Математическое ожидание и дисперсия реферат

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

Лангепас 2021 г.

Организация-разработчик:

Разработчик:

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

ТЕМА : Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

ВИД ЗАНЯТИЯ : Лекция

ТИП ЗАНЯТИЯ : Изучение нового материала

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ :

1. Сформировать представление о понятии математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины, их сущность и свойства.

РАЗВИВАЮЩАЯ

Развить дальнейшее представление о дискретной случайной величине, внимание, мышление.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ

Воспитание аккуратности, интереса к изучаемой теме, эстетического оформления информации, информационной культуры.

ЗАДАЧИ ЗАНЯТИЯ :

1. предоставить информацию с использованием информационных технологий;

2. научить решать задачи.

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ:

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ:

1. Microsoft Word (текстовый редактор).

ОБОРУДОВАНИЕ: мультимедийный проектор, компьютер, интерактивная доска, кодоскоп.

Предварительная работа: Студенту поручено подготовить презентацию по новой теме о других характеристиках дискретной случайной величины.

Этап занятия

Действия преподавателя

Действия студентов

Показатели результативности

постановка целей и задач

Приветствие, проверка присутствующих

Форма: рассказ - вступление

Подготовить студентов к работе, создание мотивации учебной деятельности

Мобилизуются к работе

Полная готовность группы и быстрое включение в работу

Метод: контроль с помощью фронтального опроса;

Представление информации в виде презентации

Актуализация ранее полученных знаний, активизация внимания и памяти всех студентов на продуктивную работу

Просматривают презентацию, Отвечают на поставленные вопросы

Готовность студентов к активной деятельности

Изучение нового материала

Организует свое выступление Метод: объяснение нового материала. Представление информации в виде презентации.

Активизация внимания всех студентов на усвоение знаний нового материала.

Просматривают презентацию, конспектируют в тетрадь

Осознанное восприятие информации

Организует выступление студента

Метод: просмотр презентации

Выявление уровня усвоения знаний

Выступает с презентацией по новому материалу

Правильность и осознанность выступления

Закрепление нового материала

Краткий обзор по изученному материалу

Выявление умения осваивать изученный материал

Осознанное восприятие информации

Организует деятельность студентов

Метод: контроль усвоения материала через решения задач

Демонстрируют решение с помощью кодоскопа.

Максимальная самостоятельность при решении задач

Осознанное восприятие информации, ответы на задания

Дает задание на дом

Конкретизация домашнего задания

Записывают задание на дом, задают вопросы

Подводит итоги занятия в целом по группе и по студентам.

Определение перспектив последующей работы

Адекватность самооценки учащихся

Прежде, чем мы начнем дальнейшее изучение о дискретных случайных величинах, давайте вспомним основные определения:

(Презентация 1)

Что называется случайной величиной?

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает с определенной вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода испытания.

Что называется дискретной случайной величиной (ДСВ)?

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т.е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность или бесконечную последовательность

Что называется законом распределения случайной величины?

Соответствие между возможными значениями случайной величины Х и их вероятностями называется законом распределения случайной величины Х.

Какими способами может быть задан закон распределения случайной величины?

1. Табличное задание (дискретное).

2. Графическое задание.

3. Аналитическое задание.

Приступим теперь к изучению новой темы.

Студенты внимательно слушают, просматривают презентацию и конспектируют в тетрадь.

(Презентация 2)

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности :

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения (табл. 1).

По формуле (1) находим

Свойства математического ожидания :

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий (теорема сложения математических ожиданий):

M(X+Y) = M(X) + M(Y) .

3. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно линейной комбинации их математических ожиданий:

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий):

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, иначе такие величины называются зависимыми.

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения ДСВ. На практике часто приходится оценивать рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Преподаватель рассматривает пример со студентами и подводит их к следующей числовой характеристике – дисперсии.

Пример 2. Найти математическое ожидание случайных величин Х и Y , зная законы их распределения (табл.2, табл.3):

История понятия случайной величины. Закон больших чисел, расширение проблематики, связанной с ним в работах ученых. Введение математического ожидания и дисперсии в теорию вероятностей. Заложение основ теории случайных процессов на базе физических задач.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	29.12.2020
Размер файла	51,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Формирование понятия случайной величины

2. Закон больших чисел

Заключение
Список литературы

1. Формирование понятия случайной величины

Ведение понятия случайной величины связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.

Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел число появлений интересующего его события в независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной: числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше, он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия случайной величины.

Первая половина 19-го века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятии случайной величины. Прежде всего, это исследования бельгийского естествоиспытателя А. Кетле (1796-1874), заметившего, что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению. Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многих ученых; они также пришли к выводу о нормальном распределении этой величины.

2. Закон больших чисел

В 1909 г. Э. Борель для показал, что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г. это предложение на произвольное распространил итальянский математик Кантелли, что .

В 1935 г. Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительных случайных величин. Пусть последовательность неотрицательных случайных величин. Про суммы говорят, что они относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы , что при выполнено соотношение .

В случае одинаково распределенных величин Хинчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм . Ученик Хинчина А.А. Бобров распространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых.

Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И. Гливенко в работах, относящихся к 1929-1933 гг., когда он начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональных пространствах. Вершиной его результатов является замечательная теорема о сходимости эмпирических распределений к истинной функции распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.

3. Формирование математического ожидания и дисперсии

Понятие математического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теорию вероятностей очень рано: впервые оно появилось в переписке Паскаля и Ферма. В более явной форме оно было введено Гюйгенсом. Но в ту пору этому термину придавался смысл ожидания той средней цены, которую можно дать за приобретение случайной величины, дающей выигрыш с вероятностью .

Казалось бы, создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать изучение числовых характеристик случайных величин. Однако этого не случилось. Впрочем, для нормального распределения были введены понятия истинного значения и точности наблюдений; было известно, как их вычислять по плотности распределения. Таким образом, для этого частного случая уже была известна формула для вычисления математического ожидания и дисперсии.

Доказательство и формулировка теорем о математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин. Там же он привел и вывод своего знаменитого неравенства. При этом он предполагал как нечто самоочевидное, что речь идет о независимых величинах.

Понятие случайного процесса принадлежит прошлому столетию и связано с именами Колмогорова, Хинчина, Слуцкого, Винера (1894-1965). Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой.

20-ый век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено им от прошлого. В то время, как физика, инженера, биолога интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния. Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца 19-го начала 20-го века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрланга была начата новая важная область поисков, связанная с изучением загрузки телефонных сетей. Число абонентов изменяется во времени случайно, а длительности каждого разговора обладает большой индивидуальностью. И вот в этих условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетей, коммутационной аппаратуры и управляющих связью систем. Работы Эрланга оказали значительное влияние не только на решение чисто телефонных задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности, процессов гибели и размножения.

Во втором десятилетии двадцатого века начались исследования динамики биологических популяций. Итальянский математик Вито Вольтера разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов гибели и размножения.

Теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок, была разработана в 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским (1872-1917) и А. Эйнштейном (1879-1955). Позднее высказанные ими идеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений, так и в различных инженерных задачах.

Можно упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам. Во-первых, это работы А.А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работах Е.Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных функций. Оба эти направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов.

Обе упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов.

Но не общефилософское содержание является основным достоинством работы Колмогорова. В ней были заложены основы теории случайных процессов без последействия и получены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляют вероятностями перехода. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия, подробное развитие которой позднее было дано Феллером и Дубровским.

Построение другого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено Хинчиным. Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляций. Эта работа послужила основанием для последующих исследований Крамера, Вальда, Колмогорова и многих других ученых.

случайный математический ожидание дисперсия

Заключение

В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еще не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее компетенции. С таким же положением мы сталкиваемся и в теории случайных процессов. Этой теории еще не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались.

Теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю. Она наглядно показывает как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс. При этом мы увидим, как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым, открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещей.

Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований. Эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1997.

3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1994.

Подобные документы

Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

Представление доказательства неравенства Чебышева. Формулирование закона больших чисел. Приведение примера нахождения математического ожидания и дисперсии для равномерно распределенной случайной величины. Рассмотрение содержания теоремы Бернулли.

презентация [65,7 K], добавлен 01.11.2013

Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013

Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.

дипломная работа [388,7 K], добавлен 23.08.2009

Закон распределения суточного дохода трамвайного парка, оценка доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии суточного дохода. Особенности определения математического ожидания рассматривающейся случайной величины при решении задач.

курсовая работа [69,5 K], добавлен 02.05.2011

Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.

Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание . Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .

Доказательство . Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

			. . .		. . .
			. . .		. . .

Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , . , , . с прежними вероятностями , , . , , . т.е. закон распределения имеет вид

			. . .		. . .
			. . .		. . .

Тогда по определению математического ожидания .

3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что

Действительно, если и заданы рядами распределения

			. . .
			. . .
			. . .
			. .

то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:

					. . .
					. . .

Тогда

Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).

В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , . Их вероятности , , , . , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .

Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем

Предположим, что свойство 4) справедливо для случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.

Дисперсия случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения : .

Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания : .

Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим

Тогда формула (1) примет вид

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

Свойства дисперсии

Действительно, .

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

Доказательство . По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем:

Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство . Вначале докажем свойство для двух величин и .

И далее методом математической индукции.

Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : .

Действительно, .

Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Доказательство . Используя свойства 2) и 3), получаем

Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. .

Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.

Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах

Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.

Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

Размер обуви	Число мужчин старше 16 лет % к итогу	Накопление частности
До 37	1	1
38	5	6
39	12	18
40	23	41
41	28	69
42	21	90
43	8	98
44	2	100
и более	-
Всего	100

В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.

МЪ, = 1 /3; Мrj = 0; К$ц = М%х — • Мг| = 0 => г = 0 => M^rj = 0. Отсюда следует, что СВ? и г некоррелированы, но зависимы. Так как f (x, у) = f (x)f,(y), то СВХ и У независимы с маргинальными функциями распределения F,(jt) и Е>(у): Задача 2.35. Случайная величина (X, У) распределена с постоянной вероятностью в области D (рис. 2.14). Где КЧитать ещё >

Математическое ожидание и дисперсия линейной формы ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Определение 2.14. Выражение вида L = X а, Х, + Ь, где i =

= 1,…, п, — СВ, и h — const, называется линейной формой.

ML = X a, MX; + b — это следует из свойств MX. Для вычисления 1−1.

DL решим сначала более простую задачу нахождения DS", где S" = X Y_it Yj — СВ.

Обозначим MYj = т,. Тогда MS, = 'Em,; S" - MS" = E (Y,~ щ)',

так как S" = E^, X, отличается от L на константу b, которая не вли- 1=1.

яет на дисперсию DL. Таким образом,.

Из последней формулы очевидно, что для некоррелированных СВ дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Докажем теорему о коэффициенте корреляции r_XY.

Теорема 2.1 (о коэффициенте корреляции), a) _XY 0 => |r_Yy |

Пусть сначала | r_XY = 1. Тогда.

а ото линейная зависимость между X и У. Пусть теперь r_xy = -1. Тогда.

а это линейная зависимость между X и У, ч.т.д.

Рассмотрим задачи на исследование корреляции.

Задача 2.32. Дана таблица распределений. Найти MX, MY, DX, DY, r_Xv> K_XY.

Найдем маргинальное распределение СВ X:

Аналогично получаем MY = 2,2; DY = 2,56. Далее:

Задача 2.33. Проанализировать на зависимость и коррелированность СВ? и тр.

а) пусть СВ ?, и rj независимы, М; = А/? = 0, г| =? •?;
б) r| = - 1, СВ ^ - N (0, 1);
в) % = sin a; r = cos а, где СВ, а имеет ряд распределения

а) = Щn — Ml? Mr| = Ml% ~ Ml? Mr = Ml = Ml 1 Ml = 0 => CB % и rj некоррелированы, но зависимы.
б) Ml = 0; Ml 2 = Dl + (Ml) 2 =;Ml 3 = 0; M^ = 3H = 13 = 3;

Dr| = Mr| 2 — (Mr) 2 = M (l 2 — l) 2 = М (1* - 21 1 + 1) = 3 — 2 + 1 = 2; K_in = Ml л — Ml • Mr| = iV/e_n = Mc (l 2 — 1) = Ml 3 — Ml = 0−0 = 0. Следовательно, СВ? и r некоррелированы, но зависимы.

в) Составим маргинальные ряды:

МЪ, = 1 /3; Мrj = 0; К$_ц = М%х — • Мг| = 0 => ^г = 0 => M^rj = 0. Отсюда следует, что СВ? и г некоррелированы, но зависимы (10, "https://referat.bookap.info").

Задача 2.34. Пусть СВ X и Y связаны зависимостью F=2- ЗХ; МХ= -1; DX = 4. Найти MY, DY, г_хг, /С_АТ.

Задача 2.35. Случайная величина (X, У) распределена с постоянной вероятностью в области D (рис. 2.14).

Рис. 2.14. К задаче 2.35

Найти f (x, у), /|(л), f,(y), F (x, у). Исследовать СВ на зависимость. Найти К_ху.

Так как площадь области D равна 1, f (x, у) имеет вид.

Найдем маргинальные плотности распределения /,(х) и /₂(у) по формулам

Так как f (x, у) = f (x)f,(y), то СВХ и У независимы с маргинальными функциями распределения F,(jt) и Е>(у):

Из независимости СВ X и Yследует, что гху = К_хг = 0 и.

Задача 2.36. На отрезке [ 0; 11 зафиксирована точка а, Х — случайная точка на [0; 1 ], У-а — Х — расстояние между точками а и X. Найти r_XY, К_хг. При каком значении а г_ху = 0?

r_XY может равняться нулю, когда K_yv = 0, т. е. когда.

На отрезке [0; 1 ] единственный корень этого уравнения а = ½, при этом 0, =+jDY = 2/8−1/16−¼−1/12 >0, т. е. прия = ½ СВХи Кнекоррелированы.

Задача 2.37. Проводится серия из п опытов с вероятностью успеха в г-м опыте ру = Р (А), i = 1,п. X — общее число успехов в п опытах. Найти MX и DX в случаях: а) независимых опытов; б) зависимых опытов. Решение

а) Пусть X, — число успехов в i-м опыте.

свх= Zx, где — независимые СВ, поэтому i-l

Так как СВ X = ?Х" получаем f-i.

где К_{= K_X;Yi} = МХуХ_; — МХ, МХ-_Pii = P (X_i = 1, Xj = 1); МХу = _Pl; MX) = p- В частном случае, когда р, = р, р,_у = Р = const,.

б) Вычислим ряд распределения для СВ Х, Х_;, где X, и Х_> зависимы:

Задача 2.38. СВ X — H (N, М_> п). С использованием результата задачи 2.37 найти MX и DX.

Пусть для наглядности N — число различимых шаров в урне, из них М — белых, а п — число наугад извлеченных шаров из урны (шары извлскают из урны сразу п штук или последовательно по одному без возвращения). Пусть Xj — число белых шаров при г-м извлечении. Очевидно, ряд распределения для СВ X:

где р — вероятность для каждого шара быть белым, a q = 1 — р. Поэто;

му р = M/N; q = (N — M)/N. Легко видеть, что СВ X = ?Х" где СВ .

зависимы. Тогда, но результату задачи б в частном случае (p_t = р) имеем MX =пр = nM/N, a DX = npq + п (п — 1)(Р — р 2 ), где Р — вероятность того, что два извлеченных шара i-й и j-й оба белые, т. е. Р = Р (Х,= 1, Xj= 1) = … Поэтому.

Эти значения MX и DX совпадают с ранее полученными в задаче параграфа 2.2 результатами более трудоемкого непосредственного вычисления MX и DX для СВ X — H (N, М, п).

Контрольные вопросы и задания

1. Как проверить таблицу вида на ряд распрсдсле;

ния? Приведите примеры.

2. Приведите примеры точных и асимптотических связей распределений.
3. Докажите, что функция распределения задает закон распределения СВ.
4. Как восстановить ряд распределения дискретной СВ по ее функции распределения?
5. Покажите, что плотность распределения и функция распределения задают закон распределения непрерывной СВ.
6. Каков смысл условия нормировки и его использования при решении

7. В чем заключается использование таблиц нормального закона, т. е.
1

таблиц для приведенной нормальной плотности функции ф (.г) = -=е 2

_ V 2я и функции Лапласа вида Ф (дг) = | y (z)dz для решения задач исследования о.

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания. Пусть масса некоторого вещества распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , . x n . При этом каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу с вероятностью из p 1 , p 2 , . p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X, в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Число проданных экземпляров	Вероятность	Затраты
500	0,20	225000
1000	0,40	250000
2000	0,25	300000
3000	0,10	350000
4000	0,05	400000

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Число	Прибыль x i	Вероятность p i	x i p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Всего:	1,00	25000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли.

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение X	Вероятность
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятность
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y, как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е(х)=Е(y)=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
0, P=0,25	9500, P=0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
μ	500	500	500	500
σ²	0	2500	1250	500000
σ	0	500	354	7071

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E(X) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.

Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .

Закон распределения случайной величины:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D(X) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей. Закон распределения случайной величины:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

Дисперсия данной случайной величины:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы. Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием, обозначаемым или .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, плотностью вероятности которой является функция f(x), находится как величина интеграла

если он сходится абсолютно.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется величина интеграла

если он сходится.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Это наиболее простой пример, так как функция распределения вероятностей дифференцируется и интегралы находятся в нём весьма просто. Поэтому пример предлагается для самостоятельного решения.

Пример 10. Дана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.

Пример 11. Дана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.

Таким образом, функция плотности:

Математическим ожиданием данной непрерывной случайной величины будет следующий интеграл:

Этот интеграл найдём, интегрируя по частям. Для этого ведём следующие обозначения:

Таким образом, находим математическое ожидание:

Дисперсией непрерывной случайной величины будет следующий интеграл:

Его также найдём по частям. Введём обозначения:

Вновь интегрируем по частям. Вводим обозначения:

И находим дисперсию данной непрерывной случайной величины:

Пример 12. Дана непрерывная случайная величина. Её плотность вероятности при и при остальных значениях x. Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Сначала определим параметр с. Разбивая отрезок интегрирования на части, получаем

так как остальные два интеграла равны нулю вследствие равенства нулю плотности вероятности на этих интервалах. Следовательно,

При находим математическое ожидание искомой случайной величины:

(пределы интегрирования 0 и 10 установлены по тем же соображениям, что и при нахождении параметра с). Дисперсию вычисляем при a=5 и f(x)=0,1:

Читайте также: