективность при проведении обычных экспериментов, т. е. экспериментов, которые составляют подавляющую часть современной экспериментальной деятельности ученых и инженеров.

Математическим аппаратом теории планирования эксперимента являются теория вероятностей, математическая статистика, а также некоторые разделы прикладной математики.

Исторически планирование эксперимента получило свое начало в работах Р. Фишера, а затем формировалось и превращалось в теорию под влиянием трудов Дж. Бокса и Дж. Кифера. Большое значение в становлении современной теории планирования эксперимента, ее обосновании, развитии и внедрении в практику имеют работы советских ученых В.В. Налимова, Е.В. Марковой, Г.К. Круга, В.Д. Федорова и других. В настоящее время идеи и методы планирования эксперимента находят широкое применение в самых различных областях науки и техники.

Отыскание экстремального значения функции нескольких переменных, для которой отсутствует аналитическое выражение, методами последовательного варьирования одной переменной при фиксированных всех остальных требует выполнения большого объема опытов. В этом отношении плодотворно использование методов математической теории планирования экспериментов, которые заключаются в выборе числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных, чтобы решить поставленную задачу с минимальными затратами и требуемой точностью. В терминах теории планирования экспериментов это можно сформулировать следующим образом: при неполном знании о так называемой функции отклика.

где хi - факторы - независимые переменные, которые можно варьировать при постановке опытов, надо оптимально, в некотором смысле, управлять экспериментом с тем, чтобы получить математическую модель и в итоге найти экстремум функции отклика.

В общем случае функцию отклика, аналитическое выражение которой неизвестно, можно представить уравнением регрессии

а в первом приближении - уравнением линейной регрессии

или неполным квадратическим уравнением

Составление линейных планов. Чтобы устранить недостатки классического регрессивного анализа, основными из которых являются корреляция между коэффициентами регрессии и трудности в оценке расчетных значений функции отклика, используют кодированные значения факторов

где zi - натуральное значение і-го фактора;

zi1и zi2 -соответственно нижняя и верхняя границы измерения величины zi(уровни ее стабилизации при проведении опытов).

Тогда значениям zi1и zi2соответствуют кодированные значения хі1=-1 и хі1=+1.

Матрица планирования эксперимента, строки которой содержат все сочетания факторов хі, при которых выполняем опыты приведена в таблице 1 для простейшего случая двухфакторного плана. Она лежит в основе построения планов полных факторных экспериментов (ПФЭ)первого порядка. Например, если число факторов k=3, то эту матрицу записываем дважды, сначала дополняя ее третьим фактором х3=-1, а затем х3=+1 (таблица 2). Для четырехфакторного плана дважды повторяется таблица 2, дополняемая х4=-1 (8 первых строк) и х4=+1 (8 последующих строк) и т.д.

Матрица планирования двухфакторного эксперимента

Объемкт исслемдования -- в науке под ним подразумевают главное поле приложения сил учёных. В одной науке (научном направлении) однако может быть несколько объектов исследований, которые составляют логически связанное существо и цель исследований в этой науке (научном направлении).

Таким объектом становится всякое непознанное явление, неизвестное ранее науке, или его часть, которое предполагает исследовать эта наука. Часто используется предварительное деление чего-либо неизвестного (непознанного) на логически обоснованные части явления. Это используется как вполне самостоятельный научный метод, если подобное деление возможно исходя из априори видимых признаков данного явления.

Первостепенное значение является наблюдение за объектом исследования. Если позволяет текущий уровень развития (состояние) данной науки и если это позволяет сам объект, вторым важнейшим способом изучения объекта исследования является эксперимент. Связать же наблюдаемые, известные и экспериментальные данные помогает как научная логика в сочетании с уже известными научными данными, так и особые правила, по которым в науке выводятся гипотезы. Последние, в сущности, являются индуктивным (предсказательным) методом исследования. Однако в науке полезно использовать также дедуктивный (то есть, ретроспективный) метод, однако который ныне не слишком популярен у исследователей, кроме математики (и в практике криминалистики).

Сделать правильные научные выводы и построить корректные научные теории помогает давно отработанный научный метод.

планирование эксперимент исследование уравнение регрессия

Построение и анализ уравнений регрессии при линейном планировании

Ключевым агрегатом технологической линии приготовления кормовых добавок является смеситель предварительно измельчённых компонентов обогатительной смеси. Проведены исследования этого смесителя для установления рациональных параметров конструкции и режимов его работы .

На первом этапе исследований определена область факторного пространства, в которой неоднородность смеси (коэффициент вариации контрольного компонента в пробах, взятых из приготовленной обогатительной смеси) находится в пределах зоотехнического допуска. В качестве факторов рассматривали частоту вращения вала смесителя пв, мин.-1 (фактор ); ширину полувитков В, м (фактор ) и угол установки полувитков смешивающего органа к плоскости, перпендикулярной к оси вала смесителя, , град. (фактор ).. Уровни и кодовые обозначения этих параметров приведены в табл. 1.

Цель работы - рассмотреть основные положения теории планирования эксперимента и методы обработки результатов эксперимента
Ключевые слова
Эксперимент
Черный ящик
Фактор
Отклик
Планирование эксперимента
Матрица планирования
Метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ
Адекватность

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ 3
1. Классическое и современное представление об эксперименте 5
1.1 Классическое представление об эксперименте 5
1.2 Современное представление об эксперименте 6
2.Основные понятия и определения 7
теории планирования эксперимента 7
3. История и этапы развития теории планирования эксперимента 12
4. Этапы планирования эксперимента 14
5. Требования к выбору плана эксперимента 17
6. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 24

Файлы: 1 файл

иправ 2реферат планирование эксперим.docx

1. Классическое и современное представление об эксперименте 5

1.1 Классическое представление об эксперименте 5

1.2 Современное представление об эксперименте 6

2.Основные понятия и определения 7

теории планирования эксперимента 7

3. История и этапы развития теории планирования эксперимента 12

4. Этапы планирования эксперимента 14

5. Требования к выбору плана эксперимента 17

6. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 19

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 24

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Объем реферата 24 с, 3 рис, 5 источников

Объект исследования – планирование эксперимента

Цель работы - рассмотреть основные положения теории планирования эксперимента и методы обработки результатов эксперимента

Эксперимент
Черный ящик
Фактор
Отклик
Планирование эксперимента
Матрица планирования
Метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ
Адекватность

ВВЕДЕНИЕ

Простая истина состоит в том, что ни измерение,

ни эксперимент, ни наблюдение невозможны

без соответствующей теоретической схемы.

физик, иностранный член АН СССР

Методы научных исследований – это совокупность приемов и операций, с помощью которых исследователь получает достоверные сведения, используемых затем для практического или теоретического освоения действительности, подчиненных решению конкретной задачи. В процессе научного исследования широко применяют различные методы : общенаучные и конкретно - научные (частные). Общенаучные методы используются в теоретических и эмпирических исследованиях.

Рисунок 1- Методы исследований

Они включают в себя анализ, синтез, индукцию и дедукцию, аналогию и моделирование, абстрагирование и конкретизацию, системный анализ и формализацию, гипотетический и аксиоматический методы, создание теории, наблюдение и эксперимент (рис.1).

Известно, что новая наука может возникнуть, если существует объективная необходимость ее появления и имеется предмет новой науки, представляющий общенаучный интерес. Сказанное в полной мере относится и к теории планирования эксперимента. Предмет исследования этого научного направления — эксперимент. Однако для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

1) контролировать любой эксперимент, т. е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;

2) определять точность измерительных приборов и получаемых данных;

3) уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

4) составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;

5) проверять правильность (приемлемость) полученных результатов и их точность;

6) выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

7) анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

1 Классическое и современное представление об эксперименте

1.1 Классическое представление об эксперименте

Эксперимент с некоторым объектом проводится, чтобы построить или уточнить модель этого объекта, поэтому постановка эксперимента определяется имеющейся до опыта моделью. Отношение между экспериментом и моделью находятся в одном цикле и нельзя определить, что же было вначале. В изначальном смысле отношение между экспериментом и моделью такие же как и между курицей и яйцом: они находятся в одном цикле, сложно определить, что было "в самом начале".

Природу эксперимента хорошо понимали и понимают выдающиеся естествоиспытатели древности и современности. Приведем некоторые высказывания крупных ученых по этому поводу:

1.2 Современное представление об эксперименте

Современное понимание эксперимента стало шире классического, предусматривающего лишь количественные и однозначные измерения

Стало ясно, что есть наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры. Эти явления можно фиксировать с помощью качественных шкал и результаты учитывать в моделях.
Неотъемлемым свойством экспериментов является расплывчатость, для таких экспериментов разработан специальный математический аппарат.
Погрешность является неотъемлемым и неизбежным свойством эксперимента. Модели должны быть не только гипотезами об исследуемом объекте оригинале, но и гипотезами об ошибках измерения.
В современном эксперименте значительное место занимают статистические измерения. Для таких экспериментов используется математический аппарат теории вероятности.

2 Основные понятия и определения

теории планирования эксперимента

Как и в любом сформировавшемся научном направлении, в теории планирования эксперимента выработалась определенная система основополагающих понятий и терминов.

Объект исследования (ОИ) есть носитель некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств. Полагается, что исследователь обладает той или иной априорной информацией об объекте, хотя бы примерным перечнем переменных, влияющих па свойства объекта. [1]

1) входные контролируемые и управляемые переменные, которые исследователь может варьировать по своему усмотрению:

2) входные контролируемые, но неуправляемые переменные;

3) неуправляемые и неконтролируемые переменные;

4) выходные показатели (характеристика исследуемых свойств или качеств объекта )

В зависимости от того, какую роль играет переменная в процессе эксперимента, она может являться либо фактором, либо реакцией (откликом).

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер.

Факторы разделяются на количественные и качественные. Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т. д.

Факторы могут быть наблюдаемыми и управляемыми. Каждый фактор может принимать одно из значений, называемых уровнями.

Если фактор управляемый, то уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Такой эксперимент называют активным.

Факторы могут меняться во времени как детерминированные

( предопределенные) или случайные переменные. Пространство контролируемых переменных образует факторное пространство. Переменные группы Е (рис.3) есть некоторые мешающие переменные, причем характер их влияния на Y может быть двояким. Если мысленно представить себе, что факторы X и Z стабилизированы во времени, то под влиянием переменных Е показатели Y могут меняться достаточно систематическим или практически непредсказуемым, случайным образом. Тогда говорят о наличии случайной помехи, случайного шумового поля. При этом, как правило, полагают, что вероятностные свойства шумового поля не меняются во времени. По физическому происхождению к переменным прежде всего относятся ошибки измерительных приборов или методов анализа, а также неконтролируемые изменения сырья в промышленных объектах или изменения свойств вследствие старения или износа установок, влияние внешней среды, обслуживающего персонала и т. д., включая воздействие тех переменных, которые в принципе могли бы контролироваться экспериментатором, но не включены им в число исследуемых факторов (вследствие трудностей их измерения, по ошибке или незнанию). К переменным группы Е должны быть отнесены и такие, как квалификация экспериментатора, особенности используемого экспериментального оборудования и методологии измерений, уровень метрологического обеспечения, т. е. переменные, действия которых в данном конкретном эксперименте могут и не проявиться, но которые могут сказаться на стадии сопоставления результатов различных экспериментаторов, лабораторий и т. д. Выходную переменную Y — зависимую переменную объекта — часто называют откликом, зависимость отклика от рассматриваемых факторов — функцией отклика, а геометрическое представление функции отклика — поверхностью отклика. Отметим, что объектами исследования в практике планирования могут быть:

реальные физические объекты (схемы, устройства, лабораторные и промышленные установки и т. д.);
физические модели реальных объектов (модели информационных систем, электролитические ванны при анализе полей и т. д.);
математические модели реальных систем

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о свойствах объекта при исследовательских испытаниях [1].

Если мы только регистрируем события на выбранных входах и выходах, то такой эксперимент называется пассивным экспериментом (или наблюдением).

Если же мы не только созерцаем и фиксируем происходящее, но и воздействуем, по своему усмотрению можем изменять условия проведения, то такой называется активным экспериментом.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения мат ематической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при исследовании систем и процессов и при проектировании объектов и систем.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Опыт — это воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт — отдельная элементарная часть эксперимента.

Матрица плана — стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, а столбцы — факторам.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое- либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Инженерно-педагогический институт

Методы планирования экспериментов

Руководитель: доц. Гаджиев Т.С.

Махачкала 2017г

планирование эксперимент модель

1 Общие сведения о планировании эксперимента

2 Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков

2.1 Общие положения о планировании второго порядка

2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка

2.3 Рототабельные планы второго порядка

Список использованных источников

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

1 . ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛАНИРОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.

Черный ящик – объект исследования, имеющий (k + p) входов и m выходов.

(1)

Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством.

Рисунок 2 – Поверхность отклика

Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение:

(2)

где - перемешнные факторы при i =1,…, k ; u =1,…, k ; i u ;

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с .

На практике по результатам эксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида:

(3)

которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.

(4)

В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью [1].

2. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДИКИ СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ

(5)

(6)

Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов:

· выбор основных факторов и их уравнений;

· планирование и проведение собственного эксперимента;

· определение коэффициентов уравнения регрессии;

· статистический анализ результатов эксперимента [1].

2.1 Общие положения о планировании второго порядка

В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное . Так, при их 27, а число коэффициентов , при число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.

Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением:

. (7)

Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.

Рисунок 3 – Планы второго порядка при : а – ортогональный;

Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ , а при - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

1) добавить (2 – k ) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства где - звездное плечо, или расстояние до звездной точки;

2) провести опытов при значениях факторов в центре плана.

При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:

(8)

Читайте также: