Дробный факторный эксперимент реферат
Обновлено: 05.07.2024
При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для своего проведения, так как число опытов с ростом учитываемых в эксперименте факторов увеличивается по экспоненте. Но при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты.
Число опытов можно сократить, если априорно известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия. В этом случае можно использовать дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента.
Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах X1, X2, и X3, оказывающих влияние на функцию отклика Y.
При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-го порядка необходимо провести восемь (2 3 ) опытов в соответствии с матрицей планирования, приведенной в таблице 6.2. Число номеров опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, в соответствии с которым планируется эксперимент. В данном случае предполагаемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома (6.5), содержащего восемь коэффициентов от b0 до b123. Однако, если взаимодействие между факторами X1, X2 и X3 отсутствует, можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов X1 и X2, приведенной в таблице 6.1, заменив в ней обозначение X1бX2б на X3б, соответствующее безразмерному значению фактора X3 на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце остается неизменным после замены символов в матрице планирования. Эксперимент в данном случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу X1бX2б ПФЭ (таблица 6.1), а предполагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, то есть
Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого их числа 2 k согласно плану ПФЭ (в данном случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2 k . Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2 k - L , где k – число учитываемых в эксперименте факторов; L – число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте.
Для рассматриваемого случая трех факторов X1, X2, X3 матрица планирования ДФЭ типа 2 3-1 (X3б=X1бX2б) будет иметь вид (табл. 7.1):
Таблица 7.1 Матрица планирования ДФЭ типа 2 3-1 (X3б=X1бX2б)
| Номер опыта | x0б | x1б | x2б | X3б | Yx |
| + | – | – | + | Y1 | |
| + | + | – | – | Y2 | |
| + | – | + | – | Y3 | |
| + | + | + | + | Y4 |
Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме (3.17) свободный член b0 и коэффициенты b1, b2, b3.Однако при этом предполагается, что коэффициенты b12, b13, b23, b123 в полиноме (6.5) равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу.
При использовании матрицы планирования ДФЭ мы получаем совместную оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий:
Поэтому подсчитываемые значения линейных коэффициентов b1, b2, b3 полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика. В результате коэффициенты полином (7.1) будут иметь следующий вид:
где b1, b2, b3 – действительные значения линейных коэффициентов полинома;
b'1, b'2, b'3 – полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцию отклика.
Для получения математической модели вида (7.1), адекватной исследуемому процессу, необходимо быть уверенным в отсутствии влияния взаимодействия факторов на экспериментальное значение функции отклика. Только при этом условии подсчитанные коэффициенты b'i будут искомыми значениями линейных коэффициентов bi. Если это условие не выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов b'i будут отличаться от действительного значения bi на величину коэффициента bij , учитывающего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов (7.3).
Эти эффекты не могут быть раздельно оценены при планировании, состоящем только из одной полуреплики ПФЭ. Раздельную оценку для линейных коэффициентов bi и коэффициентов bij можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опыта в соответствии с матрицей планирования ДФЭ типа 2 3-1 , приравнивая X3б= – X1бX2б, тогда матрица будет иметь вид (таблица 7.2):
Таблица 7.2 –Матрица планирования ДФЭ типа 2 3-1 (X3б= – X1бX2б)
| Номер опыта | x0б | x1б | x2б | X3б | Yx |
| + | – | – | – | Y1 | |
| + | + | – | + | Y2 | |
| + | – | + | + | Y3 | |
| + | + | + | – | Y4 |
Подсчитанные коэффициенты b'i линейных членов полинома (7.1) будут включать реальные значения коэффициентов b12, b13, b23, но в отличии от (7.3) совместная оценка коэффициентов будет происходить с обратным знаком:
Изменение знака объясняется тем, что для матрицы ДФЭ 2 3-1 взаимозависимость значений факторов имеет вид
Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно записать раздельные оценки
Таким образом, для получения раздельных оценок bi и bij необходимо было провести восемь опытов, то есть пришлось объединить две полуреплики от ПФЭ типа 2 3 . Поэтому практически всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ. Если в дальнейшем появятся сомнения в том, что какие-либо взаимодействия, ранее не включенные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр, то всегда имеется возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих эффектов.
В случае применения матриц планирования ДФЭ для исследования процессов, содержащих более трех факторов, нужно стремиться к тому, чтобы максимальное число линейных факторов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Чем более высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уровнем разрешающей способности для раздельной оценки коэффициентов полинома будет обладать матрица ДФЭ.
Для формализации процедуры определения разрешающей способности дробной реплики, представленной в виде матрицы планирования ДФЭ при фиксированных k и l, вводятся понятия генерирующего соотношения (ГС) и определяющего контраста (ОК).
В примере с тремя факторами X1, X2 и X3 генерирующими соотношениями являются X3б=X1бX2б и X3б= – X1бX2б, каждое из которых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 2 3 .
Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, то есть на X3б. При этом получаются элементы столбца матрицы планирования ДФЭ, соответствующие свободному члену b0 полинома, которые всегда равны единице, так как X 2 iб=1:
Определяющие контрасты позволяют определить всю систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования. Для этого последовательно умножают обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной матрицы ДФЭ.
Имея систему совместных оценок, можно формализовать процедуру построения плана ДФЭ, обеспечивающего высокую разрешающую способность при определении коэффициентов полинома.
Чтобы получить высокую разрешающую способность, стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы линейные факторы были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными нулю) или с теми взаимодействиями, о которых априорно известно, что они не оказывают влияния на процесс. Оценить разрешающую способность помогает ГС, чем больше символов входит в ГС, тем обычно выше разрешающая способность.
По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики большей степени дробности (1/4, 1/8 и т.д.). При этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, так как для линейной имитационной модели (3.3), соответственно возрастает порядок взаимодействия факторов и количество членов полинома, учитывающих эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оценки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая коэффициент b0.
Реализация плана ДФЭ ничем не отличается от реализации плана ПФЭ.
Обработку и анализ результатов дробного факторного эксперимента проводят в полном соответствии с методикой, изложенной для ПФЭ.
Дробный факторный эксперимент ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Курсовая работа
Тема: Дробный факторный эксперимент
студент группы ДТмом-1−1
Руководитель: Бобров В.И.
1. Дробный факторный эксперимент
2. Пример использования ДФЭ Список литературы
Введение
планирование эксперимент дробный Решение большинства проблем, связанных с совершенствованием и разработкой новых полиграфических процессов и оборудования, требует проведение сложных и дорогостоящих исследований. Большинство объектов исследования представляют собой многофакторные системы, трудно поддающиеся аналитическому описанию. Поэтому оптимальному планирования и проведению экспериментальных исследований следует уделять большое внимание.
Долгое время порядок и методика проведения эксперимента целиком определялась личным опытом и интуицией исследователя. Для описания сложных многофакторных систем, как правило, использовалась однофакторная методика, при которой исследовалось поведение объекта в зависимости от каждого фактора в отдельности, в то время как остальные фиксировались на определенных уровнях. Такой путь приводил к получению большого количества избыточной информации об объекте исследования, ккоторую очень трудно было перевести к компактной форме в виде единого уравнения. Информация представлялась в виде многочисленных графиков и таблиц и требовала длительного анализа и обработки.
Только в 20-е годы нашего столетия английским математиком статистиком Рональдом Фишером была впервые показана целесообразность одновременного варьирования всеми факторами в противовес широко распространенному однофакторному эксперименту.
Например, для проведения четырехфакторного эксперимента по однофакторной методике необходимо сделать 44 = 256 опытов, проводя опыты в четырех точках при фиксированных значениях трех факторов. В результате получается большое количество графических зависимостей или уравнений, в которых очень трудно ориентироваться.
Используя методику планируемого эксперимента, можно ограничиться 8, 16, 31 опытами, получить компактное уравнение, описывающее процесс, исследовать его на оптимальность и при желании построить сколько угодно графиков и диаграмм.
Методы планирования многофакторных экспериментов позволяют использовать математический аппарат не только на стадии обработки результатов измерений, как делалось раньше, но также при подготовке и проведении опытов. Проведение опытов по специальному плану позволяет значительно снизить трудоемкость определения коэффициентов уравнения исследуемого процесса и выполнить их с заранее запланированной статической точностью.
Применение планирования эксперимента делает поведение исследователя целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности его труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством методов планирования эксперимента является их универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследований, интересующих современного человека.
В нашей стране планированием эксперимента начали заниматься в 50-х годах и к настоящему времени уже имеются сотня теоритических и прикладных работ в этой области. В некоторых вузах вопросы теория эксперимента в специально изучаемую дисциплину. В связи с этим можно говорить о появлении новой научной дисциплины — математической теории эксперимента.
Математическое планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью, методов математической обработки их результатов и принятия решений.
В приложении теории оптимального планирования эксперимента можно выделить два основных направления:
— изучения механизма процессов и свойств многофакторных систем;
— оптимизация параметров многофакторных технологических процессов и оборудования.
В технической литературе имеется ряд хорошо сформулированных критериев оптимального планирования для различных ситуаций, разработаны стандартные алгоритмы, используя которые, исследователь может легко выбрать наиболее эффективный путь решения конкретной задачи.
Все методы планирования эксперимента объединяют следующее:
— стремление к минимизации общего числа опытов;
— одновременное варьирование всеми параметрами, определяющими исследуемый процесс, по специальным правилам-алгоритмам;
— использование специального математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
— наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.
С использованием четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.
На практике часто встречаются ситуации, когда некоторые эффекты взаимодействия факторов не являются существенными, т. е. мало отличаются друг от друга, что особенно относится к коэффициентам тройного взаимодействия и выше. Если влияние некоторого взаимодействия факторов признается ничтожно малым, возникает вопрос, имеет ли смысл находить его, и не лучше ли использовать соответствующий вектор-столбец матрицы планирования для оценки влияния дополнительного фактора?
Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения коэффициентов математической модели изучаемого процесса используются не планы ПФЭ, а некоторые их части Ѕ, ј и т. д. эти системы опытов называются дробными репликами. В таблице 5.1 представлен план ПФЭ и его дробные реплики.
Рассмотрим метод ДФЭ на примере. Пусть необходимо найти математическое описание объекта исследования с тремя факторами в виде:
Если использовать ПФЭ, то необходимо провести 8 опытов по плану, представленному в таблице 5.1. Однако эту же задачу можно решить и с помощью меньшего количества опытов. Например возьмем Ѕ дробную реплику ПФЭ при К=3 из таблицы 5.1, но третий вектор-столбец приравняем произвольно X1, X2. Такое преобразование возможно.
Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику).
Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y = f(X1. Xn) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.
Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 22 произведение x1x2 приравнять к третьей независимой переменной x3. Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободный член b0 и три коэффициента регрессии при линейных членах b1,b2,b3 (из четырех опытов нельзя получить более четырех коэффициентов).
Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. совместной оценкой нескольких коэффициентов уравнения связи. В нашем примере, если коэффициенты регрессии bij при парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов будет оценкой двух теоретических коэффициентов:
b0 ® b0 + b123 ; b2 ® b2 + b13 ;
b1 ® b1 + b23 ; b3 ® b3 + b12 .
Действительно, указанные коэффициенты в таком планировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью скоррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ДФЭ типа 23 и называется "полурепликой" от ПФЭ типа 23 или планированием типа N = 23-1.
При большом числе переменных можно построить дробные реплики высокой степени дробности (1/4, 1/8, 1/16 и т.д.). Дробная реплика обозначается через 2n-p, если p переменных приравнены к соответствующим произведениям переменных.
Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все полученные ранее сведения об объекте теоретического и интуитивного характера и выделить из них те переменные и произведения переменных, влияние которых на процесс минимально. При этом смешивание нужно производить так, чтобы основные оценки b0,b1. bn были смешаны с взаимодействиями, о которых заранее известно, что они не оказывают влияния на объект. Следовательно, произвольное разбиение матрицы планирования 23 на две части выделения полуреплики типа 23-1 недопустимо.
Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, в рассмотренном планировании 23-1 мы задавали полуреплику типа 23 с помощью генерирующего соотношения x3 = x1x2.
Определяющим контрастом (ОК) называется соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной (все они равны 1). Выражение ОК в нашем примере получается умножением левой и правой частей приведенного генерирующего соотношения на его левую часть x3
так как всегда x2ig = 1.
Знание ОК позволяет определить всю систему совместных оценок не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК
x1 = x2x3 ; x2 = x1x3 ; x3 = x1x2.
Отсюда легко находим смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки
b1 ® b1 + b23 ; b2 ® b2 + b13 ; b3 ® b3 + b12 .
Разрешающая способность дробных реплик определяется генерирующими соотношениями. Она тем выше, чем выше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты, и увеличивается с ростом числа независимых переменных.
Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа 25-2 могут быть заданы, например генерирующее соотношение
x4 = x1x2x3 ; x5 = x1x2
заранее полагая, что b123 = b12 = 0, т.е. что пара x1x2 и тройка x1x2x3 не дает значимого эффекта взаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть-реплики согласно вышеприведенным правилам будут соотношения
1 = x1x2x3x4 ; 1 = x1x2x5.
Если у дробной реплики имеются два и более определяющих контраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В случае четвертьреплики получается одна комбинация
Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности
1 = x1x2x3x4 = x1x2x5 = x3x4x5.
Совместные оценки здесь будут определяться соответствиями
x0 = x1x2x3x4 = x1x2x5 = x3x4x5 ;
x1 = x2x3x4 = x2x5 = x1x3x4x5 ;
x2 = x1x3x4 = x1x5 = x2x3x4x5 ;
x3 = x1x2x4 = x1x2x3x5 =x4x5 ;
x4 = x1x2x3 = x1x2x4x5 =x3x5 ;
x5 = x1x2x3x4x5 = x1x2 = x3x4 ;
x1x3 = x2x4 = x2x3x5 = x1x4x5 ;
x2x3 = x1x4 = x1x3x5 =x2x4x5 ;
Эти соотношения позволяют установить, оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной коэффициент регрессии, полученный при обработке результатов эксперимента
b0 = b0 + b1234 + b125 + b345 ;
b1 = b1 + b234 + b25 + b1345 ;
b2 = b2 + b134 + b15 + b2345 ;
b3 = b3 + b124 + b1235 + b45 ;
b4 = b4 + b123 + b1245 + b35 ;
b5 = b5 + b12345 + b12 + b34 ;
b13 = b13 + b24 + b235 + b145 ;
b23 = b23 + b14 + b135 + b245 ;
Разрешающая способность этой четверти реплики невысокая, так как все линейные коэффициенты смешаны с парными взаимодействиями. Матрица планирования такой четверти реплики представлена в табл.4.
Следует иметь в виду, что ДФЭ всегда можно дополнить до ПФЭ, реализовав недостающие дробные реплики.
Вся дальнейшая работа по реализации матрицы планирования ДФЭ, проверке воспроизводимости полученных результатов, определению оценок коэффициентов регрессии и их значимости, проверке адекватности полученной математической модели не отличается от соответствующих процедур в ПФЭ.
Четверть реплики от ПФЭ типа 25 (планирование типа 25-2)
Пример 2. Методом ДФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов.
Воспользуемся результатами Примера 1 и положим в качестве генерирующего соотношения равениство x1 = x2x3 (т.к. b23 = 0). Тогда матрица планирования и результаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так
(-)2
Проверим воспроизводимость опытов
откуда следует, что результаты опытов получены правильно, дисперсия строчных выборок равна S2 = 8,792 / 4 = 2,198 с числом степеней свободы v3 = 4·4 = 16.
Оценки коэффициентов уравнения регрессии
аналогично b2 = -1,44; b3 = 0,05.
Проверка значимости полученных оценок начинается с определения их СКО
Табличные значения критерия tкр(5%;16) = 2,131, следовательно, модель найдена в виде
= 14,09 + 1,88x1 - 1,44x2.
Проверка адекватности модели дает
т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.
Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов:
по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии; из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности); при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п.
Применение описанных выше методов математического моделирования полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов. Но при очень большом числе факторов и привлечение их к составлению математического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать увеличения объема экспериментальной работы, что редко может выполняться из-за экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и выделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию. Другим существенным затруднением для применения ПФЭ или ДФЭ в производственных условиях является метод получения оценок коэффициентов регрессии. Оценки вида (11) считаются оптимальными в смысле эффективности (минимума дисперсии), поскольку их вычисление базируется на методе наименьших квадратов, однако предварительным условием такой оптимальности являются требования независимости факторов, ортогональности и симметричности плана эксперимента, а также требование равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk). В свою очередь симметричность плана требует равного количества наблюдений, соответствующих положительным и отрицательным значениям k-го фактора.
На практике в производственных условиях требования симметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk) эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследователь пытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайной системы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор: либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять часть информации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правилами ведения ПФЭ (ДФЭ).
Лекции
Лабораторные
Справочники
Эссе
Вопросы
Стандарты
Программы
Дипломные
Курсовые
Помогалки
Графические
Доступные файлы (23):
| TSSA-Kursov.doc | 200kb. | 26.05.2010 12:32 |  скачать |
| TSSA-Kursov.PAS | |||
| TSSA-Kursov.txt | 1kb. | 22.04.2002 18:24 | скачать |
| TECHDOC.DOC | 343kb. | 14.06.2003 13:21 | скачать |
| ffe.cfg | |||
| ffe.dof | |||
| ffe.dpr | |||
| ffe.~dpr | |||
| ffe.exe | |||
| ffe.res | |||
| ffe_typeconst.dcu | |||
| ffe_typeconst.pas | |||
| main.dcu | |||
| main.ddp | |||
| main.~ddp | |||
| main.dfm | |||
| main.~dfm | |||
| main.pas | |||
| main.~pas | |||
| курсова_передел.doc | 416kb. | 23.05.2005 11:43 | скачать |
| титул.doc | 69kb. | 23.05.2005 11:43 | скачать |
| may.mcd | |||
| курсовая.DOC | 129kb. | 13.06.2003 19:52 | скачать |
содержание
TSSA-Kursov.doc
Министерство образования Украины
Национальный технический университет Украины
Факультет информатики и вычислительной техники
Кафедра технической кибернетики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Дробный факторный эксперимент
Выполнил
Проверил
Доцент кафедры ТК
Полный и дробный факторные эксперименты первого поряд
2.1. Полный факторный эксперимент……………………………………………….6
2.2. Дробный факторный эксперимент…………………………………………….13
На современном этапе научно-технического прогресса необыкновенно возрастает роль средств, позволяющих рационально использовать ресурсы, выделенные для решения народнохозяйственных задач. Кибернетика предлагает такие средства, как исследование операций, теория систем, математическое моделирование, теория эксперимента, вычислительная техника и др.
Часть этих методов предназначена для увеличения эффективности научного эксперимента на всех стадиях разработки, исследования, проектирования и эксплуатации производств. Единство теории и практики эксперимента совместно с вычислительной техникой образуют комплекс автоматизированного эксперимента, предназначенный для повышения производительности научного труда.
Объекты, на которых проводятся эксперименты, отличаются прежде всего протекающими в них процессами. Объект, на котором осуществляется планируемый эксперимент, характеризуется обязательным условием — все входные переменные, или факторы, x1, x2, . xn должны быть управляемыми. Этого требует сама постановка планирования эксперимента, предполагающего активное вмешательство в ход эксперимента. Такой объект технологии называют объектом исследования.
Согласно принятой терминологии факторы x1, x2, . xn — это измеряемые и регулируемые входные переменные объекта (независимые переменные); помехи z1, z2, . zs — это не контролируемые, случайным образом изменяющиеся переменные объекта; выходные переменные y1, y2, . ym — это контролируемые переменные, которые определяются факторами и связаны с целью исследования. Часто в планируемом эксперименте у называют параметром оптимизации (технологический или экономический показатель процесса).
Факторы x1, x2, . xn иногда называют основными, поскольку они определяют условия эксперимента. Помехи z1, z2, . zs — как правило недоступны для измерения. Они проявляются лишь в том, что изменяют влияние факторов на выходные переменные. Объект исследования может иметь несколько выходных переменных. Опыт показывает, что в большинстве случаев удается ограничиться одним параметром оптимизации, и тогда вектор Y превращается в скаляр y (в данной работе рассматриваются объекты исследования с одной выходной переменной).
Количество факторов и характер их взаимосвязей с выходной переменной определяют сложность объекта исследования. При наличии качественной статистической информации о факторах и зависящей от них выходной переменной можно построить математическую модель объекта исследования и функцию отклика y=f(x1, x2, . xn), связывающую параметр оптимизации с факторами, которые варьируются при проведении опытов.
Пространство с координатами x1, x2, . xn принято называть факторным, а графическое изображение функции отклика в факторном пространстве — поверхностью отклика.
При описании объектов, находящихся в стационарном состоянии, математическая модель чаще всего представляется полиномом:
y=f(x1, x2, . xn, ß1, ß2, . , ßn). (1)
Поскольку в реальном процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные величина у носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии b0, b1, . bi, . bn, являющиеся оценками теоретических коэффициентов ß0, ß1, . ßi, . ßn.
Тогда математическая модель в форме уравнения регрессии в общем случае будет иметь вид:
Если анализируются нестационарные, т. е. изменяющиеся во времени состояния объекта, приходится рассматривать не случайные величины, как ранее, а случайные процессы. Случайный процесс можно рассматривать как систему, состоящую из бесконечного множества случайных величин. При моделировании таких объектов использовать модель в виде (2) уже недопустимо — необходимо переходить к специальным интегрально-дифференциальным моделям.
Составлению плана эксперимента всегда должны предшествовать сбор априорной информации для составления характеристики объекта исследования, опыты по наладке экспериментальной установки и при необходимости — опыты для установления области определения наиболее существенных факторов и выходной переменной.
Теорией и практикой эксперимента выработаны определенные требования (условия), которым должны удовлетворять независимые и зависимые переменные. Поэтому на стадии подготовки к проведению эксперимента весьма полезны приведенные ниже рекомендации.
1. При выборе выходной переменной необходимо учитывать, что она должна: иметь количественную характеристику, т. е. Должна измеряться; однозначно оценивать (измерять) работоспособность объекта исследования; быть статистически эффективной, т. е. иметь возможно меньшую дисперсию при проведении опытов (это позволяет четко различать опыты); отражать как можно более широкий спектр исследуемого явления, т. е. обладать универсальностью (практически это требование обеспечить трудно, тогда рекомендуют пользоваться так называемой обобщенной переменной); иметь достаточно четкий физический смысл.
2. При выборе факторов нужно выполнять следующие требования: фактор должен быть регулируемым, т. е. определенным регулирующим устройством фактор должен изменяться от значения x ’ i до значения x ’’ i; точность изменения и управления фактором должна быть известна и достаточно высока (хотя бы на порядок выше точности измерения выходной переменной), очевидно, что низкая точность измерения фактора уменьшает возможности воспроизведения эксперимента; связь между факторами должна быть как можно меньшей (в пределе должна отсутствовать), это свойство называют однозначностью факторов, что соответствует независимости одного фактора от другого.
Ряд требований предъявляется одновременно к факторам и выходной переменной: факторы и выходная переменная должны иметь области определения, заданными технологическими или принципиальными ограничениями; области определения факторов должны быть таковы, чтобы при их предельных значениях значение выходной переменной оставалось в своих границах; между факторами и выходной переменной должно существовать однозначное соответствие (причинно следственная связь).
Как нужно организовать эксперимент, чтобы наилучшим образом решить поставленную задачу (в смысле затрат времени, средств или точности результатов)?
Как следует обрабатывать результаты эксперимента, чтобы получить максимальное количество информации об исследуемом объекте?
Какие обоснованные выводы можно сделать об исследуемом объекте по результатам эксперимента?
Статистическое представление об эксперименте позволило перейти к многофакторному активному эксперименту, в котором удается надежно отделить влияние факторов от шумового фона и перейти к статистически обоснованным методам анализа результатов и принятия решений.
Теория эксперимента указывает исследователю точную логическую схему и способы поиска решения задач на разных этапах исследования. Можно представить весь процесс исследования циклами, повторяющимися после решения каждой из последовательных задач исследования, причем объем знаний об объекте непрерывно увеличивается.
Цель настоящей работы состоит в описании некоторых эффективных методов эксперимента, широко используемых при решении задач лабораторных и промышленных исследований. В работе рассмотрены основные методы и алгоритмы, относящиеся к полному и дробному факторному экспериментам.
^ 2. Полный и дробный факторные эксперименты (ПФЭ и ДФЭ) первого порядка.
Факторный эксперимент первого порядка предполагает такое проведение исследований, которое позволяет некоторым оптимальным образом получить информацию об объекте, оформить ее в виде полиномиальной линейной модели и провести ее статистический анализ. Полученная математическая модель обычно служит целям экстраполяции (в небольших пределах), оптимизации (поиска локального оптимума) и может использоваться для интерполяции.
Оптимальное расположение точек в факторном пространстве и линейные преобразования координат позволяет преодолеть недостатки классического регрессионного анализа. Одновременное варьирование всех факторов позволяет получить коэффициенты математической модели с меньшей ошибкой, не увеличивая, а чаще уменьшая число опытов.
ПФЭ и ДФЭ фактически представляют собой применение классических методов наименьших квадратов и регрессионного анализа (МНК и дисперсионный статистический анализ), проводимых по определенному плану.
Факторный эксперимент использует схему дисперсионного анализа — реализуются возможные комбинации факторов на всех выбранных уровнях. Общее число опытов для полного факторного эксперимента в случае, когда реализуются все комбинации факторов, равно
N = p n (3)
где p — число уровней; n — число факторов.
Если планирование ведется на двух уровнях (p=2), то реализуется ПФЭ типа 2 n .
^ 2.1. Алгоритм полного факторного эксперимента на двух уровнях с равным числом параллельных опытов.
Ставится задача определения локального оптимума на объекте исследования, для этого предполагается использовать математическую модель, полученную с помощью полного факторного эксперимента.
Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной
ymin = y = ymax;
X1 min = X1 = X1 max; (4)
X2 min = X2 = X2 max;
. . . . . . . . .
В области определения факторов выбирается точка Xi0, i=1, 2, . n (нулевой уровень факторов), которая в предварительных исследованиях была признана наилучшей с точки зрения оптимума у. Задается интервал варьирования факторов Xi. Определяются верхние и нижние уровни факторов:
Xiв = Xi0 + Xi
Xiн = Xi0 - Xi (5)
при условии что (Xiн Xiв)
Номер
Читайте также: