Математика в авиации реферат
Обновлено: 25.06.2024
Многие считают, что математики оторваны от жизни. Эти многие ошибаются. Все технологии сегодняшнего дня без работы математиков были бы невозможны. Объясним почему и начнем с самолетов.
Основная математическая проблема турбулентности — создание системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая бы описывала произвольные турбулентные течения и которую можно было бы решать на современных компьютерах, — до сих пор не решена.
Поэтому в настоящее время на основе уравнений математической физики создаются полуэмпирические модели турбулентности, пригодные для описания лишь узкого класса течений.
Как определяются аэродинамические характеристики самолёта? В основном двумя методами: экспериментальным и расчётным. Для проведения экспериментальных исследований в аэродинамических трубах создают модели самолётов — уменьшенные в несколько раз копии оригиналов. Это связано с тем, что размеры аэродинамических труб не позволяют проводить испытания с реальными самолётами. Но данные, полученные на испытаниях модели в аэродинамической трубе, пересчитать в характеристики самолёта простым масштабированием, учётом коэффициента подобия модели и реального самолёта нельзя.
Дело в том, что уравнения, которым подчиняются характеристики течения, достаточно сложные. Если привести их к безразмерному виду, т. е. выразить все размерные величины в характерных для данного течения параметрах, то в уравнения войдут безразмерные величины, которые носят имена выдающихся учёных: число Маха, число Рейнольдса, число Струхала и др. Для строгого подобия необходимо, чтобы все эти величины совпадали при реальном полёте самолёта и при испытаниях модели в трубе. Но конкретные свойства воздушного потока, который используется в трубе, не позволяют выполнить все критерии подобия. Кроме того, и в случае закрытой, и в случае открытой трубы тот факт, что поток не безграничен, сказывается на аэродинамических характеристиках.
Возникает задача пересчёта с модели на натурный самолёт интегральных характеристик (суммарных сил и моментов) и распределённых характеристик (значения в конкретных точках давления, температуры и др.). Эта задача решается проведением численного расчёта уравнений математической физики для двух полуэмпирических моделей: самолёта в безграничном потоке и модели самолёта в аэродинамической трубе. Аэродинамические характеристики самолёта получают, добавляя к данным, полученным на испытаниях уменьшенной копии самолёта в аэродинамической трубе, разность однотипных данных, полученных для двух описанных полуэмпирических моделей.
Казалось бы, почему не произвести расчёт сразу, не прибегая к эксперименту? Дело тут в точности. Точность экспериментальных данных, полученных в хороших аэродинамических трубах, в несколько раз выше точности расчёта.
Ещё одна задача — создание автопилота, способного управлять движением самолёта без вмешательства лётчика.
За все эти проблемы отвечает математическая теория автоматического управления самолётом, базирующаяся в основном на теории дифференциальных уравнений. С помощью этой же теории создаётся математическая модель пространственного движения самолёта, исследуются вопросы устойчивости полёта.
Прочность. Мало создать самолёт с хорошими аэродинамическими данными, необходимо, чтобы он не разрушился в полёте, чтобы его ресурс (долголетие) был достаточно высок. За решение этой задачи отвечает наука, которая называется прочностью.
Методами прочности исследуются упругие и пластические деформации элементов конструкции самолёта, рост трещин в обшивке самолёта (в материале обшивки изначально присутствуют микротрещины, которые со временем могут расти), разрушение конструкции.
Математический арсенал для решения задач прочности включает классические и современные методы уравнений математической физики, дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, комплексного анализа, вычислительных разделов линейной алгебры.
Каждый, кто видел в иллюминаторе, как ведёт себя крыло самолёта в полёте, замечал достаточно большую амплитуду его колебаний. Дело в том, что для уменьшения амплитуды колебаний крыла необходимо увеличивать его вес, а у самолёта вес конструкций пытаются минимизировать. Поэтому от колебаний крыла избавиться на удаётся. Раздел механики, изучающий задачи математической теории колебаний и резонанса, — аэроупругость.
Методы решения. Обсудим методы решения математических задач, о которых говорилось выше.
Определяющие уравнения в реальных задачах очень сложны и априори невозможно понять, что получится при их решении.
В сильно упрощённых с практической точки зрения задачах иногда удаётся получить точное решение.
Большинство таких задач уже решено, хотя до сих пор находят неизвестные ранее точные решения уравнений Навье—Стокса или Эйлера. Но набор таких задач ограничен, и они далеки от практически важных задач.
В то же время исследование этих задач очень важно, поскольку точные решения создают физические образы — вихрь, пограничный слой и т. п., — из которых строится физическая картина изучаемого процесса, как из элементарных кирпичиков строится дом. Полученное представление о физике процесса позволяет среди множества математических моделей выбрать такую, которая в достаточной степени отражает свойства моделируемого процесса и даёт возможность технического поиска решения.
Один из способов решения — численный. Часто численное решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений.
Ещё один способ возможен при наличии в задаче малого параметра. Таким параметром может быть отношение хорды (ширины) крыла к его размаху, отношение вязких сил к инерционным (отношение силы трения между слоями газа к силе инерции этих слоёв), отношение ширины трещины к её длине. К настоящему времени развиты %асимптотические методы решения задач с малым параметром, которые изучаются в математической теории возмущений.
Приведём как пример решение задачи о подъёмной силе крыла большого удлинения (отношение квадрата размаха к площади крыла). Здесь два малых параметра — отношение вязких сил к инерционным и отношение хорды крыла к его размаху.
Благодаря первому параметру решение задачи можно определять не из уравнений Навье-Стокса (моделирующих движение газа с учётом трения между слоями), а из уравнений Эйлера (трение между слоями газа отсутствует). Благодаря второму параметру, каждое сечение крыла обтекается так же, как обтекалось бы крыло бесконечного удлинения с профилем, соответствующим профилю крыла в данном сечении. Тем самым задача обтекания трёхмерного крыла трансформируется в ряд более простых задач о двумерном (плоском) течении около профилей крыла.
Итак, благодаря этим двум параметрам задача стала намного проще, чем изначальная.
Требования к самолётам постоянно ужесточаются — экологические и экономические, по безопасности полётов и по комфорту пассажиров. Самолёты совершенствуются, во многом — благодаря математическим достижениям, которые воплощаются в технические решения.
Тема моего проекта выбрана неслучайно. Моя школа находится в лётном городке, многие мои одноклассники мечтают стать лётчиками. Мне стало интересно знает ли среднестатистический школьник о связи авиации с математикой. И я решил посвятить свою исследовательскую работу именно этому.
Актуальность проекта:
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику, в том числе и в авиационную.
Так ли актуальна теорема Пифагора сейчас.
В своём исследовании я выдвигаю следующую гипотезу:
Математика широко используется в авиации.
Цель исследования:
Изучить математические методы, которые используются в авиации.
Задачи исследования:
- опросить учащихся о их знаниях о связи с математикой;
- определить применение математики в авиации;
- сформулировать вывод и итоги исследования;
Объект исследования: Математика и авиация;
Методы исследования:
Поиск информации из различных источников.
Анкетирование и его результаты:
Среди учащихся 10-ых классов 52 человека. После анкетирования я получил такие результаты: 48 человек знают, что авиация связана с математикой, но при этом как именно они связаны знают только 12 человек.
Из Анкетирования мы поняли, что множество людей знают связь математики и авиации, но малое количество людей знают как именно оно связано. Благодаря анкетированию мы выявили актуальность моей работы. И попробуем выявить связь математики и авиации.
Прокладка и длинна маршрута:
Прокладка маршрута по полетной карте включает:
прокладку линии пути;
отметку основных точек маршрута; разметку путевых углов и отрезков пути по времени.
При прокладке маршрута необходимо учитывать радиус разворота самолета. Поворотные пункты маршрута в этом случае принимают за точки начала разворота на очередные участки маршрута. Для определения и нанесения точки начала разворота на карту рассчитывают линейное упреждение разворота - LUR по формуле:
LUR = R × tg
Где R=радиус разворота самолёта, а УР=угол разворота.
Задача: Самолёт должен сделать разворот на 45̊, радиус разворота 5500 м. Найдите линейное упреждение разворота.
Решение: LUR = 5500 * 1× =123750
Расчет длины маршрута производится по маршруту от аэродрома вылета до аэродрома назначения. Для этого необходимо сложить величины между основными точками маршрута. Соответственно S = S1+S2+S3…
Задача: Самолёт пролетает маршрут от Саратова до Самары, забирает груз и везёт его из Самары до Москвы, после чего летит обратно. Найдите длинну маршрута.
Решение: S = 435,5 + 1058,1 + 835,6 = 2329,2(км)
Ответ: 2329,2 км состовляет длинна пути самолёта.
Расчет топлива.
Экономичность полетов является важным показателем гражданской авиации. Поэтому большой практический интерес представляет определение тех условий полета, при которых обеспечивается наименьший расход топлива при наибольшей коммерческой загрузке. Одним из путей повышения экономических показателей является определение и выполнение полетов на наивыгоднейших высотах. Наивыгоднейшей называется высота полета, при которой обеспечивается наименьший суммарный расход топлива, то есть требуется меньшая заправка самолета перед вылетом.
При выполнении особо важных полетов, полетов на предельную дальность, технических рейсов и при открытии новых воздушных линий штурман воздушного судна совместно с инженером производят расчет полета. На основе исходных данных о протяженности маршрута и выбранном режиме полета производится расчет, по которому определяются:
-потребное количество топлива на полет;
-остаток топлива после посадки;
-необходимая заправка топливом;
-рубежи возврата и остаток топлива на них.
Для самолета ИЛ-76ТД требуется:
-топливо, расходуемое на запуск, прогрев двигателей и руление 0,7т;
-топливо, расходуемое при полете по кругу, посадке 2,0т;
-не вырабатываемый остаток топлива 2,0т;
-гарантийный запас топлива 10т.
При полете за 1 час самолет расходует 1 тонну топлива.
Задача: Рассчитать сколько денег уйдёт на топливо на полёт из Саратова в Москву на самолёте ИЛ-76ТД, если полёт будет длится 1,5 часа.
Решение: 1,5 + 0,7 + 2 + 2 + 10 = 16,2 т
С поправкой на навигационный запас в 5% получим примерно 17т
Средняя цена авиационного керосина примерно 44 000 рублей за тонну
44 000 × 17 = 748 000 рублей
Ответ: На полёт из Саратова в Москву на ИЛ-76ТД придётся потратить 748 000 рублей.
Если же мы допустим, что полёты совершаются два раза в неделю, то мы можем рассчитать стоимость полётов в месяц и в год, но нам нужно будет учесть, что самолёт не расходует всё топливо, поэтому возьмём идеальную ситуацию, где самолёт каждый раз будет расходовать минимальное количество топлива, тогда получим:
месячные затраты: (1,5+0,7+2) × 2 × 2 × 4 × 44000 = 2 956 800 рублей
годовые затраты: 2 956 800 × 12 = 35 481 600 рублей
Влияние авиации на экологию.
В последнее время ученые обеспокоены загрязнением атмосферы. Современные машины – одни из самых главных загрязнителей. Самолёт является одним из таких машин. Главный вред атмосфере приносят выбросы углекислого газа, и мы можем подсчитать сколько самолёт выбрасывает углекислого газа за один полёт, месяц и год.
Возьмём тот же самый самолёт и маршрут. При сгорании одного литра авиационного топлива выделяется более 2.5 кг углекислого газа, тогда:
За один полёт выделяется: 4,2 × 2,5 × 1351 ˜ 14185,5 кг.
За месяц: 14185,5 × 2 × 2 × 4 ˜ 226968 кг.
За год: 226968 × 12 ˜ 2723616 кг.
За один полёт выделяется столько же углекислого газа, сколько и при отоплении одного сельского дома год.
№ слайда 3
Математика в авиации В современной авиации существует много параметров, связанных с математикой. Это и размеры самолетов, высота, расстояние, скорость полета, количество грузов и пассажиров, заправка топливом. Без математики не обходится ни один из полетов самолетов. Расчет долговечности, надежности, ресурса и т.д. Это касается любой техники. Но для самолета особенно актуально. Разрушение отдельных элементов в любой технике приводит к аварии – в авиации, как правило, к катастрофе.
№ слайда 4
№ слайда 6
Зарождение аэродинамики Научный эксперимент - это был единственно возможный в то время путь исследования для оценки возможного значения подъемной силы при различных углах атаки , а также определения необходимой площади крыла и скорости полета , ведь аэродинамика как наука тогда еще не существовала, и лишь спустя 25-30 лет основы ее были заложены великим русским ученым Н. Е. Жуковским. Не было еще аэродинамических труб и аэродинамических весов для испытания моделей самолета. А. Ф. Можайский создал прибор - движущуюся тележку с прообразом аэродинамических весов. С помощью этого прибора можно было производить расчет лобового сопротивления и подъемной силы крыла самолета.
№ слайда 7
Труды Н. Е. Жуковского Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов и ракет. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX – начале XX в., могут ли летать аппараты тяжелее воздуха, был теоретически решен великим русским ученым, теоретиком авиации Н. Е. Жуковским. Пользуясь аппаратом чистой математики (теорией функций комплексного переменного), Н. Е. Жуковский вывел математическую формулу для подъемной силы, действующей на единицу длины крыла F – ρvΓ, где ρ – плотность воздуха, v – скорость движения крыла, а Γ – так называемая циркуляция (некоторая величина, зависящая от формы профиля крыла). Со времен Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики.
№ слайда 8
Флаттер. Что это такое? Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков и механиков нашей страны. Возьмем, например, проблему флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 50 – 80 м/с (200 – 300 км/ч). Оказалось, что при увеличении скорости в этом диапазоне при некотором критическом ее значении возникала сильная вибрация самолета, в результате которой самолет часто разрушался в полете. Явление вибрации при высоких скоростях назвали флаттером, и тайной этого страшного для пилотов явления занимались авиаконструкторы многих стран. Решить проблему флаттера удалось советскому математику и механику М. В. Келдышу, который математически показал, что флаттер имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой m и коэффициентом упругости k.
№ слайда 9
Природный резонанс флаттера Известно, что выведенная из равновесного состояния и предоставленная самой себе такая упругая система будет совершать гармонические колебания с частотой ω = (k/m)/2. Если же к массе M прикладывается внешняя сила, гармонически меняющаяся со временем с частотой ω1, то при ω1 = ω наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний, называемое резонансом. Чтобы избежать резонанса при движении крыла в воздушном потоке, М. В. Келдыш предложил соответствующим образом перераспределить массы вдоль крыла и так расположить упругие элементы, чтобы избежать совпадения собственных частот колебаний крыла с частотами вынуждающих внешних сил. Первые же полеты самолетов, усовершенствованных по рекомендациям М. В. Келдыша, дали прекрасные результаты. Итак, математика снова выручила авиацию.
№ слайда 10
Математическая модель В авиационно-космической промышленности разрабатываются очень сложные программы с точно заданными требованиями. Здесь очень важно, чтобы частота выявления ошибок проектирования стремилась к нулю. Инженерам необходимо оптимизировать процессы разработки продукции, чтобы ускорить внедрение технических новшеств и сократить время вывода продукции на рынок, не увеличивая при этом степень риска. Моделирование это изучение объекта путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели. Математические модели позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям.
№ слайда 11
Расчеты – основа авиации Расчеты - сердце инженерного проектирования в авиационной промышленности. Они определяют характеристики изделия, влияют на его качество. Расчеты служат первоисточником, когда что-то идет не так. Важнейшие инженерные расчеты, отвечающие за первостепенные задачи, сочетают интерполяцию исходных данных, учет требований к изделию, соблюдение математических законов и научных принципов. Результат - изделие высшего качества с исключительными характеристиками.
№ слайда 12
Проект – ключ создания самолета Математические расчеты присутствуют на всех этапах проектирования, производства и эксплуатации авиационной техники. Математика нужна везде. Ключевым элементом процесса создания самолета является его проект. Разработать проект современного самолета – это значит разработать полный комплект проектно-конструкторской и технологической документации, как при бумажной технологии, так и на машинных носителях, позволяющий осуществить создание самолета в металле и производить его эксплуатацию. Современные проекты самолетов создать без использования систем автоматизации невозможно.
№ слайда 13
САПР- система автоматического проектирования После определения цели проектирования, проектировщик формирует главную идею, то есть концепцию будущего самолета, намечая возможные варианты (альтернативы) решения проектной задачи, используя систему автоматизации проектирования. После выбора варианта в современных условиях с использованием критериев функциональности и стоимости, строятся математические и электронные (физические) модели, производится их функциональное описание, анализируются избыточные, недостающие и критические функции будущего самолета; определяются проблемы, требующие дополнительных научных исследований.
№ слайда 14
№ слайда 15
Анализ и принятие решений Завершающим результатом процесса проектирования (этапом проектирования) является анализ результатов исследований и выдача рекомендаций проектной организации для определения оптимального проектного решения и принятие решения на окончательную разработку проектно-конструкторской и технологической документации на изделие (самолет).
№ слайда 16
Математика и пилот В сложной и быстро меняющейся воздушной обстановке полета экипаж воздушного судна не всегда имеет возможность произвести точное определение интересуемого параметра с помощью измерительных инструментов или выполнить необходимые штурманские расчеты с применением различного рода навигационных устройств. Поэтому летчик или штурман, имеющий навык в расчетах в уме, может предохранить себя и воздушное судно от грубых ошибок при пилотировании в условиях нехватки времени.
№ слайда 17
Благодарю за внимание! Математика играет важную роль во всех видах исследований. Математика проникла в различные отрасли знаний, потому что предлагает четкие модели для изучения окружающей действительности. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
№ слайда 18
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Всё в мире физика и математика!
Всё от улыбки и до слёз,
И танец пчёл, и курс лунатика,
И снега хруст, и запах роз.
Развитие современной науки привело к тому, что человечество привыкло пользоваться математикой и физикой в повседневной жизни, не замечая этого. Родители рассчитывают бюджет семьи, бабушки научились следить за давлением и артериальным, и атмосферным. Каждый из нас знает и использует понятия: протяженность, площадь, объём, промежуток времени, скорость, температура.
Но математика и физика не могут существовать отдельно.
Свою жизнь я хотел бы связать с авиацией. Поэтому для меня главная задача - научиться с помощью математики в физике вычислять аэродинамические характеристики самолёта, чтобы убедиться в надёжности современных летательных аппаратов, и смело работать в будущем в гражданской авиации.
В данной работе выдвигается следующая гипотеза : математические приемы дают возможность в физике рассчитать значения величин, которые наука обнаружила в ходе экспериментов.
В наше время эта тема не теряет своей актуальности . Каждая самолётостроительная фирма стремится создать самолёт, превосходящий по качествам безопасности, экономичности самолёты конкурентов. Разработка новых моделей невозможна без взаимодействия математики и физики.
Цель работы : показать работу математики при решении физических задач в аэродинамике при расчёте подъёмной силы крыла самолёта.
Для этого необходимо выполнить следующие задачи:
познакомиться с разделом физики: аэродинамика;
изучить, от каких факторов зависит подъёмная сила;
расширить общекультурный кругозор в области математических знаний за счёт изучения новых понятий;
провести подбор необходимого материала для исследования данной задачи и оформления работы;
Объектом исследования являются математические задачи расчёта подъёмной силы, в которых используются значения площади крыла и скорости самолёта.
Методы, используемые в работе:
теоретические: изучение и обобщение собранных фактов;
эмпирические: проведение расчётов и сравнений.
1.Теоретические основы аэродинамики .
1.1. Способы передвижения по воздуху
А эродинамика — наука, изучающая взаимодействие воздушного потока и обтекаемого им тела.
В аэродинамике рассматриваются такие тела, как самолёты, ракеты, воздушно-космические летательные аппараты и автомобили.
Существует три способа движения по воздуху: аэростатический, реактивный, аэродинамический. Рассмотрим их подробнее.
Аэростатический – это отрыв от Земли, осуществляющийся при помощи тела, удельный вес которого ниже плотности атмосферного воздуха. Это воздушные шары, дирижабли, зонды.
Реактивный , представляющий собой грубую силу реактивной струи от сгорания топлива, позволяющую преодолеть силу земного притяжения.
Аэродинамический способ - это создание подъёмной силы, когда атмосфера Земли используется в качестве поддерживающей субстанции для аппаратов тяжелее воздуха. Именно такой способ используют птицы, а человек создал самолеты, вертолеты.
1.2. Основные силы, действующие на самолёт.
На самолёт при движении по воздуху воздействуют четыре основные разнонаправленные силы.
Сила тяжести - постоянная сила, которая притягивает самолёт к Земле.
Сила тяги, которая исходит от двигателя и двигает самолёт вперёд.
Сила сопротивления – противоположная силе тяги и вызывается трением, замедляя самолёт и уменьшая подъёмную силу крыльев.
Подъёмная сила, которая образуется тогда, когда воздух, движущийся над крылом, создаёт пониженное давление.
Для обозначения данных величин используется вектор . Вектор – направленный отрезок прямой. Условно вектора этих сил направлены вперёд, вниз и верх. Сила, толкающая самолёт вперёд, образуется за счёт двигателя, назад – это естественная сила сопротивления воздуха и вниз – земное притяжение. Ну, а не даёт упасть самолёту – подъёмная сила, образуемая воздушным потоком за счёт обтекания крыла.
Каждый человек хоть раз в жизни ощущал эту силу на себе, высунув ладонь из окна движущейся машины. При повороте ладони на небольшой угол относительно воздушного потока почувствуется, что помимо сопротивления воздуха появилась ещё одна сила, тянущая руку вверх или вниз (в зависимости от направления угла поворота). Угол между плоскостью ладони и направлением движения воздушного потока называется углом атаки. Управляя углом атаки, можно управлять и подъёмной силой.
2. Расчёт подъёмной силы самолёта.
Представим себе, что самолёт – это точка, которая движется по определённой траектории. Для смены этого направления необходимо ускорение. Оно создаётся за счёт подъёмной силы крыла.
Рассмотрим конкретно это понятие.
Подъёмная сила входит в состав аэродинамической силы. Она резко возрастает, когда меняется угол атаки.
Угол атаки—это угол, заключенный между хордой и направлением вектора скорости набегающего потока.
Поэтому могу с уверенностью сказать, что маневренность самолёта заложена в подъёмной силе.
2.1. Формула аэродинамики Н.Е. Жуковского.
Из истории авиации мы знаем, что впервые самолёт взлетел 17 декабря 1903года и продержался в воздухе 59 секунд, преодолев 260 метров.
Почему это не случилось раньше? Потому что учёные не знали, каким образом высчитать подъёмную силу и определить размер и форму крыла самолёта.
В 1904 русский учёный Н.Е. Жуковский открыл закон, определяющий подъёмную силу крыла самолёта, определил основные профили крыльев и лопастей винта самолёта, разработал вихревую теорию воздушного винта. В 1905 году им была выведена основная формула аэродинамики. Она показывает связь подъёмной силы с коэффициентом скорости движения и интенсивностью вихревого потока с площадью крыла.
Вихревой поток - это воздушное течение в виде возмущённых масс воздуха . Мы видим вихревые следы, образующиеся вследствие возникновения подъемной силы.
Площадь крыла – это площадь всех поверхностей, могущих создать подъемную силу, за исключением хвостового оперения.
– формула для расчёта подъёмной силы, где:
F – подъёмная сила крыла (Н);
C F – коэффициент подъёмной силы (зависящий от угла атаки);
S – площадь крыла (м 2 );
– плотность воздуха на высоте полёта (кг/м 3 );
V – скорость набегающего потока (м/с).
Для человека, увлеченного аэродинамикой, плотность воздуха, площадь крыла, скорость не вызывает вопросов, а вот коэффициент подъёмной силы не может быть однозначной величиной. Он будет меняться в зависимости от крыла, его удлинения, угла атаки.
2.2. Аэродинамические трубы.
В современном мире для определения коэффициента подъёмной силы используют два способа: экспериментальный и расчётный.
Аэродинамическая труба предназначена для того, чтобы создать условия полёта, только на земле. Один или несколько вентиляторов ставятся внутрь трубы, создавая воздушный поток. Меняя скорость ветра и его плотность, можно сымитировать взлёт, посадку, крейсерский режим, сверхзвуковой режим.
Для проведения экспериментального исследования в аэродинамических трубах создают модели самолётов - уменьшенные в несколько раз копии оригиналов.
Таким образом, исследуются аэродинамические характеристики, особенности обтекания, распределяются нагрузки на элементах модели, определяется возможная область флаттера (вредные колебания крыла в полёте) вплоть до скоростей и углов атаки и скольжения, на которых самолет летать не будет.
2.3. Крыло самолёта.
Крыло самолёта – эта основная несущая поверхность, создающая подъёмную силу.
Один из наиболее важных параметров крыла — его качество: так называют отношение подъёмной силы к силе сопротивления.
Для создания оптимального крыла решаются задачи вариационного исчисления.
Решение физических задач в аэродинамике при расчёте подъёмной силы крыла самолёта
Расчет избыточного давления
Интересно самому рассчитать, чему равно избыточное давление, благодаря которому возникает подъёмная сила. Исходя из формулы, избыточное давление вычисляется: силу тяжести разделить на площадь крыла.
Для данной исследовательской задачи мною был выбран самолёт ИЛ-62.
Из характеристик самолёта нам известно, что площадь поверхности крыла равна 280м 2 .
Этот пример показывает, что для взлёта самолёта достаточно создать небольшое избыточное давление.
Закон Бернулли
На следующем этапе работы учитель предложил рассчитать подъёмную силу крыла, обусловленную эффектом Бернулли.
Прежде, чем решить данную задачу мне необходимо было ответить на вопросы: Кто такой Бернулли? Какую формулу он предложил для вычисления подъёмной силы?
Закон Бернулли описывает зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Закон оказался кстати в начале ХХ века, когда зарождалась авиация.
Если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. Опираясь на него, стало возможным ответить на вопрос, как поднять в воздух летательный аппарат. Для аэродинамики закон Бернулли показывает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.
Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости.
Теперь можно приступить к решению задачи.
Необходимо узнать, чему равна подъёмная сила крыла Ан–4 дозвукового самолёта, если площадь крыла равна 72м 2 , а скорость потока воздуха над крылом и под ним равны соответственно 320м/с и 290м/с.
S = 72м 2 Уравнение Бернулли:
Подъёмная сила самолета Ан-4 приблизительно равна 850Н. Но надо заметить, что исследователи отмечают, что этот закон действует, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). При скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому.
В будущем хотелось бы это утверждение проверить самому.
Зависимость подъёмной силы самолета от площади его крыла и скорости
В дальнейшем процессе выполнения работы я решил познакомиться с характеристиками различных самолетов. Выбрал максимальную скорость и площадь крыла и занёс их в таблицу.
В современной авиации существует много параметров, связанных с математикой. Это и размеры самолетов, высота, расстояние, скорость полета, количество грузов и пассажиров, заправка топливом. Без математики не обходится ни один из полетов самолетов. Расчет долговечности, надежности, ресурса и т.д. Это касается любой техники. Но для самолета особенно актуально. Разрушение отдельных элементов в любой технике приводит к аварии – в авиации, как правило, к катастрофе. 2
Слайд 3: Математика в авиации
Возникновение авиации неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX – начале XX в., могут ли летать аппараты тяжелее воздуха, был теоретически решен великим русским ученым, теоретиком авиации Н. Е. Жуковским. Пользуясь аппаратом чистой математики (теорией функций комплексного переменного), Н. Е. Жуковский вывел математическую формулу для подъемной силы, действующей на единицу длины крыла F – ρvΓ, где ρ – плотность воздуха, v – скорость движения крыла, а Γ – так называемая циркуляция (некоторая величина, зависящая от формы профиля крыла). Со времен Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики.
Слайд 4: Зарождение аэродинамики
Научный эксперимент - это был единственно возможный в то время путь исследования для оценки возможного значения подъемной силы при различных углах атаки, а также определения необходимой площади крыла и скорости полета, ведь аэродинамика как наука тогда еще не существовала, и лишь спустя 25-30 лет основы ее были заложены великим русским ученым Н. Е. Жуковским. Не было еще аэродинамических труб и аэродинамических весов для испытания моделей самолета. А. Ф. Можайский создал прибор - движущуюся тележку с прообразом аэродинамических весов. С помощью этого прибора можно было производить расчет лобового сопротивления и подъемной силы крыла самолета.
Слайд 5: Труды Н. Е. Жуковского
Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов и ракет. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX – начале XX в., могут ли летать аппараты тяжелее воздуха, был теоретически решен великим русским ученым, теоретиком авиации Н. Е. Жуковским. Пользуясь аппаратом чистой математики (теорией функций комплексного переменного), Н. Е. Жуковский вывел математическую формулу для подъемной силы, действующей на единицу длины крыла F – ρvΓ, где ρ – плотность воздуха, v – скорость движения крыла, а Γ – так называемая циркуляция (некоторая величина, зависящая от формы профиля крыла). Со времен Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики. 5
Слайд 6: Флаттер. Что это такое?
Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков и механиков нашей страны. Возьмем, например, проблему флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 50 – 80 м/с (200 – 300 км/ч). Оказалось, что при увеличении скорости в этом диапазоне при некотором критическом ее значении возникала сильная вибрация самолета, в результате которой самолет часто разрушался в полете. Явление вибрации при высоких скоростях назвали флаттером, и тайной этого страшного для пилотов явления занимались авиаконструкторы многих стран. Решить проблему флаттера удалось советскому математику и механику М. В. Келдышу, который математически показал, что флаттер имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой m и коэффициентом упругости k.
Слайд 7: Природный резонанс флаттера
Известно, что выведенная из равновесного состояния и предоставленная самой себе такая упругая система будет совершать гармонические колебания с частотой ω = (k/m )/ 2. Если же к массе M прикладывается внешняя сила, гармонически меняющаяся со временем с частотой ω 1, то при ω 1 = ω наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний, называемое резонансом. Чтобы избежать резонанса при движении крыла в воздушном потоке, М. В. Келдыш предложил соответствующим образом перераспределить массы вдоль крыла и так расположить упругие элементы, чтобы избежать совпадения собственных частот колебаний крыла с частотами вынуждающих внешних сил. Первые же полеты самолетов, усовершенствованных по рекомендациям М. В. Келдыша, дали прекрасные результаты. Итак, математика снова выручила авиацию.
Слайд 8: Математическая модель
В авиационно-космической промышленности разрабатываются очень сложные программы с точно заданными требованиями. Здесь очень важно, чтобы частота выявления ошибок проектирования стремилась к нулю. Инженерам необходимо оптимизировать процессы разработки продукции, чтобы ускорить внедрение технических новшеств и сократить время вывода продукции на рынок, не увеличивая при этом степень риска. Моделирование это изучение объекта путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели. Математические модели позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям.
Математические расчеты присутствуют на всех этапах проектирования, производства и эксплуатации авиационной техники. Математика нужна везде. Ключевым элементом процесса создания самолета является его проект. Разработать проект современного самолета – это значит разработать полный комплект проектно-конструкторской и технологической документации, как при бумажной технологии, так и на машинных носителях, позволяющий осуществить создание самолета в металле и производить его эксплуатацию. Современные проекты самолетов создать без использования систем автоматизации невозможно.
Слайд 10: САПР- система автоматического проектирования
После определения цели проектирования, проектировщик формирует главную идею, то есть концепцию будущего самолета, намечая возможные варианты (альтернативы) решения проектной задачи, используя систему автоматизации проектирования. После выбора варианта в современных условиях с использованием критериев функциональности и стоимости, строятся математические и электронные (физические) модели, производится их функциональное описание, анализируются избыточные, недостающие и критические функции будущего самолета; определяются проблемы, требующие дополнительных научных исследований.
Слайд 11: Прикладная математика
Слайд 12: Анализ и принятие решений
Завершающим результатом процесса проектирования (этапом проектирования) является анализ результатов исследований и выдача рекомендаций проектной организации для определения оптимального проектного решения и принятие решения на окончательную разработку проектно-конструкторской и технологической документации на изделие (самолет).
Слайд 13: Математика и пилот
В сложной и быстро меняющейся воздушной обстановке полета экипаж воздушного судна не всегда имеет возможность произвести точное определение интересуемого параметра с помощью измерительных инструментов или выполнить необходимые штурманские расчеты с применением различного рода навигационных устройств. Поэтому летчик или штурман, имеющий навык в расчетах в уме, может предохранить себя и воздушное судно от грубых ошибок при пилотировании в условиях нехватки времени.
Последний слайд презентации: Математика и авиация: ИТОГ
Математика играет важную роль во всех видах исследований. Математика проникла в различные отрасли знаний, потому что предлагает четкие модели для изучения окружающей действительности. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Читайте также: