Критерии качества математических моделей реферат

Обновлено: 04.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Хабаровский государственный институт искусств и культуры

Классификация моделей и характеристика их видов

______I курс, 146 группа______

2. Общие понятия: моделирование и математические модели…………………. 5

4. Классификация моделей с различных точек зрения…………………………..11

5. Процедура математического моделирования………………………………….14

6. Два метода моделирования……………………………………………………. 15

Процесс математического моделирования может развиваться по одному из двух сценариев. Наиболее распространен следующий: формулируется задача, затем ее пытаются формализовать в виде известной математической модели, которая, как правило, хорошо известна исследователю и решение которой потенциально доступно. Это путь подгонки задачи под модель. Здесь возникает проблема адекватности полученного решения исходной задаче.

Другой сценарий ориентирован на построение наиболее адекватной математической модели. После построения модели проводится поиск метода решения, который может быть неизвестен исследователю или вообще не существовать (построение модели под задачу). Основная трудность такого подхода, порой непреодолимая, заключается в построении метода решения задачи и оценке точности получаемого результата.

Специалист должен представлять себе современное состояние науки о математическом моделировании, знать основные модели, их свойства и соответствующие методы решения. Каждый тип математических моделей имеет свои особенности, ориентирован на тот или иной класс задач, связан с определенными требованиями к вычислительной технике и т. п. В этой связи становится важной классификация математических моделей.

2. Общие понятия: моделирование и математические модели.

Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира. В общем виде модель - это абстракция реального явления, сохраняющая его существенную структуру таким образом, чтобы ее анализ дал возможность определить влияние одних сторон явления на другие или же на явления в целом. В зависимости от логических свойств и связей моделей с отображаемыми явлениями можно все модели разделить на три типа: изобразительные, аналоговые и математические. Нас интересуют математические модели.

Математическая модель является самой сложной и наиболее общей и абстрактной по сравнению с изобразительной и аналоговой моделями. В ней для отображения свойств изучаемого явления используются символы математического или логического характера. Особые трудности возникают при решении задач с большой размерностью, расплывчатостью постановки, неопределенностью информации и т.д. В постановке таких задач появляются неклассические моменты, такие как плохая формализуемость, нестандартность, противоречивость.

Остановимся на понятие плохо формализуемой задачи, которое появляется в результате решения потока серьезных прикладных задач в самых различных областях. Эти могут быть и формализованные правила рассуждений, и правила логического вывода. Математические модели служат отражению и анализу некоторых свойств действительных объектов. Рассмотрим один из видов математических моделей, характеризующихся простой структурой и широко применяющихся в приложениях. Модели такого вида содержат следующие элементы:

связи между переменными, являющиеся неизвестными;

математический аппарат исследования соотношений (связей).

В качестве примера можно привести имитационные модели (о которых речь пойдет позже), описывающие возможные пути развития сложных технико-экономических и природных систем.

Поясним теперь, что мы понимаем под плохо формализуемыми задачами: это задачи, условия которых определены не полностью, не все связи заданы в аналитической форме, при этом формулировка задачи может содержать противоречия, а также не все соглашения о понятии решения могут быть в наличии.

Решению таких (плохо формализуемых) задач предшествуют этапы преобразования их формулировки, уточнений и упрощений. Результатом этих этапов является получение комплекса формализованных задач, имеющего некоторое отношение к исходной задаче. Необходимо знание этого отношения, иначе точность, достигаемая формальными методами, может оказаться бесполезной.

В сферу модели естественно также включить описание исходной задачи, выбираемый язык, критерии и ограничения, аппарат адекватности модели, средства интерпретации и подготовки к практическому внедрению, способы вне модельного анализа, учета плохо формализуемых факторов.

Можно выделить следующие разновидности плохо формализуемых задач:

нестационарные; эти задачи отличаются эволюцией информации об объекте и модельных представлений о нем;

задачи с расплывчатым отражением некоторых зависимостей и плохо определенными ограничениями. В этих задачах для описания зависимостей и ограничений требуется использовать специальные процедуры диалога с экспертами, а также проведение целенаправленных серий экспериментов;

с несовместными системами условий и ограничений и неопределенным понятием решения (неособенные задачи);

задачи, в которых оценка решения производится по системе несогласованных (противоречивых) критериев;

задачи с неоднозначно определенным решением;

неустойчивые или некорректные задачи.

Противоречивые определения объектов и противоречивые модели иногда возникают в результате абсолютизации локальных свойств действительно существующих объектов. Другая возможная причина появления противоречивых моделей - наличие различных несогласованных источников информации, которая служит основой моделирования.

В прикладной математике наблюдается заметный интерес к описанию противоречивых ситуаций, он вызван, по-видимому, необходимостью повысить реальный результат применения математических моделей и методов к решению сложных практических задач. Примеры решения противоречивых задач можно видеть и в сфере оптимизации, и в сфере распознавания образов. В некоторых случаях содержательный смысл модели может диктовать такой вид работы с ней, как выделение ее непротиворечивых подмоделей, в других случаях возможно ослабление ограничений модели, приводящее к ее непротиворечивости.

Основы процесса выработки решений

В процессе выработки решений применимы такие конкретные формы как анализ, синтез, индукция, дедукция, аналогия, абстракция и конкретизация.

Анализ логический прием расчленения целого на отдельные элементы с рассмотрением каждого из них в отдельности. При этом в процессе выработки решения анализу подвергаются поставленная задача, данные обстановки.

Анализ неразрывно связан с синтезом - объединением всех данных, полученных в результате анализа. Синтез - это не простое суммирование результатов анализа. Задача его состоит в мысленном воспроизведение основных связей между элементами обстановки. Синтез дает - возможность вскрыть сущность процессов, установить причинно-следственные связи, прогнозировать развитие действий.

Анализ и синтез тесно переплетаются с индукцией и дедукцией. Индукция - движение мысли от частного к общему, от ряда факторов к закону. Дедукция, наоборот, идет от общего к частному, от закона к отдельным его проявлениям. Индуктивный прием используется в тех случаях, когда на основе частного фактора можно сделать общие выводы, установить взаимосвязь между отдельными явлениями и каким-либо законом. Анализируя обстановку, необходимо следовать то от частного к общему (индукция), то от общего к частному (дедукция), стремясь установить взаимосвязь между явлениями обстановки и законом.

В процессе выработки решения можно использовать абстрагирование - способность отвлечься от совокупности факторов и сосредоточить внимание на каком-либо одном вопросе. При абстракции хотя и достигается частные цели, однако они не могут служить основанием для решения. Поэтому наряду с абстракцией должна применяться конкретизация - увязка того или иного явления с конкретными условиями.

Существенное значение в процессе выработки решений может сыграть аналогия - прием, в котором из сходства двух явлений в одних условиях делается вывод о сходстве этих явлений в других условиях. Однако, аналогия не доказательство, она дает почву для высказывания предположения о возможном развитии характера действий, дает толчок в мышлении.

В ходе выработки решения важно установить причинно-следственные связи между элементами. Причинность - одна из всеобщих форм объективной связи между предметами, явлениями и процессами реальной действительности.

3. Математические модели. - дескриптивные (описательные) модели; - оптимизационные модели; - многокритериальные модели; - игровые модели; - имитационные модели.

Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т.д., т.е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.

На другом уровне процессов мы можем воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизируем процесс.

Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный достаточно сложный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом иногда явное математическое описание процесса не используется, заменяясь некоторыми словесными условиями (например, по истечении некоторого отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка - погибает). Другой пример - моделирование движения молекул в газе, когда каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. Можно сказать, что чаще всего имитационное моделирование применяется в попытке описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание тогда производится на уровне статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента; на вопрос "зачем же это делать" можно дать следующий ответ: имитационное моделирование позволяет выделить "в чистом виде" следствия гипотез, заложенных в наши представления о микрособытиях, очистив их от неизбежного в натурном эксперименте влияния других факторов, о которых мы можем даже не подозревать. Если же, как это иногда бывает, такое моделирование включает и элементы математического описания событий на микроуровне, и если исследователь при этом не ставит задачу поиска стратегии регулирования результатов (например, управления численностью колонии микроорганизмов), то отличие имитационной модели от дескриптивной достаточно условно; это, скорее, вопрос терминологии.

Вид модели и степень ее детализации определяется не только свойствами моделируемого объекта, но и целью, с которой выполняется моделирование. Поэтому процесс разработки модели сложной системы состоит в последовательном анализе и моделировании отдельных ее подсистем с последующим установлением связей между этими подсистемами.

Процесс построения моделей представлен на рисунке 1.

На первом этапе создания модели выделяются признаки, характеризующие систему и системообразующие элементы, а также отношения, на которых реализуются эти признаки. Это позволяет определить исследуемый объект как систему. На втором - определяется цель моделирования системы. На третьем этапе на каждом уровне детализации разрабатываются математические модели и модели координаторов для взаимодействия между уровнями. На первом уровне изучают интересующую систему (объект моделирования) и описывают ее содержательно. Такое описание называют концептуальной (содержательной) моделью, представляющей собой словесное описание математической формулировки задачи. Затем формулируют концептуальную модель, для чего разрабатывают структуру модели. Это структурный или топологический уровень формирования модели, на котором модель записывается в виде балансовых соотношений и ограничений. Далее на алгоритмическом уровне разрабатывают алгоритм решения математической модели. Программная реализация которого соответствует следующему уровню детализации – параметрическому, на котором определяются параметры модели. И далее на последнем уровне проводится проверка адекватности модели моделируемому объекту. Основные принципы построения математических моделей.

При построении математических моделей целесообразно придерживаться следующих принципов, выработанных практикой.

Инвариантность информации. Данный принцип означает, что входная информация должна быть независима от параметров моделируемой системы. Иначе говоря, модель должна работать без коррекции в некотором диапазоне значений входной информации.

Преемственность. Каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, полученного на предыдущих этапах или при использовании других моделей.

Эффективная реализуемость предполагает соответствие точности исходных данных, точности решения задачи и точности результирующей информации. В этой связи следует заметить, что нахождение оптимальных решений для практики часто иллюзорно.

К математическим моделям предъявляются основные требования универсальности, точности, адекватности, экономичности.

Универсальностьматематической модели характеризует полноту отражения в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражают не все, а лишь некоторые свойства реального объекта. Например, формулы для сил резания не учитывают температуру окружающего воздуха, влажность, экономические параметры и т. д.

Точностьматематической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Пусть отражаемые в математической модели свойства объекта оцениваются вектором выходных параметров Y = (y₁, y₂, … y_m). Тогда относительная погрешность математической модели E_i по i-му параметру равна:

где y_i * – параметр, рассчитанный с помощью модели.

По этой формуле рассчитываются погрешности для каждого выходного параметра, в результате получается вектор погрешностей E = (E₁, E₂, … E_m). В целом для математической модели погрешность оценивается следующим образом:

Адекватностьматематической модели – это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

В силу того, что выходные параметры модели являются функцией Y = F(X, Q) от параметров внутренних и входных, то и точность модели зависит от их значений. Адекватность модели имеет место в ограниченной области изменения внутренних и входных параметров. Если обозначить область адекватности как ОА, то

где d – некоторое заданное число.

Экономичностьматематической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то её экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера. Так как указанные величины определяются характеристиками конкретного компьютера, использовать их для оценки экономичности математической модели не вполне корректно. Поэтому, для оценки экономичности самой математической модели используют другие величины:

- среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к математической модели;

- размерность системы уравнений в математической модели;

- количество используемых в модели внутренних параметров и т. д.

Требования высокой степени универсальности, точности, широкой области адекватности математической модели, с одной стороны, и высокой её экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей.

Математические модели можно охарактеризовать и целым ряд других свойств, среди которых целесообразно выделить следующие:

- вычислимость – возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы);

- модульность – соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы);

- алгоритмизируемость – возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ;

- наглядность – удобное визуальное восприятие модели.

- целенаправленность – модель всегда отображает некоторую систему, т. е. имеет цель;

- конечность – модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

- упрощенность – модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

- доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

- информативность – модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и должна давать возможность получить новую информацию;

- сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

- полнота – в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

- устойчивость – модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже она вначале является неустойчивой;

- целостность – модель реализует некоторую систему (т. е. целое);

- замкнутость – модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений;

- адаптивность – модель может быть приспособлена к различным входным параметрам, воздействиям окружения;

- управляемость (имитационность) – модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях;

- эволюционируемость – возможность развития моделей (предыдущего уровня).

Исследование операций

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Тема 1.
Методологические основы моделирования
Лекция 1.4.
Свойства математических моделей и
принципы их оценки.
Учебные вопросы:
1. Свойства математических моделей.
2. Оценка качества математических моделей.
3. Обеспечение адекватности моделей.
2

3. Литература

1. Зарубин В.С. Математическое моделирование в
технике: Учеб. для вузов/ В.С. Зарубин. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование
систем: Учебник. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Шикин Е.В. Математические методы и модели
управлений: Учеб. пособие/ Е.В. Шикин, А.Г.
Чхартишвили. – М. Дело, 2002.
3

Основные области применения моделей:
- управление объектами, проектировании новых объектов.
Используются
для
поиска
оптимальных
или
рациональных
решений,
оценки
эффективности
решений, определении свойств объектов (например,
чувствительности к изменениям параметров объектов и
внешней среды);
- научные исследования. Выявление закономерностей
функционирования объекта или его взаимодействия с
внешней средой, перенос информации во времени;
- обучение. Позволяют повысить наглядность обучения,
изучить влияние изменений параметров объектов на
результаты функционирования, снизить затраты
ресурсов на обучение, научиться управлять объектом,
прогнозировать последствия принимаемых решений.
Реализация указанных функций требует определенного
качества модели. Требования к качеству зависят от
назначения модели.
5

Качество математической модели – это совокупность
свойств, отличающие конкретную модель от других
моделей
и
характеризующих
её
соответствие
назначению.
Качество
математической
модели
характеризует
ее
пригодность
для
решения
практических задач, оно в полной мере проявляется
лишь в процессе её использования по назначению.
Две группы свойств математических моделей:
- основные свойства. Без определенного уровня этих свойств
модель нельзя использовать по назначению;
- эксплуатационные свойства. Эти свойства характеризуют
удобство
применения
модели
пользователем
и
потребности в ресурсах для её исследования.
6

7. Основные свойства

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Адекватность
Управляемость
Целостность
Чувствительность
Робастность
Неопределённость
Точность
7

Адекватность характеризует, насколько правильно и полно
модель описывает исследуемые свойства объектаоригинала (структуру, процессы функционирования и
др.), насколько правильно она позволяет прогнозировать
изменение свойств объекта.
В основе моделирования лежит теория подобия, которая
утверждает, что абсолютное подобие имеет место лишь
при замене одного объекта другим точно таким же. При
математическом моделировании абсолютное подобие
модели объекту-оригиналу невозможно, да и не имеет
смысла.
Адекватность означает и непротиворечивость результатов
моделирования, т.е. при вариации значений параметров
модель не должна давать результаты, противоречащие
логике, особенно в тех случаях, когда значения
параметров близки к экстремальным.
8

Управляемость
означает
возможность
управления
математической моделью со стороны исследователя для
изучения протекания процессов в различных условиях,
присущих объекту-оригиналу. Управляемость модели
связана с автоматизацией моделирования на основе
применения
ЭВМ,
что
позволяет,
наряду
с
программными средствами управления машинным
моделированием, использовать диалоговые процедуры
общения исследователя с моделью.
Целостность - математическая модель является системой,
включающей в себя необходимое количество компонент
(подсистем, элементов), находящихся во взаимосвязи
друг с другом.
9

Чувствительность модели характеризует возможность
оценки влияния изменения входных параметров модели
на ее выходные характеристики. Это свойство позволяет
устанавливать
степень
зависимости
выходных
характеристик от входных параметров. Степень
зависимости можно проранжировать и выявить
наиболее значимые входные параметры, а наименее
значимые вывести из состава.
10

Неопределенность модели определяется тем, что модель
только приближенно отображает реальность. При этом
неизбежно существование упрощений, допущений и
идеализация
сложных
процессов
и
явлений,
происходящих в объекте-оригинале. В соответствующих
моделях
выделяют
несколько
источников
неопределённости:
- неполнота модели;
- конечная точность математических методов и их
реализации на ЭВМ;
- ошибки в реализации моделей;
- неопределенность параметров (констант, входных
параметров).
12

Точность (погрешность результатов моделирования).
Требуемая точность зависит от назначения модели:
- для качественного сравнения результатов требуется лишь
соблюдение
характера
изменения
показателей
(увеличение или уменьшение, наличие оптимумов,
положительное или отрицательное значение и т.п.);
- для проведения оценочных расчетов или обучения
удовлетворительной считается погрешность 10 – 15 % от
значения показателя;
- для решения задач управления или оптимизации
погрешность не должна превышать 1 – 2 % или быть
даже существенно меньше.
13

14. Эксплуатационные свойства

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Простота (сложность)
Адаптивность
Возможность развития
Надежность
Наглядность
Ресурсоемкость разработки, эксплуатации и
модернизации
14

Простота
(сложность)
модели.
Модель
является
совокупностью отдельных компонентов и связей между
ними. Сложность определяется общим числом
компонент (подсистем, элементов) модели и связей
между
ними.
Понятие
сложности
можно
идентифицировать по ряду признаков:
- количеству уровней иерархии,
- количеству отдельных функциональных подсистем модели,
- количеству входов и выходов и т.д.
Адаптивность
характеризует
способность
модели
приспосабливаться к разным условиям применения.
15

Возможность
развития
модели
характеризует
ее
приспособленность к совершенствованию:
- по горизонтали, в смысле расширения спектра изучаемых
сторон объекта-оригинала;
- по вертикали в смысле того, что модель должна позволять
применять новые современные методы и средства
моделирования.
Материализация математической модели в виде программы
предопределяет
наличие
свойства
надежности,
присущего
всем
объектам
искусственного
происхождения.
Надежность модели характеризует способность модели к
обнаружению,
предупреждению
и
устранению
последствий различного рода ошибок в программе, в
исходных данных, сбоев и отказов ЭВМ.
16

Наглядность обеспечивает снижение затрат ресурсов в ходе:
- построения концептуальной модели и её формализации;
- алгоритмизации модели и её машинной реализации;
- получения и интерпретации результатов моделирования.
Ресурсоемкость разработки, эксплуатации и модернизации
Математическое моделирование проводится обычно с
использованием ЭВМ, поэтому необходимо оценивать
затраты на основные виды обеспечения: кадровое,
техническое,
программное,
информационное,
потребности в ресурсах ЭВМ.
17

20. Принцип 1. Иерархический подход к оцениванию

При оценке математической модели используют:
- частные оценки степени проявления конкретных
единичных свойств;
- интегральные оценки групповых свойств модели.
Оценку качества математических моделей формулируют с
учетом:
1) выработки частных оценок степени проявления каждого
из существенных перечисленных основных и
эксплуатационных свойств;
2) возможности выработки одной (нескольких)
интегральных оценок качества модели.
20

21. Принцип 2. Необходимость выбора критериев и показателей качества математической модели

При оценке качества математической модели необходимо
сформировать критерий (критерии) оценивания
качества модели и определить номенклатуру
показателей её качества.
Критерий оценивания качества модели – это руководящие
правило (условие или совокупность условий),
вытекающее из принятых принципов оценивания.
Правило реализуют при принятии решения о качестве
исследуемой модели.
Показатель качества модели – это числовая характеристика
или функция, определяющая меру проявления качества
модели (или отдельного её свойства).
21

22. Принцип 3. Наличие критериев векторного показателя

При оценивании качества любой математической модели,
описываемого векторным показателем, должна
применяться совокупность критериев, принадлежащих к
одному из трёх классов:
1) критерий пригодности;
2) критерий оптимальности;
3) критерий превосходства.
22

Критерий пригодности означает, что векторный
показатель качества модели принадлежит области
допустимых значений показателя качества пригодной
модели.
Критерий оптимальности – означает, что векторный
показатель модели принадлежит области допустимых
значений показателя качества пригодной модели и
равен оптимальному показателю качества пригодной
модели по одному или нескольким свойствам.
Критерий превосходства – означает, что
векторный
показатель качества модели принадлежит области
допустимых значений показателей качества пригодных
моделей, и модель превосходит по качеству все
остальные пригодные модели.
23

Из определений критериев следует:
- критерий оптимальности является частным случаем
критерия пригодности;
- критерий превосходства представляет собой частный
случай критерия оптимальности.
На основе изложенного формулируется следующий принцип
оценки качества математических моделей.
24

26. Принцип 5. Применение вероятностной меры оценки качества математической модели

При оценке качества математической модели сложного
объекта-оригинала, на который воздействуют случайные
факторы,
необходимо
в
качестве
показателя
эффективности функционирования модели использовать
вероятностную меру, характеризующую вероятность
выполнения задачи моделирования.
Эта величина характеризует вероятность выполнения задачи
моделирования, т.е. является мерой степени выполнения
моделью задачи моделирования.
26

27. Показатели эффективности функционирования математической модели

Эффективность функционирования модели нельзя
охарактеризовать ни одним из перечисленных частных
(единичных) свойств в отдельности. Она определяется их
совокупностью (эффективность – это комплексное
свойство модели). Можно ввести понятие групп
показателей:
1) вектор целевых эффектов при использовании модели;
2) вектор эксплуатационных эффектов при
использовании модели.
27

При оценке эффективности вероятностных моделей следует
учитывать, что случайными будут и зависящие от них
показатели (показатели целевого эффекта, затрат
ресурсов).
В условиях моделирования критерий пригодности процесса
функционирования модели к достижению цели
моделирования означает, что случайный вектор
показателей качества достижимых результатов процесса
функционирования модели должен принадлежать
области значений вектора требуемых результатов.
Характеристикой
эффективности
функционирования
модели служит вероятность принадлежности случайного
вектора показателя достижимых результатов области
требуемых (допустимых) значений этого показателя.
28

Под
адекватностью
модели
следует
понимать
соответствие результатов моделирования реальным
результатам функционирования объекта во всем
допустимом диапазоне изменений исходных данных.
Однако, если результаты функционирования известны, то
моделирование теряет смысл. Поэтому полная проверка
адекватности невозможна. Практические способы
проверки адекватности не гарантируют доказательства
правильности модели.
30

Причины неадекватности результатов моделирования:
- несоответствие принятых гипотез о функционировании
объекта, принятых допущений и ограничений реальным
условиям;
- несоответствие заданных исходных данных допустимой
области значений;
- ошибки и неточности в задании констант и постоянных
параметров модели;
- несоответствие выбранного численного метода или его
параметров
заданным
требованиям
точности
моделирования.
Две основные задачи проверки адекватности:
- проверке справедливости основных допущений и
ограничений, принятых при построении модели;
- оценке соответствия точности полученных результатов
заданным требованиям.
31

Окончательную проверку адекватности следует проводить
после комплексной отладки программной реализации
модели и устранения всех ошибок в программе.
Наиболее сложно решить первую задачу проверки. Для ее
решения следует создавать иерархическую систему
моделей, в которой постепенно исключаются из
рассмотрения те или иные свойства системы и внешней
среды.
По
результатам
сравнительного
анализа
результатов моделирования принимается решение о
значимости соответствующих факторов, о границах
допустимости применения моделей.
32

Простейшей мерой адекватности может служить отклонение некоторой
характеристики Y-оригинала от Y-модели:
y yориг у мод
Считают что модель адекватна с системой, если вероятность того что
отклонение y не превышает предельной величины дельта, больше
допустимой вероятности.
Однако, фактическое использование данного критерия не всегда
возможно, т.к.:
1)для проектируемых или модернизируемых систем отсутствует
информация по выходным характеристикам объекта. А исследуются, как
правило, именно такие системы.
2)Система зачастую оценивается не по одной, а по множеству
характеристик, у которых может быть разная величина отклонения.
3)Характеристики могут быть случайными величинами и функциями, а
часто и нестационарными функциями.
4)Может отсутствовать возможность априорного точного задания
предельных отклонений и допустимых вероятностей
33

На
практике
оценка
погрешности
моделирования
(аттестация модели) состоит в выявлении степени
отклонения результатов от эталона. Выбор эталона и
определение значений его параметров необходимый
компонент аттестации модели.
Использование объекта-оригинала в качестве эталона снимает
проблему выбора (прямой метод аттестации). Проверка
адекватности в такой ситуации получает высокую степень
достоверности, поскольку позволяет определить полную
погрешность модели в некоторой области изменения
параметров.
Проблемы:
- натурный эксперимент возможен для существующих
объектов;
- обеспечение корректности его проведения (например,
непрерывности поддержания заданного характера внешних
воздействий, режимов функционирования);
- наличие неконтролируемых случайных помех, искажающих
34
результаты функционирования объекта.

Косвенные методы аттестации используют неформальные
подходы:
- анализ результатов на непротиворечивость. Включает
проверку взаимной непротиворечивости результатов,
непротиворечивости
результатов
при
изменении
параметров модели, соответствия основным законам
математички и физики. Результативным подходом
является проверка на граничных значениях параметров;
- проверка сходимости результатов к известным значениям.
Исходным
данным
присваиваются
значения,
принадлежащие области, для которой результаты
известны;
- проверка согласованности результатов моделирования с
результатами, полученными другими исследователями
при изучении аналогичных объектов. Модификаций
подхода является разработка системы моделей с
различными допущениями и ограничениями, что
позволяет оценить значимость принятых предположений.
35

Анализ адекватности требует проведения исследования
модели, т.е. проведения экспериментов.
Косвенные методы не гарантируют полную проверку
адекватности модели и объекта-оригинала. Они способны
выявить неадекватность, но доказать адекватность
нельзя.
Модель считают адекватной, если не обнаружены факты ее
неадекватности.
Проблема адекватности в полном объеме неразрешима:
- формализация объекта не является формальной
процедурой;
- невозможно проверить адекватность во всем диапазоне
изменения исходных данных;
- в программной реализации сложной модели нельзя
гарантировать полное отсутствие ошибок.
Проверку адекватности следует осуществлять на всех этапах
разработки модели.
36

При разработке клиентских программ экономических информационных систем должны соблюдаться ряд требований к их качеству. Все требования к оценкам качества клиентских программ можно разделить на три группы:

– общие требования, связанные с качеством математической модели;

– общие требования, связанные с качеством алгоритма;

– общие требования, связанные с качеством программных модулей.

Рассмотрим эти группы требований подробней.

15. 1. Оценки качества математических моделей

Пусть, при рассмотрении первой группы требований к оценке качества моделей, в качестве примера, рассматривается адаптивная модель, обеспечивающая динамическую перестройку объекта - оригинала с помощью алгоритма идентификации и правил принятия решений по обучающей Рассмотрим проблему построения модели и определим, как реализуется качество такой модели. Отметим, что качеством модели принято считать уровень достижения свойств модели.

Существуют три научных проблемы, которые необходимо решить при создании математической модели исследуемой системы:

· прежде всего, должна быть определена целенаправленность модели. Поскольку модель отображает оригинал не во всей его полноте (модель конечна, а объект неисчерпаем), то осуществляют концептуальный целевой выбор свойств объекта-оригинала. Модель должна отражать наиболее существенные свойства объекта с концептуальной точки зрения;

· затем обеспечивают адекватность модели, исходя из двух требований: во–первых, модель должна адекватно отображать актуальное состояние объекта-оригинала (свойство наблюдаемости объекта), и, во–вторых, она должна адекватно отражать преобразование объекта из актуального состояния в целевое (свойство управляемости объекта);

· Кроме того, модель должна обладать простотой реализации и требовать для своего создания минимальных вычислительных и других видов ресурсов. Иначе она будет представлять лишь чисто научный интерес.

Целенаправленность модели определяется ее функциональностью. Под функциональностью понимают пригодность модели для достижения поставленной цели.

Адекватность модели исследуемому объекту-оригиналу можно представить точностью или обратной ей величиной - погрешностью модели. Конечность свойств модели объекта исследования неизбежно приводит к тому, что любая модель является упрощенной (аппроксимированной). Это считается тривиальным, так как все соглашаются с неизбежностью того, что модель соответствует оригиналу с некоторой погрешностью. Разность значений наблюдаемых параметров объекта и модели и составят погрешность модели. Необходимо добиваться того, чтобы эта погрешность была минимальной и приемлемой практически. Погрешность или точность можно измерить аналитическими или стохастическими методами.

Простота в реализации модели определяется как еще одна причина вынужденной аппроксимации модели. Всегда существует необходимость практической реализации модели и реального оперирования с ней. Сложные модели практически невозможно реализовать и использовать по назначению. Очень сложные модели имеют чисто научную ценность. Опыт показывает, что сложные модели редко дают хорошую сходимость результатов. Часто упрощенные модели дают огромный выигрыш в потребляемых вычислительных ресурсах по сравнению со сложными моделями. Количественно сложность модели может быть определена затратами на ее реализацию.

Следовательно, при создании модели исследуемого явления нужно стремиться к тому, чтобы она была целенаправленной, адекватно отражала все наиболее существенные стороны моделируемого явления или системы и соответствовала требованиям простоты.

15.2. Оценки качества алгоритмов

Основным критерием оценки качества алгоритма является логическая сложность алгоритма. Рассмотрим ее на примере алгоритма идентификации или распознавания. К ним относят, например, "алгоритмы вычисления оценок" (АВО) и "алгоритмы решающих правил" (АРП). Из высокой сложности алгоритма следует высокая сложность их программной реализации, а также низкое быстродействие и сложность анализа результатов. Это качественные критерии оценки качества алгоритмов.

В качестве количественных критериев оценки качества алгоритмов часто используется вероятность ошибки алгоритма, которая характеризует уровень точности алгоритма.

При реализации алгоритмов идентификации различают:

· условную вероятность ошибочной идентификации;

· ожидаемую инструментальную ошибку идентификации;

· ожидаемую ошибку идентификации на выборке заданного размера.

Кроме того, в качестве еще одного количественного критерия качества алгоритма используется функция потерь. Среди функций потерь выделяют:

· функцию ожидаемых потерь (вероятность потерь, вызванных методами идентификации);

· эмпирическую (статистическую) функцию средних потерь, учитывающий случайный характер факторов идентификации.

Необходимо отметить, что понятие ошибка алгоритма идентификации предполагает, что существует независимый от алгоритма способ распознавания состояний объекта, позволяющий достоверно определить к какому виду относится каждое состояние объекта. Обычно (но не всегда) считается, что таким способом является метод экспертной оценки алгоритма.

На этой основе может быть сформулирован соответствующий критерий качества алгоритмов распознавания, который можно было бы определить как степень соответствия экспертным оценкам человека–специалиста расчетным данным. Величина расхождения значений экспертных оценок с расчетными представляет собой погрешность алгоритма.

Следовательно, при создании алгоритма модели исследуемого явления нужно стремиться к тому, чтобы он был несложным, отражал все наиболее существенные стороны моделируемого явления и соответствовал требованиям простоты.

15.3. Оценки качества клиентских программ

Оценка качества свойств клиентских программ является одной из главных задач программирования. Что должно входить в программу, с чем она должна быть согласована – необходимо заранее отразить в задании на программирование.

Критерии оценки качества программных свойств формулируются как основные характеристики клиентских программ иди как комплекс оценок качества таких свойств как: безотказность, восстанавливаемость, полнота, избыточность, согласованность, бездефектность, стоимость и другие потребительские свойства. Это качественные (неколичественные) свойства программ, наиболее важным из которых является бездефектность.

Кроме констатации дефекта, оценка качества бездефектности программы должна определить степень серьезности дефекта – сколь тяжелы его возможные последствия. Этот количественный показатель может отображать величины социального, технического, экономического и экологического ущерба в зависимости от степени его серьезности.

Наиболее часто встречающийся дефект программы - это отсутствие согласованности между клиентской программой и реализуемой моделью и алгоритмом. Другой часто встречающийся дефект – несогласованность программы с логической моделью задачи. Он, как правило, является следствием ошибок постановщика и разработчика программы.

Еще одним количественным показателем оценки качества бездефектности программы может быть, показатель вероятности проявления дефектов. Подчеркнем, что серьезность дефекта и вероятность проявления дефекта являются принципиально разными оценками. Фактически все методики оценки качества свойства программ сливаются в одну – серьезность дефекта.

Оценка стоимости программы, обычно, очень тесно связана с функциональностью программы и, как правило, приводит к функционально-стоимостному анализу программ одного типа от разных производителей.

Оценка качества функциональности программы возможна на основе использования метода Quality Function Deployment - QFD (Функциональное Развертывание Качества), который был предложен в Японии еще в 1966 году. Однако его применение осложняется большой размерностью матрицы (критериев оценки качества программ) и сопоставления характеристик программ. Для снижения размерности матрицы предлагается отдельно рассматривать независимые характеристики, группировать (обобщать) типичные характеристики на основе принятых стандартов, использовать автоматизированную обработку (разложение/сборка) матрицы.

Для рассмотрения качества клиентских программ, часто вводят еще такое понятие как, интегральный критерий оценки качества модели, алгоритма и программных модулей. В плане количественного определения такого интегрального критерия оценки можно предложить метод сведение многокритериальной задачи к однокритериальной, путем аддитивной или мультипликативной свертки учитываемых критериев оценки качества.

В заключение отметим, что качественной, с точки зрения предложенных выше критериев оценки качества КП, можно считать точную (адекватную) модель, простой быстродействующий алгоритм с простой программной реализацией.

Читайте также: