Линейная функция и ее график реферат
Обновлено: 30.06.2024
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и что особенно важно взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности встречаются количественные соотношения, и математика изучает их в свойстве чисел. Линейная функция и ее свойства являются весьма существенным звеном при изучении курса математики. Многие физические законы, пространственно-временные формы жизни и их количественные отношения выражаются с помощью линейной функции, поэтому исследование данного вопроса является актуальным.
Тема исследования: доказательство существования линейной зависимости между объектами механики и изучение графического метода решения задач на движение.
Объект исследования: линейная функция.
Гипотеза: зависимость между физическими объектами является линейной, в частности прямой пропорциональностью.
Цель работы: исследовать линейную функцию и изучить ее свойства при решении текстовых задач и в физических процессах.
1. Познакомиться подробнее с линейной функцией и ее свойствами.
2. Экспериментальным путем найти зависимость между физическими объектами: массой тела и его объемом, путем и временем движения, силой трения скольжения и весом тела.
3. Изучить графический способ решения текстовых задач на движение.
Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Лабораторный эксперимент.
3. Анализ и классификация данных полученных в ходе экспериментов.
Глава 1. Линейная функция и ее свойства
Определение линейной функции
Линейная функция - функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k, b - некоторые числа. 2 Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять две точки. (Приложение 1, график 1). Если x=0, то y=b; если y=0, x= -b/ k . Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0;b) и (-b/k;0).
Функцию можно задать несколькими способами:
1 Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.
2 Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
1.Аналитический способ – это способ задания функции с помощью формул. Такой способ задания функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах.
Например, функция задана формулой у = 12х – 3,6. Найдите, при каком значении х значение функции равно 2,4. Подставим в формулу вместо у число 2,4. Получим уравнение с переменной х: 2,4 = 12х – 3,6. Решив его, найдем, что х = 0,5. Значит, у = 2,4 при х = 0,5.
2. Табличный способ – это способ задания функции с помощью таблицы. Например, линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Найдите значение у, если х = - 12; 0; 34. Составим таблицу и найдем значение у, подставляя вместо х его значения (Приложение 2, таблица 1).
3. Графический способ – это способ задания функции с помощью графика. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. 2 Например, построим график функции у = 2х + 3. Это линейная функция, поэтому графиком является прямая. Используя формулу, найдем координаты двух точек графика: если х = - 2, то у = 2 * (-2) +3 = -1; если х = 1, то у = 2 * 1 + 3 = 5. Отметим точки А(-2; -1) и В(1; 5). Проведем через эти точки прямую. Прямая АВ есть график функции у = 2х + 3. (Приложение 1, график 2).
1.2. Прямая пропорциональность
Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат 2 (Приложение 1, график 3).
Свойства функции у = kx:
2 Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
1.Область определения – вся числовая прямая.
2. Функция нечетная.
3. При k 0 – функция возрастает.
Глава 2. Графический способ решения текстовых задач
Для умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. 5 В качестве основных способов в математике различают арифметический и алгебраический. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. Если использовать чертёж при решении, то можно легко дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим. Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей. Следует отметить, что благодаря применению графического способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение. Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом.
Графический способ решения любых задач и проблем очень удобен своей наглядностью, так как вырисовывается вся картина целиком, и не нужно удерживать в памяти разрозненные куски. При решении следующих задач вводится система координат, причем на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат – пройденное расстояние, отсчитываемое от некоторой
5 Геометрический метод решения задач на движение и работу [Электронный ресурс] / Т.И. Лескевич//Зельва, 2013.
фиксированной точки. Движущийся объект в любой момент времени занимает
определённое положение, т.е. находится на определённом расстоянии от этой
2.1. Алгоритм решения текстовых задач с помощью графиков линейной функции
Для того, чтобы решить текстовую задачу с помощью графиков линейной функции, надо:
1) Задать систему координат sOt с осью абсцисс Ot и осью ординат Os . Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние. По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.
2) Провести линии движения каждого из объектов, указанных в условии задачи, через координаты хотя бы двух точек прямых. Обычно скорость объекта даёт информацию о прохождении расстояния за одну единицу времени от начала его движения. Если объект начинает двигаться позже, то точка
5 Геометрический метод решения задач на движение и работу [Электронный ресурс] / Т.И. Лескевич//Зельва, 2013.
начала его движения смещена на заданное число единиц вправо от начала отсчета вдоль оси абсцисс. Если объект начинает двигаться с места, удаленного от начала отсчета на определённое расстояние, то точка начала его
движения смещена вверх вдоль оси ординат.
3) Место встречи нескольких объектов на координатной плоскости обозначено точкой пересечения прямых, изображающих их движение, значит, координаты этой точки дают информацию о времени встречи и удаленности места встречи от начала отсчета.
4) Разность скоростей движения двух объектов определяется длиной отрезка, состоящего из всех точек с абсциссой 1, расположенных между линиями движения этих объектов.
5) Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи. Поэтому очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осей координат. Иногда полезно за единичный отрезок на оси абсцисс брать количество клеток, кратное условиям задачи относительно времени, а на оси ординат – количество клеток, кратное условиям задачи относительно расстояния. Например, 12 мин по времени требуют выбора числа клеток кратное 5, т.к. 12 мин составляет пятую часть часа. При решении текстовых задач графическим способом у учеников возникает понимание необходимости аккуратного отношения к построению графиков, появляется умение работать с ними: правильно выбирать масштаб, производить простые геометрические построения. 4
4 Рудин В.Н. Графическое решение текстовых задач: учеб. пособие/ В.Н. Рудин, Е.И. Рудина – Т.: ТГУ, 1995. – 29с.
Глава 3. Линейная функция в физических процессах.
Глава 4. Экспериментальная часть
Мы решили сами убедиться в существовании линейной зависимости между некоторыми объектами механики: перемещения от времени, массы тела от его объема, силы трения скольжения от веса тела.
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
Гипотеза: зависимость пути от времени при прямолинейном равномерном движении является линейной, в частности прямой пропорциональностью.
К проведению этого эксперимента мы привлекли учащихся 7 класса. Все участники должны были измерить длину своего шага и сосчитать количество шагов при движении по прямой за 1 минуту, затем за 2 минуты и т.д. Результаты измерений занесли в таблицы (Приложение 2, таблицы 2-5). По данным таблиц мы вычислили средние скорости движения. 3 Получили такие данные:
Самойлов Кирилл - = = 71,75 72 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s = 72 t .
Шульц Родион - = = 70,76(3) 71 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s = 71 t .
Ворошилова Милана - == 69,77 70 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s = 70 t .
Лохматова Мария - = = 63,07 63 м/мин
Зависимость s от t выражается формулой s = 63 t .
Как видно из формул значение s прямопропорционально значению t .
Построили графики движений (Приложение 1, графики 5 – 8). Как показано на графиках перемещение тела линейно (или почти линейно) зависит от времени при постоянной скорости.
Вывод: зависимость между путем и временем движения является прямой пропорциональностью. Гипотеза подтвердилась.
Гипотеза: зависимость между массой m и объемом V является прямой
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен плотности ).
Для опыта мы склеили три коробки из одного и того же картона разного объема. С помощью линейки измерили длину, ширину и высоту, и нашли объем для каждой из них (Приложение 3, рис. 1, 2). С помощью электронных весов определили массы коробок (Приложение 3, рис. 3, 4, 5). Все данные занесли в таблицу (Приложение 2, таблица 6). Затем на миллиметровой бумаге построили график зависимости массы от объема (Приложение 1, график 9). Получилась прямая линия.
Масса m V . 5 Нашли коэффициент пропорциональности : = m : V .
= 0,45 : 365,6 = 0, 0012… 0,001 г/см 3
= 1,2 : 1577,5 = 0,00076… 0,001 г/см 3
= 1,8 : 2700 = 0, 00066… 0,001 г/см 3
Во всех трех случаях, с точностью до тысячных, коэффициенты равны. На графике взяли произвольную точку, и нашли ее координаты: m = 1 г, V = 1280 см 3 . Выполнили расчет: = 1 : 1300 = 0,00078… 0,001 г/см 3 . Значит формулу зависимости массы коробок от их объема можно записать в виде m = 0, 001 V .
Сравнивая ее с формулой у = kx , можно сделать вывод: зависимость между массой m и объемом V является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен 0,001). Гипотеза подтвердилась.
4.3. Опыт №3 «Зависимость между силой трения скольжения и
Гипотеза: зависимость между силой трения скольжения F тр и весом тела Р является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен коэффициенту трения).
Для опыта мы взяли: деревянную доску, динамометр, брусок, грузы. 3
Для проведения данного эксперимента нам необходимо:
1.Собрать установку для проведения эксперимента.
3 Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
2.Провести три серии опытов с разными нагрузками на брусок.
3.Занести все результаты в таблицу.
4.Построить график зависимости F тр ( P ).
5.Вычислить коэффициент трения.
Сначала мы нашли вес бруска с 1 грузом, затем с 2-мя и 3-мя грузами (Приложение 3, рис. 6, 7, 8). Потом измерили силу трения скольжения бруска с грузами по деревянной доске (Приложение 3, рис. 9, 10, 11). Все измерения занесли в таблицу (Приложение 2, таблица 7). На миллиметровой бумаге построили график зависимости силы трения от веса (Приложение 1, график 10). Получилась прямая линия. На графике взяли произвольную точку и определили ее координаты: Р = 2Н, F тр = 0,4 Н. Выполнили расчет: = = = 0,2
Значит формулу зависимости силы трения скольжения от веса можно записать в виде F тр = 0, 2Р.
Сравнивая ее с формулой у = kx , можно сделать вывод: зависимость между силой трения скольжения F тр и весом тела Р является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен 0,2). Гипотеза подтвердилась.
4.4. Решение задач, составленных на основе реальных событий.
Работая с учебной и научно-популярной литературой, где описывается графический способ решения текстовых задач, мы решили этим способом
Задача 1. На уроке физкультуры по дорожке, длина которой 600 м, бегают семиклассники. Саша бежит со скоростью 100 м/мин, а Рома добегает до конца дорожки за 4 мин и с той же скоростью возвращается назад. Определите, сколько раз они встретятся в течение 20 мин.
Решение: так как скорость Саши 100 м /мин, то до конца дорожки он добежит за 600 : 100 = 6 мин, а Рома добегает за 4 мин. На миллиметровой бумаге изобразили координатную плоскость sOt с осью абсцисс Ot , на которой отметили интервалы времени движения, и ось ординат Os , на которой будем отмечать расстояние, пройденное мальчиками (Приложение 1, график 11). Нанесли деления в масштабе: по оси ординат – в 1 см – 100 м; по оси абсцисс – в 1 см – 2 мин. Построили линии движения мальчиков (Приложение 3, рис. 12). По чертежу сразу видно, что графики в течение 20 мин пересекутся в четырех точках, значит они встретятся 4 раза.
Ответ: мальчики встретятся 4 раза.
Задача 3. От Кунгура до д. Песчанка мальчик шел со скоростью 4 км/ч, а возвращался на велосипеде со скоростью 6 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 40 мин меньше. На каком расстоянии от Кунгура находится д. Песчанка?
1. На миллиметровой бумаге изобразили координатную плоскость sOt c осью абсцисс О t , на которой отметили интервалы времени движения, и осью ординат Os , на которой отметили расстояние от Кунгура до Песчанки (Приложение 1, график 13).
2. Нанесли деления в масштабе: по оси ординат – в 1 см – 1км; по оси абсцисс – один час в 3 см (в 1 см – 20 мин.). (Приложение 3, рис. 13)
3. Построили линию движения I от Кунгура до Песчанки: начало движения отметили точкой (0;0). Мальчик шел со скоростью 4 км/ч, значит, прямая должна пройти через точку (1;4).
4. Построили линию движения II обратно: конец линии отметили точкой ( ; 0), т.к. на велосипеде он затратил на обратный путь на 40 мин. меньше и вернулся
в Кунгур. Он ехал со скоростью 6 км/ч, значит следующая точка прямой имеет координату (1 ;6).
5. Отметили точку пересечения прямых I и II : её ордината показала расстояние от Кунгура до Песчанки: s = 8 км, значит 8 км – расстояние от Кунгура до Песчанки.
При решении задач очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осей координат.
Вывод: графический способ – это удобный способ, который значительно упрощает решение многих задач на движение.
Рассматривая графический способ решения задач, мы отметили, что благодаря применению этого способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение. Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом. Изложенный в работе материал может быть использова н на уроках физики в 7 классе, а также на дополнительных и факультативных занятиях по алгебре.
Общий результат исследовательской работы:
Все предложенные нами эксперименты доказывают существование линейной зависимости между физическими объектами, а графический способ дает возможность облегчить решение задач на движение.
1.Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.
2.Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев . – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 256 с.
3. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учебник / А.В. Перышкин. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017. – 224 с.
4. Рудин В.Н. Графическое решение текстовых задач: учеб. пособие/ В.Н. Рудин, Е.И. Рудина – Т.: ТГУ, 1995. – 29с.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Линейная функция
Исследовательская работа
Подготовил: Сорокин Данила Андреевич,
учащийся 7 класса
Руководитель: Кадышкина Надежда Васильевна,
учитель математики
с. Мордовская Паевка
I. Линейная функция
1.1. Л инейная функция и её график … ………….…………………… ..9
1.2. Геометрический смысл коэффициентов ……………………..…… .5
1.3. Свойства линейной функции ………………………… ……………..6
1.4. Общее уравнение прямой ……………..…………………………. 7
1.5. Каноническое уравнение прямой …………………………………..8
1.6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости . …………9
1.7. Угол между заданными прямыми ……..……………………………9
1.8. Признаки перпендикулярности прямых на плоскости ………. 9
II. Примеры применения линейных функций в практических задачах
2.1. Задачи на построение графика линейной функции с модулем …..10
2.2. Задания из открытого банка ОГЭ …………………………………11
Цель работы: изучить как можно больше сведений, связанных с линейной функцией и её графиком, научиться решать экзаменационные задачи по данной теме.
Для достижения поставленной цели были определены основные задачи :
- расширить собственные знания о линейной функции;
– найти новые сведения о линейной функции и её свойствах из различных источников информации;
-научиться строить график линейной функции, содержащей модуль; - провести отбор заданий из КИМ-ов
Актуальность исследования: Линейная функция является начальным этапом в систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа, а также начальным этапом работы с функциональными зависимостями . Теоретического материала по данной теме в школьном курсе алгебры недостаточно, чтобы раскрыть все многообразие этого понятия. Кроме того, его недостаточно для успешного их решения заданий ОГЭ, особенно заданий из второй части, требующих дополнительных знаний. Поэтому, можно сделать вывод о необходимости подробного изучения данной темы.
Практическая ценность: Я считаю, что эта работа будет полезна учащимся, желающим расширить свои знания о линейной функции.
Методы исследования : Работа с литературой, работа в сети Интернет, сбор информации, анализ, обобщение. Гипотеза исследования: есть дополнительные сведения по теме, позволяющие углубить знания Объект исследования: линейная функция Предмет исследования: график линейной функции
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
2. Линейная функция, её график.
Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x – независимая переменная, аргумент, у – функция, k и b – некоторые числа.
Основное свойство линейной функции : равным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой величины (приращение функции пропорционально приращению аргумента).
Графиком линейной функции y = kx + b является прямая, располагающаяся относительно координатных осей различным образом в зависимости от постоянных коэффициентов к и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю.
2. Геометрический смысл коэффициентов
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат, то есть к оэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:
если b >0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
При k > 0, прямая образует острый угол с осью абсцисс,
ри k = 0, получается постоянная функция y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b )
Если b = 0, то получим функцию y =kx, которая является прямой пропорциональностью.
Угловой коэффициент прямой — коэффициент k k в уравнении y = k x + b прямой y = kx + b на координатной плоскости , численно равен тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой, то есть k = tg α
Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть
3. Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции: D ( y ): x - любое число ;
2) Область значений линейной функции: Е(у): если k ≠ 0, то у- любое, если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: у =0; kx + b = 0, x = , следовательно (; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: х = 0; k·0 + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание: Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a ) k > 0; kx + b > 0, kx > - b , x > .
y = kx + b – положительна при x из (;
y = kx + b – отрицательна при x из ).
b ) k kx + b kx b , x
y = kx + b – положительна при x из (-∞;),
y = kx + b – отрицательна при x из ( ; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
4. Общее уравнение прямой на плоскости .
Ах + Ву + С = 0, где А, В, С не равны 0 одновременно.
5. Каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости
Вывод в общем виде уравнения прямой, выраженное через координаты М 1 (x 1 ; y 1 ) и М 2 (x 2 ; y 2 ), если x 1 ≠ x 2 .
b = y 2 – kx 2
y 1 = kx 1 + y 2 – kx 2
y 1 – y 2 = kx 1 – kx 2
y 1 – y 2 = k(x 1 – x 2 )
Зная b и k , можно теперь получить уравнение в общем виде:
Выполнив алгебраические преобразования, это уравнение можно привести к более простому виду:
Задача1. Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с
координатами M1(1, 1)и M2(4, 2) в системе координат Оху.
Решение: Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:. Ответ: x−3y+2=0.
6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Знания о взаимном расположении прямых и плоскостей лежат в основе изучения свойств геометрических фигур, как в планиметрии, так и в стереометрии.
Прямые, находящиеся в одной плоскости, будут либо пересекающимися, либо параллельными. В ходе работы над исследовательской работой узнал много фактов о коэффициенте к, позволяющим взаимное выяснить условия, позволяющих устанавливать взаимное расположение двух прямых.
Пусть две прямые заданы уравнениями: y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2. (1)
Поскольку угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно, что равные углы наклона соответствуют параллельным прямым. Поэтому условием параллельности двух прямых , заданных уравнениями (1) является равенство их угловых коэффициентов k 1 = k 2 .
Если k 1 ≠ k 2 , то прямые пересекаются.
Если k 1 · k 2 =-1, то прямые перпендикулярны, т.е. ,
Если k 1 = k 2 и b 1 = b 2 , то прямые совпадают.
7. Угол между заданными прямыми
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
8. Признаки перпендикулярности прямых на плоскости
Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
9. Задачи на построение графика линейной функции с модулем
Задача 2 . Построить график функции: а) у=4-|х| б) у=|х-4| в) y= ||х–1|–2|
1. Построить график функции у = х;
2. Построить график у=|х| (сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже оси х);
3) Построить график функции у=-|х| (график функции неотрицательных значений х зеркально отразить относительно оси ординат);
4) Построить график функции у=4-|х| ( сдвинуть график функции у=-|х| на 4 единицы вверх по оси ординат)
1. Построить график функции у = х;
2. Построить график функции у = х - 4 ( сдвиг графика функции у = х на 4 единицы вниз по оси ординат);
3. Построить график функции у=|4-х| (сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже оси х);
1. Построить график функции y= |х –1|
2. затем y= |х –1| – 2
10. Задания из открытого банка ОГЭ
На рисунке изображены графики функций вида у = kх + b . Установите соответ- ствие между графиками и знаками коэффициентов k и b .
А Б В
1)у=2х+4 2) у= - 2х+4 3) у= 2х – 4
2. 2. На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
А Б В
1) k>0, b 0 4) k>0, b>0
3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А Б В
у=-3 2) у = х – 3 3) у = - 3х
4. Постройте график функции:
и определите, при каких значениях с прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
График функции состоит из двух лучей и отрезка.
На рисунке видно, что график имеет ровно две общих точки с горизонтальными прямыми y =-2 и y =1.
Ответ: 1; −2.
5 . Постройте график функции и найдите значения m , при которых прямая y = m имеет с ним ровно две общие точки.
Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает с прямой y = x +1 при, совпадает с прямой y =- x -1 при и совпадает с прямой y = x - 5 при .
График изображен на рисунке.
Прямая y = m имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при m = - 3 и m = 0. .
Ответ: m = - 3; m = 0.
Функция представляет собой параболу, следовательно, с прямой парабола имеет только одну общую точку, если дискриминант квадратного уравнения равен 0.
Построим график функции
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ
Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции. Были изучены материалы из дополнительной литературы, материалы из интернета. Проведан обзор заданий ОГЭ, решено множество задач из экзаменационных материалов. По результатам исследования можно сделать следующие выводы:
Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи графика этой функции с коэффициентами к и в.
Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях по математике при подготовке обучающихся к экзаменам.
Все поставленные перед собой задачи я выполнил. Приобретены новые знания и новые умения. В своей работе я представил 6 основных вариантов типичных задач на соответствие из Открытого банка экзаменационных задач. В результате самостоятельно решены задачи повышенной сложности ОГЭ. Теперь я могу решать задачи на установление соответствия между графиками функций и формулами, строить график линейной функции, содержащей модуль. Знание углового коэффициента поможет при изучении геометрического смысла производной функции.
Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, есть дополнительные сведения по теме, позволяющие углубить знания нашла свое подтверждение.
Линейная функция, ее свойства и ее графика: содержание темы, анализ учебной литературы, математическая карта. Характеристика и сущность методических рекомендаций, связанных с решением задач и подачей теоретического материала. Понятие линейной функции.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.06.2011 |
| Размер файла | 287,7 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Содержание
1.1 Анализ учебной литературы
1.2 Анализ теоретического содержания темы
1.2.1 Математическая карта темы
1.2.2 Логико-математический анализ понятий темы
1.2.3 Логико-математический анализ утверждений темы
1.2.4 Логико-математический анализ алгоритмов и правил
1.3 Анализ задачного материала темы
2.1 Анализ методической литературы
2.2 Тематическое планирование обучения теме
2.3 Методика обучения теоретическому материалу темы
2.4 Методика обучения решению задач темы
2.5 Описание приложения
методический математический обучение функция
Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической фундаментальной подготовки учащихся. Функциональные понятия конкретизируются при изучении линейной функции и ее частного вида - прямой пропорциональности. Формирование всех фундаментальных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами.
Данная тема - начальный этап в систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа.
Задачи реферативной работы:
· Изучить учебную и методическую литературу по данной теме;
· Провести логико-математический анализ содержания темы;
· Описать методику обучения теоретическому материалу темы, решению задач темы;
· Подобрать соответствующий дидактический материал.
Практическая значимость работы определяется возможностью использования результатов реферата в процессе преподавания школьного курса математики.
Реферат состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.
1.1 Анализ учебной литературы
Элементы анализа темы
Алгебра 7 класс, Алимов Ш. А.-М.: Просвещение, 2002
Алгебра 7 класс, Макарычев Ю. Н.-М.: Просвещение, 2003
Алгебра 7 класс с углубленным изучением математики, Макарычев Ю. Н.-М.: Мнемозина, 2004
1. Структурные особенности темы
1.1. общее представление темы
ГлаваVI. Линейная функция и ее график.
Глава II. Функции.
Глава 7. Функции.
1.2. представление теоретического материала
§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости.
Определение зависимой и независимой переменной, функциональной зависимости, графика функции.
§ 31. Функция y=kx и ее график.
Свойства функция y=kx, определение коэффициента пропорциональности, прямой и обратной пропорциональной зависимости.
§ 32. Линейная функция и ее график.
Определение линейной функции, ее графика. Свойства линейной функции.
Упражнения к главе VI.
§ 4. Функции и их графики.
10. Что такое функция?
Определение функциональной зависимости (функции), аргумента и функции от этого аргумента, область определения функции.
11. Вычисление значений функции по формуле.
Способ задания функции с помощью формулы.
12. График функции.
Определение графика функции.
§ 5. Линейная функция.
13. Линейная функция и ее график.
Определение линейной функции, построение графика.
14. Прямая пропорциональность.
Определение прямой пропорциональности, построение ее графика.
15. Взаимное расположение графиков линейной функции.
Определение углового коэффициента, свойства линейной функции.
Дополнительные упражнения к главе II.
§ 14. Функции и их графики
33. Что такое функция.
Определение функциональной зависимости (функции), аргумента и функции от этого аргумента, область определения функции, числовой функции.
34. График функции.
Определение графика функции.
§ 15. Линейная функция.
35. Прямая пропорциональность.
Определение прямой пропорциональности, построение ее графика.
36. Линейная функция и ее график.
Определение линейной функции, построение графика. Определение углового коэффициента, свойства линейной функции.
§ 16. степенная функция с натуральным показателем.
Дополнительные упражнения к главе 7.
1.3. представление задачного материала темы
Разделяются по уровню сложности, задание условий текстом и по графику.
Задания разделяются на обязательные и для домашней работы; задание условий текстом и по графику.
Задания не разделяются, задание условий текстом и по графику.
2. методические особенности темы
2.1. характер изложения темы
Тема изложена индуктивным методом.
Тема изложена индуктивным методом.
Тема изложена индуктивным методом.
2.2. выделение материала для заучивания
Основной материал, который необходимо знать выделен розовым прямоугольником слева от текста.
Основной материал, который необходимо знать выделен жирным шрифтом и розовым прямоугольником.
Основной материал, который необходимо знать выделен жирным шрифтом.
Используются иллюстрации графиков функции.
Используются иллюстрации графиков функции.
Используются иллюстрации графиков функции.
2.4. другие методические особенности
Содержатся обозначения начала и окончания решения задачи, начала и окончания обоснования утверждения или вывода формулы. В конце каждого параграфа даны контрольные вопросы.
В изложении теоретического материала рассмотрены решения многих задач. В конце каждого пункта содержатся упражнения для повторения и контрольные вопросы.
3. Выводы
Учебник наглядный, цветной, четко выделен основной материал. Содержится большое количество задач на разные уровни сложности.
Учебник наглядный, цветной, четко выделен основной материал. Тема представлена подробно, содержится большое количество задач на разные уровни сложности.
Учебник наглядный, но не цветной. Тема представлена подробно с рассмотрением большого количества примеров.
1.2 Анализ теоретического содержания темы
1.2.1 Математическая карта темы
1.2.2 Логико-математический анализ понятий темы
Подведение под понятие
Следствие из определения
Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной (аргументом), а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а, называют зависимой переменной (функцией).
независимая переменная, зависимая переменная
значения S определяются выбранными значениями а
Через род и видовые отличия
S=50t,
S-зависимая переменная, t-независимая переменная
Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Путают, какая из переменных называется зависимой, а какая независимой.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.
абсциссы равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.
Через род и видовые отличия
Понятие координатной плоскости, оси абсцисс и ординат.
С помощью графика функции можно найти значение функции, соответствующее заданному значению аргумента и наоборот.
недостаточные знания о координатной плоскости, в связи с этим неправильные построения.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b- некоторые числа.
y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b- некоторые числа.
Через род и видовые отличия
Понятие функции, независимой переменной.
При формулировке определения учащиеся путают в формуле буквы x, k и b.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x- независимая переменная, k - не равное нулю число.
y=kx, где x- независимая переменная, k - не равное нулю число.
Через род и видовые отличия
Понятие функции, независимой переменной.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
Таким образом, по данной теме представлено 4 новых определения: независимая переменная (аргумент), зависимая переменная (функция), график, линейная функция, прямая пропорциональность.
1.2.3 Логико-математический анализ утверждений темы
Достаточное, необходимое условие
Графики двух линейных функций y=kx+b и пересекаются, если
линейные функции y=kx+b и
Понятие линейной функции, пересечения
Графики двух линейных функций y=kx+b и параллельны, если
линейные функции y=kx+b и
Понятие линейной функции, параллельности
Представленные в теме утверждения рассматриваются как свойства функции, выражают необходимое условие. Данные утверждения простые и явно выделены в тексте. Всем утверждениям дается обоснование.
1.2.4 Логико-математический анализ алгоритмов и правил
В явном виде алгоритм построения графика линейной функции не представлен.
Выделим основную последовательность действий при построении графика y=kx+b:
1. Найти координаты двух точек графика
2. Отметить данные точки на координатной плоскости
3. Провести через полученные точки прямую
Данный алгоритм обладает свойствами:
· Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любую линейную функцию;
· Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;
· Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;
· Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;
· Результативность, так как алгоритм дает результат.
Опорные знания: понятие линейной функции, координатной плоскости, построение точек по координатам.
Также можно выделить алгоритм построения графика функции y=kx:
1. Найти координату одной точки графика, отличную от точки (0,0)
2. Провести через полученную точку и точку начала координат прямую.
Данный алгоритм обладает свойствами:
· Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любой график функции y=kx;
· Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;
· Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;
· Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;
· Результативность, так как алгоритм дает результат.
Опорные знания: понятие функции вида y=kx, координатной плоскости, построение точек по координатам.
1.3 Анализ задачного материала темы
По способу задания
По характеру требований
По дидактической цели
По способу решения
По уровню усвоения
Выяснить: 296-299, 304, 310
Найти: 300, 301, 305-309
Построить: 302-304, 311,312
Обязательные: 299, 300, 302, 304, 308, 310, 311
Смешанные: 296-298, 306, 307
Тренировочные: 301, 303, 305, 309, 311, 312
Алгоритмические: 299, 300-303, 311, 312
Смешанные: 296-298, 304-310
2 УУ: 299-306, 311, 312
3 УУ: 296-299, 307-310
На отработку определения: 299-302
На построение: 302-306, 311, 312
с рисунком: 326, 327, 331
Выяснить: 317-319, 328, 329
Найти: 320, 323-327, 30, 331
Обязательные: 319-321, 323, 328, 330
Смешанные: 317, 318, 325, 326, 327
Тренировочные: 322, 324, 329, 331
Алгоритмические:319-321, 323, 324, 328, 329, 330
Смешанные:317, 318, 325-327,331
3 УУ: 317, 318, 325-327, 331
На отработку определения: 319, 321, 322
На построение: 323, 324
текстовые задачи: 335-346
Выяснить: 335, 341, 345, 347
Найти: 336-340, 346
Построить: 342, 344
Алгоритмические: 335-338, 342-344, 347
Смешанные: 339, 345
2 УУ:335-337, 340-344, 347
3 УУ: 338, 339, 345, 346
На отработку определения: 335,336, 337, 338,341, 343, 346, 347
На построение: 342, 344
Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий линейной функции и прямой пропорциональности, а так же на отработку свойств линейной функции. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применение новой темы, так как в учебнике приведен лишь один пример подобной задачи.
2.1 Анализ методической литературы
При написании реферата была изучена следующая методическая литература:
В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
Графиком линейной функции является прямая линия.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Линейная функция.docx
Линейная функция
В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
если , то график наклонен вправо
если , то график наклонен влево
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси
если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k 0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b сигнальные карточки: зеленую и красную)
3) Проверьте, правильно ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки. (Слайд 7)
4 · (х – 5) = 12 – х
4х – 5 = 12 – х
4х + х = 12 – 5
5х = 7 /:5
х = 1,4
4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.
3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)
(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:
4 – 5х = 5
а) x > 1;
б) x 0;
г) x самостоятельных работ, дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)
Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.
(См. Приложение 3)
6. Подведение итогов урока – 2 мин.
– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?
– Что называется корнем уравнения?
– Что значит “решить уравнение”?
– Сколько корней может иметь уравнение?
32. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Правила
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением
с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ),
а х и у — переменные.
5x – 3y – 2 = 0 ; a = 5 , b = – 3 и c = – 2 ;
Последняя запись уравнения, равносильная первой, поможет
нам найти значения y при определенных значениях х .
Если х = 0 , то у =
;
если х = 1 , то у =
= 1;
если х = 3 , то у =
;
если х = 6 , то у =
Решением уравнения с двумя переменными называется такая пара их
значений, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.
В нашем случае это: (0 и –
) или (1 и 1) или (3 и 4
5x – 3y – 2 = 0 ; 5 • 0 – 3 • (−
) – 2 = 0 ; 5 • 1 – 3 • 1 – 2 = 0 ;
– 2 = 0 ; 5 • 6 – 3 • 9
Используем полученные значения переменных, как координаты
точек и нанесем их на координатную плоскость.
Мы видим, что наши точки расположены на одной прямой (линии).
Любая точка этой прямой имеет координаты, являющиеся решением нашего
уравнения. Значит, полученная прямая — это графическое решение нашего
уравнения или его график.
Для того чтобы начертить график линейного уравнения достаточно
найти две точки, но для этого надо быть уверенным, что перед вами
именно линейное уравнение.
Чтобы выяснить, является уравнение линейным надо привести его к
стандартному виду.
Ножки стула похожи на параллельные прямые на графике, а линии паутины — на перекрещенные. Эти ассоциации пригодятся нам, чтобы разобраться с линейной функцией. Поехали!
О чем эта статья:
Понятие функции
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
Понятие линейной функции
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х - 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
| Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x - 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Читайте также: