История развития теории групп в алгебре реферат
Обновлено: 05.07.2024
История теории групп , математический домен изучения групп в их различных формах, развивалась в различных параллельных потоках. Есть три исторических корня теории групп : теория алгебраических уравнений , теория чисел и геометрия . Жозеф Луи Лагранж , Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа были первыми исследователями в области теории групп.
СОДЕРЖАНИЕ
Начало 19 века
Самое раннее изучение групп как таковых, вероятно, восходит к работам Лагранжа в конце 18 века. Однако эта работа была несколько изолированной, и публикации Огюстена Луи Коши и Галуа в 1846 году чаще называют началом теории групп. Теория развивалась не на пустом месте, поэтому здесь раскрываются три важных направления ее предыстории.
Развитие групп перестановок
Одним из основополагающих принципов теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4.
Первым источником является проблема формирования уравнения степени m, имеющего в качестве корней m корней данного уравнения степени . В простых случаях проблема восходит к Иоганну ван Ваверену Худде (1659 г.). Николас Сондерсон (1740) отметил, что определение квадратичных множителей биквадратичного выражения обязательно приводит к шестнадцатому уравнению, а Томас Ле Сёр (1703-1770) (1748) и Эдвард Уоринг (1762-1782) развили эту идею. п > м m>
Общий фундамент теории уравнений на основе группы перестановок был найден Лагранжем (1770, 1771), и на нем была построена теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент ( résolvantes, réduites ), которые он исследовал, являются рациональными функциями корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он изобрел Calcul des Combinaisons . Современная работа Александра-Теофиля Вандермонда (1770) также предвосхитила грядущую теорию.
Паоло Руффини (1799) попытался доказать невозможность решения уравнений пятой и более высокой степени. Руффини различал то, что сейчас называют непереходными и транзитивными , а также импримитивными и примитивными группами, и (1801) использует группу уравнений под названием l'assieme delle permutazioni . Он также опубликовал письмо Пьетро Аббати самому себе, в котором видна идея группы.
Галуа обнаружил, что если есть n корней уравнения, всегда существует группа перестановок r таких, что р 1 , р 2 , … , р п , r_ , \ ldots, r_ >
- каждая функция корней, неизменяемая при подстановках группы, рационально известна, и
- наоборот, любая рационально определимая функция корней инвариантна относительно подстановок группы.
Говоря современным языком, разрешимость группы Галуа, связанной с уравнением, определяет разрешимость уравнения с радикалами.
Галуа также внес свой вклад в теорию модульных уравнений и теории эллиптических функций . Его первая публикация по теории групп была сделана в возрасте восемнадцати лет (1829 г.), но его работы не привлекали особого внимания до публикации его собрания статей в 1846 г. (Liouville, Vol. XI). Галуа почитают как первого математика, связавшего теорию групп и теорию поля с теорией, которая теперь называется теорией Галуа .
Группы, связанные с геометрией
Во-вторых, систематическое использование групп в геометрии, главным образом под видом групп симметрии , было инициировано программой Феликса Клейна 1872 года в Эрлангене . Изучение того, что сейчас называется группами Ли, началось систематически в 1884 году с Софуса Ли , за которым последовали работы Вильгельма Киллинга , Эдуарда Этюда , Иссаи Шура , Людвига Маурера и Эли Картана . Разрывная ( дискретная группа ) теория была построена Клейном, Ли, Анри Пуанкаре и Шарлем Эмилем Пикаром в связи, в частности, с модулярными формами и монодромией .
Появление групп в теории чисел
Третьим корнем теории групп была теория чисел . Определенные структуры абелевых групп неявно использовались в теоретико-числовых работах Карла Фридриха Гаусса , а более явно - Леопольда Кронекера . Ранние попытки доказать Великую теорему Ферма привели к кульминации Эрнста Куммера , введя группы, описывающие факторизацию в простые числа .
Конвергенция
Теория групп как все более независимый предмет была популяризирована Серре , который посвятил этой теории раздел IV своей алгебры; по Жордан , чьи Traité дез замен и др дез уравнений algébriques (1870) является классическим; и Ойгену Нетто (1882 г.), чья теория подстановок и ее приложения к алгебре была переведена на английский язык Коулом (1892 г.). Другими теоретиками группы XIX века были Жозеф Луи Франсуа Бертран , Шарль Эрмит , Фердинанд Георг Фробениус , Кронекер и Эмиль Матье ; а также Уильям Бернсайд , Леонард Юджин Диксон , Отто Гёльдер , Э. Х. Мур , Людвиг Силов и Генрих Мартин Вебер .
Конвергенция трех вышеупомянутых источников в единую теорию началась с работы Джордана Трайте и Вальтера фон Дейка (1882), которые впервые определили группу в полном современном смысле. Учебники Вебера и Бернсайда помогли утвердить теорию групп как дисциплину. Абстрактная групповая формулировка неприменима к большей части теории групп 19-го века, и альтернативный формализм был дан в терминах алгебр Ли .
Конец 19 века
Группы в период 1870-1900 годов были описаны как непрерывные группы Ли, разрывные группы, конечные группы подстановок корней (постепенно называемые перестановками) и конечные группы линейных подстановок (обычно конечных полей). В период 1880-1920 годов группы, описанные в презентациях, начали жить своей собственной жизнью благодаря работам Кэли, Вальтера фон Дейка , Макса Дена , Якоба Нильсена , Отто Шрайера и продолжили в период 1920-1940 годов с работой HSM. Кокстера , Вильгельма Магнуса и других, сформировавших область комбинаторной теории групп .
Сплошные группы в период 1870-1900 гг. Быстро развивались. Были опубликованы основополагающие статьи Киллинга и Ли, теорема Гильберта в теории инвариантов 1882 г. и т. Д.
Начало 20 века
В период 1900-1940 гг. Непрерывные группы также переживали бурный рост. Топологические группы начали изучать как таковые. В непрерывных группах было много великих достижений: классификация Картана полупростых алгебр Ли, теория представлений компактных групп Германа Вейля , работа Альфреда Хаара в локально компактном случае.
Конечные группы в 1900-1940 годах сильно выросли. Этот период стал свидетелем рождения Фробениуса, Бернсайда и Шура теории характеров , которая помогла ответить на многие вопросы 19 века о группах перестановок и открыла путь к совершенно новым методам работы с абстрактными конечными группами. В этот период были отмечены работы Филипа Холла : по обобщению теоремы Силова на произвольные наборы простых чисел, которые произвели революцию в изучении конечных разрешимых групп, и по коммутативной структуре p-групп , включая идеи регулярных p-групп и изоклинизм групп , который произвел революцию в изучении p-групп и был первым крупным результатом в этой области со времен Силова. В этот период мы увидели знаменитую теорему Шура-Цассенхауза Ганса Цассенхауза о существовании дополнений к холловскому обобщению силовских подгрупп, а также его успехи в группах Фробениуса и близкую классификацию групп Цассенхауза .
Середина 20 века
И глубина, и широта, и влияние теории групп впоследствии росли. Область начала разветвляться на такие области, как алгебраические группы , расширения групп и теория представлений . Начиная с 1950-х годов, благодаря огромным совместным усилиям теоретикам групп удалось классифицировать все конечные простые группы в 1982 году. Завершение и упрощение доказательства классификации - области активных исследований.
Анатолий Мальцев также внес важный вклад в теорию групп в это время; его ранние работы были в области логики в 1930-х годах, но в 1940-х он доказал важные свойства вложения полугрупп в группы, изучил проблему изоморфизма групповых колец, установил соответствие Мальчева для полициклических групп, а в 1960-х годах вернулся к логике, доказывая различные теории. в рамках исследования групп быть неразрешимым. Ранее Альфред Тарский доказал неразрешимость элементарной теории групп .
Период 1960-1980 годов был периодом волнений во многих областях теории групп.
В конечных группах было много независимых вех. Один из них имел открытие 22 новых спорадических групп и завершение первого поколения классификации конечных простых групп . У одного была влиятельная идея подгруппы Картера и последующее создание теории формации и теории классов групп. У одного были замечательные расширения теории Клиффорда Грина на неразложимые модули групповых алгебр. В эту эпоху область вычислительной теории групп стала признанной областью исследований, отчасти благодаря ее огромному успеху во время классификации первого поколения.
Постоянные группы значительно расширились, и стали важными p -адические аналитические вопросы. За это время было сделано много предположений, включая гипотезы кокласса.
Конец 20 века
Последние двадцать лет 20-го века были отмечены успехами более чем столетних исследований теории групп.
В конечных группах результаты пост-классификации включали теорему О'Нана – Скотта , классификацию Ашбахера, классификацию кратно транзитивных конечных групп, определение максимальных подгрупп простых групп и соответствующие классификации примитивных групп . В конечной геометрии и комбинаторике теперь можно было решить многие проблемы. Теория модульного представления вступила в новую эру, когда методы классификации были аксиоматизированы, включая системы слияния, теорию пар и нильпотентных блоков Луиса Пуига. Теория конечных разрешимых групп также была преобразована влиятельной книгой Клауса Дёрка и Тревора Хоукса, которая представила теорию проекторов и инжекторов более широкой аудитории.
В отдельных группах несколько областей геометрии объединились, чтобы создать захватывающие новые области. Работа по теории узлов , орбифолдам , гиперболическим многообразиям и группам, действующим на деревьях ( теория Басса – Серра ), очень оживила изучение гиперболических групп , автоматных групп . Такие вопросы, как гипотеза о геометризации Уильяма Терстона 1982 г. , вдохновили на создание совершенно новых методов в геометрической теории групп и топологии малой размерности и были задействованы в решении одной из проблем Премии тысячелетия - гипотезы Пуанкаре .
Сегодня
Теория групп продолжает оставаться предметом интенсивных исследований. О его важности для современной математики в целом можно судить по Премии Абеля 2008 года , присужденной Джону Григгсу Томпсону и Жаку Титсу за их вклад в теорию групп.
Читайте также: