Линейная модель обмена модель международной торговли реферат

Обновлено: 02.07.2024

При изучении линейной алгебры у студентов не должно формироваться ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………. ……..2
1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………………….…3
2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ)……….………4
2.1 Понятие межотраслевого баланса…………………………………..……..4
2.2 История…………………………………………………………………..……4
2.3 Пример расчета межотраслевого баланса………………………….…….5
3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ. ………..….7
4 ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ)………………………………………………………….…………10
4.1 Объяснение модели…………………………………………………. ……10
4.2 Примеры задач и их решение………………………………………….….11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….…..13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………..…………..14

Прикрепленные файлы: 1 файл

Линейка Морякова.docx

1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………………….…3

2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ)……….………4

2.1 Понятие межотраслевого баланса…………………………………..……..4

2.3 Пример расчета межотраслевого баланса………………………….…….5

3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ. ………..….7

4 ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ)……………………………………………………… ….…………10

4.2 Примеры задач и их решение………………………………………….… .11

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов. Исходя из этого преподавание математики студентам экономических специальностей должно опираться не только на накопление математических знаний, но и на усиление прикладной экономической направленности.

1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно.

Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных и экономических науках.

Направление линейной алгебры используется также для того, чтобы описать специфическую часть алгебры. В частности, линейная алгебра имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.

Линейная алгебра также допускает осуществление внешних операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.

2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ).

2.1 Понятие межотраслевого баланса.

Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

В Модели МОБ выделяются четыре квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором — структура конечного использования ВВП, в третьем — стоимостная структура ВВП, а в четвёртом — перераспределение национального дохода.

Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923—1924 гг., когда В.В. Леонтьев сделал попытку представить в цифрах анализ баланса народного хозяйства СССР. Ученый показал, что коэффициенты, выражающие связи между отраслями экономики, достаточно стабильны и их можно прогнозировать [1] .

В 1970—1980-х годах в СССР на основе данных межотраслевых балансов разрабатывались более сложные межотраслевые модели и модельные комплексы, которые использовались в прогнозных расчетах и частично входили в технологию народнохозяйственного планирования. По ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке.

2.3 Пример расчета межотраслевого баланса.

Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали.

Аппарат линейной алгебры может быть использован для построения микроэкономических моделей, а именно отыскание собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы.

При исследовании различных экономических ситуаций возникает необходимость рассматривать матрицу обмена и находить ее собственные векторы.

Рассмотрим задачу о равновесии цен в простой модели обмена.

Пусть имеется система из n отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обмен продукцией происходит только внутри системы (экономика замкнута) и известна матрица А:

где α_ij – доля продукции j-й отрасли, которая поступает в i-ю отрасль.

Ясно, что для матрицы А выполнены два условия:

Второе условие вызвано тем, что вся продукция j-ой отрасли предназначена для обмена внутри системы. Матрица (1), для которой выполнены условия 1 и 2, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счёт другой.

Пусть х_i - цена одной единицы продукции i-й отрасли, а - вектор цен. Тогда расход i-й отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, таков:

Чтобы отрасль могла развиваться, её расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведённой ею продукции, т.е. x_i: (2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств:

Таким образом, задача свелась к следующему:

выяснить, является ли число λ=1собственным числом матрицы обмена А;

если да, то найти соответствующий этому собственному числу полуположительный собственный вектор матрицы А.

Для того чтобы число λ=1было собственным числом матрицы обмена А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Итак, число 1 является собственным числом матрицы обмена и для отыскания соответствующего ему собственного вектора следует найти полуположительное решение однородной системы (A – E) . Найденный полуположительный вектор является искомым вектором равновесных цен.

Рассмотрим пример: экономическая система состоит из трёх отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

Найдем вектор равновесных цен. Составим однородную систему линейных уровнений (А-Е) :

Решив её, получим :

Полагая а › 0, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли: х₁=33а; х₂=32а; х₃=28а, где а можно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей.

Другая экономическая модель, где решается математическая задача того же вида, - это модель международной торговли. Рассмотрим систему из п стран, торгующих только друг с другом (т.е. система замкнута). Известна матрица , где - доля средств j-й страны, затрачиваемая на импорт из i-й страны. Матрица А является матрицей обмена (1), т.е. и

Требуется найти первоначальное распределение средств между странами, обеспечивающее равновесие всей системы, т.е. такое положение, при котором в каждой стране после каждого цикла обмена остаётся столько же средств, сколько было до обмена.

Пусть х_i - количество средств i-й страны, т.е. вектор описывает искомое распределение средств. Ясно, что надо найти вектор , удовлетворяющий условиям

Ранее было показано, что число 1 есть собственное число матрицы обмена А и что существует полуположительный собственный вектор матрицы А, соответствующий этому собственному числу. Вектор и является искомым первоначальным распределением средств. Система при этом будет находиться в равновесии, т.е. расход каждой страны в каждом цикле обмена совпадает с её доходом от экспорта и не изменяется от цикла к циклу.

Читайте также: