Функция одной переменной реферат

Обновлено: 04.07.2024

Тема: « Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функции .

1. Определение функции. Свойства функций.

2. Способы задания функции.

3. График функции.

4. Предел функции.

5. Непрерывность функции.

1.Определение функции. Свойства функций.

Определений 1:

Если даны числовое множество Х и правило f , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят , что задана функция y = f ( x ) с областью определения Х. Пишут y = f ( x ) , х € Х. Для области определения используют обозначение D ( x ). Переменную х называют независимой переменной. Или аргументом, а переменную у --- зависимой переменной. Множество всех значений функции y = f ( x ) , х € Х называют областью значений функции и обозначают Е( f ).

Свойства функций:

Определение 1 .

Функцию y = f ( x ) называют возрастающей на множестве Х, если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 2 , выполняется неравенство f ( x 1 ) f ( x 2 ).

Определение 2 .

Функцию y = f ( x ) называют убывающей на множестве Х, если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 > х 2 , выполняется неравенство f ( x 1 )> f ( x 2 ).

Определение 3.

Функцию y = f ( x ) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа.

Определение 4.

Функцию y = f ( x ) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа.

Определение 5.

Функцию y = f ( x ) , х € Х.называют четной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f (- x ) = f ( x )

Доказать, что y = x 4 - четная функция.

Решение: Здесь f ( x )= x 4 , f (- x ) = (- x 4 ) = x 4 значит для любого значения х выполняется равенство f (- x ) = f ( x ), т. е. функция является четной.

Определение 6.

Функцию y = f ( x ) , х € Х.называют нечетной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f (- x ) = - f ( x )

Доказать, что y = x 3 - нечетная функция.

Решение: Здесь f ( x )= x 3 , f (- x ) = (- x 3 ) = - x 3 значит для любого значения х выполняется равенство f (- x ) = - f ( x ), т. е. функция является нечетной.

2. Способы задания функций

a . Табличный .

3. График функции

Если задана функция y = f ( x ), х € Х и на координатной плоскости отмечены все точки вида ( х ; у ), где х € Х, а y = f ( x ), то множество этих точек называют графиком функции

a)Предел функции на бесконечности

Пусть дана функция y = f ( x ), в области определения которой содержится луч [ а; +∞ ) и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ), Для описания этой геометрической модели используется запись:

( Читают: предел функции y = f ( x ), при стремлении х к плюс бесконечности равен b ).

Если же задана функция y = f ( x ), в области определения которой содержится луч (-∞; а] и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ), Для описания этой геометрической модели используется запись:

Если одновременно выполняются соотношения lim f ( x ) = b lim f ( x ) = b ,

то их можно объединить одной записью lim f ( x ) = b ,

Для вычисления предела функции на бесконечности используют правила:

a ) Предел суммы равен сумме пределов:

b) Предел произведения равен произведению пределов:

с) Предел частного равен частному пределов, если с не равно 0:

d) Постоянный множитель выносится за знак предела:

b ) Предел функции в точке

Смысл приведенной записи заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к а , то соответствующее значение функции все меньше и меньше будет отличаться от предельного значения b .

Для вычисления предела функции в точке , как и для вычисления предела функции на бесконечности используется теорема об арифметических операциях над пределами .

Если lim f ( x ) = b lim g ( x ) = c . То

При условии, что с≠0

5. Непрерывность функции

Определение 1

Функцию y = f ( x ) называют непрерывной в точке х = а , если выполняется соотношение lim f ( x ) = f (а)

Определение 2

Функцию y = f ( x ) называют непрерывной на промежутке Х , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Определение 1. Пусть X и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу х е X по какому-либо закону / поставлен в соответствие один элемент у е У. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от х по закону у =/(х). При этом х называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество X — областью определения ( Читать ещё >

Функции одной переменной ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

ПОНЯТИЕ ФУНШИИ

Функциональная зависимость

Определение 1. Пусть X и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу х е X по какому-либо закону / поставлен в соответствие один элемент у е У. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от х по закону у =/(х). При этом х называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество X — областью определения ( и т. п. Как правило, в таких таблицах по крайней мерс одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

Табличный способ задания функций удобен еще по двум причинам. Во-первых, методами интерполяции можно вычислять не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Во-вторых, соответствующими методами по данным таблицы можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул: на разных участках области определения функции действуют разные формулы.

Приведем примеры аналитического задания функций.

1. у = х*. Эта функция задана на бесконечной прямой - 2 . Функция задана на отрезке [-1, 1], множество ее значений — отрезок (0, 1). Это половина окружности, лежащая в верхней координатной полуплоскости.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функция задана на всем бесконечном промежутке (-°°, ), область ее изменения также бесконечный промежуток (-«>, °°) (рис. 8.3).

6. Функция Дирихле*.

х — иррациональное число,.

1, если х — рациональное число.

Функция Дирихле определена на всей числовой прямой, а множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. Изобразить ее графически невозможно.

Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и значением функции задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. п. ).

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Общая схема исследования функций

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

- D(y) – область определения (область изменения переменной х)

- E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу (по возможности).

а) функция принимает положительное значение: f(x) > 0

б) отрицательное значение: f(x) Признак возрастания и убывания функций

Определение монотонности функции на интервале Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х₁ и х₂ этого интервала из условия х₁ f(x₂), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f’(x) = tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f‘(x) > 0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f‘(x) Критические точки функции, максимумы и минимумы

Определение точек экстремума функции. Пусть х₀ – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x₀- δ, x₀+ δ [ точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀) (неравенство f(x) ≥ f(x₀)), точка х₀ называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференцируемой функции .

Теорема Ферма. Если х₀ есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x₀)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существования экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х₀ производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х₀ функция имеет экстремум.

Замечание: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.

Определение критических точек функции . Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума .

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, f‘(x) > 0 на интервале [a, x₀] и f‘(x) 0 на интервале [x₀, b], то х₀ является точкой минимума функции f(x).

Наибольшие и наименьшие значения функции

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Справедливости ради надо сказать, что по сравнению с другими науками экономика и менеджмент были на одном из последних мест по глубине проникновения в них математических знаний, созданию количественных методов исследования. Многие ученые-экономисты считали (а некоторые считают и по сей день), что экономика, управление организациями, как и другие общественные науки, – знания чисто описательного характера.

Потребности практики, однако, требуют от экономики и менеджмента все более точных и изощренных расчетов. И тут без математики не обойтись.

Развитие предпринимательства сопровождается появлением и быстрым совершенствованием науки о рыночном управлении предприятиями и производством – становлением научного менеджмента.

Математика – язык, на котором сегодня говорит любая точная наука. Математические идеи пронизывают современные макро и микроэкономику, служат основой автоматизации управленческих и производственных процессов, базой для совершенствования компьютерных программ.

В настоящее время математический аппарат является признанным инструментом менеджмента и экономики. С его помощью разрабатываются конкретные прикладные задачи управления предприятиями и организациями, оптимизации бизнеса и производства, финансового регулирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа. – М.: Просвещение, 1992.

2. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1888.

3. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Наука, 1974.

4. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Высшая школа, 1980.

Работа состоит из 1 файл

функция.ppt

Функция одной переменной.

Множество всех значений, которые может принимать данная переменная величина, называется областью изменения этой переменной величины. Переменная величина считается заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы,как правило, будем обозначать переменные величины строчными латинскими буквами x, у, u, а области изменения этих переменных символами , , .

Пусть задана переменная величина x, имеющая областью изменения некоторое множество .

Определение функции одной переменной.

Если каждому значению переменной х из

множества ставится в соответствие по

известному закону некоторое число у, то гово-

рят, что на множестве задана функция

у = у(х) или у = f(x).

При этом переменная x называется аргу-

ментом, а множество — областью

задания функции у = f(x).

Число у, которое соответствует данному зна-

чению аргумента x, называется частным

значением функции в точке x. Совокуп-

ность всех частных значений функции образует

вполне определенное множество , называемое

множеством всех значений

В обозначении у = f(x) буква f называется характеристикой функции. Для обозначения

аргумента, функции и ее характеристики могут

употребляться различные буквы.

Способы задания функции одной переменной.

Функция f задается в виде формулы y=f(x).

Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

Основные свойства функции.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

Найти точки пересечения с осями координат.

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.