Формула пика для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге реферат

Обновлено: 05.07.2024

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.

Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач.

Вложение	Размер
формула Пика	1.95 МБ

Предварительный просмотр:

Автор работы: Братчиков Артемий

Ученик 5 класса

Руководитель: Григорьева Е.В.,

II. Формула Пика

2.3.Делениемногоугольника на треугольники и прямоугольники……8

2.4. Доказательство теоремы Пика……………………………………..9

2.5. Исследование площадей многоугольников………………11

III. Нахождение площади многоугольника по формуле Пика ……. 14

IV. Теорема Пика на детских рисунках………………………………………. 16

VI. Список используемой литературы…………………………………………19

На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.

Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования:

Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
Области применения искомой формулы.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
Проанализировать и систематизировать полученную информацию
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза :Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуламплощадей из учебника математики.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Одна формула за всех…

Авторы : Свиридов Александр,

Леонтьев Дмитрий, 6 класс,

Научный руководитель: Лукьянова

Ольга Георгиевна, учитель математики,

Миасский городской округ

"Геометрия есть знание величин,

фигур и их границ,

а также отношений между ними

и производимых над ними операций,

разнообразных положений и движений"

Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да. Это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?

Актуальность: при решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго. Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на клетчатой бумаге очень интересная тема. Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др.

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель: исследование рациональности использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на плоскости.

2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей.

3. Сравнить и проанализировать результаты исследования.

4. Разработать рекомендации учащимся по применению формулы Пика при решении задач ЕГЭ.

1.1 Методы расчета площади многоугольников.

Мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.

В жизни часто приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.

Задание: Вычислить площадь многоугольника

1 Способ - разбиение

Задача 1.

1) S _BDCE =1 * 3 = 3 (кв. ед.)

2) S _BDC = S _BDCE : 2 = 3 : 2 = 1,5 (кв. ед.)

3) S _ACE = S _AKCE : 2 = 1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)

= 3 - (1,5 + 0,5) = 1 ( кв . ед .)

Ответ : 1 кв. ед.

Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае.

2 Способ – достраивание

Задача 2.

1) S _ABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.)

2) S _ACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

3) S _CBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)

4) S _CEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.)

5) S _ABC = S _ABF - (S _BCE + S _ACD + S _CEFD ) = 3 - (0,5 + 1 + 1) = 0,5 ( кв . ед .)

Ответ : 0,5 кв. ед.

Задача 3.

S ₁ = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.)

S ₂ = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

S ₃ = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.)

S ₄ = 5 * 3 = 15 (кв. ед.)

S ₅ = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

S ₆ = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.)

S ₇ = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

S _Ф = S ₁ + S ₂ + S ₃ + S ₄ + S ₅ + S ₆ + + S ₇ = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 ( кв . ед .)

Ответ : 39 кв. ед.

1.2 Формула Пика

Георг Александр Пик

(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.3 Использование формулы Пика

Алгоритм вычисления площади многоугольника

с помощью формулы Пика:

Отметить внутренние и граничные узлы 1 .

Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов.

Находим площадь фигуры по формуле:

S = В + Г : 2 - 1.

Вычислим площадь фигуры по формуле Пика.

S = 1 + 8 : 2 – 1 = 4 (кв. ед.)

Ответ : 4 (кв. ед.)

Вернёмся к задаче №3 и вычислим её площадь по Формуле Пика:

S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.)

Ответ : 39 кв. ед.

2.1 Задача про кузнечиков

После одного прыжка треугольник мог стать таким: (по условию может прыгать один кузнечик так, чтобы в треугольнике не было внутренних узлов, а два других оставались на месте)

А после ещё одного таким:

Но если мы посчитаем площадь всех этих треугольников, то мы заметим, что она всегда была равна 0,5 кв. ед., из этого следует что сколько бы кузнечики не прыгали, площадь треугольника останется одной, значит в результате прыжков кузнечиков всегда будет получаться простой треугольник (имеющий площадь 0,5 кв. ед.).

Вывод :

Площадь треугольника при прыжке не меняется.

Любой простой треугольник достижим 3 .

Любой достижимый треугольник имеет площадь ½ кв. ед.

Из простого треугольника при прыжке получается простой.

3.1 Задачи ЕГЭ

Задача 5.

Нарисуем на клетчатой бумаге какой - нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 8.

Рисунок 8

Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

1 способ: Решение достраиванием :

S ₁ = (3 * 1) : 2 = 1,5 ( кв. ед.)

S ₂ = (3 * 2) : 2 = 3 ( кв. ед.)

S ₃ = 1 * 4 – (1 * 2 : 2) – (1 * 3 : 2) - 1 * 1 = 4 – 1 – 1,5 – 1 = 0,5 (кв. ед.)

S _ф = 1,5 + 3 + 0,5 = 5 (кв. ед.)

2 способ: Решение с помощью Формулы Пика :

S = 3 + 6 : 2 – 1 = 5 (кв. ед.)

Задача 6 .

Очень сложно вычислить площадь, разбивая на части, достраивая до элементарных фигур, но Формула Пика позволяет легко найти площадь этой фигуры.

S = 0 + 8 : 2 – 1 = 3 (кв. ед.)

Ответ : 3 (кв. ед.)

Многоугольник на рисунке 11 сложно разбить на прямоугольные треугольники, но его площадь можно вычислить по теореме Пика:

S = 6 + 13 : 2 - 1 = 11,5

Ответ : 11,5 (кв. ед.)

3.2 Формула Пика для окружностей

Многие считают, что формула Пика не подходит для нахождения площади окружности, но это не так. Правда есть маленькая неточность, но нам не нужно вычислять площадь до десяти тысячных долей.

Вычислим площадь кольца на рисунке 13.

Известно, что площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.

Решение по формулам :

S _кол = (3.14 * 2.9 * 2.9) – (3.14 * 2 * 2) = (3.14 * 8.41) – (3.14 * 4) = 26.4074 – 12.56 = 13.8474 (кв. ед.)

Ответ : 13,8474 (кв. ед.)

Решение по формуле Пика :

S _БК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.)

S _МК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.)

S _кол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.)

Ответ : 14 (кв. ед.)

В итоге мы видим, что отличие в результатах всего 1.1%

3.3 Формула Пика в пространстве.

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1 с помощью формулы Пика не получится.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.

4.1 Работа с палеткой.

Задача 1 : Рассчитать общую площадь школы

План школы №18

Находим площадь одного этажа школы в квадратных сантиметрах. 99 + 62 : 2 – 1 = 129 см 2

129 см 2 = 129 * 16 = 2064 м 2

Ответ: 2064 м 2 .

Настоящая площадь – 6222 м 2

Погрешность составила 0.5%

Задача 2: Вычислить площадь озера Тургояк.

План озера Тургояк

Масштаб 1: 50000

46 + 11 : 2 - 1 = 51,5 см 2

51,5 * 50000 = 2575000 см 2 =

Ответ : 25,75 км 2

Мы получили приближённый результат.

Настоящая площадь озера - 26,4 км 2

Погрешность составила 2.5%

При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.

Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:

Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки.

Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Увидев задачи в контрольно – измерительных материалах ОГЭ на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге, я решила их исследовать. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Может есть какой-то метод для нахождения площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге? Ведь, если фигура состоит из целых квадратиков, это сделать довольно таки легко. Посчитать квадратики и всё! А когда квадратик не целый, что делать? Я подумала, что решения таких задач должны существовать и должны быть оригинальны, красивы и часто проще и быстрее, чем аналитическим путем.

Так и была определена тема для моего проекта.

Объект проекта: задачи на клетчатой бумаге.

Предмет проекта: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Актуальность: данная тема является дополнением и углублением в курс геометрии; формула Пика поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Методы исследования: моделирование, построение, анализ и классификация информации, сравнение, обобщение.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Цель проекта:

Изучить формулу Пика для вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

Создать электронную презентацию с заданиями на применение формулы Пика.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

2. Основная часть

2.1. Формула Пика. Решетки. Узлы

При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.

Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты. Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу)

А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим ч ерез вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольникаABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В + - 1, где S– площадь многоугольника, В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.

2.2. Доказательство формулы Пика.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: .

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1. Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины.

Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинуть параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Рассматривая книги по математике, я обратила внимание на задания, в которых нужно было найти площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге.

Ещё 4–5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов. В Древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

Способ вычисления площади фигуры с помощью квадратной сетки

Приближённое измерение площадей можно производить с помощью палетки — квадратной сетки, нанесённой на прозрачную пластинку. При измерении подсчитывается число квадратиков (а значит, и их площадь), целиком содержащихся в фигуре, а также число квадратиков, частично входящих в измеряемую фигуру. Это число делится пополам. Суммируя эти числа, находят приближённое значение площади фигуры. Точность такого измерения невелика, но во многих случаях она устраивает измеряющего.

Поэтому площадь многоугольника S равна

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика.

Теорема Пика появилась в сборнике работ Пика в 1899 году. Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Формула Пика, или как считать площади многоугольников, полезна при решении задачи В₄ ЕГЭ и 12 задачи ОГЭ.

Вычисление узлов

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле: Ѕ= -1

Г — количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

В — количество узлов внутри треугольника

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см Г = 15 (обозначены красным) В = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

Г = 18 (обозначены красным) В = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

Г = 24 (обозначены красным) В = 25 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им есть задания на ЕГЭ и ОГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

Отметим узлы:

Г = 11 (обозначены красным) В = 5 (обозначены синим)

На решение задачи затратили всего 1–2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

Но я задумалась, а можно ли доверять теореме Пика и получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

Я решила найти площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты я получила:

Мы снова получили одинаковые результаты.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Например:

Г=16, В=9 S=16:2+9–1=16

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: Ѕ= -1

– Формула Пика очень проста для запоминания.

– Формула Пика очень удобна и проста в применении.

– Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Эта формула экономит время при вычислениях площади фигуры. Учащиеся при вычислении площадей могут использовать любой способ.

Основные термины (генерируются автоматически): Формула Пика, узел, измерение площадей, площадь многоугольника, площадь многоугольников, площадь фигуры, теорема Пика, площадь, квадратная сетка, клетчатая бумага.

Формула пика для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге реферат

Предварительный просмотр:

1.1 Методы расчета площади многоугольников.

1 Способ - разбиение

2 Способ – достраивание

1.2 Формула Пика

1.3 Использование формулы Пика

2.1 Задача про кузнечиков

3.1 Задачи ЕГЭ

3.2 Формула Пика для окружностей

3.3 Формула Пика в пространстве.

4.1 Работа с палеткой.

Похожие статьи

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге

Особенности вычисления площадей по карте при выполнении.

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Нахождение площади поверхности прямоугольного.

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника.

Применение теоремы Паппа-Гульдена | Статья в журнале.

Численные методы для решения задачи о нахождении выпуклой.

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника.