Линейная и угловая скорости реферат

Обновлено: 05.07.2024

Угловая скорость (обозначается как \(\omega\) ) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.

Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.

Единица измерения

В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула угловой скорости

Вектор угловой скорости определяется отношением угла поворота \((\varphi)\) к интервалу времени \((\mathcal t)\) , за которое произошел поворот:

Зависимость угловой скорости от времени

Зависимость \(\varphi \) от \(\mathcal t\) наглядно показана на графике:

Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.

Угловая скорость вращения, формула

Через частоту

\(\mathcal n\) — частота вращения \((1/с)\)

\(\pi\) — число Пи ( \(\approx 3,14\) )

\(T \) — период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)

Через радиус

\(v\) — линейная скорость(м/с)

\(R\) — радиус окружности (м)

Как определить направление угловой скорости

Направление скорости в физике можно определять двумя способами:

Правило буравчика. Буравчик имеет правую резьбу (вращательное движение вправо при закручивании). Если вращать буравчик в направлении вращения тела, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость.
Правило правой руки. Представим, что взяли тело в правую руку. Следует направлять и вращать его туда, куда указывают четыре пальца. Отведенный в сторону большой палец покажет направление угловой скорости при этом вращении.

Связь линейной и угловой скорости

Линейная скорость \((v)\) тела, расположенного на расстоянии \(R\) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.

\(R\) — радиус окружности (м)

Чему равна мгновенная угловая скорость

Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при \(\triangle\mathcal t\rightarrow0\) :

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МОУ СОШ №2

Определение линейной и угловой скоростей точки, равномерно движущейся по окружности.

Исследовательская работа

Костылев Сергей Анатольевич

Объект исследования:

Вращающийся диск.

Предмет исследования:

Определение линейной и угловой скорости вращения диска.

Проверить на практике правильность формулы зависимости линейной скорости от угловой для вращающегося диска V = ω * R

Установить зависимость линейной скорости от угловой и радиуса вращения диска: определить линейную и угловую скорости диска.

Возможно, что линейная скорость вращения точек зависит от радиуса окружности, по которой двигаются точки диска; линейная и угловая скорости взаимосвязаны ( с увеличением угловой скорости линейная возрастает).

При движении по криволинейной траектории, в том числе по окружности, скорость тела может изменяться как по модулю, так и по направлению. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным. Такое движение называется равномерным движением по окружности.

Угловое перемещение измеряют в радианах (рад).

Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Движение точки по окружности повторяется через определённые промежутки времени, равные периоду обращения.

Периодом обращения называется время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Период обозначается буквой T и измеряют в секундах.

Если за время t тело совершило N оборотов, то период обращения Т равен: Т = t / N

Частотой обращения называют число оборотов тела за одну секунду. ν = N / t

За единицу частоты принят 1 оборот в секунду. Эта единица называется герцем (Гц). 1 герц – это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду. Частота и период обращения связаны следующим образом:

ν = 1 / T ; T = 1 / ν .

Движение тела по окружности характеризуется угловой скоростью. Угловая скорость – физическая величина, равная отношению углового перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. Угловая скорость обозначается буквой ω (омега).

ω = φ / t .

За единицу угловой скорости принимают радиан в секунду

За время, равное периоду обращения Т, тело совершает полный оборот, т.е. его угловое перемещение равно 2π . Поэтому угловая скорость при равномерном движении тела по окружности: ω = 2π / Т ; или ω = 2πν .

Выше рассматривалась такая характеристика криволинейного движения, как мгновенная скорость. Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, непрерывно изменяется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории. Линейная скорость обозначается буквой υ.Так как модуль линейной скорости постоянен, то его можно определить по формуле: υ = S / t .

За время, равное периоду обращения, тело проходит путь, равный длине окружности, т.е. S = 2π R , поэтому

υ = 2π R / T .

Записанные равенства позволяют найти соотношение между угловой и линейной скоростями:

υ / ω = (2π R * T ) / ( T *2π) = R ; таким образом,

Понятия и определения

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Траектория движения тела есть окружность.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид :

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Задание EF18273 Верхнюю точку моста радиусом 100 м автомобиль проходит со скоростью 20 м/с. Центростремительное ускорение автомобиля равно.

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу для определения искомой величины.
Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Определить, что нужно найти.
Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Но так как, то. Для нахождения соотношения между векторами и сделаем чертеж (рис. 1.10). Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью. Выберем точку О на оси и проведем радиус-вектор из этой точки к точке С. Из треугольника ОАС видно, что. Умножим обе части равенства на и получим cледующее выражение:. Единица измерения углового ускорения. При неподвижной оси вращения векторы… Читать ещё >

Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Радиус-вектор каждой точки — есть вектор, проведенный из центра окружности в данную точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол .

Векторная величина называется угловой скоростью, где t — время, за которое совершается поворот на угол. Из определения видно, что вращение точки по окружности описывается угловой скоростью .

При равномерном вращении угловая скорость, а угол поворота .

Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .

Угловая скорость — есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.

Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом называется время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то.

Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим и выразим период и циклическую частоту через эту величину.

Угол поворота за время t можно записать через частоту и полное число оборотов N.

При неравномерном вращении величина изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение .

Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется угловым ускорением.

Таким образом, изменение угловой скорости по времени характеризуется угловым ускорением, которое определяется как производная угловой скорости по времени.

Единица измерения углового ускорения. При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается, то векторы и одинаково направлены, если угловая скорость уменьшается, то векторы и противоположно направлены.

При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение.

где ₀ — начальная угловая скорость.

Найдем соотношение между (рис. 1.9).

Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим.

т.е. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости.

Выясним соотношение между и. Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу.

Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения: .

Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости.

Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что.

Так как — модуль скорости, — модуль векторного произведения, то.

Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор :

Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим.

Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим.

Читайте также: