Физический смысл интеграла реферат

Обновлено: 20.05.2024

Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = α до t = β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t₀ = α a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x₀ 2 , осью Ox и прямой x=1.

1). Разбивая отрезок интегрирования [0, 1] на n равных частей, получим такие же абсциссы точек деления, как в примере 1.

2). В каждом из частичных отрезков выберем снова правые концы:

Так как f(x) = x 2 , то

и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде

3). Интегральная сумма

Помещенная в скобках сумма квадратов первых n чисел натурального ряда может быть преобразована по формуле, доказываемой в элементарной алгебре:

4). Переход к пределу интегральной суммы при n → ∞ дает S = 1/3. Таким образом, искомая площадь равна 1/3 кв.ед.

Выполненное в этих двух примерах непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм

оказалось возможным только благодаря простой структуре операции суммирования, да и то оно потребовало проведения сложных подсчетов. Надо отметить, что такие приемы вычисления (здесь применен способ Архимеда) существовали до появления понятия интеграла.

Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления. Такой способ, оказывается, дает операция интегрирования ввиду наличия связи между определенным интегралом и интегралом неопределенным.

Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 2), у которой правая граничная прямая не зафиксирована. Площадь этой трапеции измеряется переменной величиной, зависящей от положения ее правой границы х. Пусть это будет некоторая функция Φ(х). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Функция Φ(х), выражающая площадь переменной криволинейной трапеции (с подвижной правой стороной), является первообразной для функции y = f(х), графиком которой является кривая, ограничивающая эту же трапецию сверху.

По смыслу определения первообразной запись

будет оправдана, если мы докажем, что

Доказательство. Дадим начальному значению х приращение Δх. Тогда функция, выражающая площадь криволинейной трапеции, получит приращение

Это приращение площади (рис. 2) больше площади прямоугольника хМNх₁ , равной f(х)Δх, и меньше площади прямоугольника xN₁ M₁ x₁ , равной

f(х+ Δх)Δх, т.е. f(х)Δх 0 дает

f(х) 0, причем f(x) непрерывна в х₀ то

4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем

5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то

Геометрический смысл определенного интеграла

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.

Список использованной литературы

1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.

2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.

3). Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.

1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков .

2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: .

3. найдем произведения , где – длина частичного отрезка , .

4. составим сумму

Формула 1. Интегральная сумма функции y=f(x)

Формула называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно.

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5. найдем предел интегральной суммы, когда .

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (Формула 1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

В этом случае функция называется интегрируемой на отрезке . Числа а, b называются нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если:

1. функция и ее производная непрерывны при ;

2. множеством значений функции при является отрезок ;

3. , , то справедлива формула

Формула 2. Замена переменной в определенном интеграле

Формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, .

Физический смысл определенного интеграла

Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой оси с непрерывно меняющейся скоростью V(t), t₀ ≤ t ≤ T. Смещение точки за малый промежуток времени ∆t_k = t_k – t_k_-1 приближенно можно считать равным v(ξ_k) ∆t_k, где ξ_k ∈ [t_k-1,t_k].

Тогда интегральная сумма представляет собой приближенное значение пути, пройденного точкой от момента времени t₀ до T. В пределе при λ = max → 0 получим точное значение этого пути S

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.005)

История интегрального исчисления. Определение и свойства интеграла, подходы к его изучению, их достоинства и недостатки. Характеристика криволинейной трапеции. Свойства определенного интеграла. Набор стандартных картинок. Аспекты применения интеграла.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	22.04.2011
Размер файла	238,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Орский гуманитарно-технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

Кафедра программного обеспечения

Курсовая работа

По дисциплине: Математический анализ

Исполнитель: __________Байшакурова Г.Б.

студентка 1 курса специальность 230105,

обучение по сокращенным программам

Научный руководитель: Комаров С.Н.

Cт. преподаватель ___________________

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку.

Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.

Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение в физике.

Содержание

1. История интегрального исчисления

2. Определение и свойства интеграла

3. Криволинейная трапеция

4. Свойства определенного интеграла

5. Набор стандартных картинок

6. Применение интеграла

Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Потребность в использовании практических материалов математики диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятия, а также и тем, что в познавательной деятельности имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает возможность организовать учебную деятельность обучающихся и поддерживать их интерес к обучению. В то же время, бурное развитие математики и физики не могло не наложить определенного отпечатка на уровень развития и направление интересов учащихся. Интерес молодежи к технике, физике и математике растет с каждым днем.

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает курс математического анализа, знакомит обучающихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает обучающимся значение и силу высшей математики.

Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

· необходимостью полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления.

· недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в курсе математики.

Проблемой исследования является поиск путей методически грамотного применения физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники вычисления интегралов и изучении приложений с учетом психолого-педагогических основ изучения данной темы.

Объект исследования - процесс изучения основ интегрального исчисления с использованием физических моделей в курсе математики.

Основные цели данной работы - изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики.

Гипотеза: изучение основ интегрального исчисления с помощью разработанной методики способствует осознанному качественному усвоению обучающимися этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике.

1. изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;

2. на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов интегрального исчисления в курсе математики;

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;

2. анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.

1. История интегрального исчисления

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики--интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. _b

А f(x)dx

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 -- ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа (3.10/71 a x b

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме -- нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571--1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

интеграл исчисление трапеция криволинейный

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

S = S₁ = c ( b - а ).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф₁ и Ф₂ по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф₁ и Ф₂ равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = х n , где п -- целое (т.е по существу вывел формулу х n dx = (1/n+1)х n +1 ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630--1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона -- Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801--1862), В.Я. Буняковский (1804--1889), П.Л. Чебышев (1821--1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826--1866), французского математика Г. Дарбу (1842--1917).

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875--1941) и А. Данжуа (1884--1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894--1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где C R.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается f(x)dx.

f(x)dx = F(x)+C, где F(x) - некоторая первообразная на промежутке J.

f -- подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

( f(x)dx) = f(x)dx ,

f(x)dx = F(x)+C, где F (x) = f(x)

( f(x)dx) = (F(x)+C) = f(x)

f (x)dx = f(x)+C - из определения.

k f (x)dx = k f(x)dx

если k - постоянная и F (x)=f(x),

k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C₁)= k f(x)dx

( f(x)+g(x)+. +h(x) )dx = f(x)dx + g(x)dx +. + h(x)dx

( f(x)+g(x)+. +h(x) )dx = [F (x)+G (x)+. +H (x)]dx =

= f(x)dx + g(x)dx +. + h(x)dx, где C=C₁+C₂+C₃+. +C_n.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1. x (3x 2 -1)dx;

Пусть 3x 2 -1=t (t 0), возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

xdx=dt/6

dt ₁ 1 ₁ 1 t 2 2 1 ------

-- t 2 = -- t 2 dt = - ----- + C = -- 3x 2 -1 +C

6 6 6 3 9

sin x cos 3 x dx = - t 3 dt = - - + C

Пусть cos x = t

-sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры :

sin 3x cos x dx = 1/2 (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

x 4 +3x 2 +1 1 1

-------- dx = ( x 2 +2 - ----- ) dx = -- x 2 + 2x - arctg x + C

x 2 +1 x 2 +1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

Проинтегрируем обе части

u'(x)v(x)dx= (u(x)v(x))'dx - u(x)v'(x)dx

u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - u(x)v'(x)dx

Примеры:

x cos (x) dx = x dsin x = x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, x [a;b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому x [a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S(a)=0 и S(b)=S_тр

Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D( f ) = D(S) = [a;b]

S'(x₀)= lim( S(x₀+ x) - S(x₀) / x ), при x 0 S - прямоугольник

x 0 со сторонами x и f(x₀)

S'(x₀) = lim( x f(x₀) / x) = lim f(x₀)=f(x₀): т.к. x0 точка, то S(x) -

x 0 x 0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Шаг разбиения

x=(b-a)/n. При этом S_тр=lim(f(x₀) x+f(x₁) x+. +f(x_n)) x=

= lim x(f(x₀)+f(x₁)+. +f(x_n))

При n получим, что S_тр= x(f(x₀)+f(x₁)+. +f(x_n))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

S_тр= f(x)dx

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n . Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a -- нижний предел интегрирования;

Формула Ньютона-Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F - первообразная для b на [a;b], то

$\int\limits_^ Если функция непрерывна и положительна на некотором отрезке , то интеграл <f\left( x \right)dx>$
равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс, графиком функции и вертикальными прямыми и (рис. 1):

$S=\int\limits_^ <f\left( x \right)dx>$

Задание	Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и вертикальными прямыми и .
Решение	Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, имеем, что искомая площадь равна

$S=\int\limits_ ^^>dx>=\left. \frac^>> \right|_^=\frac\cdot \left( <^>-<^> \right)=\frac\cdot 7=\frac$

Помните, что мы искали площадь криволинейной трапеции, поэтому ответ выражается в квадратных единицах.

Физический смысл определенного интеграла

Пусть некоторая материальная точка перемещается под действием силы , которая направлена вдоль оси абсцисс (здесь – абсцисса движущейся точки ).

Работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция , действующей на отрезке , равна определенному интегралу от величины силы, взятому по этому отрезку:

$A=\int\limits_^ <F\left( x \right)dx>$

Задание	Найти работу материальной точки, которая перемещается под действием силы на отрезке .
Решение	По физическому смыслу определенного интеграла, искомая работа равна

$A=\int\limits_ ^<\left( x-2 \right)dx>=\left. \left( \frac^>>-2x \right) \right|_^=\frac<<^>>-2\cdot 4-\left( \frac<<^>>-2\cdot 2 \right)=2$

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу — осью , сбоку — прямыми и , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок точками разобьем на частичных отрезков (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. .

Умножим значением функции на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда неограниченно возрастает так, что :

то есть

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы , направленной вдоль оси и имеющей переменную величину , где — абсцисса движущейся точки .

Найдем работу силы по перемещению точки вдоль оси из точки в точку (). Для этого отрезок точками разобьем на частичных отрезков . Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению . (Как работа постоянной силы на участке .)

Приближенное значение работы силы на всем отрезке есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы принимается предел суммы (36.1). при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция , действующей на отрезке , равна определенному интегралу от величины силы, взятому по отрезку .

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь , пройденный точкой за промежуток времени от до , равен определенному интегралу от скорости :

масса неоднородного стержня па отрезке равна определенному интегралу от плотности .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция интегрируема на отрезке .

Теорема 37.1. Если функция непрерывна на отрезке и — какая-либо ее первообразная на , то имеет место формула

Разобьем отрезок точками на частичных отрезков , как это показано на рис. 168.

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

где есть некоторая точка интервала . Так как функция непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от на .

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при , получаем

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение , то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница даст удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Например,

Пример №37.1.

Вычислить интеграл .

Решение:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: