Элементы теории игр реферат

Обновлено: 30.06.2024

Проблема выполнения различных вычислений была актуальна во все времена. По мере развития общественно-экономических отношений усложнялись поставленные задачи, которые для своего решения требовали разработки новых методов вычислений. На смену простейшим арифметическим и геометрическим вычислениям пришли алгебраические и тригонометрические вычисления. Организация современного производства требует не только наличия современных станков и оборудования, но и разработки новых технологических процессов и современных методов управления производством. Для решения каждой из поставленных задач разрабатываются математические модели, анализируя которые удается найти наилучшее решение поставленной задачи. Создание математической модели – сложная кропотливая работа, которая в современных условиях под силу коллективам разработчиков. Для создания математической модели одного и того же объекта различные коллективы могут использовать различный математический аппарат. После создания математической модели специалистами-аналитиками за дело принимаются специалисты-программисты, которые реализуют созданную модель в виде программных кодов. Далее с математической моделью работают специалисты-практики. Целенаправленно воздействуя на модель, они изучают ее поведение и подбирают оптимальный режим работы для реального объекта. Одной из таких моделей является игровая модель и поиск стратегий поведений в условиях полной или частичной неопределенности. В очень редких (исключительных) случаях для игровых моделей можно определить количественную оценку или указать оптимальное решение. В игровых моделях не ставится задача найти какое-то числовое решение, а требуется лишь или очертить область возможных решений, или предоставить некоторые дополнительные сведения о возможном развитии событий и рекомендовать правила поведения.

Обзор литературы

1. Основные понятия теории игр

Игры с противодействием часто называют конфликтными ситуациями, которые широко распространены в обществе. Например, конкурентная борьба в экономике, в спортивных соревнованиях, состязание сторон в ходе судебного заседания и т.д. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

Конфликтная же ситуация, строго говоря, развивается спонтанно.

Участниками игры (конфликтной ситуации) могут быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической. Однако игрок во время игры может менять вариант своего поведения (но не правил), т.е. сменить стратегию.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу (табл. 1.1) – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, ai j называется выигрыш первого игрока.

Понятие об игровых моделях разрешения конфликтной ситуации. Виды и основные правила формализованной игры. Специфика определения оптимальной стратегии для каждого игрока. Алгоритм определения нижней и верхней цен игры, заданной платежной матрицей.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	12.07.2015
Размер файла	61,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры -- выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, -- игроками, а исход конфликта -- выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игроков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш -- единицей, а ничью -- 1/2.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а -- выигрыш одного из игроков, b -- выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход -- это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход -- это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной -- в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальным. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр -- единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходит за рамки лекции.

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п. В результате выбора игроками любой пары стратегий и однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока В. Предположим, что значения известны для любой пары стратегий. Матрица Р=(), i = 1,2, . т; j = 1, 2, . п, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в таблице:

При решении экономических задач часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные цели; это особенно характерно в условиях рыночной экономики. Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной, если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

Вложенные файлы: 1 файл

реферат теория игр.docx

Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

Применение теории игр при решении экономических задач

На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании их условий (правил игры); установления количества игроков, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы — чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Основные понятия игровых моделей.

Важными являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в определении решения игры: стратегии Р* и Q* первого и второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий Q второго игрока выполняются неравенства

M(P,Q*) приближенного решения матричной игры, например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда матрица игры имеет так называемую седловую точку(Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой)

Пример 2 Матрица игры имеет вид

Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй — 5, третьей — 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальный элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии i = 2 и j =3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.

Игровые модели в условиях полной коммерческой неопределенности

В условиях отсутствия достаточно полной информации о действиях противоположной стороны возникает неопределённость в принятии решения. Так, в задачах, приводящих к игровым, эта неопределённость может быть вызвана разными причинами: отсутствием информации об условиях, в которых происходит действие; неоднозначным характером развития событий в будущем; невозможностью получения полной информации о рассматриваемых процессах.

Условия, в которых может происходить действие игры, зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективных факторов, которые принято называть "природой". Такие игры называются играми с природой.

С целью уменьшения неблагоприятных последствий при принятии решения следует учитывать степень риска и имеющуюся информацию. Таким образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения с природой. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под "природой" будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.

Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.

От обычной матричной игры игру с природой отличает безразличие природы к результату игры и возможность получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.

Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения матричных игр. Множество стратегий (со-стояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − B_j , j=1,n . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его от-дельную стратегию в игре с природой – A_i, i=1,m .

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.

Условия игры с природой задаются платёжной матрицей

Элемент a_ij называется выигрышем статистика А, если он использует стратегию Ai , когда природа находится в состоянии Bj . Фактически это может быть значение некоторой функции, характеризующей эффективность принятого статистиком решения.

При решении игры с природой допускается исключение доминируемых стратегий только для стратегий статистика. Стратегии природы исключать нельзя, поскольку она может реализовать состояния, заведомо невыгодные для неё.

Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность pj каждого состояния природы Bj . При этом, если учтены все возможные состояния, то р1 + р2 + . + pj + . +рn = 1 .

При решении игр с природой используется также ряд критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной является та стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы. Оптимальная стратегия определяется выражением

Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при = 0 - в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице.

При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

Пример 3. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы обозначим через Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие действия порождает неопределённость. Наоборот, неопределённость при принятии решений (например, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому Теория игр рассматривается также как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет математизировать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии. Перспективен подход с позиций Теории игр к проблемам управления, планирования и прогнозирования.

Основным в Теории игр является понятие игры, являющееся формализованным представлением о конфликте. Точное описание конфликта в виде игры состоит поэтому в указании того, кто и как участвует в конфликте, каковы возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах. Участвующие в конфликте стороны называются коалициями действия; доступные для них действия -- их стратегиями; возможные исходы конфликта -- ситуациями (обычно каждая ситуация понимается как результат выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии); стороны, заинтересованные в исходах конфликта, -- коалициями интересов; их интересы описываются предпочтениями тех или иных ситуаций (эти предпочтения часто выражаются численными выигрышами). Конкретизация перечисленных объектов и связей между ними порождает разнообразные частные классы игр.

2. Кооперативная теория игр

Если в игре имеется единственная коалиция действия, то стратегии этой коалиции можно отождествить с ситуациями и далее больше уже о стратегиях не упоминать. Такие игры называются нестратегическими. Класс нестратегических игр весьма обширен. К их числу относятся, в частности, кооперативные игры.

Примером нестратегической (кооперативной) игры может служить простая игра, состоящая в следующем. Множеством ситуаций являются в ней всевозможные распределения (дележи) между игроками некоторого количества однородной полезности (например, денег). Каждый делёж описывается теми суммами, которые при этом получают отдельные игроки. Коалиция интересов называется выигрывающей, если она может даже в условиях противодействия со стороны всех остальных игроков присвоить и разделить между своими членами всю имеющуюся полезность. Все коалиции, не являющиеся выигрывающими, совсем не могут присвоить какой-либо доли полезности. Такие коалиции называются проигрывающими. Естественно считать, что выигрывающая коалиция предпочитает один делёж другому, если доля каждого из её членов в условиях первого дележа больше, чем в условиях второго. Проигрывающие же коалиции не могут сравнивать дележи по предпочтительности (это условие также вполне естественно: коалиция интересов, которая сама не в состоянии добиться ничего, вынуждена соглашаться на любой делёж и лишена возможности выбора между дележами).

Если в игре имеется более одной коалиции действия, то игра называется стратегической. Важный класс стратегических игр составляют бескоалиционные игры, в которых коалиции действия совпадают с коалициями интересов (они называются игроками), а предпочтения для игроков описываются их функциями выигрыша: игрок предпочитает одну ситуацию другой, если в первой ситуации он получает больший выигрыш, чем во второй.

3. Антагонистические и позиционные игры

Если в бескоалиционной игре участвуют два игрока, а значения их функций выигрыша в любой ситуации отличаются только знаками, то игра называется антагонистической игрой; в ней выигрыш одного из игроков в точности равен проигрышу другого. Если в антагонистической игре множества стратегий обоих игроков конечны, то игра называется матричной игрой ввиду некоторой специфической возможности её описания.

Антагонистические игры (матем.), понятие теории игр. Антагонистические игры -- игры, в которых участвуют два игрока (обычно обозначаемые I и II) с противоположными интересами. Для А. и. характерно, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и наоборот, поэтому совместные действия игроков, их переговоры и соглашения лишены смысла. Большинство азартных и спортивных игр с двумя участниками (командами) можно рассматривать как А. и. Принятие решений в условиях неопределённости, в том числе принятие статистических решений, также можно интерпретировать как А. и. Определяются А. и. заданием множеств стратегий игроков и выигрышей игрока I в каждой ситуации, состоящей в выборе игроками своих стратегий. Таким образом, формально А. и. есть тройка ‹А, В, Н›, в которой А и В -- множества стратегий игроков, а Н (а, b) -- вещественная функция (функция выигрыша) от пар (а, b), где а ? A, b ? В. Игрок I, выбирая а, стремится максимизировать Н(а, b), а игрок II, выбирая b, -- минимизировать Н (а, b). А. и. с конечными множествами стратегий игроков называются матричными играми.

Матричные игры - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II -- n стратегий, то игра может быть задана (m ? n)-maтрицей А = ||a_ij||, где a_ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1. m), а игрок II -- стратегию j (j = 1. n).

В качестве другого примера бескоалиционной игры можно привести шахматы. В этой игре участвуют два игрока (белые и чёрные). Стратегия каждого из игроков есть мыслимое (хотя практически и не поддающееся детальному описанию) правило выбора в каждой возможной позиции некоторого хода, допускаемого движениями фигур. Пара таких правил (за белых и за чёрных) составляет ситуацию, которая полностью определяет протекание шахматной партии и в том числе её исход. Функция выигрыша белых имеет значение 1 на выигрываемых партиях, 0 на ничейных и -- 1 на проигрываемых (такой способ начисления очков практически ничем не отличается от принятого в турнирной и матчевой практике). Функция выигрыша чёрных отличается от функции выигрыша белых лишь знаком. Из сказанного видно, что шахматы относятся к числу антагонистических и притом матричных игр. В шахматах стратегии не выбираются игроками до начала игры, а реализуются постепенно, ход за ходом. Это значит, что шахматы принадлежат к позиционным играм.

Позиционные игры, класс бескоалиционных игр, в которых принятие игроками решений (т. е. выбор ими стратегий) рассматривается как многошаговый или даже непрерывный процесс. Другими словами, в П. и. в ходе процесса принятия решений субъект проходит последовательность состояний, в каждом из которых ему приходится принимать некоторое частичное решение. Поэтому в П. и. стратегии игроков можно понимать как функции, ставящие в соответствие каждому информационному состоянию игрока (т. е. состоянию, характеризуемому информацией игрока о положении дел в игре в данный момент) выбор некоторой возможной в этом состоянии альтернативы.

И. т. является нормативной теорией, тоесть предметом её изучения являются не столько сами модели конфликтов (игры), как таковые, сколько содержание принимаемых в играх принципов оптимальности, существования ситуаций, на которых эти принципы оптимальности реализуются (такие ситуации или множества ситуаций называются решениями в смысле соответствующего принципа оптимальности), и, наконец, способы нахождения таких ситуаций. Рассматриваемые в И. т. объекты -- игры -- весьма разнообразны, и пока не удалось установить принципов оптимальности, общих для всех классов игр. Практически это означает, что единого для всех игр истолкования понятия оптимальности ещё не выработано. Поэтому прежде чем говорить, например, о наивыгоднейшем поведении игрока в игре, необходимо установить, в каком смысле эта выгодность понимается. Все применяемые в И. т. принципы оптимальности при всём их внешнем разнообразии отражают прямо или косвенно идею устойчивости ситуаций или множеств ситуаций, составляющих решения. В бескоалиционных играх основным принципом оптимальности считается принцип осуществимости цели, приводящий к ситуациям равновесия. Эти ситуации характеризуются тем свойством, что любой игрок, который отклонится от ситуации равновесия (при условии, что остальные игроки не изменят своих стратегий), не увеличит этим своего выигрыша.

В частном случае антагонистических игр принцип осуществимости цели превращается в так называемый принцип максимина (отражающий стремление максимизировать минимальный выигрыш).

Принципы оптимальности (первоначально выбиравшиеся интуитивно) выводятся на основании некоторых заранее задаваемых их свойств, имеющих характер аксиом. Существенно, что различные применяемые в И. т. принципы оптимальности могут противоречить друг другу.

Теоремы существования в И. т. доказываются преимущественно теми же неконструктивными средствами, что и в других разделах математики: при помощи теорем о неподвижной точке, о выделении из бесконечной последовательности сходящейся подпоследовательности и т. п., или же, в весьма узких случаях, путём интуитивного указания вида решения и последующего нахождения решения в этом виде.

Фактическое решение некоторых классов антагонистических игр сводится к решению дифференциальных и интегральных уравнений, а матричных игр -- к решению стандартной задачи линейного программирования. Разрабатываются приближённые и численные методы решения игр. Для многих игр оптимальными оказываются так называемые смешанные стратегии, то есть стратегии, выбираемые случайно (например, по жребию).

4. Задача

Предприятие может выпускать два вида продукции, используя один набор компонентов, причем количество выпускаемой продукции определяется целыми числами. Прибыль, получаемая предприятием от продажи единицы продукции каждого вида, расход каждого из компонентов на производство единицы продукции каждого вида и лимиты по каждому из компонентов представлены в Таблице 1.

Необходимо определить количество продукции каждого вида, которое необходимо выпустить для получения максимальной прибыли при условии не перерасходования лимитов по компонентам. Данная задача решается

Математическая формулировка задачи:

х, х - выпускаемое количество продукции.

1. Вводим исходные данные (Таблица 1).

2. Вводим формулы в ячейки, значения которых нам неизвестны.

3. Выполнить команду Сервис > Поиск решения. Откроется диалоговое окно Поиск решения.(Рисунок 2).

· Установить курсор в поле Установить целевую ячейку диалогового окна и щелкнуть мышкой на целевой ячейке В8.

· Устанавить максимальное значание.

· Установить курсор в поле Изменяя ячейки и выделить диапазон изменяемых ячеек В6:С6.

· Установить курсор в поле Ограничения, щелкнуть кнопку Добавить и вводить в появившееся диалоговое окно (Рисунок 1) поочередно все необходимые ограничения.

· Щелкнуть на кнопке Выполнить диалогового окна Поиск решения.

Результаты поиска решения представлены в Таблице 2, Рисунок 3.

Решив задачу, я определила, что количество выпускаемой продукции первого типа равно 2 ед., второго - 0 ед., т.е. производство продукции второго типа будет нерентабельным и поэтому будет лучше отказаться от выпуска этой продукции. Общая прибыль равна 10. При этом соблюдены все введенные мною ограничения.

Заключение

И. т., созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах И. т. широко используются весьма разнообразные классические математические методы. Кроме этого, И. т. связана с рядом математических дисциплин внутренним образом. В И. т. систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. На языке И. т. можно сформулировать большинство задач математической статистики.

И. т. применяется в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии. Основные трудности практического применения И. т. связаны с экономической и социальной природой моделируемых ею явлений и недостаточным умением составлять такие модели на количественном уровне.

Список использованной литературы

1. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.пособие. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2002.

2. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство РДЛ. 2003.

В нашей жизни часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.п., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Целью данной работы является - Понять теорию игр, для чего она нужна.

Для выполнения поставленной цели выявлены следующие задачи:

как используется линейное программирование.

1. Понятие об игровых моделях

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

варианты действий игроков;

объём информации каждого игрока о поведении партнёров;

выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно. Например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш – единицей, а ничью .

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока и , интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны и .

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой , поэтому достаточно рассматривать, например .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т. е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.

2. Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок располагает личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока имеется личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имен размерность . В результате выбора игроками любой пары стратегий

однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш игрока (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока . Предположим, что значения известны для любой пары стратегий . Матрица , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям и , называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока , а столбцы – стратегиям игрока .

Читайте также: