Ких бих фильтры реферат

Обновлено: 02.07.2024

Инвариантное преобразование импульсной характеристики (стандартное Z-преобразование). Билинейное (дробно-линейное) Z-преобразование. Согласованное Z-преобразование. Методы оптимизации для расчета БИХ-фильтров. Расчет БИХ фильтров во временной области.

Цифровые системы - это системы с цифровыми сигналами на входе и выходе. Их ядром обычно является ЦВМ. Человечество создало мало объек тов, имеющих цифровую природу, поэтому общий термин цифровая система применяется редко. Гораздо чаще встречаются термины цифровой фильтр или система цифрового управления, которые ярко отражают основную о б ласть применения этих систем. Нередко систему цифрового управления, так же называют цифровым фильтром. Итак, цифровой фильтр - это дискретно-временная система, выходной сигнал которой является модифицированной версией входного сигнала.

Фильтры являются основой для большинства приложений обработки сигналов. Типичное назначение - это извлечение или вырезка области спе к тра входного сигнала или определенной частоты. Используемые для конд и ционирования сигналов фильтры нередко называются частотно селектирующими, поскольку обычно разрабатываются на основе требований к частотной характеристике.

Методы расчета БИХ-фильтров

Расчет БИХ-фильтров можно вести в частотной и временной областях. При расчете в частотной области используется синтез по аналоговому и цифровому прототипам. Численные методы расчета разработаны для применения в частотной и временной областях.

Синтез по аналоговому прототипу основан на преобразовании p-плоскости в z-плоскость, а характеристик и параметров аналоговых фильтров в соответствующие характеристики и параметры цифровых фильтров. Передаточная функция аналогового фильтра на p-плоскости в общем виде может быть записана так

Для перехода к функции и разностному уравнению ЦФ существуют следующие четыре метода.

Метод 1. Отображение дифференциалов. Это в наибольшей мерепростой метод, сущность которого заключается в замене дифференциалов на конечные разности. В операторном уравнении (1), если дифференциалы заменяются прямыми разностями, то

а если обратными, то

Недостатком метода является неполное соответствие частотно-избирательных свойств ЦФ свойствам аналогового прототипа. Кроме того, при использовании прямых разностей устойчивый аналоговый фильтр - прототип отображается в неустойчивый ЦФ. Поэтому, несмотря на простоту, применять этот метод не рекомендуется.

Метод 2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики (стандартное Z-преобразование). Сущность метода заключается в расчете импульсной характеристики (ИХ) ЦФ по аналоговому прототипу и вычислении системной (передаточной) функции ЦФ.

Достоинством данного метода является подобие импульсных характеристик ЦФ и аналогового прототипа; простота. Недостатком же является наличие эффекта наложения частотных характеристик ЦФ, если полоса пропускания аналогового прототипа превышает . Поэтому точность расчетов ЦФ по данному методу тем выше, чем меньше отношение

где - верхняя частота полосы пропускания ЦФ; - частота дискретизации.

Метод 3. Согласованное Z-преобразование. Полюсы и нули аналогового прототипа на p-плоскости отображаются в полюсы и нули ЦФ на z-плоскости по правилу

Для реализации этого метода передаточную функцию аналогового прототипа представляют в виде произведения сомножителей

где , - действительные или комплексно-сопряженные коэффициенты. Метод согласованного Z-преобразования не применим, если передаточная функция аналогового прототипа имеет только полюсы (нули расположены в бесконечности). Для устранения этого недостатка при расчетах фильтров с нулями в бесконечности рекомендуется вводить полюс того же порядка, что и нуль, в точке .

Метод 4. Билинейное (дробно-линейное) Z-преобразование. При отображении p-плоскости в z-плоскость вся мнимая ось , отображается в единичную окружность. Для этого необходимо выбирать нелинейную монотонную функцию частоты. Эта функция должна изменяться в пределах от до на оси частот дискретизации при изменении от до . В качестве такой функции комплексных частот можно выбрать гиперболический тангенс

которому при соответствует обычный тангенс

Гиперболический тангенс в выражении (2) можно представить следующим образом

Таким образом, комплексная плоскость p преобразуется в комплексную z-плоскость заменой переменных (3).

С помощью билинейных Z-преобразований можно от аналогового ФНЧ прототипа перейти к ЦФ нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовому, режекторному, гребенчатому и др.

Билинейное Z-преобразование обладает следующими достоинствами: во-первых, физически реализуемый и устойчивый аналоговый фильтр отображается в физически реализуемый и устойчивый ЦФ: во-вторых, отсутствуют проблемы, связанные с наложениями: в-третьих, нелинейность шкалы частот ЦФ, преобразованного из прототипа, можно учесть для широкого класса фильтров.

Недостатком этого метода является не совпадение импульсной и фазовой характеристик рассчитанного прототипа, поэтому необходимо вводить корректоры и усложнять конструкцию ЦФ. Тем не менее метод билинейного Z-преобразования является самым распространенным аналитическим методом расчета ЦФ.

Для синтеза БИХ ЦФ по цифровому прототипу используются преобразования ЦФ НЧ с безразмерной частотой среза в ЦФ НЧ с другой частотой среза, ЦФ ВЧ, полосовой, режекторный или гребенчатый фильтры. Методика расчета по цифровому прототипу проще, чем методика расчета по аналоговому прототипу, так как в ней отсутствует этап перехода от аналогового фильтра - прототипа к ЦФ.

Применение методов оптимизации для расчета БИХ-фильтров

В последние годы широкое распространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров, называемых методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, что система уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, не может быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентов приходится использовать численные методы оптимизации, минимизирующие, согласно выбранному критерию, некоторую ошибку.

В качестве такого критерия используется критерий минимума среднеквадратической ошибки. При этом целевая функция задачи имеет вид

где - ()-мерный вектор искомых коэффициентов, - получаемая амплитудная характеристика фильтра, - заданная амплитудная характеристика фильтра, , - дискретный ряд частот, на которых вычисляются отклонения получаемой и заданной характеристик фильтра.

Минимизация функции сводится к нахождению оптимального значения параметрического вектора весовых коэффициентов фильтра . Так как функция является нелинейной, для ее минимизации необходимо использовать эффективные методы оптимизации.

При использовании методов оптимизации учитывается поведение только амплитудной характеристики, поэтому некоторые полюсы или нули после завершения итераций могут оказаться за пределами единичного круга. В этом случае можно прежде всего заменить полюс с полярными координатами , оказавшийся вне единичного круга, на полюс с координатами , находящийся внутри единичного круга. Амплитудная характеристика фильтра при такой замене остается неизменной, так как полюс заменяется своим зеркальным отображением. После того, как все полюсы оказываются внутри единичного круга, появляется возможность с помощью дополнительного анализа еще больше оптимизировать квадрат ошибки. Такая ситуация возникает достаточно часто, и в этих случаях оптимизация должна производиться двумя этапами:

Использование программы оптимизации для минимизации функции без каких-либо ограничений на расположение нулей и полюсов.

После завершения итераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся вне единичного круга. После этого продолжение оптимизации для нахождения нового минимума .

Расчет БИХ фильтров во временной области

Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчета фильтров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразование импульсной характеристики h(k) фильтра равно

причем требуется, чтобы импульсная характеристика аппроксимировала заданную последовательность g(k) в диапазоне 0 ? k ? Р-1. Используя различные предположения, Баррас и Парке, а также Брофи и Салазар и другие авторы показали, что можно найти такой набор коэффициентов аi и bi что

будет минимальной. Здесь w(k) -- положительная весовая функция последовательности ошибки. Поскольку характеристика h(k) нелинейно зависит от параметров фильтра и , в общем случае задача минимизации е может быть решена только методом последовательных приближений. В частном случае, когда Р = n+m-1, искомые параметры фильтра, минимизирующие величину , можно найти, решив систему из (n+m) линейных уравнений. Рассмотрим этот метод подробнее. Для этого (считая, что а0= b0=1) представим импульсную характеристику фильтра в виде

В предположении, что g(k)= h(k) при k = 1, 2, . . ., m, решим систему уравнений вида (4.141) относительно коэффициентов ai, что дает g(k) = h(k) при k = m + 1, m + 2, . . ., m + n. Решив систему уравнений вида (4.140) при определенных значениях ai, найдем такие значения коэффициентов bi, для которых g(k> = h(k) при k = 1, 2, . . ., m. Эта процедура сводится к приравниванию первых (n+m+1) членов степенного разложения передаточной функции (1) z-преобразованию заданной импульсной характеристики фильтра g(k), усеченному за (n+m)-м членом. Такой метод аппроксимации степенных рядов рациональной функцией часто называют аппроксимацией Падэ. При аппроксимации заданной импульсной характеристики цифрового фильтра путем воспроизведения ее первых (n+m+1) отсчетов предполагается, что в целом импульсная и частотная характеристики получаемого в результате аппроксимации фильтра не будут существенно отличаться от заданных характеристик. При этом простого метода для нахождения хотя бы даже приближенно оценок отклонений любой из этих характеристик пока не существует. Приведем несколько конкретных примеров использования Лого метода для расчета КИХ-фильтров (примеры взяты из статьи Брофи и Салазара).

На фиг. 6 и 7 представлены характеристики двух фильтров, рассчитанных с использованием аппроксимации Падэ, которые предназначены для работы в системах передачи данных. Кривая А на фиг. 6 представляет собой требуемую амплитудную характеристику полосового фильтра. Частота дискретизации в данном и последующем примерах равна 7200 Гц. Этот фильтр должен обладать следующими характеристиками: ослабление на 3 дБ на частотах 200 и 3200 Гц, размах пульсаций в полосе пропускания менее 0,25 дБ, линейные фазовые характеристики в полосе пропускания и крутизна спада в полосе непропускания не менее 12 дБ на октаву. Кривой Б представлена амплитудная характеристика фильтра 24-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации Падэ. Наибольшая абсолютная величина ошибки отсчетов импульсной характеристики фильтра равна 0,0018. Фазовая характеристика рассчитанного фильтра приведена на фиг. 6 внизу.

Аналогичные кривые для полосового фильтра 10-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации амплитудной характеристики в предположении, что она имеет спады косинусоидальной формы, представлены на фиг. 7.

Фиг. 6. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)

Необходимо учитывать, что, так как при аппроксимации методом Падэ фильтр рассчитывается только во временной области, получающаяся при всём этом аппроксимация амплитудной характеристики в частотной области, как правило, не обеспечивает в полосе непропускания ослабления, превышающего 40 дБ. При этом коэффициенты фильтра, найденные этим методом, часто можно использовать в качестве начальных значений при расчете БИХ-фильтров, обладающих заданными частотными свойствами, более сложными методами оптимизации.

Фиг. 7. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)

Балашов Е.П. и др. Микро- и мини-ЭВМ / Е.П. Балашов, В.Л. Григорьев, Г.А. Петров: Учебное пособие для вузов. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1984

Калабеков Б.А. Микропоцессоры и их применение в системах передачи и обработки сигналов: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1988.

Микропроцессорный комплект К1810: Структура, прграммирование, применение: Справочная книга/ Ю.М. Казаринов, В.Н. Номоконов, Г.С. Подклетнов, Ф.В. Филиппов; Под ред. Ю.М. Казаринова.- М.: Высш. шк., 1900.

Микропроцессоры: системы программирования и отладки / В.А. Мясников, М.Б. Игнатьев, А.А. Кочкин, Ю.Е. Шейнин; Под ред. В.А. Мясникова, М.Б. Игнатьева. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

Проектирование цифровых фильтров, которые являются основой для большинства приложений обработки сигналов. Понятие о разностном уравнении. Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой: описание, динамические характеристики. Реализация БИХ фильтра.

Рубрика	Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	16.12.2012
Размер файла	522,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования и науки

Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева

Кафедра радиотехники, электроники и телекоммуникации

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Проверила: ?абылбекова У. М,

Выполнила: Токтагулова Д.С,

Проектирование цифровых (БИХ) фильтров

Цифровые системы - это системы с цифровыми сигналами на входе и выходе. Их ядром обычно является ЦВМ. Человечество создало мало объектов, имеющих цифровую природу, поэтому общий термин цифровая система применяется редко. Гораздо чаще встречаются термины цифровой фильтр или система цифрового управления, которые ярко отражают основную область применения этих систем. Нередко систему цифрового управления, так же называют цифровым фильтром. Итак, цифровой фильтр - это дискретно-временная система, выходной, сигнал которой является модифицированной версией входного сигнала.

Фильтры являются основой для большинства приложений обработки сигналов. Типичное назначение - это извлечение или вырезка области спектра входного сигнала или определенной частоты. Используемые для кондиционирования сигналов фильтры нередко называются частотно-селектирующими, поскольку обычно разрабатываются на основе требований к частотной характеристике.

Понятие о разностном уравнении (РУ)

цифровой фильтр сигнал импульсный

Цифровые фильтры, в силу дискретной природы ЦВМ, принимаются сигналы к обработке только в дискретные моменты времени. Информация о промежуточных значениях сигнала теряется. Таким образом, обрабатываемая цифровым фильтром входная непрерывная функция становится решетчатой.

Аналогом первой производной для решетчатой функции является обратная разность:

Аналогов второй - вторая обратная разность:

С2 f[n] = С f[n] - С f[n-1] = f[n] - 2 f[n-1] + f[n-2]

Аналогом ДУ для цифрового фильтра является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ). Как и непрерывные системы, цифровые фильтры могут быть описаны совокупностью РУ, или одним, решенным относительно требуемой координаты. В общем случае, цифровой фильтр имеющий один вход и один выход описывается РУ:

где у(к) - отсчеты на выходе фильтра, х(к) - входные отсчеты, b_m и a_m - коэффициенты числителя и знаменателя передаточной характеристики фильтра соответственно. Также мы говорили о том, что если все коэффициенты a_m кроме a₀ равны нулю, то такой фильтр называется КИХ-фильтром, а если хотя бы один коэффициент a_m помимо a₀ отличен от нуля, то такой фильтр называется БИХ-фильтр.

Основные обозначения

Согласно выражению (1), сигнал на выходе фильтра зависит от задержанного входного сигнала, а также от предыдущих отсчетов на выходе, поэтому для реализации фильтра нам потребуются линии задержки. Вспомним, что согласно z-преобразованию, задержка на один отсчет соответствует умножению образа на z -1 . Также нам потребуются умножители на постоянные коэффициенты a_m и b_m и сумматоры. На рисунке 1 показаны обозначения основных блоков для построения цифрового фильтра.

Рисунок 1: Обозначения блоков цифрового фильтра

На рисунке 1 а) обозначена линия задержки, 1 б) умножитель на константу, 1 в) сумматор и 1 г) разветвление.

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) или IIR-фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response -- бесконечная импульсная характеристика) -- линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что ихимпульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговымитак и цифровыми.

Описание. Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

где порядок входного сигнала, -- коэффициенты входного сигнала, -- порядок обратной связи, -- коэффициенты обратной связи, -- входной, а -- выходной сигналы. Более компактная запись разностного уравнения:

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

где -- дельта-функция. Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

Устойчивость

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы (т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости). Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

В отличие от БИХ-фильтров, КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми.

Реализация БИХ фильтра

Если рассматривается передаточная функция вида:

то соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

Прямая реализация типа 1 БИХ фильтра

При построении БИХ фильтра для простоты можно принять, что M=N. БИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных цифровых фильтров. вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация БИХ-фильтров типа 1. Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая -- полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

которая и реализована структурой, показанной на рисунке.

В дискретных системах с постоянными параметрами соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения БИХ-фильтра. Если сначала реализовать полюсы H(z) соответствующие правой части структурной схемы верхнего рисунка, которая имеет передаточную функцию 1/A(z), а после -- нули передаточной функцией B(z), то получим структуру, показанную на рисунке 2, которая соответствует системе уравнений:

Цифровые фильтры (Лекция)

По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:

· Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.

КИХ - фильтры характеризуются выражением:

· Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.

БИХ - фильтры характеризуются выражением:

Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.

Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.

Е диничный сигнал определяется следующим образом:

Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.

Задержанный е диничный сигнал определяется следующим образом:

Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.

Сигналы и спектры

Дуальность (двойственность) представления сигналов.

Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.

Причем, частотных плоскостей – несколько.

Для просмотра сигнала во временной плоскости существует прибор:

Представим, что здесь есть достаточно длинный синусоидальный сигнал (в 1 сек. 1000 раз повторилась синусоида):

Возьмем сигнал с частотой, в два раза больше:

Сложим эти сигналы. Получим не синусоиду, а искаженный сигнал:

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость производятся с помощью преобразований Фурье.

Для просмотра сигнала в частотной плоскости существует прибор:

Частота циклическая или круговая ( f ).

Частотная плоскость покажет засечку:

Величина засечки пропорциональна амплитуде синусоиды, а частота:

Для второго сигнала частотная область покажет другую засечку:

Во временной области суммарного сигнала появится 2 засечки:

Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.

Три формы записи рядов Фурье.

Существует три формы записи рядов Фурье:

· Синус - косинусная форма .

1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:

Это выражение говорит о следующем: что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:

где T – период повторений этой функции;

ω - круговая частота .

где t – текущее время;

При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некоторое количество гармоник.

Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.

Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:

Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т.к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.

Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.

Практически все функции являются четными или нечетными:

Например , функция Cos :

Четная функция симметрична относительно

Если функция четная, то все синусные коэффициенты b_k будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые.

Например , функция Sin :

Нечетная функция симметрична относительно центра.

Если функция нечетная, то все косинусные коэффициенты a_k будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только синусные слагаемые.

2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т.е. для каждой гармоники с частотой kω ₁) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

Если S ( t ) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π , а если S ( t ) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π /2.

Если b_k = 0, тогда tg φ = 0 и угол φ = 0

Если a_k = 0, тогда tg φ – бесконечен и угол φ =

В этой формуле может быть и минус (смотря какое направление взято).

3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера e jθ = Cosθ + jSinθ ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

Формула расчета коэффициентов C_k ряда Фурье:

Если S ( t ) является четной функцией, коэффициенты ряда C_k будут чисто вещественными, а если S ( t ) - функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.

Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов C_k ряда Фурье:

Re ( C_k ) – спектр амплитуд.

Спектр прямоугольных сигналов.

Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A , длительностью τ и периодом повторения T . Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые a_k , равные:

Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g : g = T /τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin ( x )/ x :

Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения ( duty cycle ) и равная τ / T .

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0 Sin ( x )/ x →1, то

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin ( x )/ x .

График функции Sin ( x )/ x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin ( π k / g ) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2 π / T . Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2 π / τ, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Вывод: для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.

Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.

Задача в постановке:

Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):

Необходимо записать дифференциальное уравнение для этой системы.

Это типичная задача электротехники. Имеется мощный способ решения данной задачи во временной области.

Порядок уравнения зависит от числа реактивных элементов.

Может быть записано в виде системы уравнений первой степени.

Схема состоит из резистора и конденсатора

(интегрирующая цепь). На вход подали сигнал X ( t ). Определить Y вых.

RC + U_C = X ( t )

U_C – является Y выхода, поэтому: RC + U _ВЫХ. = X ( t )

Дальнейшее решение сводится к решению сначала однородного уравнения, а затем неоднородного.

Это решение немного упрощается при переводе из временной плоскости в другую плоскость комплексной переменной. Перевод из временной плоскости в комплексную плоскость производится прямым преобразованием Лапласа.

RCY ' + Y = X ( t )

Вычисляется разностное уравнение.

Прямое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию S ( p ) комплексного переменного (изображение) с функцией s ( x ) действительного переменного ( оригинал).

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат. Аналогичный результат достигается при решении линейных разностных уравнений при использовании аппарата Z - преобразования.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле: , где - комплексная переменная , где σ - затухание.

Цифровые фильтры широко используются в проектировании аппаратных схем. Особенно они распространены в дискретных системах. Как правило, их можно разделить на КИХ-фильтры и БИХ-фильтры. Так в чем же разница и связь между ними.

КИХ-фильтр

определение:

КИХ-фильтр представляет собой единичный импульсный фильтр конечной длины, также известный как нерекурсивный фильтр. Это самый базовый элемент в системе цифровой обработки сигналов. Он может гарантировать произвольные амплитудно-частотные характеристики при строгой линейной фазовой частоте. В то же время его отклик на единичную выборку конечен, поэтому фильтр является стабильной системой.

Функции:

Самая важная особенность КИХ-фильтра - отсутствие петли обратной связи и высокая стабильность, поэтому нет проблем с нестабильностью;

FIR имеет строгую линейную фазу, а амплитудные характеристики устанавливаются произвольно, обеспечивая при этом точную линейную фазу;

Метод проектирования FIR является линейным, а аппаратное обеспечение легко реализуется;

По сравнению с БИХ-фильтрами, КИХ имеет более высокий порядок для того же индекса производительности, и требуется более высокая производительность ЦП.

Рисунок 1 Принципиальная схема КИХ-фильтра

БИХ-фильтр

определение:

БИХ-фильтр - это фильтр с бесконечной импульсной характеристикой, также известный как рекурсивный фильтр, то есть он имеет в своей структуре контур обратной связи.

Функции:

Системная функция БИХ-цифрового фильтра может быть записана в виде замкнутой функции с контуром обратной связи;

Фаза цифрового БИХ-фильтра является нелинейной, фазовую характеристику нелегко контролировать и она изменяется с изменением частоты среза. Когда потребность в фазе высока, требуется сеть калибровки фазы;

БИХ-фильтр имеет исторические выходные данные для участия в обратной связи, и он обеспечивает лучший эффект фильтрации при том же порядке по сравнению с КИХ;

Цифровой БИХ-фильтр имеет рекурсивную структуру. Из-за обработки округления при вычислении ошибки продолжают накапливаться, а иногда возникают слабые паразитные колебания.

Рисунок 2 Принципиальная схема БИХ

разница

Стабильность: поскольку КИХ-фильтр не имеет петли обратной связи, стабильность выше, чем БИХ-фильтр;

Фазовые характеристики: FIR - это линейная фазовая задержка, а IIR - нелинейная фазовая задержка.

Как показано на рисунке ниже, это прямоугольный сигнал с частотой 10 Гц и частотой дискретизации 1 кГц.

Рисунок 3 Прямоугольный сигнал

После КИХ-фильтра эффект после фильтрации показан на рисунке ниже.

Рисунок 4 Диаграмма эффекта КИХ-фильтрации

После БИХ-фильтра эффект после фильтрации показан на рисунке ниже.

Рисунок 5 Диаграмма эффекта БИХ-фильтрации

Путем сравнения нетрудно обнаружить, что БИХ-фильтр имеет нелинейную фазовую задержку и ему требуется двусторонняя фильтрация для коррекции во время коррекции, что сложно и трудно контролировать; КИХ-фильтр представляет собой линейную задержку, которая может быть исправлен непосредственно сдвигом влево и вправо с небольшими ошибками.

Скорость обработки сигнала: выходной сигнал КИХ-фильтра зависит от текущих входных данных и исторических входных данных, выход БИХ-фильтра зависит от текущих входных данных, исторических входных данных и исторических выходных данных. Если взять в качестве примера цифровой фильтр, основанный на аппаратном обеспечении FPGA, FIR не нужно ждать отфильтрованного выхода предыдущего сигнала при обработке сигнала, а нужно только учитывать входные данные для фильтрации в реальном времени; IIR должен ждать отфильтрованный выходной сигнал предыдущего сигнала, и есть определенная временная задержка, поэтому скорость обработки не такая высокая, как FIR.

Рисунок 6 Сравнение КИХ- и БИХ-фильтрации

Из простого сравнения, приведенного выше, мы видим, что БИХ- и КИХ-фильтры имеют свои сильные стороны, поэтому их следует выбирать из различных соображений в практических приложениях. С точки зрения требований использования БИХ больше подходит для случаев, которые не чувствительны к фазовым требованиям, например, для речевой связи, так что он может полностью реализовать свои экономичные функции; для обработки сигналов изображения, передачи данных и других систем. которые передают информацию в виде сигналов, требования к линейной фазе выше, а фильтр FIR лучше. Конечно, в практических приложениях, возможно, придется учесть больше факторов.

Исходный адрес: Hangzhou Qingcui Technology FPGA Geek Space WeChat public account

Отсканируйте QR-код, чтобы следить за технологией Hangzhou Qingcui FPGA Geek Space

Читайте также: