Джон непр изобретение логарифмов реферат

Обновлено: 05.07.2024

Предпосылки к открытию

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем.

Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов.

И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался.

Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень. Учебное пособие.

Джон Непер — отец логарифмов

В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий:

В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки. И до изобретения калькулятора логарифмическая линейка оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей, и других ученых, которым требовалась работа с большими числами.

Впоследствии многие ученые создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Не обошел своим вниманием эту тему и Иоган Кеплер — известный ученый не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов.

Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685) и Иоганн Бернулли (1694). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень.

Астрономами в то время называли не только любителей звездного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звезд, а любого ученого, использующего в своих расчетах сложные вычисления.

Другие области применения логарифмической шкалы

Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например:

интенсивность звука (децибелы) в физике;
шкала яркости звёзд в астрономии;
активность водородных ионов (pH) в химии;
шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения в сейсмологии;
логарифмическая шкала времени в истории.

Решать просто уравнения скучно, хотя и очень полезно. Тот, кто решит все задания в учебнике Алгебра 11 класс под редакцией Мерзляка, сдаст ЕГЭ на высокий балл.
Работать с практическими задачами намного интереснее.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень. Учебное пособие.

Методические советы

Представим, что на Землю нападают противные инопланетные чудовища, покрытые кислотной слизью, которые размножаются делением. Первоначально на землю была заброшена исследовательская шлюпка с 8 тварями на борту. Атмосфера земли оказалась столь прекрасна, что через два часа количество особей увеличилось до 100 штук. И перед землянами стоит задача не только выхватить огнемет и с доблестью, достойной Мстителей истребить инопланетных тварей, но и рассчитать, через какое время захватчики размножатся до 500 штук и поработят землю.

Для решения задачи вспомним также понятия скорости и ускорения

₈

_кон1

Ответ: всего 3 часа 18 минут понадобится инопланетным тварям на захват Земли, если герои Марвел их не остановят.

Джон Непер (фото его портрета размещено далее в статье) – шотландский математик, писатель и богослов. Получил известность благодаря созданию концепции логарифмов как математического аппарата для помощи в расчетах.

Джон Непер: биография

Родился в 1550 году в Мерчистон-Касле, близ Эдинбурга (Шотландия), в семье сэра Арчибальда Непера и Дженет Ботуэлл. В возрасте 13 лет Джон поступил в университет Сент-Андруса, но его пребывание там, вероятно, было кратковременным, и он остался без высшего образования.

О ранней жизни Непера мало известно, но полагают, что он ездил за границу, как было принято у отпрысков шотландской знати. Достоверно известно, что к 1571 году он уже вернулся домой и провел всю оставшуюся жизнь либо в Мерчистоне, либо в Гартнессе. В следующем году Джон Непер взял себе в жены Элизабет Стирлинг, которая родила сына и дочь. Через несколько лет после смерти жены в 1579 г. Непер женился на ее родственнице Агнес. Второй брак принес супружеской паре десятерых, дочерей и сыновей поровну. После смерти отца Непера в 1608 году он и его семья переехали в замок Мерчистон в Эдинбурге, где оставался до конца своих дней.

Богословие и изобретательство

Жизнь Джона Непера проходила среди во время острых религиозных распрей. Страстный и бескомпромиссный протестант в отношениях с римской церковью, он не искал милостей и не занимался благотворительностью. Хорошо известно, что король Шотландии Джеймс VI надеялся на восшествие Елизаветы I на английский престол, и было подозрение, что он искал помощи католика Филиппа II, короля Испании, чтобы эта цель была достигнута. Общее собрание шотландской церкви, с которой Непер был тесно связан, просило короля бороться с католиками, и Джон трижды становился членом комитета, который отчитывался королю о благосостоянии церкви и убеждал его в том, что необходимо учинить справедливость против врагов церкви Божией.

Письмо королю

Произведение занимает видное место в шотландской церковной истории.

Разработка оружия

Вклад в математику

Джон Непер годы жизни посвятил изучению математики, в частности, созданию методов облегчения вычислений, известнейшим из которых является метод логарифмов, который сегодня носит имя его создателя. Он начал работать над ним, вероятно, уже в 1594 году, постепенно разрабатывая свою вычислительную систему, в которой корни, произведения и частное от деления чисел можно быстро вычислить с помощью таблиц степеней фиксированного числа, используемого в качестве основания.

Упрощение вычислений

Логарифмы должны были упростить вычисления, в частности умножение, которое было необходимым для астрономии. Непер обнаружил, что основой для этого расчета были отношения между арифметической прогрессией – последовательностью чисел, каждое из которых вычисляется путем геометрической прогрессии из предшествующего умножением его на постоянный коэффициент, превышающий 1 (например, последовательность 2, 4, 8, 16. ), или меньше 1 (например, 8, 4, 2, 1, 1/2. ).

В Descriptio, помимо описания характера логарифмов, Джон Непер ограничился перечислением сферы их использования. Он пообещал объяснить способ их построения в более поздней работе. Ею была Constructio, которая заслуживает внимания систематическим использованием десятичной точки для отделения дробной части чисел от целой. Десятичные дроби уже были представлены фламандским инженером и математиком Симоном Стевином в 1586 году, но его нотация была громоздкой. В Constructio часто встречается использование в качестве разделителя точки. Швейцарский математик Юст Бюрги в 1603–1611 годах независимо от шотландского математика изобрел собственную систему логарифмов, которую опубликовал в 1620 г. Но Непер работал над ними раньше Бюрги и приоритет был отдан ему благодаря более ранней дате публикации в 1614 году.

Рабдология и тригонометрия

Он также внес важный вклад в сферическую тригонометрию, в частности за счет уменьшения числа уравнений, используемых для выражения тригонометрических отношений, с десяти до двух. Ему также приписывают тригонометрические формулы аналогии Непера, но вполне вероятно, что английский математик Генри Бриггс также участвовал в их составлении.

В презентации учащиеся знакомятся с историей изобретения логарифма, получают информауию о создателе, о его принципе построения логарифмической таблицы.

Изобретение логарифмов Дж. Непером

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Иногда для приведения умножения к более легкому сложению и вычитанию пользовались таблицами синусов и косинусов. Была также составлена таблица квадратов до 100 000, с помощью которой умножение можно было производить по определенному правилу.

Однако эти приемы не давали удовлетворительного решения вопроса.

Непер и Брюги

Цель: дать новое удобное средство арифметических

Отличие: Непер кинематически выразил логарифмическую

Брюги остался на почве рассмотрения дискретных

Первый изобретатель логарифмов — Джон Непер (1550—1617)

шотландский барон, получил образование на родине в

Путешествие по Германии, Франции и Испании,

21 год - поселился в семейном поместье близ Эдинбурга.

Богословие и математика по сочинениям Евклида, Архимеда,

Региомонтана, Коперника.

К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь

двадцать лет спустя опубликовал свое

содержавшее определение Неперовых логарифмов,

их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90 градусов

с интервалом в 1 минуту, а также разности этих логарифмов,

дающие логарифмы тангенсов.

Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы

он изложил в другом труде,

Основа определения логарифма - кинематическая идея,

связь между геометрической профессией и арифметической прогрессией показателей ее членов.

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения.Она составлена из чисел, следующих в непрерывной пропорции.

Если из полного синуса с добавленными семью нулями ты вычтешь его 10000000-ую часть, а из полученного таким образом числа — его 10000000-ую часть и так далее, то этот ряд можно легко продолжить до ста чисел в геометрическом отношении, существующем между полным синусом и синусом, меньшим его на единицу, а именно между 10000000 и 9999999, и этот ряд пропорциональных мы назовем Первой таблицей.

. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков. Непер взял M = 10000000[12].

Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:

LogNap ⁡ ( x ) = M ∗ ( ln ⁡ ( M ) − ln ⁡ ( x ) )

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

Вторая таблица следует от полного синуса с шестью добавленными нулями через пятьдесят других чисел, пропорционально убывающих в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению между первым и последним числами Первой таблицы.

Третья таблица состоит из шестидесяти девяти столбцов и в каждом столбце расположено двадцать одно число, следующее в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению, существующему между первым и последним членами Второй таблицы. Поэтому ее первый столбец может быть очень легко получен из полного синуса с пятью добавленными нулями и из последующих чисел вычитанием из них 2000-ой части.

Таким образом, из любого числа предыдущего столбца

вычитанием его сотой части получается число того же порядка следующего столбца.

У Непера не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от нуля.

Все значения таблицы Непера, как оказалось, содержали вычислительную ошибку после шестого знака.

Таблицы, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами.

Чтобы устранить эти недостатки - приняли за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти просто единицу.

ПОСЛЕДОВАТЕЛИ

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке.

Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики:

Кеплер в Марбурге в 1624—1625 годах применил логарифмы к построению новых таблиц движений планет.

Лондонский учитель математики Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Практическое значение вычисленных таблиц было очень велико. Но открытие логарифмов имело также глубочайшее теоретическое значение. Открытие Непера, в частности, открыло путь в область новых трансцендентных функций и сообщило мощные стимулы в развитии анализа.

ПОСЛЕДОВАТЕЛИ

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.

Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.

Задача: 1. Актуализация практической значимости математических знаний;

2. Развитие нравственных представлений о природе математики, сущности и происхождении математической абстракции.

Проблема: показать практическую значимость логарифмов для окружения.

Основная часть

История логарифма

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.

Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

Логарифмические таблицы

Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.

Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики.

Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста.

Счетная линейка

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a0.

Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по логарифмической спирали

Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека

Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m ₀ – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t, .
T - период полураспада. Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N ₀ – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.

Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m ₀ – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле , где p ₀ – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что и p ₀ =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.

Логарифмы в музыке.

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).

Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.

Логарифмы в поэзии

Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:

Читайте также: