Дифференциальные уравнения и их применение реферат

Обновлено: 02.07.2024

Дифференциальные уравнения. Тезисы. Примеры применений.

Тип публикации: Тезисы

Язык: Русский

Enter the password to open this PDF file:

Григоренко М.Н., Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург Дифференциальные уравнения и их применение Изучая разделы математики можно рассматривать решение задач с использованием математического аппарата, например таких как, методы расчета рисковых оптимального временного ситуаций, использования ряда [2]. Более выбор оптимального ресурсов, анализ подробно портфеля, и задачи прогнозирование рассмотрим применение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных дифференциальные) или порядков одного нескольких аргумента аргументов (обыкновенные (дифференциальные уравнения в частных производных) [1]. В самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения применяются для математического описания природных явлений. Так, например, в биологии дифференциальные уравнения применяются для описания популяции; в физике многие законы можно описать с помощью дифференциальных уравнений. Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. Рассмотрим одну из задач макроэкономической динамики [1]. Например, пусть y(f) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t )  py(t ) Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональная величине инвестиций, т.е. y' (t )  lI (t ) , где 1/l – норма акселерации. (Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен нулю). Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим I (t )  mY (t )  mpy(t ) , где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина ( 0  m  1 ). Подставляя последнее выражение для I(t) в y' (t )  lI (t ) приходим к уравнению y'  ky , где k  mpl . Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t )  y0 e k ( t t0 ) , где y0  y(t 0 ) . Заметим, что уравнение y'  ky описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др. Модель роста в условиях роста конкурентного рынка имеет вид y' mlp( y) y . Научный руководитель Кныш А.А., старший преподаватель Список литературы: 1. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. 2. Кныш А.А. Примеры реализации межпредметных связей на занятиях математики в экономическом вузе // Новая наука: от идеи к результату. - Стерлитамак: АМИ, 2017. - №2 (2) – С. 55 – 57.

Применение математических методов в деятельности среднего медицинского персонала. Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Моделирование с применением дифференциальных уравнений.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	19.01.2015
Размер файла	61,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Филиал в г. Кириши

Выполнила студентка гр. 102лд

Проверил преподаватель Шикина Л.Б.

1. Что такое дифференциальное уравнение

2. Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала

3.Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений

4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

5. Пример применения дифференциальных уравнений в медицине

6. Моделирование с применением дифференциальных уравнений

7. Пример математической модели

моделирование дифференциальный уравнение медицинский

Введение

Процессы, происходящие в настоящее время во всех сферах жизни общества, предъявляют новые требования к профессиональным качествам специалистов. Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности медицинского персонала, которое связано с широким применением математического моделирования, статистики и других важных явлений, имеющих место в медицинской практике.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Тема данной реферативной работы является актуальной, так как математические методы применимы у самому широкому кругу вопросов, в том числе и в такой сложной области как медицина. Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких дифференциальных уравнений. С их помощью описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.

Цель данной работы - рассмотреть как математика используется в медицине, задачи : изучить что такое дифференциальные уравнения и как они применяются в медицинской практике.

1. Что такое дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения (ДУ) - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений.

Общий вид ДУ: F(x,y,y',y''…)=0

(F - это некоторая неизвестная функция, зависящая от нескольких переменных)

Порядок ДУ - порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Например, уравнение y''+5y'-3y=0 - ДУ второго порядка.

Интеграл (решение) уравнения - это функция, удовлетворяющая ДУ.

Интеграл ДУ: Общее и частное

Общее решение ДУ содержит столько независимых постоянных, каков порядок уравнения.

Частное решение ДУ - функция, получаемая из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных.

2 . Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала

При выполнении своих профессиональных обязанностей медицинским работникам часто приходится производить различные математические вычисления. От правильности проведённых расчётов зависит здоровье, а иногда и жизнь пациентов.

В хозяйственных расчётах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах. Очень часто в лабораторной практике приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определённой массовой долей растворённого вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой.

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

ь Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца, определения вязкости крови и других параметров гемодинамики.

ь Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография.

ь Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

ь Для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

3. Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений

Другой важнейшей характеристикой дифференциального уравнения является его линейность или нелинейность. Дифференциальное уравнение называется линейным, если в него входят неизвестные только в первой степени, нет членов, содержащих произведения этих неизвестных на их производные, а также функций этого неизвестного (тригонометрических, логарифмических, показательных и др.). В противном случае дифференциальное уравнение является нелинейным. Простейшие линейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков имеют в медицинских исследованиях наибольшее распространение.

В некоторых исследованиях относительно сложных процессов, происходящих в организме, уравнение путем вполне допустимых упрощений обычно можно привести к линейному виду и ограничиться порядком не выше второго.

Однородные линейные дифференциальные уравнения характеризуют многие медико-биологические процессы.

4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида ѓ₁ (x)Ц₁ (y)dx + ѓ₂ (x)Ц₂ (y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обоих его частей на Ц₁(y) ѓ₂ (x).

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными:

1) Производную функции y представить как y' =

2) С помощью алгебраических операций преобразовать уравнение так, чтобы члены, содержащие y, находились в левой части равенства, а члены, содержащие x- в правой.

3) Проинтегрировать полученное равенство: левая часть по аргументу y, а правая - по аргументу x. Неопределённая постоянная С добавляется в правую часть равенства после вычисления интеграла по x.

4) Решить уравнение относительно y и находим общее решение.

5) Подставляя в общее решение значения x и y из дополнительных условий, находим значение неопределённой постоянной С и вид частного решения.

5 . Пример применения диффер енциальных уравнений в медицине

Применение дифференциальных уравнений в медицине продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. Отметим здесь же, что приложения дифференциальных уравнений в биологии и химии тоже имеют медицинский оттенок, поскольку в медицине важную роль играет исследование различных биологических популяций (например, популяции болезнетворных бактерий) и исследование химических реакций в организме (например, ферментативных).

В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t -- время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

x? = axy - bx,

y? = - axy,

z? = bx.

Задача. Покажите, что x'(y) = -1 + б/y, где б = b/a.

В силу этой задачи, как легко видеть, траектории системы имеют вид, изображенный на рис. 3. Уравнение, вообще говоря, не нужно, поскольку z = n - x - y. Подчеркнем, что нас интересуют только положительные значения переменных.

6. Моделирование с применением дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются одним из важнейших разделов математики, который имеет очень большое прикладное значение. Кроме общематематического и теоретического интереса, дифференциальные уравнения находят широкое практическое применение. Например, при решении задач, связанных с электродинамикой, распространением тепла, радиоактивным распадом, оптимальным управлением и т.д.

Традиционным примером прикладной задачи, приводящей к простейшему обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, является задача о радиоактивном распаде вещества. Дифференциальные уравнения описывают процессы распространения тепла и диффузии газов. Изучение электромагнитных полей базируется на знаменитых уравнениях Максвелла. Фундаментальную роль в квантовой механике играет дифференциальное уравнение, называемое уравнением Шредингера. Опираясь на решение системы дифференциальных уравнений, был сконструирован автопилот. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений. А ведь этот аппарат спасает жизни многих и многих.

Несколько десятков лет назад нелинейные уравнения мало кого интересовали. А сейчас они переживают взлет. Одиночные волны, которые описываются этими уравнениями, сейчас играют большую роль. Просто раньше такие уравнения не умели решать.

Теория дифференциальных уравнений является самым большим разделом современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической и т.д.) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

Вспомним, например, что древние греки изучали конические сечения задолго до того, как было открыто, что по ним движутся планеты. Действительно, созданная древними греками теория конических сечений не находила своего применения почти две тысячи лет, пока Кеплер не воспользовался ею для создания теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики и техники. Другим таким примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в недрах самой математики и нашедшая лишь в конце XIX века плодотворное применение сначала в кристаллографии, а позднее в теоретической физике и других естественных науках.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному.

По возможности нужно применять чисто математические методы исследования модели, так как это позволяет наиболее полно использовать мощные аналитические возможности. К сожалению, во многих случаях получить решение основных уравнений аналитическими методами не удается и необходимо обращаться к численным решениям. Численный анализ полон ловушек, подстерегающих неосторожного исследователя. Однако при соблюдении достаточной осторожности численные решения часто дают значительный объем полезной информации о свойствах модели. По мере усложнения моделей и приближения их к реальным процессам уменьшается возможность получения лаконичных изящных решений в явном виде, и все более возрастает необходимость обращаться к тем или иным формам численных решений. Поэтому в настоящее время исключительно важное значение приобретают быстродействующие вычислительные машины.

В некоторых случаях возникают более серьезные трудности. Может оказаться, что полученные дифференциальные уравнения движения для некоторого сложного биологического процесса (это могут быть дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка) не только неразрешимы аналитически, но и не поддаются решению существующими методами численного анализа.

7. Пример математической модели

Довольно простая математическая модель состоит в следующем. Пусть вероятность того, что данному больному в один из дней потребуется отдельная палата, равна p. Тогда для отделения на n человек вероятность того, что r больным потребуется отдельная палата, будет иметь биномиальное распределение:

а среднее число таких палат составит np. Представим себе, что мы обеспечены произвольным числом a отдельных палат. Среднее число больных, находящихся в таких палатах и действительно нуждающихся в изоляции, равно:

Первый член выражения которого соответствует числу больных в те дни, когда спрос может удовлетворяться полностью, а второй член относится к случаям, когда спрос превышает предложение. Если коэффициент обеспеченности равен E_p, а коэффициент использования равен E_u, то легко видеть, что:

Простые вычисления, основанные на формулах, дают результаты, приведённые в таблице:

Читайте также: