Магнитный диполь потенциал магнитного поля реферат

Обновлено: 05.07.2024

Отсутствие магнитных зарядов означает, что силовые линии магнитного поля должны быть замкнутыми, и, следовательно, простейшим источником магнитного поля является магнитный диполь, создаваемый круговым током. Основной величиной, характеризующей магнитный диполь, является его магнитный момент $\vec m.$

Если ввести вектор $\vec a,$ равный по величине площади поверхности, ограниченной круговым током $I,$ и направленный вдоль оси $z$ по нормали к этой поверхности, то магнитный момент определяется выражением $$\vec m=\frac \vec a \text< (СГС),>$$ $$\vec m=I\vec a \text < (СИ). (2а)>$$ На расстояниях, значительно превышающих радиус витка с током, магнитное поле диполя равно $$\vec B(r)=\frac > > \text < (СГС),>$$ $$ \vec B(r)=\frac <\mu _<0>> <4\pi >\frac > > \text < (СИ). (3а)>$$

В частности, если вектор $\vec m$ лежит в плоскости $xz,$ то компоненты поля в системе СГС имеют вид $$ \begin =\frac > ,> \\ =0,> \\ =\frac \theta -1)> > .> \end $$

Подобно электрическому диполю, магнитный диполь — это векторная величина, т.е. в нашем трехмерном пространстве диполь содержит три компоненты. В отличие от электрического диполя магнитный диполь нельзя представить пространственно-разделенными зарядами противоположного знака, так как не существует магнитных зарядов. Единица измерения магнитного момента следует из представления магнитного диполя витком с током, в СИ [m] = А·м$<>^$.

На магнитный диполь, помещенный в постороннее магнитное поле, действует сила $\vec F(r)=\left(\vec m\cdot grad\right)\vec B(r),$ а также механический вращательный момент $\vec T=\vec m\times \vec B$ 2) . Механическому вращательному моменту соответствует потенциальная энергия $U =-\vec m\cdot \vec B.$

Как и любая физическая система, магнитный диполь стремится перейти в положение с наименьшей потенциальной энергией и поэтому ориентируется в направлении внешнего магнитного поля. Благодаря вращательному моменту стрелка компаса поворачивается в направлении магнитного поля.

Принципы работы магнитных датчиков

Для усиления эффекта используют многовитковую катушку, а также вставляют внутрь стержень из ферромагнитного материала.

Датчик этого типа реагирует только на изменение магнитного потока, а следовательно, он не сможет измерять стационарные поля. Достоинством ИД является чрезвычайно широкий диапазон измеряемых магнитных полей, а также возможность создания датчиков слабых полей.

В работе применяются датчики, основанные на эффекте Холла. В простейшем случае эффект Холла состоит в том, что в проводнике, по которому течет ток, под действием внешнего магнитного поля возникает разность потенциалов между боковыми гранями:

Объясняется эффект Холла тем, что на движущиеся электроны действует сила Лоренца и отклоняет их к боковым граням. Таким образом, на торцах образца накапливаются заряды противоположного знака. Накапливаются до тех пор, пока сила их притяжения не компенсирует силу Лоренца: $eE=evB$, $е$ — заряд, $Е$ — электрическое поле, $В$ — магнитное поле, $v$ — скорость движения зарядов. Скорость движения зарядов можно выразить через плотность тока: $v=\frac,$ $j$ — плотность тока, $n$ — концентрация носителей заряда, $е$ — заряд одного носителя. Тогда $E =\frac jB.$ Установившееся электрическое поле пропорционально току и магнитному полю, также очевидно, что это поле зависит от знака носителей заряда.

Последнее упомянутое свойство позволило в 1879 г. Эдвину Холлу экспериментально доказать, что ток в металлах создается направленным движением именно электронов.

Несмотря на то, что носителями заряда в металлах являются электроны, имеющие отрицательный заряд, для некоторых металлов (например, свинец, цинк, железо, кобальт, вольфрам) в сильном магнитном поле наблюдается положительный знак константы Холла $R_.$ Более подробно эффект Холла вы сможете изучить в лабораторной работе, посвященной этому эффекту.

Теперь рассмотрим основные характеристики датчиков магнитного поля. Как определить, какой датчик лучше подходит для конкретной задачи? Основной характеристикой датчика является его чувствительность. Обычно чувствительность указывают в В/Тл, т.е. если чувствительность равна 1 В/Тл, то в поле 1 тесла на датчике возникнет напряжение 1 вольт. Например, среднее магнитное поле Земли составляет 50 мкТл и датчик с чувствительностью 1 В/Тл не очень подходит для его измерения.

Еще одна важная характеристика датчика — это его линейность. Обычно указывается в процентах. Предполагается, что напряжение на датчике прямо пропорционально измеряемому полю, на самом деле это не так, например, из-за эффекта магнетосопротивления (см. приложение) линейность зависимости U(B) для датчика Холла нарушается. У большинства современных датчиков нелинейность составляет $\sim 1\div 3.$

Для некоторых видов датчиков указывают температурные коэффициенты, например, дрейф магнитной чувствительности (magnetic sensitivity temperature drift). Обычно в процентах. Этот коэффициент показывает, на сколько процентов изменяется чувствительность при изменении температуры на 1 градус. Зависимость магнитной чувствительности от температуры связана, прежде всего, с изменением сопротивления элементов датчика при изменении температуры.

Современные датчики обычно содержат в себе встроенные усилители, поэтому в документации к датчикам приводятся параметры, характерные для усилителей, например, смещение нуля. Смещение нуля означает, что при нулевом магнитном поле на выходе датчика будет соответствующее ненулевое напряжение.

Выражение I S → = p m → ( 1 ) получило название момента магнитного диполя.

По формуле ( 1 ) видно, что величина по модулю равняется произведению силы тока, протекающего в контуре, на площадь, охваченную им. Магнитный момент и положительная нормаль к поверхности S имеют одинаковое направление. Значение векторного потенциала магнитного диполя по формуле определено как:

A → r → = μ 0 4 π p m → × r → r 3 ( 2 ) .

Магнитное поле, создающее магнитный диполь, запишется:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 - p m → r 3 ( 3 ) .

Если даны большие расстояния от диполя в любом направлении, то наблюдается пропорциональные r 3 убывание поля и рост площади витка.

Взаимодействие магнитных диполей

Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков ( 1 ) тока создает магнитное поле, описываемое формулой ( 3 ) , другой ( 2 ) , находясь в нем, взаимодействует с полем. Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то B → ≠ c o n s t . Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю. Элемент контура ( 2 ) подвергается силе d F → , перпендикулярной к вектору индукции поля, B → , создающего диполь ( 1 ) , то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка d l → . Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя 2 ) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.

При неизменной ориентации магнитного момента диполя ( 2 ) , постоянной по отношению к полю диполя ( 1 ) , легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей W p m от x (через B ) возможно по формуле:

F x = - ∂ W p m ∂ x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 4 ) , где B 1 является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем ( 1 ) , p m 2 – магнитным моментом диполя ( 2 ) , a – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:

F = F x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 5 ) .

Из выражения ( 5 ) видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор p m 2 → ↑ ↑ B 1 → ( a = 0 ) , тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания B 1 → (считается, что ∂ B 1 ∂ x > 0 ), кроме силы F .

При действии на контур с током вращательного момента M → :

M → = p m 2 → B 1 → ( 6 ) .

Модуль вектора М запишется как:

M = p m 2 B sin a ( 7 ) .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами p m i → , p m j → и располагаются в точках, определенных радиус-векторами r i → r j → . Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

W i j = - p m i → , B j → p m j → , r j → = - μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 - p m j → r 3 ( 8 ) .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Решение

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

E → = 1 4 πε 0 ε 3 p e → · r → r → r 5 - p e → r 3 ( 1 . 1 ) , где p e → = q l → является электрическим моментом диполя.

По выражению ( 1 . 1 ) наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 - p m → r 3 ( 1 . 2 ) , p m → = I S → обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Решение

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

W i j = - p m i → , B j → p m j → , r j → = - μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 - p m j → r 3 ( 2 . 1 ) .

Где p m i → , p m j → являются магнитными моментами диполей, r i → , r j → – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование ( 2 . 1 ) , тогда:

W i j = μ 0 4 π p m j p m i r i j 2 - 3 r i j p m j r i j p m i r i j 5 = μ 0 4 π p m j p m j cos υ i j - 3 cos υ j cos υ i r i j 3 ( 2 . 2 ) , с r i j = r i - r j , υ i j , являющимся углом между векторами p m i → , p m j → .

Из ( 2 . 2 ) понятно, что энергия W i j находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами p m j = p m i = p , с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:

ГОСТ

Магнитный диполь

называется магнитным моментом магнитного диполя.

Из формулы (1) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Векторный потенциал магнитного диполя примет вид:

Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:

На больших расстояниях от диполя в любом направлении поле убывает пропорционально $r^3$, и растет пропорционально площади витка.

Взаимодействие магнитных диполей

Из представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (номе 1) тока создает магнитное поле, которое описывается формулой (3), другой виток с током (номер 2) в этом поле находится и взаимодействует с ним. Поле, которое создает магнитный диполь однородным не является ($\overrightarrow\ne const$). Соответственно сила, с которой магнитное поле действует на виток с током отлична то нуля. Сила $\overrightarrow$, действующая на элемент контура (2), перпендикулярна к вектору индукции ($\overrightarrow$) поля, которое создает диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка ($\overrightarrow$). Поэтому силы, которые приложены к различным элементам контура (магнитного диполя 2) имеют вид симметричного конического веера. Их результирующая, направлена в сторону возрастания магнитной индукции поля, следовательно, втягивает диполь в сторону более сильного поля.

Если ориентация магнитного момента диполя (2) остается неизменной по отношению к полю диполя (1), то легко найти количественное выражение для силы взаимодействия диполей. При этом потенциальная энергия механического взаимодействия диполей ($W_$) зависит только от x (через B). Следовательно:

где $B_1$ -- индукция поля, которое создает магнитный диполь (1), $p_$ -- магнитный момент диполя (2), $\alpha $ -- угол между вектором поля и вектором магнитного момента. В некоторых случаях считают, что в других направлениях поле изменяется слабо и тогда:

Согласно (5) сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, зависит от их взаимной ориентации магнитных моментов. Если вектор $\overrightarrow>\uparrow \uparrow \overrightarrow$ ($\alpha =0$), то сила взаимодействия диполей положительна, то есть, направлена в сторону возрастания $\overrightarrow$ (считается, что $\frac<\partial B_1><\partial x>>0$). Кроме силы F.

На контур с током будет действовать вращательный момент ($\overrightarrow$), равный:

\[\overrightarrow=\left[\overrightarrow>\ \overrightarrow\right]\ \left(6\right).\]

Модуль вектора М равен:

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Пусть два диполя имеют магнитные моменты $\overrightarrow>\overrightarrow>$, они располагаются в точках, которые определены радиус -- векторами: $\overrightarrow>\overrightarrow$. Тогда энергия взаимодействия этих двух диполей может быть записана как:

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Задание: Проведите сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Напряженности поля электрического диполя, имеет вид:

где $\overrightarrow=q\overrightarrow$-- электрический момент диполя.

Согласно формуле (1.1) напряженность поля диполя убывает, пропорционально третьей степени расстояния от диполя, до точки в которой рассматривается поле.

Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:

$\overrightarrow=I\overrightarrow-$магнитный момент магнитного диполя.

Исходя из вида формул (1.1) и (1.2) магнитное и электрические поля диполей ведут себя аналогично. Именно поэтому элементарный ток называют магнитным диполем. Похожесть этих полей объясняют тем, что дипольные поля возникают тогда, когда наблюдатель находится далеко от токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля очень похожи по форме. У них дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни решения. Однако, источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов физически, существенно различны. В магнитном поле -- это ток, в электрическом поле заряды.

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: Покажите, что энергия диполь - дипольного взаимодействия зависит от взаимной ориентации диполей.

В качестве основания для решения задачи используем формулу для энергии магнитного взаимодействия диполей:

где $\overrightarrow>\overrightarrow>-$ магнитные моменты диполей, $\overrightarrow>\overrightarrow$-радиус векторы, определяющие положения диполей.

Преобразуем выражение (2.1), получим:

где $r_=r_i-r_j$, $\vartheta_$ -- угол между векторами $\overrightarrow>\overrightarrow>$.

Так из (2.2) ясно видно, что энергия $W_$ -- зависит от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами $p__=p$, при их горизонтальной параллельной ориентации энергия взаимодействия диполей минимальна и равна:

Электронное учебное пособие по разделам курса физики Электростатика. Электродинамика. Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны

1. Электростатика. Электрические заряды

Слово электричество возникло от греческого слова электрон янтарь, который электризуется при натирании о шерстяную материю. В природе известны два рода электрических зарядов, которые условно названы положительным и отрицательным зарядами. Известно также их взаимодействие: одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.

Электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов равных примерно , Этим зарядом является заряд отрицательно заряженной частицы, получившей название электрон. Электрон имеет массу покоя, равную приблизительно . Кроме отрицательно заряженного электрона имеются частицы, обладающие элементарным положительным зарядом. Устойчивой частицей, обладающей элементарным положительным зарядом, является протон. Протон представляет собой ядро атома водорода – самого легкого элемента таблицы Менделеева. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона . Протон – это частица, которая входит в состав ядер всех элементов и определяет заряд ядра. Электроны в атомах образуют электронную оболочку атома. Они могут покинуть электронную оболочку атома или молекулы, превращая их в положительный ион, могут также присоединиться к другому атому или молекуле, превращая эти частицы в отрицательный ион. Передача электронов может происходить не только между атомами или молекулами, но и между телами, например, при их соприкосновении. Такое явление называется электризацией тел соприкосновением. При электризации в одних телах возникает избыток электронов, такие тела заряжаются отрицательно, в других телах их недостаток, такие тела заряжаются положительно. Однако во всех случаях выполняется один из фундаментальных законов физики – закон сохранения электрических зарядов: алгебраическая сумма зарядов частиц или тел, образующих электрически изолированную (замкнутую) систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе. Под электрически изолированной системой понимается система тел (частиц), которая не обменивается зарядами с телами, не входящими в эту систему.

Диполь — идеализированная система, служащая для приближенного описания распространения поля. Дипольное приближение основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора и отбрасывании всех членов выше первого порядка. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае если

Размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд.
Член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности.
В уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя — два бесконечно близких заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Содержание

Дипольный момент системы

Электрический диполь

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора , проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов , называется дипольным моментом: .

Во внешнем электрическом поле на диполь действует момент сил \times" width="" height="" />
, который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна \cdot" width="" height="" />
.

Вдали от диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием R как 1 / R 3 , то есть быстрее, чем у точечного заряда.

Любая электронейтральная система в некотором приближении может рассматриваться как электрический диполь с моментом _i" width="" height="" />
, где — заряд i -го элемента, _i" width="" height="" />
— его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь

Поле колеблющегося диполя

$\mathbf<d> В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем (t),$
находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях

Эволюция поля колеблющегося электрического диполя в реальном времени. Диполь находится в точке (60,60) и колеблется по вертикали с частотой 1 рад/с (~0.16 Гц)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

= \frac (\mathbf, \mathbf)-\mathbf> + \frac (\mathbf, \dot \mathbf) - \dot \mathbf> + \frac < \mathbf(\mathbf, \ddot \mathbf) - \ddot \mathbf>" width="" height="" />
= \left[\frac<\dot \mathbf> + \frac<\ddot \mathbf> , \mathbf \right] = \left[\mathbf , \mathbf + \frac<\mathbf>\right]" width="" height="" />
,

$\mathbf<n> где = \frac<\mathbf>$
— единичный вектор в рассматриваемом направлении, c — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

$\mathbf<Z> = - \frac \cdot \mathbf\left(t-\frac\right)$

$\mathbf<d> Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что$
является функцией одной переменной. Тогда

= - \operatorname\,\operatorname\,\mathbf" width="" height="" />
= - \frac\operatorname\,\dot\mathbf" width="" height="" />

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

$\mathbf= - \frac<\dot \mathbf >, ~~ \phi = \operatorname\,\mathbf$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для " width="" height="" />
и " width="" height="" />
существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от " width="" height="" />
, так как

> \approx \frac<\lambda>" width="" height="" />
> \approx \frac<\lambda^2>" width="" height="" />

Выражения для полей принимают вид

= \frac[\ddot \mathbf,\mathbf], ~~ \mathbf = [\mathbf , \mathbf]" width="" height="" />
= \frac\left[ [\ddot \mathbf,\mathbf] , \mathbf \right], ~~ \mathbf = [\mathbf , \mathbf]" width="" height="" />

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол do равна

$dI = c \frac<H^2> <4\pi>R^2 do$
,

поэтому для дипольного излучения

$dI = \frac<1> [\ddot \mathbf, \mathbf]^2 do = \frac<4\pi c^3>\sin^2 do$

где θ — угол между векторами " width="" height="" />
и " width="" height="" />
. Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что \, d\theta" width="" height="" />
, проинтегрируем выражение по dθ от 0 до π . Полное излучение равно

$I = \frac<2> <\ddot\mathbf<d>>^2$

$\ddot \mathbf<d> Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора$
на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом:

$d \mathcal<E> _\omega = \frac \left| \mathbf_\omega \right|^2 \frac<d\omega><2\pi>$

Читайте также: