Гомотетия подобие фигур реферат

Обновлено: 02.07.2024

homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ', являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.

Тогда гомотетия - это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..

1 гомотеция
2 свойства
3 типа
- 3.1 Прямая гомотетия
- 3.2 Обратная гомотетия
- 5.1 Первый пример
- 5.2 Второй пример
homotecia

Гомотетия - это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..

Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:

Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..

С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..

свойства

Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:

- Центр гомотетии (O) - единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.

- Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.

- Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.

- Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A'B ', так что AB будет параллельным A'B', а k будет:

- Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла - это угол, имеющий одинаковую амплитуду..

С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:

- Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.

- Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).

- Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180 или .

- Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.

- Да 0 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:

Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ применение подобия фигур.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Содержание Введение Теоретическая часть Исторический материал Практическое применение подобия фигур Экспериментальная часть исследования Заключение Список используемых источников

Природа формулирует свои законы языком математики Г. Галилей.

Подобные фигуры В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров. В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Например:

Подобные фигуры Фигуры получаются подобными в результате преобразования, которое называется ГОМОТЕТИЯ. ЭТО как в кино, когда лучи из проектора попадая на экран, изображают подобные фигуры. У подобных фигур изменяются размеры сторон в одинаковое число раз, но при этом все углы остаются без изменения. О том как изменились стороны говорит нам их отношение, которое называется коэффициентом подобия К. Два многоугольника ( ABCDEF и abcdef подобны, если их углы равны: A = a, B = b, …, F = f , а стороны пропорциональны:

Как измерить высоту дерева с помощью картонки?

Измерение ширины реки

Как измерить высоту дерева с помощью зеркальца (лужи)?

Результаты эксперимента Расстояние от стены до зеркала – 85 см Расстояние от зеркала до ученицы – 46см Расстояние от пола до глаз – 160 см Расчет высоты класса х:160 = 85:46 х = 160*85:46 х ≈ 295,7 Высота класса по документам – 295 см

Используемые источники Поисковая система яндекс: www.ya.ru Поисковая система Google: www.google.com Сайт www.ru.wikipedia.org Сайт www.bymath.net Я.И. Перельман "Занимательная геометрия"

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ применение подобия.docx

Теоретическая часть

Гомотетия. Коэффициент подобия

Исторический материал

Определение Фалесом высоты пирамиды по длине ее тени

Практическое применение подобия фигур

Как измерить высоту дерева с помощью картонки?

Измерение ширины реки

Как измерить высоту дерева с помощью зеркала (лужи)?

Экспериментальная часть исследования

Используемые источники

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка - круги, треугольники
и иные математические фигуры.
Галилей

Геометрия - одна из самых древних наук. Она возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, многие детские игрушки подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, две фотографии разного формата.

Теоретическая часть

Фигуры получаются подобными в результате преобразования, которое называется ГОМОТЕТИЯ.

Это как в кино, когда лучи из проектора попадая на экран, изображают подобные фигуры.

У подобных фигур изменяются размеры сторон в одинаковое число раз, но при этом все углы остаются без изменения.

О том как изменились стороны говорит нам их отношение, которое называется коэффициентом подобия К.

Два многоугольника ( ABCDEF и abcdef подобны, если их углы равны: A = a, B = b, …, F = f , а стороны пропорциональны:

Исторический материал

1. Определение высоты предмета по длине его тени.

Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени.

Как это было, рассказывается в книге Я.И. Перельмана "Занимательная геометрия". Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой его тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени.

Я хочу прочитать вам эту маленькую притчу.

"Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона и что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

- Кто ты? - спросил верховный жрец.

- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота.

- Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.

- Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство".

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношения высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды.

Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды.

Преимущества способа Фалеса:

не требуются вычисления.

нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.

2. Определение высоты предмета по шесту.

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе "Таинственный остров".

Читаем отрывок из романа.

":- Сегодня нам надо измерить высоту площадки скалы Дальнего вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, длиной 10 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.

- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам.

По окончании измерений инженер составил следующую запись:

Н 333,33

Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам".

Преимущества способа Жюль Верна :

- можно производить измерения в любую погоду;

нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.

Практическое применение подобия фигур

1. Как измерить высоту дерева с помощью картонки?

Приготовить прямоугольный треугольник АВС с углом А = 45° и, держа его вертикально, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ, видна верхушка дерева В.

2.Измерение ширины реки

На рисунке показано, как можно определить ширину ВВ ₁ реки, рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ ₁ С ₁ .

3.Как измерить высоту дерева с помощью зеркала (лужи)?

Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Этот же метод я использовала в экспериментальной части исследования.

Экспериментальная часть исследования

В проводимом эксперименте я, с помощью одноклассников и несложных предметов (зеркало и рулетка), измерила расстояния и рассчитала высоту классного кабинета. Для этого я положила на пол зеркало и попросила одноклассницу встать так, чтобы она увидела в зеркале линию соединения стены и потолка. Затем мы измерили рулеткой расстояние от девочки до зеркала (оно равнялось 46 см), расстояние от зеркала до стены класса (85 см) и расстояние от пола до глаз ученицы (160 см). Я записала результаты и вычислила, используя подобие треугольников, высоту кабинета. По моим расчетам высота классного кабинета – 295,7 см, что соответствует высоте кабинета по документам (295см).

Расчет высоты класса

Геометрические знания широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при изготовлении технических чертежей - выполнять геометрические построения; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными вам теоремами.

При помощи подобных треугольников можно измерить и рассчитать огромные расстояния и высоты используя подручные средства, что я и использовала в своей работе.

Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) — это преобразование, в котором каждая точка \(P\) отображается такой точкой P 1 , что O P 1 → = k ⋅ OP → , где k ≠ 0 .

Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Для гомотетичных фигур F и F 1 в силе формулы отношения периметров P F 1 P F = k и площадей S F 1 S F = k 2 подобных фигур.

Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия \((O; k)\).

Если фигуры находятся на противоположных направлениях от центра гомотетии, то коэффициент отрицательный.

Центр гомотетии может находиться и внутри фигуры. Серый треугольник из зелёного треугольника \(ABC\) получен гомотетией O ; 1 2 .

Гомотетия \((O; -1)\) — это центральная симметрия или поворот на \(180\) градусов, в данном случае фигуры одинаковые.

В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос — являются движением, т. к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.

Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY'-OX' = k (OY- OX).

Так как OY' - OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х' Y' = kХY. Значит, /X'Y'/=k /XY/, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А₁, В₁, С₁, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В₁ лежит между точками А₁ и С₁. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А₁В₁С₁ (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А₂ и С₂. Треугольники А₂ВС₂ и А₁В₁С₁ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А₂ВС₂ и А₁В₁С₁. Значит, углы ABC и А₁В₁С₁ равны, что и требовалось доказать.

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 14444
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 18

Читайте также: