Функции от матриц реферат
Обновлено: 02.07.2024
Пусть — скалярная функция переменной — многочлен, то задача нахождения многочлена , получающегося при подстановке матрицы для достаточно произвольной функции . Разумеется, что определение функции от матрицы, когда функция является многочленом, должно совпадать с определением многочлена от матрицы.
Функции, определенные на спектре матрицы
Напомним, что спектром квадратной матрицы
где — корень кратности , — корень кратности и т.д. Степень матрицы .
Говорят, что скалярная функция переменной определена на спектре матрицы определены значения
т.е. функция определена в окрестности каждой точки вместе со своими производными до указанного порядка. Совокупность (7.55) значений функции и ее производных будем обозначать .
Две функции и называются равными на спектре матрицы
Эти равенства будем записывать в форме .
Теорема 7.10 (основное свойство многочленов от матриц). Если и — многочлены, то
т.е. многочлены, равные на спектре матрицы, имеют равные матричные значения, и наоборот, если равны матричные значения многочленов, то равны их значения на спектре матрицы. Другими словами, значения многочлена на спектре матрицы полностью определяют его значение от матрицы , тогда разность является аннулирующим многочленом: . Разделим его на минимальный многочлен (свойство 1 в разд.7.2.4). Из (7.54) следует, что число является корнем многочлена , причем его кратность больше или равна . Тогда:
что равносильно (7.56). Следовательно, . Достаточность доказана. Для доказательства необходимости нужно все рассуждения провести в обратном порядке, либо вернуться ко второму способу нахождения многочлена от матрицы: в системе (7.46), которая позволяет найти коэффициенты искомого многочлена, левые части уравнений являются значениями многочлена на спектре матрицы
Определение и свойства функций от матриц
Основное свойство (7.57), справедливое для многочленов, переносится на произвольные функции и фактически берется за основу определения функции от матрицы.
Пусть — произвольная функция, определенная на спектре матрицы Значение функции от матрицы
где — любой многочлен, принимающий на спектре матрицы .
Поскольку функции от матриц определяются через многочлены, то на них переносятся свойства многочленов от матриц.
1. Функции от подобных матриц подобны.
2. Функция от блочно-диагональной матрицы является блочно- диагональной матрицей, т.е. если матрица , где некоторые квадратные матрицы, то
3. Функция от жордановой клетки имеет вид
Это верхняя треугольная матрица r-го порядка, на главной диагонали которой стоят значения функции в точке , над диагональю — значения первой производной в этой же точке и т.д., т.е. коэффициенты формулы Тейлора для функции .
Способы нахождения функций от матриц
Из определения функции от матрицы следует, что первый и второй способы нахождения многочлена от матрицы, пригодны и для любой функции, определенной на спектре матрицы. Поэтому они могут считаться первым и вторым способами нахождения функции от матрицы . Далее излагается третий (интерполяционный) способ решения этой же задачи.
Пример 7.21. Найти функцию от матрицы .
Решение. Первый способ. 1. Жорданова форма и преобразующая матрица были найдены в примере 7.15:
2. Жорданова форма состоит из одной жордановой клетки 2-го порядка, соответствующей собственному значению и ее производной . Запишем функцию от жордановой формы (7.59):
3. Найдем функцию от матрицы
Второй способ. 1. Минимальный многочлен матрицы А найден в примере 7.18: . Степень v минимального многочлена равна 2. Значит, многочлен (7.44) линейный: .
2. Для двойного корня составляем уравнения (7.46):
3. Решая систему, получаем и .
4. Находим функцию от матрицы
Полученные разными способами результаты, разумеется, совпадают.
Интерполяционный способ нахождения функции от матрицы
Рассмотрим сначала частный случай, когда все корни минимального многочлена простые: . В этом случае значения функции на спектре матрицы в точках . Обозначим через интерполяционный многочлен Лагранжа:
для которого . Тогда
Таким образом, для нахождения функции от матрицы случае простых корней минимального многочлена, нужно выполнить следующие действия.
1. Найти минимальный многочлен одним из способов, рассмотренных ранее. Убедиться в том, что все корни минимального многочлена простые.
2. Вычислить значения функции на спектре матрицы .
3. Найти значение функции от матрицы .
Пример 7.22. Найти функцию от матрицы .
Решение. Интерполяционный способ (случай простых корней). 1. Минимальный многочлен найден в примере 7.12: . Все его корни простые.
2. Находим значения функции на спектре матрицы . Составляем по формуле (7.60) интерполяционный многочлен Лагранжа:
3. Находим функцию от матрицы
Рассмотрим общий случай, когда минимальный многочлен (7.54)
имеет кратные корни : — корень кратности от , — корень кратности и т.д. Степень матрицы .
Многочлен степени меньшей, чем
называется интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции , определенной на спектре матрицы
где — многочлен, равный отношению минимального многочлена и соответствующего элементарного делителя: , а выражение в квадратных скобках равно сумме первых от, членов разложения функции по формуле Тейлора, то есть
1. Если минимальный многочлен имеет один корень (кратности то многочлен Лагранжа-Сильвестра совпадает с многочленом Тейлора. Действительно, в этом случае , поэтому формула (7.61) принимает вид
что совпадает с первыми , тогда
поэтому формула (7.61) принимает вид (7.60), т.е. многочлен Лагранжа-Сильвестра совпадает с многочленом Лагранжа.
Для нахождения функции от матрицы при наличии кратных корней минимального многочлена нужно выполнить следующие действия.
1. Найти минимальный многочлен матрицы
2. Для каждого корня кратности найти многочлен и вычислить коэффициенты разложения функции в точке по формуле Тейлора:
3. Составить по формуле (7.61) интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
4. Найти значение функции от матрицы .
Пример 7.23. Найти функцию от матрицы .
Решение. Интерполяционный способ (случай кратных корней). 1. Минимальный многочлен найден в примере7.15: . Корень — двойной, а — простой, т.е. количество различных корней .
2. Для двойного корня находим многочлен и соответствующие коэффициенты
Для простого корня находим многочлен и коэффициент .
3. Составляем по формуле (7.61) интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра:
4. Находим функцию от матрицы
Проверим полученный результат, используя первый способ нахождения функции от матрицы.
1. В примере 7.15 были найдены жорданова форма матрицы
2. Жорданова форма состоит из двух жордановых клеток 2-го и 1-го порядков , соответствующих собственным значениям . Найдем значения функции на спектре матрицы: и . Запишем функцию от жордановой формы
Найдем функцию от матрицы
Результаты, полученные разными способами, совпадают.
Свойства функций от матриц
Многие свойства функций скалярного аргумента распространяются на функции от матриц. Рассмотрим некоторые из них.
1. Если функция разлагается в степенной ряд
сходящийся в круге , то для любой матрицы
Здесь предел последовательности матриц (частичных сумм ряда) понимается поэлементно, как совокупность пределов элементов матрицы. Напомним, что .
В самом деле, степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости. Поэтому функция определена на спектре любой матрицы, собственные значения которой лежат внутри круга сходимости.
Из свойства 1 следуют, например, разложения в ряд (7.62) при
справедливые для любой квадратной матрицы 2. Если функция разлагается в степенной ряд, а собственные значения функциональной матрицы , производная которой находится по формуле:
В самом деле, подставим в ряд (7.62) вместо
Найдем производную этой матричной функции. Учитывая, что многочлены от одной и той же матрицы перестановочны, по правилу 3 дифференцирования произведения матриц получаем
то есть . Поэтому .
Сравнивая полученный ряд с производной ряда (7.62) при подстановке вместо
Пример 7.24. Используя разложение в степенной ряд, найти матричную функцию
Решение. Запишем степенной ряд (7.63)
Учитывая разложение , получаем
Результат совпадает с полученным в примере 7.23.
Применение функций от матриц для решения систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
где — коэффициенты системы, — заданные, a — неизвестные функции аргумента . При описании непрерывных динамических систем аргумент
где — столбец заданных функций, a — столбец неизвестных.
Решением системы (7.65) называют столбец дифференцируемых функций, при подстановке которых в (7.65) получаются верные равенства, тождественно выполняющиеся при .
Поставим задачу нахождения решения системы (7.65), удовлетворяющего начальным условиям
где — заданный столбец.
Как известно, решение системы (7.65) с начальными условиями (7.66) имеет вид:
В самом деле, найдем производную функции (7.67). Применяя правило Лейбница
и свойство 2 функций от матриц, получаем
т.е. является решением системы (7.65). При формула (7.67) дает , где следует, например, из разложения в ряд функции одним из способов, рассмотренных ранее.
2. Записать искомое решение по формуле (7.67).
1. Нахождение функции от функциональной матрицы матрицы матрицы . Действительно, характеристический многочлен матрицы
Поэтому, если число — корень характеристического многочлена матрицы , то число — корень многочлена , причем той же кратности. Такая же связь между корнями минимальных многочленов и : если — корень минимального многочлена , то — корень минимального многочлена .
2. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к решению системы вида (7.64), получающейся после замены .
3. Для нахождения функции можно использовать следующий способ. Найти линейно независимых решений однородной системы и составить из этих столбцов фундаментальную матрицу системы (7.65). В силу линейной независимости столбцов определитель фундаментальной матрицы (определитель Вронского) отличен от нуля: для . Поэтому определена обратная матрица . Функция (называемая матрицей Коши, или переходной матрицей) может быть найдена по формуле
Пример 7.25. Найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям , матричным способом:
Решение. 1. Составим матрицу и функцию . Найдем выражение для функции ), используя второй способ нахождения функции от матрицы. Минимальный многочлен матрицы . Степень . Для двойного корня составляем уравнения (7.46) (см. пример 7.21):
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:
.
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A).
Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .
Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .
Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Þ одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Þ .
Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.
4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):
.
Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .
.
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r(x) , когда является решением игры , где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной .
. -картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном .
. систему сканирования, как средняя или даже крупная. Однако ряд других исследователей доказали наличие позитивной корреляционной взаимосвязи между размером фирмы и характером анализа макроокружения предприятия. Для эффективности деятельности организации чрезвычайно важно стратегическое видение ее руководителя, сложившееся на основе проведенного анализа макроокружения предприятия. С точки зрения, .
. тенденции изменения показателя может быть единственным возможным способом прогнозирования (рис. 2.1) [4, c.35]. Рис. 2.1. Пример экстраполяции показателя 3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ Основа всех приемов оптимизации – нахождение экстремума функции при заданных ограничениях. Например, нахождение максимума прибыли при .
. Функции от матриц.
Df. Пусть — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f (A), нужно распространить функцию f (x) на матричное значение аргумента.
Решение этой задачи известно, когда f (x) — многочлен: , тогда .
Определение f (A) в общем случае.
Пусть m (x) — минимальный многочлен, А и он имеет такое каноническое разложение , , — собственные значения А. Пусть многочлены g (x) и h (x) принимают одинаковые значения.
Пусть g (A)=h (A) (1), тогда многочлен d (x)=g (x)-h (x) — аннулирующий многочлен для А, так как d (A)=0, следовательно, d (x) делится на линейный многочлен, d (x)=m (x)*q (x) (2).
Условимся m чисел для f (x) таких называть значениями функции f (x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .
Если множество f (Sp A) определено для f (x), то функция определена на спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h (x) и g (x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы, из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f (x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f (A) в общем случае подчинялось такому же принципу.
Значения функции f (x) на спектре матрицы, А должны полносильно определить f (A), функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f (A). Очевидно, что для определения f (A) в общем случае, достаточно найти многочлен g (x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f (A)=g (A).
Df. Если f (x) определена на спектре матрицы А, то f (A)=g (A), где g (A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f (A),
Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f (x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f (x) — это остаток от деления любого многочлена g (x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f (x), на минимальный многочлен m (x)=g (x)=m (x)*g (x)+r (x).
Этот многочлен r (x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f (x) на спектре матрицы А.
Замечание. Если минимальный многочлен m (x) матрицы, А не имеет кратных корней, , то значение функции на спектре .
Найти r (x) для произвольной f (x), если матрица
. Построим f (H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 — последний инвариантный множитель [xE-H 1 ]:
, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;
m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x nЮ 0 — n -кратный корень m (x), n-кратные собственные значения H 1 .
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f (A) являются собственные значения многочлена f (x): .
Пусть характеристический многочлен матрицы, А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
Равенство (*) справедливо для любого множества f (x), поэтому заменим многочлен f (x) на , получим:
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f (A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что — собственные значения матрицы f (A).
Свойство № 2. Пусть матрица и — собственные значения матрицы А, f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f (A) равны .
Т.к. функция f (x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r (x) такой, что , а тогда f (A)=r (A), а у матрицы r (A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .
Свойство № 3. Если, А и В подобные матрицы, , , и f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f (x) на спектре матрицы, А совпадает со значение функции f (x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r (x) такой, что f (A)=r (A), , Ю.
Свойство № 4. Если, А — блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f (x) — функция, определенная на спектре матрицы А.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, все собственные значения матрицы, А различны, , Sp A — простой. В этом случае построим базисные многочлены l k (x):
Пусть f (x) — функция, определенная на спектре матрицы, А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f (x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
Характеристический многочлен матрицы, А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
где m 1 +m 2 +…+m s =m, deg r (x) k3 надо (**) продифференцировать дважды Таким образом, коэффициент a ki определяется однозначно.
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m (x) и получим интерполяционный многочлен r (x),
Постановка задачи
Пусть А = (аij) – квадратная матрица n-го порядка и f(l) – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что следует понимать под f(A), т. е. требуется распространить функцию f(l) на матричные значения аргумента.
Эта задача очень просто решается, если – многочлен, тогда, очевидно, можно положить . Например, если и , то . Как же решить эту задачу в общем случае? Например, что такое или ?
Определение функций от матриц через многочлены
Определение 1: Скалярный многочлен называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы А, если . Например, – аннулирующий многочлен матрицы . Действительно, , .
Если – аннулирующий многочлен матрицы А, то есть аннулирующий многочлен матрицы А при любом многочлене . Действительно, .
Определение 2: Аннулирующий многочлен наименьшей степени с единичным старшим коэффициентом называется минимальным многочленом матрицы А.
Определение 3: Характеристическим многочленом (определителем) квадратной матрицы А называется . Характеристическим (вековым) уравнением матрицы А называется уравнение . Корни характеристического уравнения называются характеристическими (собственными) числами матрицы А. Их совокупность называется спектром матрицы.
Теорема 1. (Гамильтона-Кэли). Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е. .
Отсюда следует, что всякая квадратная матрица имеет аннулирующие многочлены (в частности, таковым является характеристический многочлен).
Теорема 2. Произвольный аннулирующий многочлен матрицы делится без остатка на ее минимальный многочлен.
Теорема 3. Минимальный многочлен существует и единственен для любой квадратной матрицы.
Теорема 4. Корнями минимального многочлена служат все характеристические числа матрицы А.
Таким образом, если , где при и , то минимальным многочленом является , где .
Теорема 5. Пусть – наибольший общий делитель всех миноров порядка n-1 характеристической матрицы , тогда минимальный многочлен .
Пример 1. Найти минимальный многочлен матрицы .
Решение. Характеристическая матрица:;
; миноры порядка n-1=2-1=1: , , , , их наибольший общий делитель . Отсюда .
Пример 2. Найти минимальный многочлен матрицы .
Первый способ. ; ;
миноры порядка n-1=3-1=2: ,
Их наибольший общий делитель: . Поэтому
Второй способ. . По теореме 4 минимальным многочленом может быть один из многочленов или . Следует проверить, какие из этих двух многочленов являются аннулирующими (второй тривиально является), и выбрать из них многочлен минимальной степени. Таким образом, следует проверить, является ли аннулирующим:
Ттаким образом, , как и в первом способе решения.
минимальный многочлен матрицы А. Степень этого многочлена есть m=m1+…+mk. Пусть и – такие многочлены, что
Тогда разность есть аннулирующий многочлен матрицы А, поэтому делится на без остатка, т. е.
Отсюда и из (П.15) следует . Следовательно,
Пусть – некоторая функция, а –минимальный многочлен матрицы А. Совокупность из m чисел
называется значениями функции на спектре матрицы А и обозначается . Если все значения (П.19) существуют, то говорят, что функция определена на спектре матрицы А.
Пример 3. Если , то для определенности на спектре должны существовать , и . Например, фкнкция не определена, а функции и определены на спетре матрицы.
Равенства (П.18) означают, что многочлены и имеют одни и те же значения на спектре матрицы А, что будем записывать в виде . И наоборот, из (П.18) следует (П.17) и (П.16).
Таким образом, если задана матрица А, то значения многочлена на ее спектре полностью определяют значение , т. е. все многочлены , принимающие одни и те же значения на спектре матрицы А, имеют одно и то же значение . Поэтому естественно потребовать, чтобы определение подчинялось этому принципу: значения на спектре матрицы А должны полностью определять значения , т. е. все функции , совпадающие на спектре матрицы А, должны иметь одно и то же значение . Если исходить из этого принципа, то в общем случае достаточно для определения найти любой многочлен , совпадающий с на спектре матрицы А, и положить=. Таким образом, приходим к следующему определению.
Определение 4. Если функция определена на спектре матрицы А и – любой многочлен, совпадающий с на спектре матрицы А (т. е. ), то, по определению,
Такой многочлен можно получить, используя различные методы интерполяции или метод неопределенных коэффициентов. Среди таких многочленов существует единственный, имеющий степень, меньшую m. Таким образом, выражается через Е, А, А2, …,Аm-1 с некоторыми скалярными коэффициентами:
Если использовать метод неопределенных коэффициентов, то, полагая , получим для нахождения коэффициентов а0,…,аm-1 систему из m линейных уравнений:
Пример 4. Возьмем матрицу из примера 1: , ее минимальный многочлен есть . Следовательно, для определения достаточно найти любой многочлен такой, что = и =.
а) Пусть . Тогда можно взять . Отсюда . И вообще, если – многочлен, то решение тривиально.
б) Пусть , т. е. будем искать =А-1 – обратную матрицу. Функция определена на спектре матрицы А, поэтому для определения достаточно найти любой многочлен такой, что ==1/2 и ==1/7. Возьмем , тогда , , , . Следовательно,
Вместо многочлена можно найти другой подходящий многочлен. Возьмем, например, , тогда для нахождения его коэффициентоф имеем систему уравнений , решение которой есть . Отсюда и
результат тот же.
г) Вычислить eА и 2А.
е) Выразить в общем случае через и . Ответ для этого варианта: .
Определение функций от матриц через компоненты матрицы
Недостатком определения , сделанного в предыдущем параграфе, является необходимость сложного вычисления коэффициентов в (П.21) для каждой функции , что очень неудобно, если нужно вычислить для множества различных функций . Получим другое определение , свободное от этого недостатка.
Из линейности уравнений системы (П.22) следует, что коэффициенты а0,а1,…,аm-1 в (П.21) линейно зависят от значений , т. е.
Группируя (П.23) относительно , получим другую формулу:
где m матриц определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции .
Определение 4. Матрицы из (П.24) называются составляющими матрицами матрицы А или ее компонентами. Формула (П.24) считается основной формулой для определения .
Теорема 6. Компоненты матрицы линейно независимы между собой и перестановочны между собой и с матрицей А.
Для нахождения компонент матрица А можно выполнить группировку (П.23)®( П.24) или же использовать (П.24) для нескольких функций .
Пример 5. Рассмотрим снова матрицу А из примеров 1 и 4 и выразим через компоненты матрицы А.
Первый способ. Представим в виде (П.24), т. е.
Используя решение примера 4е, имеем
Таким образом, для любой функции , определенной при l=2 и l=7, имеем
Проверьте полученный результат для функций , , .
Вычислите , Аn, (А-Е)n.
Второй способ. Положим в (1.11) , тогда , и , отсюда . Аналогично, при имеем , , . Таким образом, имеем систему уравнений , откуда , что совпадает с решением первым способом.
Пример 6. Выразить через компоненты матрицы
Представление функций от матриц рядами
В теории степенных рядов рассматривается представление скалярных функций в виде
Все члены ряда в правой части (П.26) будут определены, если скалярный аргумент заменить на матричный. Поэтому представляется естественным определить функцию от матрицы с помощью степенного ряда, т. е. положить
Однако при этом возникают вопросы сходимости ряда в (П.27) к , т. е. частичные суммы должны иметь своим пределом :
Теорема 7. Если функция разлагается в степенной ряд (П.26) в круге на комплексной плоскости, то это разложение выполняется (имеет место (П.27)) и для любой матрицы А, все характеристические числа которой лежат внутри этого круга сходимости, т. е. если , .
Из этой теоремы и известных разложений следуют формулы:
Интегральное представление функций от матриц
В теории функций комплексного переменного известна интегральная формула Коши
где – аналитическая функция внутри контура Г; z – комплексный аргумент; l – точка внутри контура Г.
Оказывается, что эту формулу можно распространить и на матричные аргументы:
при условии, что характеристические числа матрицы А находятся внутри Г.
Некоторые свойства функций от матриц
1. Все приведенные выше определения функций от матриц эквивалентны в том смысле, что они определяют одно и то же значение .
2. Для диагональных матриц имеем .
3. Пусть , где функции определены на спектре матрицы А, а функция может содержать действия сложения, умножения, умножения на число и замены величины на произвольную функцию от нее (суперпозиция). Тогда из следует .
Например, пусть А – неособенная матрица (). Тогда в скалярном тождестве можно заменить l на А: .
Свойство 3 не очень строго можно сформулировать следующим образом. При выполнении не очень сильных ограничений соотношения между функциями скалярного аргумента сохраняют силу при переходе к матричному аргументу. Например: , и т.д.
Пример 7. Рассмотрим дифференциальное уравнение
с начальным условием . Его решение имеет вид
Рассмотрим теперь систему уравнений
с начальными условиями , что можно записать в матричном виде как
с начальным условием , где , , .
Уравнение (П.32) получается из (П.29) заменой скалярного аргумента на матричный. Применяя функции от матриц, можно показать, что и решение уравнения (П.32) имеет вид, аналогичный решению (П.30): .
Функции от матриц вида H(a,b)
Рассмотрим квадратные матрицы m-го порядка вида
где a и b – действительные числа; E – единичная матрица; I – матрица, состоящая из единиц. Определим функции от матриц этого вида, предполагая . Если , то это случай неинтересный.
Найдем сначала характеристический определитель матрицы H(a,b):
Сумма всех строк есть строка (l-a-mb, l-a-mb, …, l-a-mb), которая превращается в нулевую строку при l=a+mb. Следовательно, l1=a+mb – корень характеристического определителя. Далее, при l=a характеристический определитель превращается в определитель из одинаковых строк (-b, -b, …, -b), он равен нулю, поэтому l=a – тоже корень. Найдем производные от . Производная от определителя есть сумма определителей, в каждом из которых взята производная всех элементов одной из строк:
т. е. и . Вторая производная: и и так далее. Наконец, последние производные: и ; и ; . Таким образом, , следовательно, l=a является корнем кратности m-1. Итак, , т. е. характеристические числа матрицы H(a,b) есть l1=a+mb, l2=a, …, lm=a.
Найдем теперь минимальный многочлен матрицы H(a,b). По теореме 4 он имеет вид , где . Испытаем простейший из возможных варианов – , учитывая, что :
Таким образом, – минимальный многочлен, поэтому
где H1 и H2 – компоненты матрицы H(a,b). Найдем эти компоненты, взяв функции и :
Итак, любая функция от матрицы вида H(a,b) есть матрица того же вида.
Отметим следующие свойства компонент H1 и H2:
1) независимость от a и b;
2) симметричность: ; (П.37)
3) коммутативность: ; (П.38)
4) идемпотентность: , ; (П.39)
5) взаимоаннулируемость (ортогональность): . (П.40)
Из (П.36), в частности, получаем:
Из (П.31) – (П.38) следует:
Таким образом, различные функции и операции от матриц вида H(a,b) легко вычисляются, что делает их удобными для различных применений.
© 2022 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
Читайте также: