Дисперсия случайной величины реферат
Обновлено: 03.07.2024
Названные числовые характеристики дают представление о разбросе случайных величин относительно их среднего значения.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
т.к. М(х), 2 и постоянные величины, то
Свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю. По определению
Свойство 2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат.
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х и У независимы, то
Доказательство. Обозначим . Тогда и . Поэтому
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
поэтому равенство можно продолжить
Пример. Если a и b – постоянные, то D(ax+b)=D(ax)+D(b)=
Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ, то дисперсия имеет размерность . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса – средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний.
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах
Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимости имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и , поэтому по определению дисперсии
Среднее квадратическое отклонение числа появления событий в n независимых опытах равно .
Моменты случайных величин.
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, т.к. .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
Числовые характеристики системы случайных величин составляют числовые характеристики каждой из величин, входящих в систему, и числовые характеристики, дающие представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребимую.
15. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретных и непрерывных случайных величин; свойства дисперсии.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания
Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле
для непрерывной находят интегрированием
Если непрерывная величина заданная на интервале то дисперсия равна интегралу с постоянными пределами интегрирования
Содержание и особенности практического применения закона распределения случайной величины. Понятие математического ожидания и порядок его вычисления. Структура и свойства дисперсии. Начальный и центральный, корреляционный момент случайной величины.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.03.2016 |
| Размер файла | 53,3 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков, выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще и нагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.
Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.
1. Математическое ожидание
Случайной величиной о называется действительная функция о = о (щ), щ принадлежит у, такую что при любом x
2) Если c-постоянная, то Dc=0
3) Если c-постоянная, то D(cо)=c2Dо
4) Для любых величин о1 и о2, D (о1 + о2)= Dо1 + Dо2
3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, т.к.
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
Числовые характеристики системы случайных величин составляют числовые характеристики каждой из величин, входящих в систему, и числовые характеристики, дающие представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребимую.
Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин
Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда. Равенство нулю ковариации независимых случайных величин следует из теоремы о математическом ожидании произведения независимых случайных величин
дисперсия корреляционный математический
часто силу зависимости между случайными величинами характеризуют безразмерным коэффициентом
Таким образом, главное назначение числовых характеристик состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распре-
деления исследуемой случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик существенно удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин.
Подобные документы
Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010
Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013
События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015
Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание . Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .
Доказательство . Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
 |  |  | . . . |  | . . . |
 |  |  | . . . |  | . . . |
Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , . , , . с прежними вероятностями , , . , , . т.е. закон распределения имеет вид
 |  |  | . . . |  | . . . |
| | | . . . | | . . . |
Тогда по определению математического ожидания .
3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что
Действительно, если и заданы рядами распределения
 | | | . . . |
| | | . . . |
 |  |  | . . . |
|  |  | . . |
то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:
 |  |  |  |  | . . . |
|  |  |  |  | . . . |
Тогда
.
Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.
4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .
Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).
В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , . Их вероятности , , , . , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .
Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем
Предположим, что свойство 4) справедливо для случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.
Дисперсия случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения : .
Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле
для дискретной случайной величины
для непрерывной случайной величины .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания : .
Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим
.
Тогда формула (1) примет вид
для дискретной случайной величины
для непрерывной случайной величины .
Свойства дисперсии
Действительно, .
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .
Доказательство . По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем:
.
-
Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
Доказательство . Вначале докажем свойство для двух величин и .
И далее методом математической индукции.
Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : .
Действительно, .
Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .
Доказательство . Используя свойства 2) и 3), получаем
.
Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. .
Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.
Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах
Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.
Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.
Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.
Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.
Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви
| Размер обуви | Число мужчин старше 16 лет % к итогу | Накопление частности |
| До 37 | 1 | 1 |
| 38 | 5 | 6 |
| 39 | 12 | 18 |
| 40 | 23 | 41 |
| 41 | 28 | 69 |
| 42 | 21 | 90 |
| 43 | 8 | 98 |
| 44 | 2 | 100 |
| и более | - | |
| Всего | 100 |
В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.
Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.
В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.
Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .
Доказательство. Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , . , , . с прежними вероятностями , , . , , . т.е. закон распределения имеет вид
Тогда по определению математического ожидания .
3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что
Действительно, если и заданы рядами распределения
то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:
Тогда
.
Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.
4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .
Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).
В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , . Их вероятности , , , . , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .
Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем
Предположим, что свойство 4) справедливо для случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.
Дисперсия случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .
Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле
для дискретной случайной величины
для непрерывной случайной величины .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания: .
Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим
.
Тогда формула (1) примет вид
для дискретной случайной величины
для непрерывной случайной величины .
Свойства дисперсии
Действительно, .
- Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .
Доказательство. По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем:
.
- Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
Доказательство. Вначале докажем свойство для двух величин и .
И далее методом математической индукции.
Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : .
Действительно, .
Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .
Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем
.
Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. .
Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.
Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах
Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.
Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.
Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.
Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.
Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви
Размер обуви
Число мужчин старше 16 лет % к итогу
Накопление частности
В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.
Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.
В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.
Лекция 8. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием М(Х) случайной величины Х называется число, равное сумме произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:
где pk – вероятность того, что величина Х примет значение xk. Если число возможных значений СВ бесконечно, то ряд в (8.1) должен сходиться абсолютно.
Свойства математического ожидания
1) Математическое ожидание постоянной есть постоянная:
2) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
3) Математическое ожидание суммы (разности) равно сумме (разности) математических ожиданий слагаемых:
4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий :
Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства
Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсия является числовой характеристикой степени рассеивания (отклонения) случайной величины от ее математического ожидания (среднего значения).
Свойства дисперсии
1) D(С) = 0 (С – число).
2) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
3) Дисперсия суммы попарно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
5) D(X – Y) = D(X) + D(Y).
Для вычисления дисперсии более удобна формула
D(X) = M(X 2 ) – (M(X)) 2
(дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания), где
Пример . Дана таблица распределения дискретной СВ X. Найти математические ожидания M(X), M(X 2 ) и дисперсию D(X).
M(X) = (-2) · 0 ,3 + 0 · 0,1 + 2 · 0,2 + 4 · 0,4 = 1,4.
M(X 2 ) = (-2) 2 · 0 ,3 + 0 + 2 2 · 0,2 + 4 2 · 0,4 = 8,4.
D(X) = M(X 2 ) – M 2 (X)= 8,4 – 1,4 2 = 6,44.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:
Как и дисперсия, среднее квадратическое отклонение является числовой характеристикой степени рассеивания (отклонения) случайной величины от ее среднего значения. более удобно для оценки степени рассеивания, так как выражается теми же единицами, что и случайная величина.
Читайте также: