Иррациональные алгебраические задачи реферат
Обновлено: 04.07.2024
Мы уже изучили корни n-ой степени и действия с ними. Теперь мы применим свои знания для решения иррациональных уравнений, которые вызывают большие сложности у школьников. Ещё тяжелее решать неравенства, содержащие знак радикала.
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Иррациональные
уравнения и неравенства
реферат по алгебре
Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
Решение сложных иррациональных уравнений.
Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
Решение нестандартных иррациональных неравенств.
Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
I. Введение
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.
Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.
В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
2x – 1 = x 2 – 4x + 4, Проверка:
x 2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,
x2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
б) Решить уравнение
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”.
Решение иррациональных уравнений.
Верхошанской Светланой Александровной,
ученица 9”Г” класса.
Высоцкая Лидия Степановна,
Глава I . Историческая справка ………………………………….………………..2
Глава II §1. Решение иррациональных уравнений ………………………..……..3
§2. Преобразование иррациональных выражений ………………….….5
§3. Уравнения с радикалом третьей степени …………………………. 6
§4. Введение нового неизвестного …………………………………. …7
об иррациональных уравнениях.
“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”.
Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2 . Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.
Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности числа путём сведения этого доказательства к формальному противоречию. Пусть , где m и n – взаимно простые числа. Тогда m 2 =2 n 2 , откуда следует, что т 2 чётное и, следовательно, п 2 чётное. Чётно, следовательно и п . Получающееся противоречие ( п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число рационально.
Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р 2 =п g 2 . Если t – простой делитель п , то р 2 (а значит, и р ) делится на t . Следовательно, р 2 делится на t 2 . Но в п содержится только первая степень t . Значит g 2 (равно как и g ) делится на t . Но этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты.
С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.
Решение иррациональных уравнений.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение .
При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1 2 = (-1) 2 , 1=1.
Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.
Пример 1. Решим уравнение .
Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что , т.е. .
Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:
Следовательно, x = 3 или x = -3 – решение данного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение .
Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого и .
Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.
Пример 3. Решим уравнение .
Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при . При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является только число 2.
Пример 4. Решим уравнение .
Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получаем , , . Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений.
Пример 5. Решим уравнение .
По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе:
Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень .
Пример 6. Решим уравнение .
В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: . После преобразований получаем:
Пример 7. Решим систему уравнений:
Положив и , приходим к системе
Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй:
Подставляя во второе уравнение значение v , найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и .
Соответствующие значения v таковы: и . Переходя к переменным х и у , получаем: , т.е. , , , .
Алгебра, Рациональные и иррациональные алгебраические задачи, Элективный курс, Земляков А.Н., 2012.
В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач с параметрами и с логическими условиями. При этом основной акцент делается на логике решения задач — на методах равносильных преобразований, позволяющих максимально упростить задачу; на привлечении графических, координатных и прочих наглядных приемов, помогающих, насколько это возможно, избежать ошибок.
Курс призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения в элементарной алгебре; повысить свою логическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных конкурсных задач по алгебре.
При этом пока остался не разъясненным точный смысл самого понятия решения алгебраической задачи. Поясним смысл общих идей и понятий на конкретном примере — отдельном классе алгебраических задач: рассмотрим уравнения с одной переменной (неизвестной) х.
Начнем с начала.
Равенство между двумя выражениями, содержащими переменную х, называется уравнением относительно х. Иначе говоря, уравнением с переменной х называется предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями, содержащими эту переменную.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства.
Предисловие.
Глава 1. Логика алгебраических задач.
§1.1. Основные понятия: алгебраические задачи, решения, равносильность.
1.1.1. Алгебраические задачи как предложения с переменными.
1.1.2. Равносильность и следование задач.
1.1.3. Равносильность уравнений и систем с одной переменной.
1.1.4. Совокупности и системы алгебраических задач.
1.1.5. Следование уравнений с одной переменной.
1.1.6. Неравенства с переменной и числовые неравенства.
§1.2. Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи.
1.2.1. Что такое задача с параметром.
1.2.2. Логические задачи с параметрами.
1.2.3. Логические и кванторные формулировки задач с параметрами.
1.2.4. Функционально-графическая интерпретация задач с параметрами.
1.2.5. Координатная интерпретация задач с параметрами.
Упражнения.
Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
§2.1. Корни многочленов. Теорема Везу.
2.1.1. Числовые кольца и поля. Кольца многочленов.
2.1.2. Корни многочленов и полиномиальных уравнений.
2.1.3. Деление многочленов на двучлен. Теорема Везу
2.1.4. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.
2.1.5. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.
2.1.6. Формулы сокращенного умножения.
2.1.7. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
2.1.8. Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа.
§2.2. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбинаторика.
2.2.1. Полностью разложимые многочлены. Первые теоремы Виета.
2.2.2. Решение систем Виета. Пример.
2.2.3. Комбинаторное отступление 1: перестановки.
2.2.4. Перестановки с повторениями и системы Виета.
2.2.5. Комбинаторное отступление 2: сочетания.
2.2.6. Комбинаторное отступление 3: размещения.
Число перестановок с повторениями.
2.2.7. Общие система и теорема Виета.
2.2.8. Формула Ньютона для степени бинома.
§2.3. Уравнения низших степеней.
2.3.1. Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.
2.3.2. Линейная замена переменной в многочленах.
2.3.3. Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля.
2.3.4. Решение кубических уравнений.
2.3.5. Графическое исследование кубического уравнения.
2.3.6. Уравнения степени 4: схема Феррари.
§2.4. Уравнения разных степеней. Методы упрощения
2.4.1. Простейшие полиномиальные уравнения.
2.4.2. Лилейные замены, основанные на симметрии.
2.4.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней.
2.4.4. Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.
2.1.5. Применение теоремы о корнях к числовым задачам.
2.4.6. Разложение методом неопределенных коэффициентов.
Упражнения.
Задачи по комбинаторике.
Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
§3.1. Рациональные алгебраические уравнения.
3.1.1. Рациональные алгебраические выражения и задачи.
3.1.2. Метод замены.
3.1.3. Симметрические и кососимметрические уравнения.
§3.2. Рациональные алгебраические неравенства.
3.2.1. Зачем бывает нужно решать неравенства?.
3.2.2. Простейшие рациональные неравенства.
3.2.3. Методы решения рациональных алгебраических неравенств.
3.2.4. Сведение к системам неравенств.
3.2.5. Метод интервалов.
3.2.6. Метод замены.
3.2.7. Неравенства с двумя переменными.
3.2.8. Метод областей.
Упражнения.
Глава 4. Рациональные алгебраические системы.
§4.1. Уравнения с несколькими переменными.
4.1.1. Решение уравнений с двумя переменными.
4.1.2. Рациональные уравнения с двумя переменными.
4.1.3. Однородные уравнения с двумя переменными.
4.1.4. О симметрических многочленах от двух переменных.
§4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы.
4.2.1. Общий метод подстановки.
4.2.2. Линейные подстановки.
4.2.3. Однородные системы.
4.2.4. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования.
§4.3. Решение систем: метод замены. Симметрические системы.
4.3.1. Метод замены.
4.3.2. Системы Виета.
4.3.3. Общие симметрические системы.
§4.4. Решение систем: метод разложения. Частные методы и приемы.
4.4.1. Решение систем методом разложения.
4.4.2. Примечательный пример.
4.4.3. Поучительный пример.
4.4.4. Метод оценок.
4.4.5. Метод итераций.
4.4.6. Сведение уравнений к системам.
4.4.7. Оценка значений переменных.
§4.5. Системы с тремя переменными.
4.5.1. Метод подстановки.
4.5.2. Метод замены.
4.5.3. Использование однородности.
4.5.4. Система Виета с тремя переменными.
4.5.5. Симметрические системы.
4.5.6. Метод разложения.
Упражнения.
Глава 5. Иррациональные алгебраические задачи.
§5.1. Уравнения с радикалами.
5.1.1. Иррациональные алгебраические выражения.
5.1.2. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
5.1.3. Неэквивалентные преобразования с проверкой.
5.1.4. Метод эквивалентных преобразований.
5.1.5. Сведение уравнений к системам.
5.1.6. Освобождение от кубических радикалов.
5.1.7. Использование монотонности.
5.1.8. Использование однородности.
§5.2. Неравенства с радикалами.
5.2.1. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
5.2.2. Эквивалентные преобразовать неравенств.
5.2.3. Дробно-иррациональные неравенства.
5.2.4. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
5.2.5. Замена при решении иррациональных неравенств.
5.2.6. Использование монотонности при решении неравенств.
5.2.7. Смешанные системы с двумя переменными.
§5.3. Уравнения и неравенства с модулями.
5.3.1. Уравнения с модулями.
5.3.2. Неравенства с модулями.
5.3.3. Комбинированные задачи с модулями.
Упражнения.
Ответы и указания к упражнениям.
Глава 1.
Глава 2.
Задачи по комбинаторике.
Глава 3.
Глава 4.
Глава 5.
Читайте также: