Численное дифференцирование функций реферат

Обновлено: 04.07.2024

Ключевая цель реферата это изучение и сравнительный анализ методов численного дифференцирования; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного дифференцирования на ЭВМ. Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво… Читать ещё >

Методы численного дифференцирования функций ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Ключевая цель реферата это изучение и сравнительный анализ методов численного дифференцирования; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного дифференцирования на ЭВМ.

При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a, b] интерполирующей функцией P(x), чаще всего полиномом, а затем полагают, чтопри .

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность, то погрешность производной P(x) выражается формулой, т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.

Следует отметить, что численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

1. Вычисление производной по ее определению

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет производную в этой точке. Это означает, что существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Значение производной в точке x₀ можно получить, заменяя предел выражения (1) пределом по последовательности целых чисел. Здесь Это приращение уменьшается при увеличении числа n, где (x)₀ — некоторое начальное приращение аргумента. Поскольку (y)_n = f(x₀ + (x)_n) — f(x₀), формулу (1) можно представить следующим образом:

При больших n получаем:

Условие прекращения вычислений:

2. Вычисление производной с помощью конечных разностей

В отличие от предыдущего раздела, где рассматривалась задача определения производной в точке x₀, здесь решается следующая задача: по заданной таблице значений функции y_i = f(x_i),, требуется определить таблицу значений производных в этих же точках x_i .

Пусть точки x_i расположены таким образом, что x₀ т. е. x_i — x_i-1 = h = const. Используя значения конечных разностей производные функции в точках x_i можно определить как

Рассмотрим случай, когда используются правые конечные разности. Отсюда значения производных:

Данная формула позволяет определить значения производных во всех точках, кроме конечной x_n. Вычислить производную в этой точке можно по аналогичной формуле, в которой используются левые конечные разности. Отсюда

Очевидно, что формула (2) позволяет определить значение производной во всех точках, кроме x₀.

Рассмотрим геометрический смысл формул (1) и (2). Истинное значение производной в точке x_i определяется наклоном касательной в этой точке, т. е. . Получение приближенных значений производной в точке x_i с помощью правых () и левых () конечных разностей иллюстрирует рис. 1.

Нетрудно заметить, что лучшее приближение производной может быть получено как, где ₀ — угол наклона прямой, проведенной через точки N₁ и N₂, как это показано на рис. 1. Соответствующая формула имеет вид:

где — центральная конечная разность.

3. Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона

Пусть функция y(x) задана в равноотстоящих точках x_i отрезка [a, b] с помощью значений y_i = f(x_i). Для нахождения значений производных y = f(x) на этом отрезке функцию y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x₀, x₁, …, x_k (k n):

Производя перемножение биномов, получим:

Учитывая, что, расчетная формула для определения производных будет иметь следующий вид:

Следует отметить, что при нахождении производной в заданной точке x в качестве x₀ следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента.

Иногда требуется определить производные функции y(x) в узлах таблицы, т. е. в точках x_i. В этом случае формула (4) упрощается, поскольку каждое табличное значение можно считать начальным. Положим x = x₀, t = 0 и тогда получим:

4. Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа

Предположим, что некоторая функция задана таблицей значений y_i = f(x_i), с постоянным шагом аргумента h = x_i — x_i-1. Для того, чтобы выразить значение производной через значения функции в узлах интерполяции, запишем интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, удовлетворяющий условиям L_m(x_k) = y_k = f(x_k), :

где лагранжевы коэффициенты вычисляются как

В частности, для m = 1 получим:

численный дифференцирование производная интерполяционный Пусть m = 2. Тогда

В целом для отрезка [x₀, x_n] рекомендуется вычислять производные следующим образом:

5. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка)

Пусть поставлена задача Коши, где функция f (x, y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x₀, b],

Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке x_k+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках x_k-1, x_k-2…общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все mшаговые методы можно описать формулами:

При ₀=0 мы получаем явные методы, при 0 — неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у (х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у (х₀)-определяется из условия задачи Коши у (х₁), у (х₂), у (х₃)…у (х_m-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x₀, b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у (х) на [x₀, b] в т. x_k

Известно, что на шаге точное значение функции в т. х_к уЮ (х_к) отличается от приближенного значения х_к на величину.

где е заданная точность Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

В векторном виде система 16.6 записывается так:

Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общие затраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.

Заключение

В данном реферате были исследованы методы численного дифференцирования функций.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т. д. ), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Список используемой литературы

1. Бахвалов Н. С. , Жидков Н. П. , Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. 624 с.

2. Элементы вычислительной математики / Под ред. С. Б. Норкина . М.: Высш. шк., 1966. 208 с.

3. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

5. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. 584 с.

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

Пусть функция задана в двух точках и ее значения

Посстроим интерполяционный многочлен первой степени

Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

Величина называется первой разностной производной .

Пусть задана в трех точках

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

В точке она равна

Получаем приближенную формулу

Величина называется центральной разностной производной .

Наконец, если взять вторую производную

получаем приближенную формулу.

Величина называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования .

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что

Доказательство . Очевидно неравенство

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

1.Предположим, что Тогда существует такая точка , что

Если то существует такая точка , что

Когда то существует такая, что

(6) Доказательство. По формуле Тейлора

откуда следует (4).

Если то по формуле Тейлора

Подставим (7) в Получаем

Заменяя в соответствии с леммою 1

Откуда и следует (6).

Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности .

Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

Выбор оптимального шага . Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству

Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам

где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :

Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).

Похожие страницы:

Численные методы. Лабораторный практикум

Сравнительный анализ численных методов (3)

. анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования 4.1 Методы численного дифференцирования 4.2 Методы численного интегрирования 5. Численные методы решения обыкновенных .

Численность и структура населения

. , в рамках предмета демографии), сводится к следующему. Численность населения — показатель моментный, т. е. относится всегда . , с любыми показателями социальных явлений и процессов, дифференцированных по возрасту респондентов), с возрастной аккумуляцией .

Дифференцированный подход к оценке физической подготовленности и физическому развитию на примере

. физвоспитания Реферат на тему: “Дифференцированный подход к оценке физической . и уровня физической подготовленности. Численный состав каждой учебной группы в . функциональных возможностей организма студентов. Численность учебной группы составляет от .

Численные методы при решении задач

. левых частей этой системы происходит дифференцирование y, y’ и y’’, т. е. вычисление соответственно новых значений y’, y’’, y’’’. . запуска программа выводит следующее: Программа численного интегрирования системы дифференциальных уравнений экстраполяционным .

раскрыть суть численного дифференцирования и выявить роль её актуальности в современном обществе.

Исходя из цели, нами выявлены задачи:

1. Раскрыть историю возникновения дифференциального исчисления;
2. Определить его значение;
3. Рассмотреть суть численного дифференцирования практическим способом.

Объектом моего исследования является дифференциальное исчисление, предметом исследования - численные методы.

История возникновения дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Актуальность дифференциального исчисления:

• Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов обширной области высшей математики, называемой анализом бесконечно малых величин, или, кратко, анализом.
• Дифференциальное исчисление в форме предельного анализа широко применяется в экономике, в. Экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих крупных объектов экономических расчетов. Но в ряде случаев предельный анализ выступает как важный математический инструмент экономической науки.
• Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R - средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.
• Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R - средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.
• Лишь дифференциальное исчисление даст естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции у = f (х), заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции, В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию: функцию у приближенно заменяют интерполяционным полиномом Ньютона:

с заданным шагом интерполяции. Для этого вычисляют конечные разности.

Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются.

Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.

В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции у =f(x). Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.

По табличным данным найти аналитическое выражение производной функции

Составим таблицу конечных разностей, обозначив u=y )׳ x (

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

Произведя соответствующие преобразования, получим аналитическую формулу производной.

Методом численного дифференцирования вычислим значения первой и второй производной в точке х₀=1,5, используя данные решенной выше задачи.

Исходя из интерполяционной формулы Ньютона и произведя определенные действия получим значение первой и второй производной (-2,25 и 3).

Таким образом, численное дифференцирование играет немало важную роль в функциональном анализе и в прикладной науке. Широко применяется в экономике.

Далее в моем журнале представлена рубрика математической философии.

Я хочу выделить афоризм А .Эйнштейна:

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.

Какой журнал обходится без юмора?! Вашему вниманию представлена рубрика математический юмор.

Каждый грызет гранит науки по-своему,(невербальные жесты),о чем мечтают?

Благодарю за внимание.

С заданным шагом интерполяции. Для этого вычисляют конечные разности.

Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются.

Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.

В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции у =f(x). Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.

По табличным данным найти аналитическое выражение производной функции

Составим таблицу конечных разностей, обозначив u=y )׳ x (

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

Произведя соответствующие преобразования, получим аналитическую формулу производной.

Методом численного дифференцирования вычислим значения первой и второй производной в точке х₀=1,5, используя данные решенной выше задачи.

Исходя из интерполяционной формулы Ньютона и произведя определенные действия получим значение первой и второй производной (-2,25 и 3).

Таким образом, численное дифференцирование играет немало важную роль в функциональном анализе и в прикладной науке. Широко применяется в экономике.

Далее в моем журнале представлена рубрика математической философии.

Я хочу выделить афоризм А .Эйнштейна:

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.

Какой журнал обходится без юмора?! Вашему вниманию представлена рубрика математический юмор.

Каждый грызет гранит науки по-своему,(невербальные жесты),о чем мечтают?

Благодарю за внимание.

Вложение	Размер
chislennoe_differentsirovanie.rar	2.86 МБ

Предварительный просмотр:

Целью данного проекта – является

раскрыть суть численного дифференцирования и выявить роль её актуальности в современном обществе.

Исходя из цели, нами выявлены задачи :

1. Раскрыть историю возникновения дифференциального исчисления;
2. Определить его значение;
3. Рассмотреть суть численного дифференцирования практическим способом.

Объектом моего исследования является дифференциальное исчисление, предметом исследования - численные методы.

История возникновения дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения и др.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Жиля Роберваля, английского ученого Джеймса Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Актуальность дифференциального исчисления:

• Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов обширной области высшей математики, называемой анализом бесконечно малых величин, или, кратко, анализом.
• Дифференциальное исчисление в форме предельного анализа широко применяется в экономике, в. Экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих крупных объектов экономических расчетов. Но в ряде случаев предельный анализ выступает как важный математический инструмент экономической науки.
• Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R - средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.
• Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R - средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.
• Лишь дифференциальное исчисление даст естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение.

• В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции у = f (х), заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции, В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию: функцию у приближенно заменяют интерполяционным полиномом Ньютона:

С заданным шагом интерполяции. Для этого вычисляют конечные разности.

Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются.

Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.

В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков функции у =f(x). Рассмотрим подробно на примере вычисление конечных разностей некоторой функции.

По табличным данным найти аналитическое выражение производной функции

Составим таблицу конечных разностей, обозначив u=y)׳x(

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

Произведя соответствующие преобразования, получим аналитическую формулу производной.

Методом численного дифференцирования вычислим значения первой и второй производной в точке х 0 =1,5, используя данные решенной выше задачи.

Исходя из интерполяционной формулы Ньютона и произведя определенные действия получим значение первой и второй производной (-2,25 и 3).

Таким образом, численное дифференцирование играет немало важную роль в функциональном анализе и в прикладной науке. Широко применяется в экономике.

Далее в моем журнале представлена рубрика математической философии.

Я хочу выделить афоризм А .Эйнштейна:

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.

Какой журнал обходится без юмора?! Вашему вниманию представлена рубрика математический юмор.

Каждый грызет гранит науки по-своему,(невербальные жесты),о чем мечтают?

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 123 человека из 45 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 601 267 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

• 01.10.2020 333
• RAR 991 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Чигвинцева Светлана Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также:

  
• Эритроциттер санын анықтау реферат
  
• Социальная защита сотрудников правоохранительных органов реферат
  
• Реферат на тему ветряная оспа
  
• Рыбные ресурсы краснодарского края реферат
  
• Травматизм в легкой атлетике реферат