Исследование динамики средствами интегрального исчисления реферат

Обновлено: 04.07.2024

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

Содержание

Введение. 3
Интегральное исчисление. Исторический очерк. 4
Заключение. 14
Список литературы 15

Вложенные файлы: 1 файл

Интегральное исчисление.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Факультет математики, физики и информатики

Применение интегрального исчисления в электроэнергетике.

Выполнил: Рогозин Ф. К.

Проверила: Никитина А. Б.

Введение.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

Интегральное исчисление. Исторический очерк.

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

Метод исчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.

Типичная схема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом. Для определения величины A строилась некоторая последовательность величин С1, С2, …, Сn, … такая, что

Предполагалось также известным такое B, что

и что для любого целого K можно найти достаточно большое n, удовлетворяющее условию:

Где D – постоянно. После громоздких рассуждений из последнего выражения удавалось получить:

Как видно из приведённой схемы метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью С1, С2, …, Сn, …). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод.

Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона , Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положивших основу современного математического анализа.

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

Трудно найти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден пишет в своей книге “Пробуждающаяся наука”: “Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным н наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно рационализм XVIII века, обожествление разума, упадок религии. Кто отдает себе отчет в том, - спрашивает автор, - что с исторической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой XVII века?”

Кафедру математике в Кембридже занимал тогда молодой блестящий учёный Исаак Барроу. Он скоро стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет уступил своему великому ученику кафедру математики. К этому времени Ньютон получил уже степени бакалавра и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона многие функции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды.

Поясним эту идею Ньютона. Известно, что любое действительное число можно представить десятичной дробью - конечной или бесконечной. Так. например:

Это значит, что любое число a можно представить в виде:

где N - целая часть, а a1, a2, . an, . могут принимать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любая функция от x, например , может быть представлена как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x:

где a1, a2, . an, . - коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия:

Представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он хорошо изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он мог подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля или Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступает и Лейпцигский университет, где усердно изучает право и философию. Он очень много читает, среди его любимых книг - книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы.

Свои колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц покинул Лейпциг. Он был обижен отказом ученого совета университета присвоить ому степень доктора прав. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был. слишком молод!

Началась жизнь, полная напряженного труда и многочисленных путешествии. Легко себе представить, как неудобны были путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц умел не терять времени даром - много удачных мыслей пришло ему и голову именно во время этих продолжительных поездок. Лейбниц отличался исключительной способностью быстро “входить” и задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, Лейбниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю спою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях по этим символическим формулам. Заменяя oбычные слова четко определенными символами, Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от всякой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других. Если, мечтал Лейбниц. между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах. а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты.

Как уже отмечалось, Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хороню знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода.

Любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода. В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d( ) и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число можно выносить за знак оператора:

Одинаковые операторы можно выносить за скобку:

Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением:

где: a и b - числа.

Операторы. которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.

Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ):

То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a-1 числа, обратного a, причём произведение a×a-1=1. Обозначая операторы или наоборот:

и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем:

т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а a — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+a=А.

Маркетинговые исследования рынка средств контроля уровня сахара в крови

Эмпирическое исследование динамики представлений о себе детей дошкольного возраста

Маркетинговое исследование современных средств контрацепции в аптечной организации

Исследование динамики уровня физического развития у детей младшего школьного возраста, занимающихся физической культурой

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Тольяттинский государственный университет” Институт физической культуры и спорта Кафедра “Адаптивная физическая культура, спорт и туризм” 49.03.01 “Физическая культура” Физическое образование КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине “СПОРТИВНО-ОЗДОРОВИТЕЛЬНЫЙ МОНИТОРИНГ” на тему: “ Исследование динамики уровня физического развития у детей младшего школьного возраста, занимающихся физической культурой.” Студент Вьюшкин А.Г. Руководитель Подлубная А.А. ________________ ________________ Оценка: Дата: Тольятти 2018 ________________ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение…………………………………………………………………. 3 Глава 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА………………………………………

Маркетинговое исследование рынка средств по уходу за волосами

Исследование эффективности средств тушения пожаров

Цели и виды клинических исследований лекарственных средств

Динамика средств в кредитных организациях

Чистая ссудная задолженность составляет около 80-90% от общей стоимости активов в разных периодах. Следовательно прирост этого показателя напрямую влияет на динамику активов в целом. Стоит отметить, что по некоторым показателям произошел отрицательный темп прироста. Наиболее сильно он затронул следующие строки баланса: средства в кредитных организациях, чистые вложения в ЦБ, удерживаемые до погашения и прочие активы. Динамика этих показателей представлена на рис.8. Рис.7. Динамика средств в кредитных организациях, чистых вложений в ЦБ и прочих активов Из

Анализ активов и исследование динамики их рентабельности

Исследование возможностей средств поисковой техники

Исследование функции средствами дифференциального исчисления

Лингвоэкология как поле актуальных исследований динамики языковой среды

Эмпирическое исследование способов и средств развития самооценки младших школьников

Оглавление Введение 3 Глава 1. Теоретические основы развития самооценки младших школьников 6 1.1 Особенности процесса развития самооценки младших школьников 6 1.2 Способы и средства развития самооценки младших школьников 16 Вывод по первой главе 22 Глава 2. Эмпирическое исследование способов и средств развития самооценки младших школьников 23 2.1 Диагностика сформированности самооценки младших школьников 23 2.2 Рекомендации по эффективному развитию самооценки младших школьников 25 Вывод по второй главе 28 Заключение 29 Библиографический список использованных источников и литературы:

Маркетинговые исследования рынка лекарственных средств для лечения орфанных заболеваний

Маркетинговые исследования рынка лекарственных средств для лечения орфанных заболеваний СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ: 1. Основные направления маркетинговых исследований в фармации 1.1 Сущность фармацевтического маркетинга. Виды и методы маркетинговых исследований в фармации 1.2 Ассортиментная политика фармацевтических организаций 1.3 Орфанные заболевания: общая характеристика, состояние современной фармакотерапии 2. Маркетинговые исследования рынка лекарственных средств для лечения орфанных заболеваний 2.1 Концепция исследования 2.2 Анализ мирового рынка лекарственных средств для лечения орфанных заболеваний 2.3 Перспективы развития орфанных препаратов ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Исследование рынка труда с точки зрения динамики заработной платы в Новосибирске в 2000-2016 годах

Исследование методов и средств защиты от производственного шума

Маркетинговые исследования ассортимента ноотропных лекарственных средств

Исследование средств, форм и закономерностей психологического воздействия на примере психологических операций ВС США во Вьетнаме

КУРСОВАЯ РАБОТА Средства, формы, закономерности психологического воздействия Выполнил: студент 2-го курса факультета психологии очной формы обучения С. В. Ильин СОДЕРЖАНИЕ: Введение…………………………………………………………………………… 1.Средства, формы и закономерности психологического воздействия……..…. 1.1. Средства психологического воздействия…………………. 1.2. Формы психологического воздействия……………………………. 1.3. Закономерности психологического воздействия…………………. 2. Исследование средств, форм и закономерностей психологического воздействия на примере психологических операций ВС США во Вьетнаме.. 2.1. Введение в исследование……………………………………………. 2.2. Результаты исследования и их интерпретация……..……………. Заключение……………………………………………………………………. Список литературы…………………………………………………………….. Введение Актуальность данной темы исследования объясняется тем,

Проблемы, связанные с собиранием, исследованием и оценкой отдельных средств доказывания в гражданском процессе

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 Глава 1. Понятие и процессуальные особенности судебного доказывания в гражданском процессе 8 1.1. Судебное доказывание по гражданским делам: понятие, стадии, проблемы и процессуальное значение 8 1.2. Общая характеристика предмета доказывания. Обстоятельства, не требующие доказывания 12 1.2.1. Понятие и характеристика предмета доказывания 12 1.2.2. Локальный предмет доказывания 16 1.2.3. Обстоятельства, не требующие доказывания 18 1.3. Судебные доказательства в гражданском процессе: понятие, особенности, предъявляемые к ним требования 27 Глава 2. Проблемы доказательственного процесса при

Маркетинговые исследования рынка лекарственных средств для лечения больных глаукомой

Исследование успешности учебной деятельности и динамики проявления внимания (с помощью таблиц Шульте)

Современные противопростудные средства. Исследование ассортимента

Невербальные средства общения дошкольного возраста в исследованиях зарубежных и отечественных ученых

Исследование ассортимента и качества косметических гигиенических моющих средств, реализуемых в магазине Рубль Бум

Исследование ассортимента и качества косметических гигиенических моющих средств, реализуемых в магазине Рубль Бум СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..……3 1. СОСТОЯНИЕ РЫНКА И ФАКТОРЫ, ФОРМИРУЮЩИЕ КАЧЕСТВО КОСМЕТИЧЕСКИХ ГИГИЕНИЧЕСКИХ МОЮЩИХ СРЕДСТВ……. ……6 1.1 Краткий обзор состояния российского рынка косметических гигиенических моющих средств (на примере туалетного мыла)………..6 1.2 Классификация ассортимента косметических гигиенических моющих средств (на примере туалетного мыла)………………………. …………13 1.3 Состав, как фактор, формирующий качество косметических гигиенических моющих средств (на примере туалетного мыла)……….21 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АССОРТИМЕНТА И КАЧЕСТВА КОСМЕТИЧЕСКИХ ГИГИЕНИЧЕСКИХ МОЮЩИХ СРЕДСТВ, РЕАЛИЗУЕМЫХ

Исследование развития двигательных качеств у хоккеистов 13-14 лет в динамике

Из истории интегрального исчисления.

2. Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления…1

3. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления. …1

4. Символьный метод, операторы…4

5. Ньютон и Лейбниц-рождение противоречий…5

6. Эйлер. Понятие об интегральной сумме…7

7. Проблема двойных и тройных интегралов…9

8. Коши — решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. …9

10. Список литературы…11

Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления.

Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.

Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что

Предполагалось также известным такое B , что

и что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию:

Где величина d — константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее:

Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров , обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод.

Определение основных понятий и принципов

Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания — о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа.

Содержание

Введение…………………………………………………………………….….3
Глава I .История развития интегрального исчисления……………………. 5
§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6
§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………. 7
§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7
Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8
§2.1. Рождения противоречий………………………………………………. 9
§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………. 10
Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12
§3.1. Исследование методов двойных и тройных интегралов……………..12
§3.2. Основополагающий результат Коши………………………………….13
§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста…….14
Заключение………………………………………………………………. 16
Список использованной литературы……………………………………..18
Приложения………………………………………………………………….19

Прикрепленные файлы: 1 файл

проект.Интегралы.docx

Глава I .История развития интегрального исчисления……………………. 5

§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6

§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………. 7

§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7

Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8

§2.1. Рождения противоречий……………………………………………… . 9

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………. 10

Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12

§3.1. Исследование методов двойных и тройных интегралов…… ………..12

§3.2. Основополагающий результат Коши………………………………….13

§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста……. 14

Список использованной литературы……………………………………..18

Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.
Метод исчерпывания - начало интегрального исчисления.
Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). По этим правилам, по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.
Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что.Предполагалось также известным такое B , что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию:
Где величина d – константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее:
Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления.

Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания - о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа.
Все возрастающие запросы практики и других наук в конце XVII и в XVIII веке побудили ученых максимально расширить область и методы исследований математики. На первое место выдвинулись понятия бесконечности, движения, функциональной зависимости. Они стали основой новых методов математики.
Глава I. История развития интегрального исчисление

Основанные на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером, в конце XVII века были разработаны основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применение к решению прикладных задач.

Известна следующая забавная история. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Для подготовки к ней ему нужно было приобрести несколько бочек виноградного вина. При их покупке Кеплер был удивлен тем, как продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увлёкся этой интереснейшей математической задачей - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над ней, Кеплер вывел формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Кеплеру для каждого из изучаемых тел создавал новые, нередко очень хитроумные методы, что оказалось крайне неудобно. Позднее именно попытка найти общие, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

Не найти другого учёного, исследования которого оказали бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден в своей книге “Пробуждающаяся наука” написал: “Каждый естествоиспытатель, безусловно, согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. Что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно

Из биографии Исаака Ньютона известно, что он родился в 1643 году, посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и настоял, чтобы мать Ньютона отправила сына учиться в Кембриджский университет. Ньютона приняли университет как бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Жизнь связала Ньютона с молодым блестящим учёным Исааком Барроу, который занимал тогда Кафедру математики в Кембридже. Он заинтересовался талантливым молодым человеком и скоро стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет уступил своему великому ученику кафедру математики. К этому времени Ньютон получил уже степени бакалавра и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления, он назвал его методом флюксий. Это дало возможность решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона многие функции определяли только геометрически, и к ним невозможно было применять алгебру или новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды.

Такое представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.
К аналогичным идеям, одновременно с Ньютоном, пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Познакомимся с его биографией. Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он любил подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля, Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где старательно изучал право и философию. Он очень много читал, его любимыми книгами были книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы. Колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел, как ни странно, самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц, обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему, степень доктора прав покинул Лейпциг. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был. слишком молод!
Так для молодого учёного началась жизнь, полная напряженного труда и далёких бесконечных путешествий. Нетрудно представить, как неудобно было путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц старался никогда не терять время даром. Много удачных мыслей родилось в его талантливой голове именно во время этих продолжительных поездок.
Лейбниц обладал исключительной способностью быстро понимать в задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, он убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, но этим символическим формулам. Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от любой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других, заменяя общие слова четко определенными символами.

Лейбниц мечтал, что если вдруг между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах, а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты.
Лейбниц одновременно с Ньютоном, как уже отмечалось, и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений.

Теория приобрела силу только после того, как Лейбницем было доказано, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон, но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода.
Так любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода.

§1.1. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х 2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x 2 /2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x 2 /2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

∫ f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C. Так как ∫ f(x)dx = F(x)+C

Интегрирование по частям :

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x k ln m x dx, ∫x k sin bx dx, ∫ x k cos bx dx, ∫x k e ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

∫(х-4)*sin3xdx│u=x-4,du=dx dv-sin3xdxv=∫sin3xdx=- cos3x│-cos3x+∫cos3xdx=-xcos3x= +sin3x+C

Найти ∫ arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x 2 +1) = x arctg x + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫x dx/(x 2 +1) = 1/2 ∫ d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Вычислить ∫ e x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e x , dv = sin x dx, тогда du = e x dx, v = ∫ sin x dx= - cos x → ∫ e x sin x dx = - e x cos x + ∫ e x cos x dx. Интеграл ∫ e x cos x dx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cos x dx Þ du=e x dx, v=sin x. Имеем:
∫ e x cos x dx = e x sin x - ∫ e x sin x dx. Получили соотношение ∫ e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x - ∫ e x sin x dx, откуда 2 ∫ e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x + С.

§1.2. Символьный метод, операторы

В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d() и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число, а можно выносить за знак оператора. Одинаковые операторы можно выносить за скобку.
Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением: где a и b - числа.
Однако в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.
Операторы, которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ) :
То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a -1 числа, обратного a , причём произведение a Ч a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот:
и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем, т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Цель данной работы: познакомиться с историей возникновения интегрального исчисления и показать его развитие .

ИНТЕГРАЛ (or лат. Integer целый) - одно из важнейших понятий математики^ возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции п £*

их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил та определенный промежуток времени и т. п.

Символ интеграл введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И.Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее "примитивная функция", которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как "начальный": F(x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y = , где N - целое ( т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования . И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования . Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

I. История развития интегрального исчисления.
1. Геометрический смысл неопределённого интеграла.
Пусть задан неопределенный интеграл F ( x ) + С для функции f ( x ) в некотором интервале. При фиксированном значении С – C 1 получим конкретную функцию у1 = F (х) + С1:, для которой можно построить график. его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С =С 2 получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.
Аналогично можно построить график любой первообразной функшш.

Следовательно, выражение у=F(х) - С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F (х)+С. Величина С является параметром этого семейства каждом- конкретном значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе.
Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С 2 можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра C 1 , параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С 2 – С 1 /.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве ХН R, если в каждой точке этого множества F'(x)= f(x).

Например, функция F(x)= х 2 /2 является первообразной для функции f(х) = х так как (х 2 /2)' = х. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X ,то функция F(х)+С, где С – некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x) , Xo X , так как (F(x)+С)' =F'(x)=f(x) Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y= F(x),являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условия (F(x)+С)'=f(x) .
Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Пусть функция х = ф( t ) определена и дифференцируема на некотором промежутке T , а X — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если функция f ( x ) имеет первообразную на X , то на Т справедлива формула

Доказательство. Пусть F(x) — первообразная для f(x) на X, то есть F '(x)=f(x).

Используя правило дифференцирования сложной функции,получим Так как

3.Символьный метод, операторы

Однако в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Операторы, которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать,

Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ) :
То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a -1 числа, обратного a , причём произведение a Ч a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот:
и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем, т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

4.Эйлер. Понятие об интегральной сумме

Определение простого определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых величинах, от которого математики XVIII века стремились освободить математический анализ. Это обстоятельство также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Это хорошо подтверждается тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм, но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, то есть, с точки зрения Эйлера, были нулями.

Быстро пробежимся по основным вехам эйлеровской биографии. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но потому что учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле лишь в 1701 г.. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом. Начальное образование будущему учёному дал отец, учившийся некогда математике у Якоба Бернулли. Отец готовил старшего сына к духовной карьере, но, несмотря на это, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого.

Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки.

20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Мечта отца о том, что бы Эйлер стал священником сбывалась. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына направили молодого учёного по иному пути.

Он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И естественно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли, который посоветовал юноше читать математические мемуары, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать прочитанное. В доме своего учителя Эйлер подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

Эйлер просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно, в то время, как группа признанных академиков просила на эту работу три месяца. Перенапряжение не прошло бесследно: Эйлер заболел и потерял зрение на правый глаз. Но талантливый учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он.

До этого Эйлера знал лишь узкий круг учёных. Мировую славу ему принесло двухтомное сочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г, где Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Леонард Эйлер начал прокладывать аналитический путь развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений, который требовал дух времени.

Концепция Ньютона и до последней четверти XVIII века сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции, математики знали и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли.

Положение изменилось лишь в последней четверти XVIII и, особенно, в начале XIX века.

С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало продолжения развития понятия и употребления определенного интеграла, особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).

К этому времени великие идеи Ньютона и Лейбница были только-только опубликованы, и современный математический анализ только начал создавался. Эти идеи породили мощные методы, которые стали применять во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути, по которым должно развиваться новое исчисление.

II. Проблема двойных и тройных интегралов

1.Исследование методов двойных и тройных интегралов

Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего времени.

Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Таким образом, поиск методов вычисления новых видов определенного интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела.

Коши - решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых.

Возник естественный вопрос о возможности существования пределов интегральных сумм, имеющих бесконечно малые слагаемые. Так в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и для сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций.

2.Основополагающий результат Коши

Основополагающих результатов добился в развитии этого вопроса Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его утверждения.

Новая постановка задач обоснования математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа.

Но, чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать новую общую теорию пределов.

Исследование разрывных функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке.

Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом.

Вторую ограничительную тенденцию в принятой ранее трактовке понятия предела также преодолел Коши. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь - принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

Математики до сих пор следуют пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, но лишь с теми усовершенствованиями, которые внёс во второй половине XIX века К. Вейерштрасс.
Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, подведя итог многовековому развитию интегрального исчисления.

Трудно представить, как жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика. С числами и цифрами приходится иметь дело всем. Вряд ли кто-то станет отрицать необходимость математических знаний. Ведь математика учит человека думать, анализировать, развивает логическое мышление, память. Математические знания нужны человеку любой профессии. Без математики строитель не сможет построить дом, летчик - поднять в воздух самолет, машинист не поведет поезд. Кроме этого, благодаря математике появилось много других новых наук и профессий, появились вычислительные машины, компьютеры.

Очень важно знать математику в наше время. Ведь математика основа точных наук. Без них невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ССУЗов/Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко .-3-е изд., стереотип.-М.: Дрофа, 2008.-395с.

2.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов/ Н.В.Богомолов.-5-ое изд., стер.-М.: Высшая школа., 2008.-495 с.

3.Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для студентов ССУЗов/ У.Г. Пирумов.-4-е изд., испр. –М. : Дрофа, 2008.-224с.

5.Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для средних специальных учебных заведений/И.Д. Пехлецкий. -5 изд., стер.-М.: Академия, 2009г.-421с

Читайте также: