Геометрические характеристики плоских сечений реферат
Обновлено: 08.07.2024
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Геометрические характеристики плоских сечений.. 2. Центр тяжести сечения Центры тяжести некоторых фигур 4. Моменты инерции некоторых фигур 5. Центробежный момент инерции 6. Момент сопротивления 7. Радиус инерции 8. Зависимость между моментами инерции при повороте осей.. 9. Определение положения главных центральных осей инерции 10. Значение главных моментов инерции 11. Порядок вычисления главных центральных моментов инерции Главные оси инерции сечения и главные моменты инерции
6 1. Геометрические характеристики плоских сечений S у = a da. (1) В теориии растяжения-сжатия поперечные сечения отражены в виде площади сечения. В теорию изгиба и кручения входят более сложные геометрические характеристикии сечения, называемые моментами инерции, моментами со- элементарных площадок на расстояние от оси до центров тяжести этих противления, центробежными моментами. Статистический момент площади сечения сумма произведений площадок (рис. 1), см 3 1. Статистический момент может быть положительным, отрицатель- то ным и равным нолю. 2. Если ось проходит через центр тяжести симметричного сечения, S у = 0 (не всегда). 3. Относительно осей симметрии статический момент равен нулю. 4. Статический момент равен произведению площади фигуры на рас- стояние от центра тяжести сечения до оси. Рис. 1 Момент инерции сумма произведения элементарных площадок на квадрат расстояния от оси до центров тяжести этих площадок (рис. 2). 5
7 Рис. 2 J у = a 2 da. (2) 1. Момент инерции величина всегда положительная и не может быть равной нулю. 2. Если ось проходит через центр тяжести фигуры, то момент инер- ции называется центральным. 3. Если ось проходит через центр тяжести и лежит в плоскости фигу- ее частей. 5. Момент инерции не меняется, если часть фигуры переносить па- ры, то момент инерции называется экваториальным (для круга). 4. Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции раллельно оси. Центробежный момент инерции ных площадок на их координаты от осей док (рис. 3). сумма произведений элементар- до центров тяжести этих площа- Рис. 3 6
8 J xy = a b da, см 4. (3) 1. Может быть положительным, отрицательным, равным нулю. 2. Если одна из осей является осью симметрии, то центробежный момент равен нулю. 3. При повороте осей на 90 центробежный момент меняет свой знак на обратный. 4. Вычисляется центробежный момент инерции способом интегрирования: J xy = a b da. Полярный момент инерции сумма произведения элемента площадок на квадрат расстояния от центров тяжести этих площадок до полюса. Рис. 4 J ρ = r 2 da, см 4. (4) Полярный момент величина всегда положительная и не может быть равной нулю. Ось обычно перпендикулярна к плоскости фигуры. 7
9 2. Центр тяжести сечения Статические моменты относительных осей S y = A x da ; S x = A y da. (5) Рис. 5 Если рассматривать элементарную площадку как силу, а расстояние от ее оси как плечо силы, основываясь на теореме, то сумма моментов со- ставляющих равна моменту равнодействующей 3. Центры тяжести некоторы ых фигур Рис. 6 8
10 Рис. 7 Рис. 8 9
13 4. Моменты инерции некоторых фигур 1. Прямоугольник. Момент инерции относительно оси x 1 равен (рис. 13) Воспользовавшись формулой переноса оси (теорема Штейнера- Гюйгенса), найдем момент инерции центральной оси Рис Треугольник (рис. 14) Рис
14 3. Круг (рис. 15) а) полярный момент инерции Рис
15 5. Центробежный момент инерции 1. Прямоугольник (рис. 16) Рис. 16 JxCyC = 0, так как оси xc и yc оси симметрии. 2. Треугольник (рис. 17) Рис
16 3. Уголок равнобокий (рис. 18) Рис Уголок неравнобокий (рис. 19) Рис
17 6. Момент сопротивления Моментом сопротивления сечения называется частное от деления момента инерции на расстояние от нейтрального слоя до наиболее удаленного волокна, см 3 Момент сопротивления, являясь геометрической характеристикой, характеризует прочность бруса в зависимости от формы размеров поперечного сечения. а) W для прямоугольного сечения (рис. 20) Рис
18 б) W для круглого сечения (рис. 21) Рис. 21 в) Wρ полярный момент сопротивления (рис. 22) Рис
19 7. Радиус инерции Радиусом инерции называется величина, равная корню квадратному из момента инерции, деленному на площадь сечения, см, см 4 Радиус инерции находит применение как в геометрических характеристиках сечения, так и в теории продольного изгиба. 8. Зависимость между моментами инерции при повороте осей Возьмем сечение произвольной формы, отнесенное к произвольным осям x и y, и рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей (рис. 23). Рис
20 Величина центробежного момента инерции непрерывно меняется с поворотом угла поворота координатных осей. При повороте осей на 90 величина центробежного момента меняет знак, следовательно, при переходе от одного знака к противоположному должно быть такое положение осей, при котором она будет равна нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Если начало координат совпадает с центром тяжести фигуры, то соответствующие главные оси называются главными центральными осями инерции. 9. Определение положения главных центральных осей инерции Приравнивая центробежный момент инерции J xу к нулю, найдем угол, на который надо повернуть первоначальные оси, чтобы новые оси были главными 19
21 10. Значение главных моментов инерции 11. Порядок вычисления главных центральных моментов инерции 1. Определение положения центра тяжести сечения. 2. Через центр тяжести проводятся оси, относительно которых вычисляются центральные моменты инерции. 3. Вычисляются J xс, J ус, J xс ус. 4. Определяется положение главных центральных осей инерции Если угол α положительный он откладывается против часовой стрелки от оси x. Если α отрицательный он откладывается по часовой стрелке от оси x. 5. Вычисляются главные центральные моменты инерции 6. Вычисляем радиусы инерции 20
22 12. Главные оси инерции сечения и главные моменты инерции Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого уголка (рис. 24), требуется: Рис Определить положение центра тяжести. 2. Найти осевые центробежный моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести (х с и у с ). 3. Определить направление главных центральных осей (U и V). 4. Найти моменты инерции относительно главных центральных осей. 5. Вычертить сечение в масштабе 1:1 и указать на нем все размеры в числах и все оси. Сечение состоит из равнобокого уголка 8 и швеллера 10. Из сортамента прокатной стали выписываем геометрические характеристики: 21
23 При выборе значений моментов инерции из таблиц следует учитывать расположение стандартных профилей в сечении. Профили сечения могут быть наклонены под некоторыми углами к профилям в таблицах сортамента. Это обстоятельство может изменить величины и знаки моментов инерции. 1. Определяем координаты центра тяжести сечения в системе координат X*OY* так как х 1 = 0; у 1 = 0; Центр тяжести сечения должен лежать на прямой С 1 С Вычисляем J x с,j у с,j x с у с сечения 22
24 где α 0 = 45 о угол между главными центральными осями X0 O2 Y0 и центральными осями x 2 o 2 y 2 уголка. Максимальный и минимальный моменты инерции уголка J max и J min берутся из сортамента. 3. Определяем угол наклона главных центральных осей и вычисляем моменты инерции относительно них Так как угол α отрицательный, оси x c oy c надо повернуть по часовой стрелке на угол α, чтобы они стали главными центральными осями инерции. Поскольку JX > JY, момент инерции относительно оси U будет максимальным. 23
Основные факторы сопротивления стержня различным деформациям. Особенности геометрических характеристик при поперечном сечении. Понятие и свойства статического, осевого и полярного моментов инерции площади фигуры. Измерение круглого сплошного сечения.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.10.2013 |
| Размер файла | 196,4 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Геометрические характеристики плоских сечений
Как показывает опыт, сопротивление стержня различным деформациям зависит не только от размеров поперечного сечения, но и от формы.
Размеры поперечного сечения и форма характеризуются различными геометрическими характеристиками: площадь поперечного сечения, статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и др.
Статический момент площади (момент инерции первой степени).
Статический моментом инерции площади относительно какой-либо оси, называется сумма произведений элементарных площадок на расстояние до этой оси, распространенная на всю площадь (рис. 1)
Свойства статического момента площади:
Статический момент площади измеряется в единицах длинны третьей степени (например, см3 ).
Статический момент может быть меньше нуля, больше нуля и, следовательно, равняться нулю. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, проходят через центр тяжести сечения и называются центральными осями.
Если xc и yc - координаты цента тяжести, то
Статический момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов составляющих простых сечений относительно той же оси.
Понятие статического момента инерции в науке о прочности используется для определения положения центра тяжести сечений, хотя надо помнить, что в симметричных сечениях центр тяжести лежит на пересечении осей симметрии.
Момент инерции плоских сечений ( фигур ) (моменты инерции второй степени).
а) осевой (экваториальный) момент инерции.
Осевым моментом инерции площади фигуры относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси распространения на всю площадь (рис. 1 )
Свойства осевого момента инерции.
Осевой момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см4 ).
Осевой момент инерции всегда больше нуля.
Осевой момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме осевых моментов составляющих простых сечений относительно той же оси:
Величина осевого момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенного поперечного сечения сопротивляться изгибу.
б) Полярный момент инерции.
Полярным моментом инерции площади фигуры относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до полюса, распространенная на всю площадь (рис. 1).
Свойства полярного момента инерции:
Полярный момент инерции площади измеряется в единицах длины четвертой степени ( например, см4 ).
Полярный момент инерции всегда больше нуля.
Полярный момент инерции сложного сечения относительно какого-либо полюса (центра) равен сумме полярных моментов составляющих простых сечений относительно этого полюса.
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции этого сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.
Величина полярного момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенной формы поперечного сечения сопротивляться кручению.
в) Центробежный момент инерции.
Центробежным моментом инерции площади фигуры относительно какой-либо системы координат называется сумма произведений элементарных площадок на координаты, распространенная на всю площадь (рис. 1)
Свойства центробежного момента инерции:
Центробежный момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см4).
Центробежный момент инерции может быть больше нуля, меньше нуля, и равняться нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии, будут главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести площади, называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции площади - главными центральными моментами инерции.
Центробежный момент инерции сложного сечения в какой-либо системе координат равен сумме центробежных моментов инерции составляющих фигур в той же схеме координат.
Моменты инерции относительно параллельных осей.
Дано: оси x, y - центральные;
т.е. осевой момент инерции в сечении относительно оси, параллельной центральной, равен осевому моменту относительно своей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения относительно центральной оси имеет минимальную величину в системе параллельных осей. Сделав аналогичные выкладки для центробежного момента инерции, получим:
т.е. центробежный момент инерции сечения относительно осей, параллельных центральной системе координат, равен центробежному моменту в центральной системе координат плюс произведение площади на расстояние между осями.
Моменты инерции в повернутой системе координат
по этой зависимости определяем положение главных осей. Величину же главных моментов инерции после некоторых преобразований, определяем по следующей зависимости:
Примеры определения осевых моментов инерции, полярных моментов инерции и моментов сопротивления простейших фигур.
Оси x и y - здесь и в других примерах - главные центральные оси инерции.
Определим осевые моменты сопротивления:
Круглое сплошное сечение. Моменты инерции.
стержень сечение инерция
1.Барташевич А.А. Материаловедение. - Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
2.Вишневецкий Ю.Т. Материаловедение для технических колледжей: Учебник. - М.: Дашков и Ко, 2008.
3.Заплатин В.Н. Справочное пособие по материаловедению (металлообработка): Учеб. пособие для НПО. - М.: Академия, 2007.
4.Материаловедение: Учебник для ВУЗов. / Под ред. Арзамасова Б.Н. - М.: МГТУ им. Баумана, 2008.
5.Материаловедение: Учебник для СПО. / Адаскин А.М. и др. Под ред. Соломенцева Ю.М. - М.: Высш. шк., 2006.
6.Материаловедение: Учебник для СПО. / Под ред. Батиенко В.Т. - М.: Инфра-М, 2006.
7.Моряков О.С. Материаловедение: Учебник для СПО. - М.: Академия, 2008.
Подобные документы
Площадь поперечного сечения стержня. Изменение статических моментов площади сечения при параллельном переносе осей координат. Определение положения центра тяжести сечения, полукруга. Моменты инерции сечения. Свойства прямоугольного поперечного сечения.
презентация [1,7 M], добавлен 10.12.2013
Преобразование геометрических характеристик при параллельном переносе осей. Геометрические характеристики простейших фигур и сложных составных поперечных сечений. Изменение моментов инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
контрольная работа [192,8 K], добавлен 11.10.2013
Расчет стержня на кручение. Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением. Гипотеза плоских сечений. Метод сопротивления материалов. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Жесткость стержня при кручении.
презентация [515,8 K], добавлен 11.10.2013
Напряжения и деформации при сдвиге. Расчет на сдвиг заклепочных соединений. Статический момент сечения. Моменты инерции сечений, инерции прямоугольника, круга. Крутящий момент. Определение деформаций при кручении стержней с круглым поперечным сечением.
реферат [3,0 M], добавлен 13.01.2009
Расчетные формулы для кручения стержня в форме тонкостенного профиля, с круговым и не круглым поперечным сечением. Определение величин полярного момента инерции сечения и сопротивления. Эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Знать формулы моментов инерции простейших сечений, спо собы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.
При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивля ется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической ха рактеристикой сечения является площадь.
При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сече ния деформированию.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 1).
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки аА и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выраже ние, получим статический момент площа ди сечения:
Для симметричного сечения статические моменты каждой по ловины площади равны по величине и имеют разный знак. Следова тельно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.
Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:
Формулы для определения положения центра тяжести можно за писать в виде
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции от носительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяже сти, называют главными центральными осями сечения.
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:
1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох
21 осевой момент инерции сечения относительно оси Оу
Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по вс^й площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:
где р — расстояние до полюса (центра поворота) (рис. 25.1).
Поскольку , получим: полярный момент инерции
сечения равен сумме осевых:
Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно соответствующей оси.
Полярный момент инерция характеризует сопротивление сечения повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измере ния моментов инерции: м 4 ; см 4 ; мм 4 .
Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)
Представим прямоугольник высотой Н и ши риной Ъ в виде сечения, составленного из бесконеч но тонких полос. Запишем площадь такой полосы: Ъбу — аА. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:
По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные по лосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:
Очевидно, что при /г > Ъ сопротивление повороту относительно
оси Ох больше, чем относительно Оу.
Для квадрата:
Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют поляр ный момент инерции, затем — осевые.
Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).
Площадь каждого кольца можно рас считать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответ ствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:
Подставим это выражение для площа ди в формулу для полярного момента инер ции:
Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:
Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:
где а — наружный диаметр кольца; а ън — внутренний диаметр ко льца
Если обозначить й в н/^ = с, то
Осевые моменты инерции круга и кольца
Используя известную связь между осевыми и полярным момен тами инерции, получим:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении деформации растяжения сжатия сдвига было установлено чтопрочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба при расчетах сжатых стержней на устойчивость прочность и жесткость элементов конструкции зависят также и от формы их поперечного сечения . К числу геометрических характеристик сечения учитывающих его размеры форму и влияющих на прочность ижесткость конструкций относятся статические моменты моменты инерции и моменты сопротивления сечения.
2. Статические моменты сечения. Центр масс сечения
Статическим моментом сечения S относительно любой оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до этой оси. Так статический момент сечения (рис. 3) относительно оси z :
(6)
где Ai – площадьэлементарной i– й площадки сечения расположенной на расстоянии yi от оси z ; n – число элементарных площадок сечения. При Ai → 0 (dA) и n → ∞
. (7)
Размерность статических моментов – длина в кубе. Статические моменты могут быть положительными отрицательными и равными нулю.
Считая что поверхностная плотность ρ* сечения постоянна координаты центра масс сечения zc yc можно выразить через статическиемоменты
(8)
аналогично
(9)
где mi – массы элементарных площадок сечения; М – масса сечения; А – площадь сечения; Sz и Sy – соответственно статические моменты сечения относительно координатных осей z и y .
Из выражений (8) и (9) видно что при yc = 0; zc = 0 т.е. при прохождении координатных осей через центр масс С статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю так как А ≠ 0. Такиекоординатные оси называют центральными . Это следствие можно выразить еще так: если статические моменты сечения относительно координатных осей равны нулю т.е. Sz = 0 Sy = 0 то эти оси z y проходят через центр масс сечения C .
3. Моменты инерции сечений
Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок.
Читайте также: