Математические основы информатики реферат

Обновлено: 02.07.2024

маСодержание
Введение………………………………………………………………….2
1. Формы представления информации в компьютере……………..3
2. Двоичная система счисления…………………………………….10
3. Восьмеричная система счисления……………………………….14
4. Двоично-восьмеричная система…………………………………15
5. Двоично-десятичная система…………………………………….17
6. Кодирование данных двоичным кодом………………………….19
7. Кодирование целых идействительных чисел…………………. 21
8. Кодирование текстовых данных………………………………….22
9. Кодирование графических данных……………………………….26
10. Кодирование звуковой информации…………………………. 29
Заключение………………………………………………………………. 30
Список использованной литературы…………………………………….32

1. Формы представления информации в компьютере
Запись чисел с фиксированной точкой. При представлении в памяти компьютера чисел в естественной форме устанавливается фиксированная длинаразрядной сетки. Точку (запятую) можно зафиксировать в начале, середине или конце разрядной сетки. При этом распределение разрядов между целой и дробной частями остается неизменным для любых чисел. В связи с этим существует другое название естественной формы представления чисел - с фиксированной точкой (запятой). В современных компьютерах эта форма используется для представления целых чисел.Обычно целые числа занимают в памяти компьютеров один, два или четыре байта. Один, как правило, старший бит отводится под знак числа. Знак положительного числа "+" кодируется нулем, а знак отрицательного числа "-" - единицей. Целые числа без знака в двухбайтовом формате могут принимать значения от 0 до 216-1 (до 65535), а со знаком - от -215 до +215-1, т.е. от -32768 до 32767.

Достоинствами естественнойформы являются простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации операций, а, следовательно, простота устройств и высокая скорость выполнения операций; недостатком - конечный диапазон представления величин. Неудобство представления чисел в форме с фиксированной точкой проявляется при решении задач, в которых фигурируют как очень малые, так и очень большие числа.

Записьчисел с плавающей точкой. Обработка очень больших и очень маленьких чисел производится в экспоненциальной форме. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Поэтому представление в памяти чисел в экспоненциальной форме называется представлением с плавающей точкой (запятой). Любое число А в экспоненциальной форме представляется в виде:

где mA - мантисса числа, q -основание системы счисления, p - порядок числа.

Для однозначности представления чисел c плавающей точкой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

. Тематическое планирование Курс «Математические основы.

Математические основы информатики

Теоретическая база всякого научного направления строится на математических методах исследования. Этот подход имеет прямое отношение и к информатике. Математические основы информатики достаточно подробно изучаются в курсе 8 класса.

Теоретическая информатика включает следующие направления:

математическая логика;
вычислительная математика;
теория кодирования информации;
моделирование;
теория принятия решений.

Математическая логика

Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

К направлениям информатики, которые используют инструменты математической логики, относятся такие дисциплины, как:

теория алгоритмов — занимается изучением свойств и методов построения алгоритмов, для решения задач, по которым известны начальные условия и методы решения;
теория параллельных вычислений — изучает принципы построения параллельных вычислительных систем, построения математических моделей параллельных алгоритмов и программ;
теория автоматов — занимается изучением абстрактных вычислительных машин, представленных в виде математических моделей.

В 1936 году Аланом Тьюрингом была разработана абстрактная вычислительная машина, которую принято считать моделью современного компьютера. Машина Тьюринга, которая позволила описать понятие алгоритма, до сих пор используется в теоретических и практических исследованиях.

Рис. 1. Портрет Алана Тьюринга.

Вычислительная математика

Вычислительная математика — разрабатывает методы решения задач на компьютерах с использованием алгоритмов и программ. Она включает в себя дисциплины, которые занимаются созданием методов, ориентированных на реализацию вычислений в компьютерах. В более узком понимании это теория численных методов решения типовых математических задач. На ее основе строятся различные естественнонаучные дисциплины, вычислительная геометрия, вычислительная физика, вычислительная химия.

Теория кодирования информации

Теория кодирования специализируется на изучении и разработке методов представления информации в компьютере. Она разрабатывает подходы к измерению количества информации, изучает ее свойства. Теория информации опирается на методы теории вероятностей и математической статистики.

Рис. 2. Портрет Клода Шеннона.

Моделирование

Этот класс дисциплин занимается изучением и разработкой методов моделирования, для представления реальных объектов в виде математических моделей. Здесь используются приемы из теории подобия. Существует большое количество видов моделирования, особое внимание заслуживают:

имитационное моделирование — дисциплина, занимающаяся разработкой специальных приемов для описания физических процессов в реальных объектах в виде математических моделей;
теория массового обслуживания, которая специализируется на разработке специфических приемов разработки моделей передачи и обработки информации.

Теория принятия решений

В теории принятия решений разрабатываются общие схемы, задачи, направления при принятии решения. Включает в себя также:

теорию исследования операций, где разрабатываются способы организации различных процессов, которые ведут к получению нужных результатов.
теорию игр, которая занимается созданием ситуаций в условиях конфликта и противоречий для выработки единой оптимальной стратегии. Большой вклад в развитии теории игр внес американский математик Джон Нэш, лауреат нобелевской премии в области экономики.

Что мы узнали?

Теоретическую базу информатики составляют математические методы. Существуют различные направления теоретической информатики, в рамках которых изучаются и реализуются информационные процессы. Основу информатики составляют математическая логика, вычислительная математика, теория информации и кодирования, моделирование, теория принятия решений.

Математические основы информатики — сочетание слов странное, с какой стороны на него ни посмотри.

Если это про применение математических методов в информатике — а об этом, безусловно, предстоит вести речь, — то почему нет, например, математических основ физики или химии, где математика весьма изощренно используется уже столетия?

Если о том, что информатика как научная теория своим происхождением и развитием обязана математике, то, как повзрослевшее дитя, она давно уже выпорхнула из родового гнездышка, обзавелась пестрым оперением информационных технологий — и стоит ли поминать в этой ситуации старушку-мать, т.е. математику. Современное определение информатики как науки, изучающей информационные процессы в природе, технике и обществе, вообще не содержит и намека на какую-то связь с математикой.

Математические основы информатики

Разберемся по порядку. Основные информационные процессы, как известно, — это получение, хранение, передача и обработка информации. Именно их изучение и представляет собой основную цель информатики. Надо только еще сказать, что акцент делается на автоматизации этих процессов. Не случайно бытует мнение, что сам термин ИНФОРМАТИКА происходит от соединения слов ИНФОРмация и автоМАТИКА. Без указанного акцента информатика неизбежно становится сборищем фрагментов других научных дисциплин: семиотики, изучающей знаковые системы, лингвистики, изучающей закономерности языка как средства передачи информации, психологии, изучающей, в частности, процессы обработки информации человеком, этологии, изучающей поведение животных, архивоведения, формулирующего правила хранения информации, библиологии, занимающейся организацией хранения и поиска информации, и т.д. 1

Образование слова информатика

Получение информации

Пока человек получает информацию непосредственно из окружающего мира с помощью своих органов чувств, никакой автоматизации, а значит, и никакой информатики в этом нет. Но, для того чтобы сохранить эту информацию, чтобы передать ее другим людям (даже если это только его первобытные соплеменники), чтобы осмыслить ее, нужно тем или иным способом зафиксировать информацию. Возникает потребность в знаковой системе и, следовательно, в способах кодирования информации посредством такой системы. Постепенно выкристаллизовывались понятия языка и алфавита. Естественные языки, т.е. языки человеческого общения, не формализованы, а значит, и автоматизация представления информации с помощью таких языков была задачей неразрешимой. Первые существенные продвижения в формализации естественных языков связаны со становлением структурной лингвистики и знаменитыми именами Хомского, Щербы и др. Тем не менее и сегодня проблема формализации естественных языков далека от своего решения. Вполне возможно, что она просто неразрешима.

Какой же язык стал первым в истории человечества формализованным языком? Язык записи натуральных чисел. Четко определенный алфавит, состоящий из 10 цифр, четко фиксированные правила записи чисел с помощью этих цифр — записью натурального числа называется любая упорядоченная последовательность цифр, не начинающаяся с 0. Но, пожалуй, самое главное — однозначно определен смысл каждой такой записи: мы точно знаем, какое натуральное число она обозначает. Эти три свойства и указывают на формальный характер данного языка 2 . Ничего подобного мы не можем сказать о многих словах, скажем, русского языка. Что обозначает слово “лук”, или слово “звезда”, или слово “коса”?

Этот формальный язык впоследствии был расширен для записи обыкновенных, а затем и десятичных дробей, и, наконец, вещественных и даже комплексных чисел.

Итак, первые эффективные средства и методы формального кодирования информации оказались разработанными именно в математике. Информатика естественно восприняла их. Более того, соображения чисто технического характера привели к тому, что в алфавите формального языка, предназначенного для фиксации произвольной информации, осталось всего два символа, которые традиционно обозначают цифрами 0 и 1. Но информатика поставила в вопросах кодирования принципиально новые задачи: разработка кодов, предотвращающих искажение информации во время передачи по каналам связи, создание экономичных кодов (т.е. таких, которые для передачи или сохранения информации требуют минимального числа кодирующих символов), разработка методов кодирования, защищающих информацию от несанкционированного проникновения. Отвечая на эти вызовы, математики начали развивать методы, позволяющие решить эти задачи.

И снова информатика ставит задачи, связанные с существованием алгоритмов, исследованием их свойств, оценкой эффективности, доказательством правильности работы. Математическая подоплека кодирования информации и здесь естественным образом трансформирует эти задачи в математические 3 .

Эти и другие вопросы привели к тому, что в математике образовалось направление, названное дискретной математикой. Сегодня это самостоятельная бурно развивающаяся весьма обширная и разнообразная область математики. Те ее достижения, которые непосредственно связаны с информационными процессами, и образуют так называемые “математические основы информатики”.

А что же школьная математика? Имеется ли в ней место этим вопросам? Конечно, нет. Ведь курс школьной математики сформировался (и это остается краеугольным камнем его сегодняшней идеологии) как курс, обеспечивающий другие школьные предметы — в первую очередь физику — математическим инструментарием. У кого, к примеру, в реальной жизни хоть раз возникла необходимость решать квадратное уравнение или исследовать поведение какой-либо тригонометрической функции? Думаю, что практически ни у кого. Но квадратичная функция и квадратные уравнения нужны для того, чтобы в физике описывать равноускоренное движение, в частности, движение тела у поверхности Земли. А тригонометрические функции нужны для описания колебательных и периодических процессов. Информатика в школу пришла поздно — в середине 80-х годов. И пришла она в заключительное звено школьного образования — 10-е и 11-е классы. Для изложения ее математических основ ни времени, ни места в курсе школьной математики уже нет.

Конечно, если мы говорим о базовом курсе информатики, в котором едва-едва удается представить основные положения этой науки и познакомить с элементами информационных компьютерных технологий, то математические основы информатики вряд ли будут в нем адекватно востребованы. Но если говорить об информатике как профильном курсе, который ориентирован на знание, понимание и умение применять фундаментальные аспекты информатики, то без изучения математических основ этого добиться невозможно.

В наших лекциях речь пойдет именно о таких основах. И начнем мы, естественно, с вопросов, связанных с кодированием информации.

ГОСТ

Алгебра логики

Алгеброй логики является раздел математики, который изучает высказывания с точки зрения их логических значений, то есть, истинны они или ложны, и логические операции над ними.

Логическим высказыванием считаются повествовательное предложение, про которое можно точно утверждать, что оно является истинным или ложным.

Истинное высказывание принято обозначать символом единица (1), а ложное высказывание принято обозначать символом ноль (0).

Примеры логических высказываний приведены в таблице ниже:

Рисунок 1. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Математические и логические основы информатики

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 2. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Импликация может быть выражена при помощи дизъюнкции и отрицания:

Логическое тождество может быть выражено при помощи отрицания, дизъюнкции и конъюнкции:

A B = (¬А v B) ^ (¬B v А)

Определение значения логического выражения выполняется слева направо согласно таблице истинности и приоритету осуществления логической операции. Ниже приведена таблица истинности:

Рисунок 3. Таблица истинности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приоритет осуществления логической операции определяется согласно следующей таблице:

Рисунок 4. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Очерёдность осуществления логических операций может быть изменена при помощи круглых скобок.

Основные правила алгебры логики

Базовые правила алгебры логики, которые позволяют выполнять тождественные преобразования логических выражений, приведены в таблице ниже:

Рисунок 5. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Математический аппарат алгебры логики является очень удобным средством для описания работы аппаратного обеспечения компьютерного оборудования, так как там применяется двоичная система счисления, где есть только две цифры нуль и единица аналогично логическим постулатам. На этой основе можно сделать следующие выводы:

Одни и те же компьютерные модули можно использовать для сохранения и переработки как числовых данных, которые представлены в двоичном формате, так и для переменных алгебры логики.
При проектировании аппаратного обеспечения компьютеров методы алгебры логики дают возможность существенно упростить логические процедуры, которые описывают работу компьютерных схем. Это позволяет в разы сократить количество элементарных элементов логики, составляющих модули компьютера.

Формирование таблицы истинности

Как отмечалось выше, таблица истинности логического выражения отражает соответствие среди допустимых наборов значений переменных и значениями выражения (формулы). Если формула содержит только две переменные, то возможных наборов величин переменных будет четыре.

Когда в логическую формулу входят три переменные, то количество допустимых наборов значений переменных будет уже равно восьми.

Число наборов для выражений, имеющих четыре переменные, будет равняться шестнадцати и так далее. Для определения значений формулы, очень удобно использовать форму записи в виде таблицы, которая содержит помимо значений переменных и значений формулы ещё и значения промежуточных формул.

Обозначим высказывания следующим образом:

В таком случае исходное высказывание можно выразить так:

Выполнив необходимые преобразования, можно определить, что условию задачи удовлетворяет только имя Антон.

Читайте также: