Магический квадрат магия или наука реферат

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n 2 последовательно. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку (на n клеток).

Способы заполнения магических квадратов порядка, кратного четырем

1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).

2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.

3. Переход между цветами при заполнении происходит, если следующая для заполнения клетка меняет цвет

3. Реализация способов заполнения магических квадратов

с помощью программы Microsoft Excel .

Так как для составления магических квадратов необходимо всегда проверять контрольные суммы по строкам, столбцам и диагоналям, мы пришли к выводу, что этот процесс лучше автоматизировать. Для автоматизации мы выбрали программу Excel.

Используя функцию автосуммирования, мы подготовили шаблоны для вычисления контрольных сумм магических квадратов 3, 5 и 7 порядка по каждому из методов. А для метода Ф.де ла Ира еще и вычисление элементов третьего квадрата, как сумм соответствующих элементов первых двух квадратов.

В ходе экспериментальной части по методу Ф.де ла Ира , мы заметили, что в первых двух квадратах, элементы на ломаных диагоналях равны, и пришли в выводу, что процесс заполнения этих квадратов можно также автоматизировать. Достаточно указать только по одному элементу на каждой из ломаной диагонали.

Также для квадрата заданного порядка однозначны элементы на выделенных главных диагоналях, согласно алгоритму заполнения, поэтому их также можно занести в шаблон заполнения.

Внеся эти дополнения в шаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов:

Теперь достаточно в первом квадрате на главной диагонали (в розовых клетках) разместить элементы с 1 до n. А во втором квадрате в первом столбце (так же в розовых клетках) элементы, кратные порядку квадрата.

В ходе экспериментальной части по способу достраивания до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры, мы заметили, процесс переноса чисел, вышедших за поле квадрата, также можно автоматизировать.

Элементы по диагонали каждый раз увеличиваются на единицу от предыдущего элемента, стоящего в этой диагонали. С учетом этого, достаточно вручную ввести только первые их элементы, а все остальные рассчитать по формулам.

Внеся эти дополнения в шаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов данным способом:

Для построения магического квадрата, в клетки розового цвета внесем первых n чисел, которые при делении на порядок квадрата дают в остатке 1.

Для сиамского метода также можно автоматизировать заполнение и перенос чисел, вышедших за пределы квадрата.

4. Исследование количества решений магических квадратов.

Изучая литературу по теме, мы установили факт, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, нам захотелось экспериментировать: что произойдет, если мы поменяем местами элементы? Получится ли магическая сумма? Получим мы такой же квадрат или другой?

Вот некоторые магические квадраты, полученные методом Ф.де ла Ира.

Можно заметить, что все эти квадраты различны. Это только малая доля из всех возможных квадратов. С помощью программы Excel и подготовленных нами шаблонов, на их построение у нас уходит несколько секунд.

1. Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

5. Для квадратов, порядок которых кратен 4 существует способ разбиения на подквадраты порядка 4.

6. Известные методы для заполнения нечетных квадратов можно автоматизировать. Для этого идеально подходит программа Excel.

7. Эффективные шаблоны получаются для двух методов: Ф.де ла Ира и достраивания до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

8. С помощью подготовленных нами шаблонов можно создавать различные магические квадраты для одного и того же порядка.

Перспектива

В литературе есть ссылка, что метод, основанный на двух первоначальных квадратах, можно применить и для заполнения квадратов четного порядка. Экспериментируя, мы не пришли к нужному результату и оставляем это для дальнейшего исследования.

Использованные Интернет-ресурсы и литература:

4. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Пьер де Ферма

Задачи исследования:

3) выявить области применения магических квадратов;

4) провести анкетирование и выполнить его анализ;

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро и разнообразно.

Для решения задач проекта мы использовали следующие методы:

- анализ литературы и Интернет-ресурсов по проблеме; анкетирование.

Магическим квадратом n -го порядка называ­ется квадратная таблица размером n х n , за­ полненная натуральными числами от 1 до n 2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают маги­ ческие квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости o т четности n ), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетка ми магического квадрата, а сумма чисел, стоя­ щих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Привлекающие естественной красотой, напол­ ненные внутренней гармонией, доступные, но по- прежнему непостижимые, скрывающие за кажу­ щейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представи­ тели воображаемого мира чисел.

Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.

Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Рис.1 Таблица Ло Шу

На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды (рис. 2), в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.

Дата создания гравюры – 1514 год – указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы (рис. 4)

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Глава II . СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.

2.1 Индийский способ

Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.

Один из существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный в Индии еще до начала нашего летосчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Пример магического квадрата из 49 клеток. (рис.5)

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.

2. Следующие числа пишутся по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3. Дойдя до правого края квадрата, переходя к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.

Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.

5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Руководясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.

Если число клеток не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.

Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2 – 5.

Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов.

2.2 СПОСОБ БАШЕ

- начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд;

- числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат;

Пифагор – математик, заложивший основы нумерологии. Учёный верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения, не что иное, как число.

Магический квадрат Пифагора – фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на три уровня: материальный, души и разума.

Цифры даты рождения вписываются в определённом порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.

Глава IV . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Анализ анкет показал, что ребята довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

На уроке математики мы часто выполняем задание на заполнение магических квадратов. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание для второклассников. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Тема исследования : составление магических квадратов.

Объект исследования : магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

Методы исследования : анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом

2. История появления магических квадратов

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Существует такая легенда. Давным-давно более 4 000 лет тому назад из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, у которой на панцире были нарисованы таинственные иероглифы (рис. а), и эти знаки называют ло-шу.

Если посчитать количество кружочков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат (рис. б)

В XI в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV в. византийский писатель.

3. Виды магических квадратов

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.

Например, квадрат, составленный китайским математиком в XIII в. (рис. в). Он сумел построить магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37. ( Мы проверяли)

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников этого класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться работой.

Тема : заполнение магических квадратов.

Объект : магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цели: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

- изучить известные способы заполнения магических квадратов

Методы : Анализ литературы и Интернет-ресурсов.

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. апробация найденных методов

3. оформление работы

Оборудование:

- проектор для демонстрации презентации

1. История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом , придуманным европейцем , считается квадрат Дюрера ( рис.2 ) изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

2. Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз .

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.

На уроке математики мы часто выполняем задание на заполнение магических квадратов. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание для второклассников. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

^ Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом

2. История появления магических квадратов

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Существует такая легенда. Давным-давно более 4 000 лет тому назад из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, у которой на панцире были нарисованы таинственные иероглифы (рис. а), и эти знаки называют ло-шу.

Если посчитать количество кружочков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат (рис. б)

В XI в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV в. византийский писатель.

^ 3. Виды магических квадратов

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.

Например, квадрат, составленный китайским математиком в XIII в. (рис. в). Он сумел построить магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37. ( Мы проверяли)

Читайте также:

  
• Организация судебной исковой работы реферат
  
• Архитектура вычислительной системы классификация компьютеров реферат
  
• Хобби современной молодежи реферат
  
• Реферат сравнительный анализ демократии россия запад
  
• Крупнейшие пожары в истории москвы реферат