Имитационное моделирование модели теории очередей реферат

Обновлено: 05.07.2024

Одним из методов исследования сложных систем, в том числе, и систем массового обслуживания (СМО) является метод имитационного моделирования, когда модель (как следует из названия вида моделирования) имитирует работу реальной системы, т.е. модель воспроизводит процесс функционирования реальной системы во времени.

Любая система, как известно, представляет собой совокупность взаимосвязанных элементов и, следовательно, построение ее адекватной имитационной модели предполагает имитацию процесса функционирования каждого отдельного элемента системы с обязательным сохранением логики и правил взаимодействия и развития составляющих систему элементов, как во времени, так и в пространстве (в том числе последовательность и параллелизм их во времени).

Основное преимущество имитационного моделирования перед другими видами моделирования (например, аналитическим) состоит в универсальности в смысле возможности исследования любых достаточно сложных систем, с учетом таких факторов и условий, которые трудно или вообще невозможно учитывать при аналитическом моделировании. Поэтому во многих случаях имитационное моделирование становится наиболее эффективным, а часто и практически единственно доступным методом исследования систем.

При исследовании систем со стохастическим(случайным) характером функционирования (СМО являются системами такого типа) результаты, полученные при единичном "прогоне" имитационной модели (при единичном воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы), носят частный характер. Следовательно, для того, чтобы найти одну оценку (одно значение) какой-либо характеристики функционирования системы необходимо многократно "прогонять" имитационную модель (необходимо получить множество результатов) с последующей статистической обработкой полученных данных. Поэтому в имитационной модели должны быть предусмотрены средства сбора и средства последующей статистической обработки данных, полученных в ходе моделирования по интересующим характеристикам системы.

Единичная реализация этой элементарной имитационной модели из двух действий дает одно значение случайной величины Y. Если задача (цель) моделирования состоит в оценке среднего значения , то необходимо добавить в модель дополнительное (третье) действие S = S + y для накопления суммы случайных величин (средство сбора) и многократно реализовать полученную модель. В конце моделирования в качестве оценки для принять отношение S/N (средство обработки), где N – общее число реализаций модели.

Если необходимо построить (найти) функциональную зависимость среднего значения , например, от параметра l, то для множества точек этой зависимости нужно проделать каждый раз всю описанную выше процедуру моделирования, сбора и обработки данных. Даже в такой простой задаче очевидным образом проявляется присущий имитационному моделированию недостаток — это его трудоемкость.

Имитационное моделирование, как правило, проводится с использованием средств вычислительной техники в соответствии с программой, реализующей последовательность возникающих в системе основных событий, т.е. соответствующий процесс функционирования системы. При этом несколько часов, суток, лет работы реальной системы моделируется за несколько секунд, минут, часов работы компьютера.

При имитационном моделировании различают три вида времени.

1. Время реальной системы — это время, в котором "живет", функционирует моделируемая система.

2. Модельное время — это "искусственное" время, в котором "живет" модель или другими словами это время, которое является имитацией, прообразом (моделью) времени реальной системы.

3. Реальное время — это время, в котором живет исследователь, компьютер или другими словами это время необходимое для моделирования (затратное время).

Для нас наибольший интерес представляет модельное время. Для того, чтобы вести отсчет модельного времени и обеспечить правильную хронологическую последовательность наступления основных событий в имитационной модели используется так называемый таймер модельного времени, которая представляет собой переменную для хранения (фиксации) текущего значения модельного времени.

В процессе моделирования системы, таймер модельного времени, безусловно, должен постоянно корректироваться в соответствии с теми основными событиями, которые возникают в реальной системе. Еще один вопрос, который надо решить в начале моделирования, это условие (или условия) завершения моделирования. В общем случае, в качестве такого условия можно принять некоторое условие, которое может иметь место в моделируемой системе. В ходе моделирования модель проверяет возникновение соответствующего условия в системе и как только это условие возникает, модель принимает решение об окончании моделирования.

Однако, на практике, как правило, поступают гораздо проще, а именно, в начале моделирования задается время моделирования Т и по достижению модельным временем этого значения, т.е. когда t_M ³ Т, принимается решение о завершении моделирования и модель переходит к обработке полученных результатов. Иногда это условие дополняется другими условиями завершения моделирования. Например, дополнительным условием может быть условие дообслуживания тех заявок, которые оказались в СМО в момент времени t_M = Т.

Для реализации способа завершения моделирования по выполнению условия t_M ³ Т с тем, чтобы при каждой коррекции таймера не проверять выполнение этого условия, в модель можно ввести основное псевдо-событие "окончание моделирования". Такое событие укладывается в концепцию основных событий как событий, которых можно планировать заранее, т.к. момент наступления события "окончание моделирования" задается заранее в начале моделирования.

Научное познание и использование законов развития общества тесно связаны с прогнозами. Прогноз— научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, альтернативных путях и сроках их осуществления.

Сущность и классификация прогнозов

Чтобы дать общую характеристику прогноза, рассмотрим его основные особенности .

1. Прогноз является следствием действительности как единого целого, а будущее, отражаемое в прогнозе, — это результат сложного комплекса причин и условий. Прогноз — это итог выводов, эмпирических данных и обоснованных предположений, представляет аргументированное заключение о направлениях развития в будущем.

2. Возникновение будущего как следствия реальных событий содержит элемент случайности. Поэтому прогноз должен иметь оценку степени вероятности наступления события.

3. Прогноз, обладающий потенциалом будущего, испытывает влияние различных признаков действительности или моделирует эти признаки. При отсутствии изученных закономерностей развития для прогноза используется гипотеза о закономерностях.

4. Для составления прогноза необходимы научные исследования количественного и качественного характера, включая количественную оценку на будущее.

5. Прогноз является ориентиром для планирования, создает исследовательскую основу для подготовки плана.

6. Прогноз носит вероятностный характер и является многовариантным.

7. Временные и пространственные горизонты прогноза зависят от сущности рассматриваемого явления, он удобен как итеративный, т. е. повторяющийся и непрерывный процесс.

8. При разработке прогноза не ставятся конкретные задачи и исключается детализация.

9. Точность прогноза проверяется временем.

10. При разработке прогноза от специалиста требуются прежде всего объективность и научная добросовестность, субъективизм в оценке прошлого, настоящего и будущего не допускается.

Назначение прогноза выражается в его функциях. К основным функциям прогноза относятся:

• анализ социально-экономических и научно-технических процессов и тенденций, объективных причинно-следственных связей этих явлений в конкретных условиях, в том числе оценка сложившейся ситуации и выявление проблем хозяйственного развития;

• оценка этих тенденций в будущем, предвидение новых экономических условий и проблем, требующих разрешения;

• выявление альтернативы развития в перспективе, накопление экономической информации и расчетов для обоснования выбора и принятия оптимального управленческого решения.

Принцип прогнозирования характеризует основную идею теории, или исходное положение. К основным принципам прогнозирования относятся: системность, согласованность, вариантность, непрерывность, верифицируемость и эффективность.

Методы и приемы прогнозирования

В прогнозировании большое значение имеет выбранный метод, а также прием.

Прием прогнозирования — это одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата при прогнозировании. В качестве примеров таких приемов можно назвать сглаживание или выравнивание динамических рядов, расчет средневзвешенного значения величин.

Метод прогнозирования — это способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Совокупность специальных правил, приемов и методов составляет методику прогнозирования.

К наиболее распространенным методам прогнозирования относятся: экстраполяция, нормативные расчеты, в том числе интерполяция, экспертные оценки, аналогия, математическое моделирование. Кратко остановимся на сущности этих методов.

Экстраполяция — это метод, при котором прогнозируемые показатели рассчитываются как продолжение динамического ряда на будущее по выявленной закономерности развития. По существу экстраполяция является переносом закономерностей и тенденций прошлого на будущее на основе взаимосвязей показателей одного ряда. Метод позволяет найти уровень ряда за его пределами в будущем. Экстраполяция эффективна для краткосрочных прогнозов, если данные динамического ряда выражены ярко и устойчиво.

Нормативный метод прогнозирования заключается в определении путей и сроков достижения возможных состояний явления, принимаемых в качестве цели. Речь идет о прогнозе достижения желаемых сочетаний явления на основе заранее заданных норм, идеалов, стимулов и целей. Такой прогноз отвечает на вопрос: каким путем или путями можно достичь желаемого состояния системы.

Метод экспертных оценок используется преимущественно в долгосрочных прогнозах. В качестве эксперта выступает квалифицированный специалист (группа специалистов) по конкретной проблеме, который может сделать (долгосрочный) достоверный вывод об объекте прогнозирования. Метод чаще используется в тех случаях, когда трудно количественно оценить прогнозный фон, и специалисты делают это на основе своего понимания вопроса.

Метод экспертных оценок имеет несколько видов:

• индивидуальная экспертная оценка;

• коллективная экспертная оценка;

• метод генерации идей;

• метод экспертных комиссий;

• метод коллективной генерации идей;

• синоптический метод и др.

Метод аналогии предполагает перенос знаний об одном предмете (явлении) на другой. Такой перенос верен с определенной долей достоверности (вероятности), так как сходство между явлениями редко бывает полным. Различают аналогию историческую и математическую. Историческая аналогия основана на установлении и использовании аналогии объекта прогнозирования с одинаковыми по природе объектами, которые опережают прогнозируемые в своем развитии.

Метод математической аналогии основан на установлении аналогии математических описаний процессов развития различных по природе объектов с последующим использованием более изученного и более точного математического описания одного из них для разработки прогнозов другого. Этот метод используется в экономико-математическом моделировании и при экспериментальном подходе к изучению экономики, когда знание о признаках одного предмета возникает на основании его сходства с другими предметами. Моделирование и эксперимент обязательно используют метод аналогии.

Моделирование (математическое моделирование) означает описание экономического (моделируемого) явления посредством математических формул, уравнений и неравенств. Математический аппарат должен достаточно точно отражать прогнозный фон, хотя полностью отразить всю глубину и сложность прогнозируемого объекта довольно трудно. В широком смысле модель — это заместитель оригинала (объекта исследования), имеющий с ним такое сходство, которое позволяет получить новое знание об объекте. При более узком понимании модели она рассматривается как объект прогнозирования. Ее исследование позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем и путях достижения этих состояний.

С помощью математических моделей определяют:

• зависимость между различными экономическими показателями;

• различного рода ограничения, накладываемые на показатели;

• критерии, позволяющие оптимизировать процесс.

В прогнозировании различают: макромоделирование, т. е. укрупненное моделирование показателей экономики развития страны в целом; микромоделирование, т. е. построение моделей для отдельного объекта (фирмы); моделирование на мезоуровне, характеризующем моделирование экономических процессов региона, отрасли.

Из моделей, разработанных зарубежными специалистами, хорошо известны следующие экономические модели:

• модели экономического роста без учета технического прогресса;

• модели экономического роста с учетом технического прогресса;

• динамические модели магистрального типа и др.

В качестве примера возьмем модель фон Неймана. Она представляет собой модель расширяющейся экономики, в которой производство всех продуктов растет в одинаковом темпе, цены не зависят от времени, а инвестиции в производство поступают за счет прибыли. Динамическое равновесие в модели фон Неймана характеризуется условием:

где Р' — относительный рост производства (при простом воспроизводстве Р' = 1); Z' — минимальный процент на капитал.

В модели рассматривается ограниченное число технологических способов, выпускающих виды продуктов с определенной интенсивностью. Чистый продукт делится на фонд потребления и фонд накопления. На этой основе записывается ряд соотношений, используя которые можно последовательно, шаг за шагом развивать процесс производства.

При прогнозировании часто осуществляют исследование временных рядов, которые могут быть в виде: тренда, лага, периодических колебаний.

Трендовая модель наиболее часто используется в прогнозировании. Она основана на том, что объем и особенно структура процесса характеризуются определенной степенью инертности. Модель применяется в том случае, если установлео, что найденные закономерности будут действовать на определенном отрезке времени в будущем.

В этом случае динамический ряд рассматривается как функция времени и с известным приближением описывается различными уравнениями. Из трендовых моделей в прогнозировании наиболее широко используются следующие виды:

• параболическая (квадратичная) функция:

Недостатком трендовых моделей является тот факт, что все факторы (а их довольно много), действующие в базисном периоде, а также взаимосвязь этих факторов останутся неизменными и в прогнозном периоде. Однако это допущение в реальной практике часто нарушается.

В практике среднесрочного прогнозирования спроса всегда были популярны многофакторные корреляционные и регрессионные модели. Эти модели выступают как функции спроса, в которых в качестве переменных используются определяющие динамику. Математическая форма записи таких моделей имеет вид:

Многофакторная модель позволяет точнее отразить процесс, чем трендовые однофакторные модели. Среди многофакторных моделей особое место занимает множественная линейная регрессия.

Такую форму связи тем или иным способом необходимо привести к линейному виду, единственным требованием которого является достаточная близость теоретической кривой к эмпирическим значениям ряда. В качестве критерия при построении модели часто применяется метод наименьших квадратов

Основными подходами при использовании моделирования

Основными подходами при использовании моделирования при прогнозировании или планировании являются следующие:

• построение содержательных (кибернетических) моделей, предполагающих знание структуры и сущности моделируемых процессов;

Признаки и виды прогнозов следующие.

В соответствии с проблемно-целевым признаком различают прогнозы поисковый и нормативный:

• поисковый прогноз (или исследовательский, трендовый, генетический) — это прогноз определения возможных состояний явления в будущем, отвечающий на вопрос: что вероятнее всего произойдет при условии сохранения действующих тенденций. Его метод — экстраполяция.

• нормативный прогноз (или программный, целевой) выполняется с целью определения путей и сроков достижения возможных состояний объекта прогнозирования в будущем, принимаемых в качестве цели. Основной метод прогнозирования — интерполяция.

• По критерию природы объекта выделяют прогнозы:

• социальные (в том числе демографические);

• ресурсные (природные, материальные, трудовые, финансовые);

• научно-технические (перспективы развития науки и техники и влияние этих достижений на экономику);

• общественных и личных потребностей (спрос, потребление, потребности в образовании, здравоохранении, правопорядке, культуре и т. д.).

По критерию времени выделяют прогнозы: оперативные (до одного месяца); краткосрочные (от двух месяцев до года); среднесрочные (от 1 до 5 лет); долгосрочные (от 5 до 15 лет); дальнесрочные (свыше 15 лет).

По критерию сложности различают прогнозы: сверхпростой, простой, сложный, сверхсложный. Эти прогнозы отличаются наличием взаимосвязанных переменных в их описании: в сверхпростом прогнозе отсутствуют существенные взаимосвязи, в сверхсложном — взаимосвязи тесные (с коэффициентом корреляции, близким к 1).

По степени детерминированности объекта прогнозы могут быть: детерминированными, т. е. без существенных потерь информации в описании условий; стохастическими, в которых требуется учет случайных величин; смешанными, включающими характеристики двух вышеуказанных прогнозов.

По критерию характера развития объекта во времени различаются прогнозы: дискретные, для которых характерен тренд со скачкообразными изменениями в фиксированные периоды времени; апериодические, которые представлены в виде непериодических функций времени; циклические, для которых характерна периодическая функция времени.

По критерию масштабности объекта различают прогнозы: сублокальные; локальные; суперлокальные (субглобальные); глобальные. Если говорить об отдельной фирме или объединении предприятий, то речь должна идти, как правило, о первых трех видах, а для стран или групп стран более характерны глобальные прогнозы.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ФГБОУ ВО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

Кафедра информатики и вычислительной техники

Компьютерное имитационное моделирование. Статистическое имитационное моделирование.

Автор работы: студентка 4 курса

группы МДМ-217 Видясова Виктория

Проверила: Кормилицина Т. В., канд. физ-мат. наук, доцент

Применение статистического моделирования широко распространено в задачах анализа и проектирования автоматизированных систем, информационно-вычислительных сетей и других сложных организационно-технических объектов. Статистическое моделирование – это метод решения вероятностных и детерминированных задач, основанный на эффективном использовании случайных чисел и законов теории вероятностей. Статистическое моделирование эксплуатирует способность современных компьютеров порождать и обрабатывать за короткие промежутки времени огромное количество случайных чисел. Подавая последовательность случайных чисел на вход исследуемой функции или модели, на её выходе получают преобразованную последовательность случайных величин – выборку. При правильной организации подобного статистического эксперимента выборка содержит ценную информацию об исследуемой функции или модели, которую трудно или практически невозможно получить другими способами. Информация извлекается из выборки методами математической статистики (раздел теории вероятностей). Метод статистического моделирования (синоним этого названия – метод Монте-Карло) позволяет, таким образом, опираясь на строгие законы теории вероятностей, свести широкий класс сложных задач к относительно простым арифметико-логическим преобразованиям выборок. Поэтому такой метод получил весьма широкое распространение. В частности, он почти всегда используется при имитационном моделировании реальных сложных систем.

Указывая, что данная модель имитационная, мы обычно подчеркиваем, что, в отличие от других типов абстрактных моделей, в этой модели сохранены и легко узнаваемы такие черты моделируемого объекта, как структура, связи между компонентами, способ передачи информации . С имитационными моделями также обычно связывают и требование иллюстрации их поведения с помощью принятых в данной прикладной области графических образов . Недаром имитационными обычно называют модели предприятий, экологические и социальные модели.

Имитационная модель – специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта, в котором:

· отражена структура объекта (и представлена графическим образом) со связями;

· выполняются параллельные процессы.

Для описания поведения могут использоваться как глобальные законы, так и локальные, полученные на основе натурных экспериментов

Таким образом, имитационное моделирование предполагает использование компьютерных технологий для имитации различных процессов или операций (т. е. их моделирования), выполняемых реальными устройствами. Устройство или процесс обычно именуется системой. Для научного исследования системы мы прибегаем к определенным допущениям, касающимся ее функционирования. Эти допущения, как правило, имеющие вид математических или логических отношений, составляют модель, с помощью которой можно получить представление о поведении соответствующей системы.

Если отношения, которые образуют модель, достаточно просты для получения точной информации по интересующим нас вопросам, то можно использовать математические методы. Такого рода решение называется аналитическим . Однако большинство существующих систем являются очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически. Такие модели следует изучать с помощью моделирования. При моделировании компьютер используется для численной оценки модели, а с помощью полученных данных рассчитываются ее реальные характеристики.

С точки зрения специалиста (информатика-экономиста, математика-программиста или экономиста-математика), имитационное моделирование контролируемого процесса или управляемого объекта – это высокоуровневая информационная технология, которая обеспечивает два вида действий, выполняемых с помощью компьютера:

· работы по созданию или модификации имитационной модели;

· эксплуатацию имитационной модели и интерпретацию результатов.

Имитационное (компьютерное) моделирование экономических процессов обычно применяется в двух случаях:

· для управления сложным бизнес-процессом, когда имитационная модель управляемого экономического объекта используется в качестве инструментального средства в контуре адаптивной системы управления, создаваемой на основе информационных (компьютерных) технологий;

· при проведении экспериментов с дискретно-непрерывными моделями сложных экономических объектов для получения и отслеживания их динамики в экстренных ситуациях, связанных с рисками, натурное моделирование которых нежелательно или невозможно.

Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект. Имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

Реальные процессы и системы можно исследовать с помощью двух типов математических моделей: аналитических и имитационных.

В аналитических моделях поведение реальных процессов и систем (РПС) задается в виде явных функциональных зависимостей (уравнений линейных или нелинейных, дифференциальных или интегральных, систем этих уравнений). Однако получить эти зависимости удается только для сравнительно простых РПС. Когда явления сложны и многообразны исследователю приходится идти на упрощенные представления сложных РПС. В результате аналитическая модель становится слишком грубым приближением к действительности. Если все же для сложных РПС удается получить аналитические модели, то зачастую они превращаются в трудно разрешимую проблему. Поэтому исследователь вынужден часто использовать имитационное моделирование.

Имитационное моделирование представляет собой численный метод проведения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов и систем во времени в течение заданного периода. При этом функционирование РПС разбивается на элементарные явления, подсистемы и модули. Функционирование этих элементарных явлений, подсистем и модулей описывается набором алгоритмов, которые имитируют элементарные явления с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Имитационное моделирование - это совокупность методов алгоритмизации функционирования объектов исследований, программной реализации алгоритмических описаний, организации, планирования и выполнения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими функционирование РПС в течение заданного периода.

Под алгоритмизацией функционирования РПС понимается пооперационное описание работы всех ее функциональных подсистем отдельных модулей с уровнем детализации, соответствующем комплексу требований к модели.

"Имитационное моделирование" (ИМ)- это двойной термин. "Имитация" и " моделирование" - это синонимы. Фактически все области науки и техники являются моделями реальных процессов. Чтобы отличить математические модели друг от друга, исследователи стали давать им дополнительные названия. Термин "имитационное моделирование" означает, что мы имеем дело с такими математическими моделями, с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели при заданных исходных данных.

Основное достоинство ИМ:

1. возможность описания поведения компонент (элементов) процессов или систем на высоком уровне детализации;

2. отсутствие ограничений между параметрами ИМ и состоянием внешней среды РПС;

3. возможность исследования динамики взаимодействия компонент во времени и пространстве параметров системы;

Эти достоинства обеспечивают имитационному методу широкое распространение.

Рекомендуется использовать имитационное моделирование в следующих случаях:

1. Если не существует законченной постановки задачи исследования и идет процесс познания объекта моделирования. Имитационная модель служит средством изучения явления.

2. Если аналитические методы имеются, но математические процессы сложны и трудоемки, и имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Когда кроме оценки влияния параметров (переменных) процесса или системы желательно осуществить наблюдение за поведением компонент (элементов) процесса или системы (ПС) в течение определенного периода.

4. Когда имитационное моделирование оказывается единственным способом исследования сложной системы из-за невозможности наблюдения явлений в реальных условиях (реакции термоядерного синтеза, исследования космического пространства).

5. Когда необходимо контролировать протекание процессов или поведение систем путем замедления или ускорения явлений в ходе имитации.

6. При подготовке специалистов для новой техники, когда на имитационных моделях обеспечивается возможность приобретения навыков в эксплуатации новой техники.

7. Когда изучаются новые ситуации в РПС. В этом случае имитация служит для проверки новых стратегий и правил проведения натурных экспериментов.

8. Когда особое значение имеет последовательность событий в проектируемых ПС и модель используется для предсказания узких мест в функционировании РПС.

Однако ИМ наряду с достоинствами имеет и недостатки:

1. Разработка хорошей ИМ часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат.

2. Может оказаться, что ИМ неточна (что бывает часто), и мы не в состоянии измерить степень этой неточности.

3. Зачастую исследователи обращаются к ИМ, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

И тем не менее ИМ является одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

Одним из видов имитационного моделирования является статистическое имитационное моделирование, позволяющее воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных случайных процессов.

При исследовании сложных систем, подверженных случайным возмущениям используются вероятностные аналитические модели и вероятностные имитационные модели.

В вероятностных аналитических моделях влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов (законы распределения вероятностей, спектральные плотности или корреляционные функции). При этом построение вероятностных аналитических моделей представляет собой сложную вычислительную задачу. Поэтому вероятностное аналитическое моделирование используют для изучения сравнительно простых систем.

Подмечено, что введение случайных возмущений в имитационные модели не вносит принципиальных усложнений, поэтому исследование сложных случайных процессов проводится в настоящее время, как правило, на имитационных моделях.

В вероятностном имитационном моделировании оперируют не с характеристиками случайных процессов, а с конкретными случайными числовыми значениями параметров ПС. При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели рассматриваемого процесса, являются случайными реализациями. Поэтому для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных данных. Именно поэтому исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием.

Статистическая модель случайного процесса - это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям; имитируют взаимодействие элементов системы, носящих вероятностный характер.

При реализации на ЭВМ статистического имитационного моделирования возникает задача получения на ЭВМ случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками. Численный метод, решающий задачу генерирования последовательности случайных чисел с заданными законами распределения, получил название " метод статистических испытаний" или " метод Монте-Карло".

Так как метод Монте-Карло кроме статистического моделирования имеет приложение к ряду численных методов (взятие интегралов, решение уравнений), то целесообразно иметь различные термины.

Итак, статистическое моделирование - это способ изучения сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационных моделей.

Метод Монте-Карло - это численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками.

Методика статистического моделирования состоит из следующих этапов:

1. Моделирование на ЭВМ псевдослучайных последовательностей с заданной корреляцией и законом распределения вероятностей ( метод Монте-Карло), имитирующих на ЭВМ случайные значения параметров при каждом испытании;

2. Преобразование полученных числовых последовательностей на имитационных математических моделях.

3. Статистическая обработка результатов моделирования.

Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс — явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Пример 1. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей,

заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура изображенная на рис. 1, и

предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата.

Выберем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим через F число

точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь

S приближенно равна отношению F/N. Чем больше N, тем больше точность этой оценки.

Две особенности метода Монте-Карло.

Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

Вторая осо бенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:

1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

2. С помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4. Опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс.

5. Записать полученное значение х. Далее оно принимается как выборочное значение.

6. Повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению:

Кол - во звонков Вероятность Кумулятивная вероятность
О 0,10 0,10

Предположим, что мы хотим провести мысленный эксперимент для пяти периодов времени.

Построим график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени.

Период времени Случайное число Количество звонков

Вернемся к примеру. Для расчета нам нужно было выбирать случайные

точки в единичном квадрате. Как это сделать физически?

Представим такой эксперимент. Рис.1. (в увеличенном масштабе) с фигурой

S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся

на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата.

Конечно, все пули не будут ложиться точно в центр: они пробьют на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь S.

Результат такого опыта показан на рис. 2.(см. Приложение 2)

Ясно, что при высокой квалификации стрелка результат опыта будет очень плохим, так как почти все пули будут ложиться вблизи центра и попадут в S.