Фракталы в технике реферат

Обновлено: 02.07.2024

Методы исследования : сравнительный анализ, синтез, моделирование.

фрактал фрактальная геометрия программирование

Цель: исследовать фракталы в природе и математике и составить программы моделирования фракталов.

узнать, что такое фракталы;

изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;

ознакомиться с биографией создателя фракталов - Бенуа Мандельброта;

смоделировать фракталы на языке программирования Pasca l АВС и в графическом редактор GIMP .

Актуальность : Интерес к проблеме обусловлен интересом к компьютерной графики

Результат исследования : Разработка программ построения фракталов

Первый раз, услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?

Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории

Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение.

2. Виды компьютерной графики

Понятие компьютерной графики не ограничивается такими ее видами как, растровая и векторная.

Растровая графика. Растровое изображение хранится с помощью точек различного цвета (пикселей). Каждый пиксель имеет определенное положение и цвет. Хранение каждого пикселя требует определенного количества битов информации, которое зависит от количества цветов в изображении.

Пиксель - минимальный участок изображения, цвет которого можно задать независимым образом. Качество растрового изображения зависит от размера изображения (количества пикселей по горизонтали и вертикали) и количества цветов, которые можно задать для каждого пикселя.

Векторная графика. Векторные графические изображения являются оптимальным средством хранения высокоточных графических объектов (чертежи, схемы и пр.), для которых имеет значение сохранение четких и ясных контуров. С векторной графикой мы сталкиваемся, когда работаем с системами компьютерного черчения и автоматизированного проектирования (САПР), программами обработки трехмерной графики и др.

Векторные изображения формируются из объектов (точка, линия, окружность, прямоугольник), которые хранятся в памяти компьютера в виде графических примитивов и описывающих их математических формул.

В настоящее время возрастает интерес к применению методов фрактальной геометрии в различных областях науки и техники – физике, астрономии, биологии, медицине, социологии, экономике, информационных и телекоммуникационных технологиях и др. Так, в физике фракталы применяются при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах, при анализе процессов усталостного разрушения материалов, для характеристики сильно развитой турбулентности, при моделировании свойств поверхности твердых тел, для описания диэлектрического пробоя и молнии и пр. В биологии фракталы применяются, например, для моделирования процессов, происходящих во внутренних органах (процессов кровообращения, биения сердца и др.), моделирования популяций. Фракталы используются и для моделирования поведения хаотических динамических систем, таких, как поведение погоды, описан способ моделирования исторических процессов и явлений средствами фрактальной геометрии. В экономике фракталы применяют при анализе колебаний курса валют.

Широко применяются фракталы и в области компьютерной графики, например, для получения изображений природных объектов (растений, облаков, гор, береговых линий, ландшафтов, поверхности морей, карт и пр.), при создании компьютерных игр.

Фрактальная графика, как векторная, является вычисляемой. Но, в отличие от векторной графики, основное внимание уделяется не заданию изображения в виде совокупности простых геометрических фигур (прямых, многоугольников, окружностей, многогранников и пр.), а описанию алгоритма построения изображения – фрактальное изображение строится по уравнению или системе уравнений, и никакие объекты в памяти компьютера не хранятся.

3. Графический режим Паскаль АВС

Для работы в графическом режиме необходимо подключение модуля uses GraphABC.

Графический режим Графический экран PasсalABC (по умолчанию) содержит 640 точек по горизонтали и 400 точек по вертикали.

1. Управление экраном SetWindowWidth(w) -устанавливает ширину графического окна;

SetWindowHeight(h) -устанавливает высоту графического окна;

2. Точка SetPixel(x,y,color) – закрашивает один пиксел с координатами (x,y) цветом color

3. Линии Line(x1,y1,x2,y2) - рисует отрезок с началом в точке (x1,y1) и концом в точке (x2,y2).

1. Изучить и проанализировать основные понятия теории фракталов.

2. Рассмотреть вопросы применения теории фракталов в информатике.

Для решения поставленных задач была использована научная

литература, а также Интернет-источники и сведения из популярной

Интернет-энциклопедии Википедии, имеющие ссылки на источники. За

основу были взяты издания Института компьютерных исследований в

Ижевске. В первую очередь это классический труд Б. Мандельброта

исследованиям в области теории фракталов. Не менее важен для нас труд

котором в доступной форме изложен математический аппарат, приведены

примеры и иллюстрации создания классических фракталов. В книгу

включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.

В трудах Шредера и Кроновера, в сетевом проекте «Фракталы и теория

синергетических систем, параллельно с теорией хаоса.

Интересна статья Шестопалова и его коллег: здесь внимание

акцентируется не на фрактальных объектах, а на фрактальных процессах, что

позволяет сделать вывод об универсальности теории фракталов в

мировоззренческом см ысле. Надо отметить, что А.В. Шестопаловым

Практическое применение теории фракталов для сжатия изображений в

информатике достаточно подробно описано в книге «Фракталы и вейвлеты

языках С, С++. Даны листинги и их подробное объяснение. К книге

Использование материалов Википедии осуществлялось при условии

Теория фракталов как наука опирается на г еометрию и теорию

размерности [2]. Ф рактальная геометрия связана с изучением нерегулярных

множеств, т.е. обладающих хаотичной, нетривиальной структурой на всех

масштабах. Наглядно отличие нерегулярных структур от регулярных

проявляется в процессе их масштабирования: «если мы рассмотрим

небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он

будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не

ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах м ы увидим одинаково

недифференцируемыми, апериодическими, нелинейными и представляют

В основе фрактальной геометрии лежит понятие самоподобия,

подразумевающее инвариантность при мультипликативном изменении

масштабов или размеров. Если речь идет более, чем об одном масштабном

(скейлинговом) факторе, такую инвариантность называют самоаффинностью

[9]. Интересно, что «самоподобие - . это единственная из всех симметрий,

которая порождает саму антитезу симметрии – хаос, состояние полного

Говоря о разм ерности фрактала, необходимо определить такие понятия

как топологическая размерность и фрактальная размерность. В данном

случае для нас важны не точные матем атические определения, а различение

данных понятий в контексте исследования. Топологическая размерность, или

размерность Лебега, связывается со свойством непрерывности пространства,

а т.к. фрактальные функции не являются непрерывными и

дифференцируемыми (см. выше), то топологическая размерность

определяемых ими фрактальных множеств равна нулю. Так, например,

нулевую топологическую размерность имеет множество Кантора (рис. 1).

Фрактальная размерность, под которой обычно понимается

размерность Хаусдорфа (реже – Минковског о), определяется для

метрических пространств (множеств точек с фиксированной функцией

расстояния – м етрикой) и связывается с нестрого возрастающей функцией и,

таким образом, учитывает нелинейность фрактального множества.

Фрактальное множество обладает дробной метрической размерностью или

метрической размерностью, превосходящей топологическую [ 7]. Так,

хаусдорфова размерность множества Кантора в вышеприведенном примере

Нерегулярность, самоподобие и размерность – это свойства, которые

характеризуют объект как фрактал. Фрактальными свойствами могут

обладать не только математические объекты, такие как множества и

функции, но и процессы, например, фрактально подобные геометрические

Прим ерами фрактальных структур в природе могут служить кроны

деревьев и горные хребты, система кровообращения и легкие человека,

каскадные водопады и турбулентные процессы в атмосфере и т.д. [2].

В настоящее время не существует однозначного определения фрактала.

математическим терм ином и не им еет общепринятого строгого

Математически фрактальная размерность d представляет собой степень r в соотношении между N , числом

равных подобъектов, и коэффициентом подобия r , а именно:

находится логарифмированием обеих частей указанного соотношения:

любому положительному основанию, отличному от единицы, например, 10 или

математического определения. Оно может употребляться, когда

рассматриваемая фигура об ладает какими-либо из перечисленных ниже

А.Д. Мороз овым в следую щем варианте: «…фрактал – это геометрическая

фигура, в которой один и тот же фрагмент повт оряется при каждом

рекурсивной процедурой – комбинацией линейных (аффинных) сжимающих

отображений подобия – и называются конструктивными фракталами .

фракталом. Во втором случае, по мнению А.Д. Морозова, справедливо

определение по Б. Мандельброту (1975): ф ракталы – это « множества точек в

евклидовом пространстве, и меющие дробную метрическую размерность (в

смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность,

синергетических системах, их построение не так просто, как в случае

конструктивных фракталов, они могут обладать масштабной

инвариантностью лишь приближенно и носят название динамических

фракталов . Надо отметить, что привязка фрактала Мандельброта к переводу

А.Д. Морозовым. Сам Мандельброт так же, как и Лаверье, ссылается на

Ранее созданный нами проект "Фракталы", в переработанном варианте.

Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Омской области

ФРАКТАЛЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ХАОС

студент группы 21

Шакуров Николай Александрович

Приходько Наталья Викторовна

с. Усть-Заостровка, 2018

Глава 1. Создание фрактальной геометрии.

Как фракталы связаны с хаосом?

Глава 2. Классификация фракталов.

Области применения фракталов.

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой?

Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.

Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности."

Бенуа Мандельбро

Фракталы – нечто такое, о чем я не мог написать, нечто такое, что поражает воображение многих людей, которые видят фрактальное изображение в первый раз, не зная, что это.

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако, этот набор, как не сложно заметить, трудно применим для описания сложных объектов, таких как, турбулентный поток жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносно-сосудистая система, крона дерева и т.д.

Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Основной идеей новой геометрии является идея самоподобия. Т.е. фрактальные структуры при различном увеличении не претерпевают в среднем значительных изменений. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветви поменьше и т.д. То же самое можно заметить, рассматривая горный рельеф, кровеносную систему человека и др. Сейчас очевидно, что с помощью евклидовой геометрии сложно описывать природные объекты, т.к. в ней отсутствует некоторая нерегулярность, беспорядок. В таких случаях и применяется теория фракталов. Фракталы используются при создании изображений деревьев, горных ландшафтов, облаков; при анализе сигналов сложной формы; во многих областях в физики, химии, биологии.

В отличие от евклидовой геометрии, которая рассматривает гладкие объекты, фрактальная геометрия рассматривает нерегулярные, сильно изломанные, изрезанные объекты. Для фрактальных кривых не существует понятия касательной, т.к. эти кривые в общем случае недифференцируемые.

Самоподобие является одним из определяющих свойств фрактала. Другим из таких свойств является дробная размерность. Отсюда и происхождение слова фрактал.

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии. Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных. Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду. Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов.

Объектная область исследования – фрактальная геометрия.

Объект исследования – фракталы.

Предмет исследования – геометрические фигуры фрактального типа.

Изучив научную литературу по данному вопросу, выдвигаем

цель исследовательской работы – знакомство и изучение мира фракталов, областей их применения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.

Фрактальные изображения применяются в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и завершая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. Создаются фрактальные изображения путем математических расчетов.

Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула – это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение строится исключительно на основе уравнений. Также не менее важным аспектом является цветовая настройка, фильтры трансформации.

Существует очень много программ по созданию фрактальных изображений. Эти программы имеют свои достоинства и недостатки. С развитием технологий количество программ увеличивается, а их качество и возможности улучшаются.

1 Общие сведения о фракталах и фрактальной графике

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Базовыми элементами фрактальной графики являются сами математические формулы, описывающие линии и линейные поверхности, то есть никаких объектов в памяти ЭВМ не хранится и изображение строится исключительно по формулам (уравнениям).

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Квазифрактал отличается от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы и т. д.) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

Мультифрактал – комплексный фрактал, который может детерминироваться не одним единственным алгоритмом построения, а несколькими последовательно сменяющими друг друга алгоритмами. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью. Для описания мультифрактала вычисляют мультифрактальный спектр включающий в себя ряд фрактальных размерностей присущих элементам данного мультифрактала.

Предфрактал – это самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется в упрощённом виде при уменьшении масштаба конечное число раз. Количество уровней масштаба, на которых наблюдается подобие, называется порядком предфрактала. При порядке, стремящемся к бесконечности, предфрактал переходит в фрактал.

Фрактальный подход нашел широкое применение во многих областях компьютерной графики, науки и искусства.

Фрактальная графика не является, строго говоря, частью векторной графики, поскольку широко использует и растровые объекты. Фракталы широко используются в растровых (AdobePhotoshop) и векторных (CorelDraw) редакторах и трехмерной (CorelBryce) графике.

2 Специальные программные средства

1. Программа Fractal Editor (Рисунок 1)

Рисунок 1 Fractal Editor

Знакомство с основами фрактальной графики лучше всего начать с пакета Fractal Editor. Этот редактор (созданный фирмой Fractal Design, а теперь принадлежащий Corel) фактически представляет собой усеченный вариант программы Painter. Это отличная программа для обучения не только компьютерной графике, но прежде всего азам рисования. Малый объем требуемой памяти (для его установки необходимо всего 10 Мбайт), а также простой интерфейс, доступный даже ребенку, позволяют использовать его в школьной программе.

2. Программа Ultra Fractal (Рисунок 2)

Рисунок 2 Ultra Fractal

Ultra Fractal – лучшее решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Пакет отличается дружественным интерфейсом, многие элементы которого напоминают интерфейс Photoshop (что упрощает изучение), и сопровождается невероятно подробной и прекрасно иллюстрированной документацией с серией туториалов, в которых поэтапно рассматриваются все аспекты работы с программой. Ultra Fractal представлен двумя редакциями: Standard Edition и расширенной Animation Edition, возможности которой позволяют не только генерировать фрактальные изображения, но и создавать анимацию на их основе. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении, пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в одном из популярных фрактальных форматов. Визуализированные изображения также могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и psd), а готовые фрактальные анимации – в AVI-формат.

Принцип создания фрактальных изображений достаточно традиционен, самое простое – воспользоваться одной из прилагаемых в поставке формул (сориентироваться относительно возможного вида генерируемого по выбранной формуле изображения поможет встроенный браузер), а затем подредактировать параметры формулы желаемым образом. А если эксперимент оказался неудачен, то последние действия легко отменить. Готовых фрактальных формул очень много, и число их может быть расширено путем скачивания новых формул с сайта программы. Также можно создать собственные формулы, для чего в пакете имеется встроенный текстовый редактор с поддержкой базовых шаблонов, основанных на стандартных конструкциях языка программирования фрактальных формул.

3. Программа Fractal Explorer (Рисунок 3)

Рисунок 3 Fractal Explorer

Fractal Explorer – программа для создания изображений фракталов и трехмерных аттракторов с достаточно впечатляющими возможностями. Имеет интуитивно понятный классический интерфейс, который может быть настроен в соответствии с пользовательскими предпочтениями, и поддерживает стандартные форматы фрактальных изображений (*.frp; *.frs; *.fri; *.fro; *.fr3, *.fr4 и др.). Готовые фрактальные изображения сохраняются в формате *.frs и могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и gif), а фрактальные анимации сохраняются как AVI-файлы.

Генерация фракталов возможна двумя способами – на основе базовых фрактальных изображений, построенных по входящим в поставку формулам, или с нуля. Первый вариант позволяет получить интересные результаты сравнительно просто, ведь выбрать подходящую формулу несложно, тем более что удобный файловый браузер позволит оценить качество фрактала из базы еще до создания на его основе фрактального изображения. У полученного таким путем фрактального изображения можно сменить цветовую палитру, добавить к нему фоновое изображение и определить режим смешивания фрактального и фонового слоев, а также степень прозрачности фрактального слоя. Затем можно будет подвергнуть фрактальное изображение трансформации, при необходимости масштабировать, определить размеры изображения и провести рендеринг. Создание изображения с нуля гораздо сложнее и предполагает выбор одного из двух способов. Можно выбрать тип фрактала почти из 150 вариантов. А затем уже перейти к изменению разнообразных параметров: настройке палитры, фона и пр. А можно попробовать создать свою пользовательскую формулу, воспользовавшись встроенным компилятором. Перед рендерингом готового изображения может потребоваться проведение автоматической коррекции цветового баланса и/или ручной коррекции яркости, контрастности и насыщенности.

4. Программа ChaosPro (Рисунок 4)

Рисунок 4 ChaosPro

ChaosPro – один из лучших бесплатных генераторов фрактальных изображений, с помощью которого нетрудно создать бесконечное множество удивительных по красоте фрактальных изображений. Программа имеет очень простой и удобный интерфейс и наряду с возможностью автоматического построения фракталов позволяет полностью управлять данным процессом за счет изменения большого количества настроек (число итераций, цветовая палитра, степень размытия, особенности проецирования, размер изображения и др.). Кроме того, создаваемые изображения могут быть многослойными (режимом смешивания слоев можно управлять) и к ним можно применить целую серию фильтров. Все накладываемые на строящиеся фракталы изменения тут же отражаются в окне просмотра. Созданные фракталы могут быть сохранены в собственном формате программы, либо в одном из основных фрактальных типов благодаря наличию встроенного компилятора.

точная цветовая настройка, обеспечивающая плавные градиентные переходы цветов друг в друга;

одновременное построение нескольких фракталов в разных окнах;

возможность создания анимации на основе фрактальных изображений с определением ключевых анимационных фаз, которые могут отличаться по любому изменяемому параметру: углам поворота и вращения, цветовым параметрам и пр.;

создание трехмерных представлений фракталов на основе обычных двумерных изображений;

поддержка многих стандартных форматов фрактальных изображений, изображения в которых могут быть импортированы и отредактированы в среде ChaosPro.

5. Программа Apophysis (Рисунок 5)

Рисунок 5 Apophysis

Apophysis – интересный инструмент для генерации фракталов на основе базовых фрактальных формул. Созданные по готовым формулам фракталы можно редактировать и неузнаваемо изменять, регулируя разнообразные параметры. Так, например, в редакторе их можно трансформировать, либо изменив лежащие в основе фракталов треугольники, либо применив понравившийся метод преобразования: волнообразное искажение, перспективу, размытие по Гауссу и др. Затем стоит поэкспериментировать с цветами, выбрав один из базовых вариантов градиентной заливки. Список встроенных заливок достаточно внушителен, и при необходимости можно автоматически подобрать наиболее подходящую заливку к имеющемуся растровому изображению, что актуально, например, при создании фрактального фона в том же стиле, что и иные изображения некоего проекта. При необходимости несложно подрегулировать гамму и яркость, изменить фон, масштабировать фрактальный объект и уточнить его расположение на фоне. Можно также подвергнуть результат разнообразным мутациям в нужном стиле. По окончании следует задать размеры конечного фрактального изображения и записать его визуализированный вариант в виде графического файла (jpg, bmp, png).

6. Программа Mystica (Рисунок 6)

Рисунок 6 Mystica

Mystica – универсальный генератор уникальных фантастических двумерных и трехмерных изображений и текстур, которые в дальнейшем можно использовать в разных проектах, например в качестве реальных текстур для Web-страниц, фонов Рабочего стола или фантастических фоновых изображений, которые могут быть задействованы, например, при оформлении детских книг.

Фрактальная графика очень реалистична. Происходит это потому, что ее детали и элементы постоянно встречаются в окружении человека – горы, облака, морские берега, различные природные явления. Часть из них остается постоянно в одном и том же состоянии, вроде деревьев, каменистых участков. Остальные же непрерывно меняются, как мерцающее огненное пламя или кровь, двигающаяся по сосудам.

Развитие фрактальных технологий на сегодняшний день – одна из прогрессирующих областей науки. Она используется не только в компьютерной графике.

Достоинствами фрактала являются:

Малый размер исполняемого файла при большом изображении.

Бесконечная масштабируемость и увеличение сложности картинки.

Незаменимость в построении сложных фигур, состоящих из однотипных элементов (облака, вода и т.д.).

Относительная легкость в создании сложных композиций.

Все вычисления делаются компьютером, чем сложнее изображение, тем больше загруженность ЦП и ОЗУ.

Плохое распространение и поддержка различными системами.

Небольшой спектр создания объектов изображений.

Ограниченность материнских математических фигур.

Список использованных источников

Мандельброт Б. Б. Фрактальная геометрия природы; Мурманск: Книжное издательство – Москва, 2010. – 895 c. – Текст : непосредственный.

Шабетник Василий Фрактальная физика. Наука о мироздании; Профиздат – Москва, 2013. – 416 c. – Текст : непосредственный.

Читайте также: