Классическая теория электропроводности реферат
Обновлено: 03.07.2024
Основы классической электронной теории
электропроводности металлов
Таким образом, даже при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов в 10 8 раз меньше средней скорости теплового движения .
Друде (Drude)
Вывод закона Ома в дифференциальной форме
в классической электронной теории
Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное
Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального
Подставив это выражение в
Вывод закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме в классической теории электропроводности
К концу свободного пробега электрон приобретает скорость , и, следовательно, дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой
Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, и передает энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/t соударений, сообщая всякий раз решетке энергию . Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделяться тепло
где n - число электронов проводимости в единице объема. Величина есть не что иное, как удельная мощность тока. Множитель при совпадает со значением (18.3) для закона Ома. Таким образом. Мы пришли к выражению закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
В словесной формулировке звучит следующим образом [2]
Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину электрического поля
Математически может быть выражен в следующей форме:
где w — мощность выделения тепла в единице объёма, — плотность электрического тока, — напряжённость электрического поля, σ — проводимость среды.
Закон также может быть сформулирован в интегральной форме для случая протекания токов в тонких проводах [3] :
^ Количество теплоты , выделяемое в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке и сопротивлению участка
В математической форме этот закон имеет вид
где dQ — количество теплоты, выделяемое за промежуток времени dt, I — сила тока, R — сопротивление, Q — полное количество теплоты, выделенное за промежуток времени от t1 до t2. В случае постоянных силы тока и сопротивления:
^
Практическое значение
Снижение потерь энергии
При передаче электроэнергии тепловое действие тока является нежелательным, поскольку ведёт к потерям энергии. Поскольку передаваемая мощность линейно зависит как от напряжения, так и от силы тока, а мощность нагрева зависит от силы тока квадратично, то выгодно повышать напряжение перед передачей электроэнергии, понижая в результате силу тока. Однако, повышение напряжения снижает электробезопасность линий электропередачи.
Для применения высокого напряжения в цепи для сохранения прежней мощности на полезной нагрузке приходится увеличивать сопротивление нагрузки. Подводящие провода и нагрузка соединены последовательно. Сопротивление проводов () можно считать постоянным. А вот сопротивление нагрузки () растёт при выборе более высокого напряжения в сети. Также растёт соотношение сопротивления нагрузки и сопротивления проводов. При последовательном включении сопротивлений (провод — нагрузка — провод) распределение выделяемой мощности () пропорционально сопротивлению подключённых сопротивлений.
Ток в сети для всех сопротивлений постоянен. Следовательно, выполняются соотношение
и в каждом конкретном случае являются константами. Следовательно, мощность, выделяемая на проводах, обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки, то есть уменьшается с ростом напряжения, так как . Откуда следует, что . В каждом конкретном случае величина является константой, следовательно, тепло выделяемое на проводе обратно пропорционально квадрату напряжения на потребителе.
^
Выбор проводов для цепей
Тепло, выделяемое проводником с током, в той или иной степени выделяется в окружающую среду. В случае, если сила тока в выбранном проводнике превысит некоторое предельно допустимое значение, возможен столь сильный нагрев, что проводник может спровоцировать возгорание находящихся рядом с ним объектов или расплавиться сам. Как правило, при сборке электрических цепей достаточно следовать принятым нормативным документам, которые регламентируют, в частности, выбор сечения проводников.
^
Электронагревательные приборы
Если сила тока одна и та же на всём протяжении электрической цепи, то в любом выбранном участке будет выделять тепла тем больше, чем выше сопротивление данного участка.
За счёт сознательного увеличения сопротивления участка цепи можно добиться локализованного выделения тепла в этом участке. По этому принципу работают электронагревательные приборы. В них используется нагревательный элемент — проводник с высоким сопротивлением. Повышение сопротивления достигается (совместно или по отдельности) выбором сплава с высоким удельным сопротивлением (например, нихром, константан), увеличением длины проводника и уменьшением его поперечного сечения. Подводящие провода имеют обычное низкое сопротивление и поэтому их нагрев, как правило, незаметен.
^
Плавкие предохранители
Для защиты электрических цепей от протекания чрезмерно больших токов используется отрезок проводника со специальными характеристиками. Это проводник относительно малого сечения и из такого сплава, что при допустимых токах нагрев проводника не перегревает его, а при чрезмерно больших перегрев проводника столь значителен, что проводник расплавляется и размыкает цепь.
Связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (закон Видемана-Франца)
Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре. Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы. Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а электронами. Рассматривая электроны как одноатомный газ, для коэффициента теплопроводности можно заимствовать выражение кинетической теории газа где - плотность газа; .
Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.
Электронная теория Друде-Лоренца
Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.
Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют "электронный газ".
Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ .
Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.
Приведем основные положения теории Друде:
- Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
- Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
- Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1 τ .
- Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.
Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.
В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.
Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.
Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.
Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.
Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:
Здесь k - постоянная Больцмана, T - температура металла, m - масса электрона.
При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц "электронного газа" накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u . Величину этой скорости можно оценить из соотношения:
где j - плотность тока, n - концентрация свободных электронов, q - заряд электрона.
При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз ( ≈ 10 8 ) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что
Формула Друде
Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:
Здесь m * - эффективная масса электрона, τ - время релаксации, то есть время, за которое электрон "забывает" о том, в какую сторону двигался после соударения.
Друде вывел закон Ома для токов в металле:
Опыт Толмена и Стюарта
В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.
Суть опыта была в следующем.
Опыт Толмена и Стюарта
Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.
Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v ' (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.
Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E = - m v ' q . Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:
ε = ∫ L E d l = - m v ' q ∫ L d l = - m v ' q L
Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время d t :
d q = I d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R
Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:
q = - m L q R ∫ v 0 0 d v = - m L v 0 q R
Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение q m соответствовало отношению заряда электрона к его массе.
При T = 300 К вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Недостатки классической теории электропроводности. Классическая теория электропроводности дает правильную зависимость плотности тока и количества выделяемой теплоты от напряженности поля. Однако она не приводит к правильным количественным результатам. Главные расхождения теории с экспериментом состоят в следующем:
1) для того чтобы получить правильные значения s , надо принять l очень большим (в тысячи раз большим межатомных расстояний);
2) удельная электропроводность меняется с температурой по закону . Классическая теория дает, поскольку и , ;
3) по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы свободные электроны должны давать значительный вклад в теплоемкость проводников, которая в эксперименте не наблюдается.
О зонной теории. Удельная проводимость s металлов при комнатной температуре меняется примерно в пределах от 6 × 10 3 до 6 × 10 5 Ом –1 × см –1 . Твердые вещества с удельной проводимостью примерно от 10 4 до 10 –10 Ом –1 × см –1 принято относить к классу так называемых полупроводников, а вещества с еще меньшей s (приблизительно от 10 –10 до 10 –20 Ом –1 × см –1 ) – к классу диэлектриков или изоляторов. Носителями тока в металлах являются электроны. В полупроводниках и диэлектриках носителями тока могут быть как электроны, так и ионы.
Для понимания процессов, происходящих в металлах и полупроводниках, рассмотрим структуру энергетических уровней или энергетический спектр электронов в этих телах. Кристаллическая решетка металла или полупроводника образуется из отдельных атомов. Энергетические уровни изолированного атома схематично представлены на рис. Для водородоподобного атома энергия электрона на n-ом уровне дается формулой
,
где A – положительная величина, индивидуальная для данного вида атома. Помимо главного квантового числа n, состояние электронов в атоме характеризуется набором других квантовых чисел (орбитальным моментом импульса, его ориентацией и ориентацией спина электрона). Без учета взаимодействия электронов друг с другом, уровни энергии являются вырожденными – одному значению энергии соответствует несколько квантовых состояний. Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака и, поэтому в каждом квантовом состоянии может находиться только один электрон. Как показывает теория на энергетических уровнях с n равным 1, 2, 3, 4, 5 могут находиться соответственно 2 n 2 ( 2, 8, 18, 32, 50) электронов. Энергетические уровни заполняются, начиная с n = 1. Очередной уровень заполняется после заполнения предшествующего. Совокупность электронов с определенным значением n называется оболочкой атома. Оболочки принято обозначать буквами по следующей схеме:
n 1 2 3 4 5
название оболочки K L M N O
Рассмотрим теперь N тождественных атомов, удаленных друг от друга настолько, что их взаимодействием можно пренебречь. Энергетический уровень атома превращается в N-кратно вырожденный энергетический уровень системы. При сближении атомов, из-за взаимодействия между ними, отдельный кратный уровень расщепится на N близко отстоящих уровней (вырождение снимается). Эта совокупность энергетических уровней называется энергетической зоной. Говорят о K-зоне, L-зоне и т.д. по их соответствию K, L . оболочкам изолированных атомов.
Энергетические уровни каждой зоны можно рассматривать как непрерывные (эти уровни разделены по энергии на ничтожно малую величину). Соседние энергетические зоны, вообще говоря, разделены конечными интервалами энергии (по порядку величины равными расстоянию между соответствующими энергетическими уровнями изолированных атомов). Эти интервалы называются запрещенными зонами, так как энергия электрона не может принимать значения, лежащие внутри таких интервалов. В противоположность запрещенным, зоны с дозволенными значениями энергии называются разрешенными.
Таким образом, энергетический спектр электронов твердого тела состоит из разрешенных и запрещенных зон. Рассмотренная схема энергетических уровней изолированного атома является идеализированной. Если учесть взаимодействие электронов, то окажется, что энергия электронов в оболочке не одинакова, а зависит, например, от момента импульса. При этом энергия электрона с более высоким значением n может быть не больше, а меньше энергии электронов на предшествующем уровне. В результате изменится последовательность заполнения электронами оболочек. Соответственно изменится и структура энергетических зон кристалла и их заполнение электронами. Однако общий характер спектра твердого тела не изменится.
Основным состоянием твердого тела является состояние с наименьшей энергией. Поэтому при температуре 0 К будут заполнены квантовые состояния электронов с самыми низкими значениями энергии. Ввиду конечного числа электронов имеется конечный заполненный уровень с наибольшей энергией, а последующие уровни свободны. Таким образом, при 0 К существует резкая граница между заполненными и свободными уровнями. При температуре, отличной от 0 К, эта граница в результате теплового движения электронов размывается. Если граница лежит внутри зоны, то ширина переходной области от практически полностью заполненных до практически свободных энергетических уровней имеет порядок kT.
Внесем тело в постоянное электрическое поле. В результате взаимодействия электронов с полем их энергетические уровни смещаются, и взаимное расположение уровней станет другим. Движение электрона в квантовой механике рассматривается как процесс перехода из одного квантового состояния в другое.
Рассмотрим случай, когда все квантовые состояния зоны заполнены. При небольших (непробойных) полях вероятность перехода электрона на энергетический уровень следующей свободной зоны незначительна. Поэтому электроны зоны не могут быть носителями тока – тело оказывается изолятором.
Рассмотрим теперь случай, когда только часть квантовых уровней зоны заполнена электронами, а остальные уровни свободны. При наложении поля из-за смещения энергетических уровней получится другая система наиболее низких уровней (уровни, бывшие наиболее низкими в отсутствии поля, могут перестать быть таковыми после наложения поля). В результате начнутся квантовые переходы. Они будут сопровождаться пространственными перемещениями электронов. Если электроны не могут уходить из тела, то этот процесс быстро прекратится, так как возникающие заряды создадут поле, компенсирующее внешнее поле. Если же электроны отводить и поставлять в соответствующих местах, то квантовые переходы будут продолжаться непрерывно, пока есть электрическое поле, – возникает электрический ток. Рассмотренный случай соответствует металлам, и поэтому металлы оказываются проводниками электрического тока.
В полупроводниках верхняя полностью заполненная зона (валентная зона) отделена от вышележащей полностью свободной зоны (зона проводимости) конечным интервалом энергии De . Поэтому при абсолютном нуле полупроводники не проводят электрический ток, т.е. являются изоляторами. Изоляторы отличаются от полупроводников только большими значениями ширины запрещенной зоны De . Условно к изоляторам относят те полупроводники, для которых De превосходит примерно 2 эВ. Никакого качественного различия между полупроводниками и изоляторами нет. Различие – чисто количественное.
При повышении температуры, увеличивается внутренняя энергия тела. Часть этой энергии получают электроны, и некоторая доля электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости. Электроны, перейдя в зону проводимости, начинают проводить ток (так же как в металлах). Но проводимость возникает и по другой причине. В валентной зоне освобождаются квантовые состояния, не занятые электронами. Такие квантовые состояния получили название дырок. Квантовые переходы электронов в валентной зоне можно трактовать как перемещение положительно заряженных дырок. Поэтому различают электронную и дырочную проводимость полупроводников. Конечно, истинными носителями тока в металлах и полупроводниках являются электроны. Дырок, как реально существующих положительно заряженных частиц, в действительности нет. Представление о дырках упрощают анализ свойств твердого тела.
Электропроводность полупроводников, рассмотренную ранее, называют собственной электропроводностью в отличие от примесной электропроводности, обусловленную наличием примесных атомов. Уже ничтожные количества примесей сильно увеличивают электропроводность полупроводников. В металлах наблюдается обратная ситуация: примеси всегда уменьшают электропроводность.
Такое поведение полупроводников объясняется тем, что примеси дают добавочные энергетические уровни, располагающиеся в запрещенной зоне полупроводника. Допустим, что добавочные уровни появились вблизи нижнего края зоны проводимости (рис.). С этих уровней электроны будут переходить в зону проводимости. Количество электронов в зоне проводимости, а с ними и (электронная) электропроводность полупроводника могут значительно увеличиться. Примеси такого типа называются донорными примесями, энергетические уровни – донорными уровнями, а сами полупроводники – полупроводниками n-типа. Примером донорной примеси могут служить атомы мышьяка в кристаллической решетке кремния.
Допустим, что при введении примесного атома добавочные уровни в запрещенной зоне появляются вблизи верхнего края валентной зоны. Тогда электроны из валентной зоны начнут переходить на эти добавочные уровни. В валентной зоне появятся дырки, а с ними и дырочная электропроводность полупроводников. Соответствующие примеси называются акцепторными примесями, энергетические уровни – акцепторными уровнями, а сами полупроводники – полупроводниками p-типа. Примером акцепторной примеси могут служить атомы бора в кремнии.
Какой проводимостью обладает полупроводник – электронной или дырочной – об этом можно судить по знаку эффекта Холла.
Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников. Дрейфовая скорость u электронов проводимости (или других свободных носителей заряда) в металлах и полупроводниках в широком диапазоне линейно зависит от напряженности электрического поля
,
где коэффициент пропорциональности m называется подвижностью электронов (или соответствующего носителя заряда). Согласно определению плотности тока ( ) получаем формулу для удельного сопротивления
.
Температурная зависимость удельного сопротивления определяется, таким образом, температурной зависимостью концентрации электронов проводимости n и их подвижности m .
Качественное различие между металлами и полупроводниками проявляется в характере зависимости удельного сопротивления от температуры. С понижением температуры сопротивление металлов уменьшается и для чистых металлов стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. У полупроводников, напротив, с понижением температуры сопротивление возрастает, вблизи абсолютного нуля полупроводник фактически становится изолятором. При высоких температурах проводимость полупроводников приближается к проводимости металлов. Такой ход сопротивления объясняется тем, что концентрация носителей тока (электронов проводимости) в металлах практически не зависит от температуры, а в полупроводниках носители тока сами возникают в результате теплового движения. Температурная зависимость электросопротивления металлов определяется температурной зависимостью подвижности электронов. Электросопротивление полупроводников определяется в основном экспоненциальной температурной зависимостью концентрации носителей заряда.
Квантовомеханическое рассмотрение электропроводности чистых металлов при обычных температурах приводит к линейной зависимости сопротивления от температуры . В практических приложениях используют формулу
,
где – удельное сопротивление металла при 0 ° С, t – температура в градусах Цельсия, a – температурный коэффициент сопротивления (для чистых металлов a@ 1/273).
Для сопротивления собственных и примесных полупроводников квантовомеханический подход дает зависимость
,
где – величина, с менее выраженной по сравнению с экспоненциальным множителем температурной зависимостью ; – константа, равная ширине запрещенной зоны для собственных полупроводников или энергии ионизации примесных атомов для примесных полупроводников.
ГОСТ
Электронная теория проводимости
Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. Эту теорию создал Друде, а доработал Лоренц. Он исходил из того, что электроны в металле ведут себя как молекулы идеального газа. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики.
В этой теории считают, что взаимодействие электронов между собой несущественно, а взаимодействие ионов и электронов осуществляется только как соударения.
В промежутках между соударениями электроны движутся свободно, проходя в среднем путь $\lambda $. Взаимодействия электронов и ионов (их соударения) ведут к тому, что кристаллическая решетка и электронный газ приходят в состояние теплового равновесия. На электронный газ Друде распространил результаты кинетической теории газов.
Так, например, среднюю скорость движения электронов делают в соответствии с формулой:
где $k$ -- постоянная Больцмана, $m_e$ -- масса электрона.
В том случае, если проводник находится во внешнем электрическом поле, то на тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение с некоторой скоростью $\left\langle u\right\rangle .$ Размер этой скорости можно оценить из формулы:
\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2\right),\]
где $n$ -- концентрация свободных электронов, $q_e$ -- величина заряда электрона, $j$ -- плотность тока. Расчеты показывают, что $\left\langle u\right\rangle \approx ^\frac$, тогда как $\left\langle v\right\rangle \approx ^5\frac$ . Получается, что при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов в $^8$ раз меньше, чем их средняя скорость хаотического движения. Следовательно, если требуется вычислить модуль суммарной скорости, то полагают, что:
Определим, насколько внешнее электрическое поле изменяет среднее значение кинетической энергии электронов. Средний квадрат суммарной скорости равен:
\[\left\langle <\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)>^2\right\rangle =\left\langle v^2+2\overrightarrow\cdot \overrightarrow+u^2\right\rangle =\left\langle v^2\right\rangle +\left\langle 2\overrightarrow\cdot \overrightarrow\right\rangle +\left\langle u^2\right\rangle \left(4\right),\]
То, что электроны будут иметь скорость теплового движения равную $\left\langle v\right\rangle ,\ $а скорость упорядоченного движения составит $\left\langle u\right\rangle $ -- независимые события, следовательно, из теоремы об умножении вероятностей можно записать, что:
\[\left\langle \overrightarrow\cdot \overrightarrow\right\rangle =\left\langle \overrightarrow\right\rangle \cdot \left\langle \overrightarrow\right\rangle \left(5\right).\]
Но мы знаем, что $\left\langle \overrightarrow\right\rangle =0$, значит выражение (4) примет вид:
\[\left\langle <\left(\overrightarrow
Можно сделать вывод о том, что наложение внешнего поля увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на величину, равную:
Друде считал, что при соударении электрона с ионом, энергия, представленная в выражении (7) передается от электрона иону, при этом скорость электрона после удара становится равной нулю. Исходя из этой предпосылки Друде получал закон Ома в виде:
где величина, которая стоит перед напряженностью электрического поля (E), есть не что иное, как коэффициент удельной проводимости ($\sigma $), равный:
Поучилось, что по классической электронной теории электросопротивление металлов вызвано соударениями электронов об ионы, в узлах кристаллической решетки.
Также, классическая теория объяснила закон Джоуля -- Ленца. Опять - таки, соударениями электронов с ионами решетки, и выделением тепла в их результате.
Эта теория дала качественное толкование закона Видемана -- Франца исходя из посыла о том, что теплопередача осуществляется в металле не кристаллической решеткой, а свободными электронами и рассматривая эти электроны как одноатомный газ. При этом было использовано выражение для коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов.
Однако эта теория не смогла объяснить все явления связанные с поведением металлов в электрических полях. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени. Следующая серьезная проблема, с которой столкнулась классическая теория электронной проводимости, было объяснение того, что теплоемкость металлов несущественно отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов (тогда как согласно классической теории получалось, что молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков).
Опыты Толмена и Стюарта
Прямое доказательство того, что электрический ток в металлах вызван движением электронов было сделано в опытах Толмена и Стюарта (1916 г.). Идея этих опытов была выдвинута Мандельштамом и Папалески еще в 1913 г.
Проводящая катушка может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки замыкают на гальванометр посредством скользящих контактов. Катушку, вращающуюся с высокой скоростью, резко тормозят. При этом свободные электроны продолжают по инерции двигаться. Гальванометр регистрирует импульс тока.
Если через $\dot$ обозначить линейное ускорение катушки в момент торможения (оно направлено по касательной к поверхности катушки, а при плотной намотке и тонких проводах можно положить, что ускорение направлено вдоль проводов), при торможении каждому свободному электрону приложена сила инерции ($F_i$), направленная противоположно ускорению, равная:
где $m_e$ -- масса электрона. Под воздействием силы $F_i$ электрон ведет себя так, как на него действовало бы поле ($E_$):
Следовательно, ЭДС в катушке может быть записана как:
где $L$ -- длина провода на катушке. Считаем, что все токи провода тормозятся с одним ускорением. Закон Ома для нашей цепи можно записать в виде:
где $I$ -- сила тока в цепи, $R$ -- полное сопротивление цепи. Заряд, который протекает по цепи за время dt, будет равен:
В таком случае за время торможения от скорости $v\left(t=0\right)=v_0$ до остановки, через гальванометр пройдет заряд, равный:
В опыте величину $q$ находили по показаниям гальванометра, $L,\ R$, $v_0$ были известны. Следовательно, можно найти знак и величину $\frac$. Опыты показали, что найденное отношение соответствует отношению заряда электрона к его массе. Так, доказано, что ток, который проходит через гальванометр, вызван движением электронов.
Задание: Вычислите среднюю скорость теплового движения электронов при T=300K.
Так как электронный газ подчиняется тем же законам, что идеальный газ, то среднюю скорость вычислим используя формулу:
Ответ: $\left\langle v\right\rangle \approx ^5\frac.$
Задание: Вычислите скорость упорядоченного движения электронов, если металл находится в электрическом поле. Сравните ее со средней скоростью теплового движения электронов в медных проводах, если предельная допустимая плотность тока для них равна $^7\frac$, концентрация электронов меди n=$^м^.$
Используем формулу для вычисления плотности тока:
\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2.1\right).\]
Скорость упорядоченного движения электронов выразим как:
\[\left\langle u\right\rangle =\frac\left(2.2\right),\]
Используем результат, полученный в примере 1, получим, что отношение ($\frac<\left\langle v\right\rangle ><\left\langle u\right\rangle >$)=$^8$.
Согласно классической теории (Друде, Лорентц) металлы можно рассматривать как кристаллический остов, состоящий из положительных ионов, погруженных в среду из свободных коллективизированных электронов, называемой "электронным газом". 24 Электронному газу приписываются свойства идеального газа, т. е. движение электронов подчиняется законам классической статистики (статистики Максвелла– Больцмана), согласно которой распределение электронов по энергетическим состояниям F(Э) описывается экспоненциальной функцией вида:
k — постоянная Больцмана;
Концентрация свободных электронов может быть рассчитана по формуле ,
где ρ — плотность материала;
А — атомная масса;
N0 — число Авогадро.
Согласно атомно-кинетической теории идеальных газов средняя кинетическая энергия электронов линейно возрастает с температурой:
где uср — средняя скорость теплового движения;
m0 – масса электрона.
Под действием приложенного напряжения электроны получают добавочную скорость движения в направлении поля, что приводит к возникновению электрического тока.
Плотность тока в проводнике J равна:
где vср – средняя скорость направленного движения носителей заряда (скорость дрейфа);
n – концентрация электронов.
На длине свободного пробега электроны под действием электрического поля Е движутся с ускорением а равном:
Максимальная скорость дрейфа, приобретаемая электроном к концу свободного пробега:
где τо — время свободного пробега.
Среднее значение скорости дрейфа на длине свободного пробега равно половине максимального, так как для большинства электронов скорость направленного движения после столкновения падает до нуля (вся энергия передается атомам решетки):
Поскольку vср « uср, то при расчете времени свободного пробега vср можно не учитывать:
где l — средняя длина свободного пробега электронов.
Подстановка полученных соотношений в формулу для плотности тока приводит к следующему результату:
где γ – удельная проводимость.
Плотность тока в формуле 2.9 пропорциональна напряженности электрического поля (закон Ома). Если при выводе формулы (2.9) рассмотреть действие электрического поля не на один электрон, а на всю совокупность свободных электронов, то средняя дрейфовая скорость электронов окажется вдвое больше и выражение для удельной проводимости принимает следующий вид:
Таким образом, классическая теория электропроводности объясняет основные законы протекания электрического тока в проводниках, в частности закон Ома, закон Джоуля–Лентца, закон Видемана–Франца. Однако она не может объяснить механизм электропроводности полупроводников и ряд явлений в проводниках (сверхпроводимость, закон Дюлонга и Пти, большая длина свободного пробега). Основные недостатки классической теории удалось преодолеть с помощью квантовой теории металлов (И. Френкель, А. Зоммерфельд).
1.2.2 Квантовая теория электропроводности.
Квантовая статистика основывается на принципе Паули, согласно которому в каждом энергетическом состоянии может находиться только один электрон. Следовательно, с классической точки зрения энергия всех электронов при температуре абсолютного нуля должна равняться нулю. А по принципу Паули даже при абсолютном нуле число электронов 27 на каждом уровне не может превышать двух. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:
где Э — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется;
ЭF – энергия эталонного уровня
Энергию ЭF называют уровнем Ферми. При Т = 0 К уровень Ферми – это уровень, энергия которого соответствует верхней границе электронного распределения. При температуре отличной от абсолютного нуля уровень Ферми – это уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2 и относительно которого кривая вероятности симметрична.
График функции распределения электронов по уровням энергии при условии, что Т > 0 К представлен на рисунке 2. 1.
I — уровни, почти заполненные;
II — интервал размытия;
III — уровни, почти полностью свободные.
Рисунок 2.1 – Распределение электронов в частично заполненной зоне (а) и функция вероятности заполнения электронами уровней (б)
Из формулы (2.11) можно видеть, что при любой температуре для уровня с энергией Э = ЭF вероятность заполнений электронами равна 0,5. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 0,5 заполнены электронами. Наоборот, всё уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью более 0,5 свободны от электронов (рисунок 2. 1).
Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям. При температуре 0 К это приводит к следующему результату:
где m* n – эффективная масса электрона.
Эффективная масса – это масса электрона, учитывающая влияние периодического поля кристаллической решетки.
Электронный газ, состояние которого описывается статистикой Ферми−Дирака, называют врожденными. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля. В состоянии вырождения средняя энергия электронного газа практически не зависит от температуры. Электронный газ в металле остается вырожденным вплоть до температуры снятия вырождения, которая превышает не только температуру плавления, но и температуру испарения металлов.
Под действием поля вся совокупность свободных электронов с концентрацией n приобретает добавочную скорость направленного движения, равную vF. С учетом этого обстоятельства, выражения для плотности тока (2.4) и удельной проводимости (2.10) принимают вид:
Из формулы (2.12) находим:
Выражая через концентрацию электронов и подставляя полученный результат в (2.14), получим выражение для удельной проводимости:
1.2.3 Удельное сопротивление проводников.
Величину, обратную удельной проводимости γ, называемую удельным сопротивлением ρ. Единицей удельного сопротивления в СИ является Ом·м.
Величину удельного сопротивления металлического проводника на основании электронной теории металлов можно определить следующим образом:
где m — масса электрона;
uср – средняя скорость теплового движения электрона внутри металлического проводника;
l – средняя длина свободного пробега электрона.
Выражения для удельного сопротивления на основе выводов квантовой волновой механики имеет вид:
где h — постоянная Планка;
К — числовой коэффициент.
Вещества с идеальной кристаллической решеткой характеризуются наименьшим удельным сопротивлением; примеси, искажая решетку, приводят к его увеличению. К этому выводу можно прийти как на основе классической, так и основе квантовой теории электропроводности.
Читайте также: