Кривые второго порядка реферат
Обновлено: 03.07.2024
Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
1.Кривые второго порядка
2.Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
При этом эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости -- по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1. Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f -- вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ? 0 .
Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:
инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:
Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:
Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:
Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2-го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.
Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:
1.1 Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Если эллипс описывается каноническим уравнением
где a > 0 , b > 0, a > b > 0 -- большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (?c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 ? фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
1.2 Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где a > 0, b > 0 -- параметры гиперболы.
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат -- ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.
Прямые ay ? bx = 0 и ay + bx = 0 -- асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты -- те прямые ay ? bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.
1.3 Парабола
Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где p > 0 -- параметр параболы.
Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат -- её вершиной.
Уравнения y2 = ?2 px, x2 = 2 py, и x2 = ?2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы:
2. Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Теоремма Паскамля -- теорема проективной геометрии, которая гласит, что:
Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.
Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:
Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.
В частности, в вырожденном случае:
Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.
Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.
1. Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. -- 4-е издание. -- М: Наука, 1978. -- С. 64-69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. -- 4-е издание. -- М: Наука, 1978. -- С. 64.
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.
Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.
>>>>> Перейти к скачиванию файла с работой
Кстати! В нашей группе ВКонтакте мы бесплатно помогаем с поиском рефератов, курсовых и информации для их написания. Не спешите выходить из группы после загрузки работы, мы ещё можем Вам пригодиться ;)
Секреты идеального введения курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи, указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую, нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.
Секреты идеального заключения дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.
Заказать реферат (курсовую, диплом или отчёт) без рисков, напрямую у автора.
Похожие работы:
Кривые второго порядка
Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
 Похожие учебники и литература 2019:  Готовые списки литературы по ГОСТ | |
| Шпоры по математике Общая статистика. Конспект лекций Теория вычислительных процессов Статистика коммерческой деятельности |
Перейти в список рефератов, курсовых, контрольных и дипломов по
дисциплине Математика
Сущность понятия и уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Понятие и графическое изображение эллипса. Сущность и графики параболы и гиперболы. Определение и уравнение параболы. Гипербола в опыте Резерфорда при рассеивании альфа-частиц.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.11.2008 |
| Размер файла | 435,8 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Окружность
Окружность*- замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра). Если R - радиус окружности - расстояние каждой его точки до центра, то длина окружности выразится числом 2pR, а площадь ею ограниченная, числом pR 2 , где p=3,14159 - отношение длины окружности к её диаметру.
Уравнение окружности в прямоугольной системе координат:
(x-c) 2 + (y-d) 2 = R 2 ,
где, c и d - координаты центра.
Отметим, что движение по окружности часто встречается в физике и технике, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по круговым орбитам могут двигаться искусственные спутники Земли. Хорошо известна планетарная модель атома водорода по Резерфорду. В центре атома находится ядро, а электрон вращается вокруг него.
Литература
Политехнический словарь /Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др. - 3 - е изд,, перераб. и доп. - М.: Советская энциклопедия, 1989. - 656 с. с ил.
Эллипс*(греч. elleipsis - недостаток) - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.
Эллипс - множество точек М плоскости (рис.1), сумма расстояний r1= МF1 и r2= МF2 которых до двух определенных точек F1(-c,0) и F2(c,0) этой плоскости (фокусов эллипса) постоянна
r1+r2=2а.
Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния)называется центром эллипса.
В прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид
х 2 /а 2 +у 2 /в 2 =1, в 2 =а 2 -с 2 ,
где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F1 и F2 совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.
Эллипс - центральная линия второго порядка.
Эллипс - замкнутая линия, симметричная относительно осей 0x и 0y главных (большой и малой) осей и центра.
Форма эллипса (его "вытянутость") определяется значением эксцентриситета e=c/a 2 =2px,
где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы*, **.
Отметим, что по параболе движется тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту, и заряженная частица в однородном электрическом поле плоского конденсатора.
Литература
* Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с., ил
** Политехнический словарь /Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др. - 3 - е изд,, перераб. и доп. - М.: Советская энциклопедия, 1989. - 656 с. с ил.
Гипербола
Гипербола* (греч. hyperbole) - плоская кривая линия;
- множество точек М плоскости разность (по абсолютной величине) расстояний F1M и F2M которых до двух определенных точек F1 и F2 этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F1M - F2M=2а 2 /а 2 - у 2 /в 2 =1, в 2 =с 2 - а 2 ,
где а и в длины полуосей гиперболы *, **.
Отметим, что по гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома.
Литература
* Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с., ил
** Политехнический словарь /Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др. - 3 - е изд,, перераб. и доп. - М.: Советская энциклопедия, 1989. - 656 с. с ил.
Подобные документы
Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011
Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014
Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009
Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.
презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016
Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012
Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011
Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.
Данная курсовая работа предлагается в виде рабочей тетради, где акцентируется внимание на практические задания.
Целью является изучение теории кривых второго порядка.
Объектом исследования явились кривые второго порядка, а также задачи, связанные с ними.
Предметом исследования является изучение теории кривых второго порядка.
Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:
1.отобрать теоретический материал по теме курсовой работы;
2.обобщить и систематизировать материал;
.рассмотреть основные типы задач и их решение.
Структура курсовой работы следующая. В начале каждой темы рассматривается основной теоретический материал по теории общего уравнения линии второго порядка. Здесь рассматривается приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду, исследование общего уравнения линии второго порядка, а также классификация линий второго порядка.
После каждой темы предлагаются вопросы для самопроверки, а затем упражнения по данной изложенной теме.
Заканчивается данная рабочая тетрадь контрольной работой в два варианта, состоящая из 5 вопросов.
При работе над курсовой работой использовались в качестве основных источников учебники Шипачева В.С., Ильина В. А., Позняка Г.
1. Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Определение: Кривой второго порядка называется множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)
где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F - любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 + С2 0.
1.1Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Лемма 1: Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС - В2 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (1) приводится к виду:
А'х''2 + С' у ''2 + F ' = 0, (2)
где А', С ', F ' - некоторые числа; (х''; у '') - координаты точки (х; у) в новой системе координат.
1.2Инвариантность выражения АС - В2. Классификация линий второго порядка
Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы, не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение АС - В2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, т.е. не зависит от преобразования координат. Действительно, при параллельном переносе этот факт очевиден.
В зависимости от знака величины АС - В2 линии второго порядка разделяются на следующие 3 типа:
Прямые ay? bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот. Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку. Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали… Читать ещё >
Кривые второго порядка ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
1.Кривые второго порядка
2.Теоремы, связанные с кривыми второго порядка Литература
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1. Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2? 0 .
Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:
инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:
Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:
Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:
Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2-го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.
Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:
1.1 Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Если эллипс описывается каноническим уравнением где a > 0, b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (?c, 0) и (c, 0), где Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2? фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
1.2 Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX (± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается (7, "https://referat.bookap.info").
Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.
Прямые ay? bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay? bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.
1.3 Парабола
Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где p > 0 — параметр параболы.
Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной.
Уравнения y2 = ?2 px, x2 = 2 py, и x2 = ?2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы:
2. Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Теоремма Паскамля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что:
Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.
Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:
Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.
В частности, в вырожденном случае:
Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.
Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.
1. Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64−69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4−5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.
Читайте также: