Частная функция двух производных реферат

Обновлено: 19.05.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”

СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк - 2006

Функции нескольких переменных.

Определение функции нескольких переменныхПредел функции двух переменныхНепрерывность функции двух переменных

Частные производные

Частные производныеПолный дифференциалПроизводная и дифференциал сложной функцииНеявные функции и их дифференцирования

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядковПризнак полного дифференцированияДифференциалы высших порядков

Список литературы

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции нескольких переменных.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента.

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенствуилиназывается δ-окрестность точки . Определение. Число A называет пределом функциипри стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условиюимеет место неравенство . Обозначают это так:илиФункцияназывается бесконечно малой приесли

Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точкапринадлежит области определения . Определение. Функцияназывается непрерывной в точкеесли

илипричем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращениемпри переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат по математике

Группа 27эл

Студента 2 курса

Марченкова Дмитрия.

Преподаватель: Иванченко О. Н.

2017 год.

Производная функции

2.1 Определение производной функции через предел

2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x ₀

5 Геометрический и физический смысл производной

5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой

5.2 Скорость изменения функции

6 Производные высших порядков

7 Способы записи производных

9 Правила дифференцирования

10 Таблица производных некоторых функций

11 Производная вектор-функции по параметру

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс — интегрирование.

В современном дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин "производная функции" впервые употребил В.И.Висковатов. [1]

2. Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U ( x ₀ ) можно представить в виде

f ( x ₀ + h ) = f ( x ₀ ) + Ah + o ( h )

если существует.

2.1. Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

2.2. Общепринятые обозначения производной функции y = f ( x ) в точке x ₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

3. Дифференцируемость

Производная функции f в точке x ₀ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U ( x ₀ ) справедливо представление

при

4. Замечания

Назовём Δ x = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δ y = f ( x ₀ + Δ x ) − f ( x ₀ ) приращением значения функции в точке x ₀ . Тогда

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

5. Геометрический и физический смысл производной

5.1. Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x ₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x ₀ ) . В окрестности точки x ₀ выбирается произвольная точка x . Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C ₅ ). Расстояние Δx = x — x ₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C ₅ — C ₁ ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x ₀ .

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀ , то в окрестности U ( x ₀ ) её можно приблизить линейной функцией

Функция f _l называется касательной к f в точке x ₀ . Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

5.2. Скорость изменения функции

Пусть s = s ( t ) — закон прямолинейного движения. Тогда v ( t ₀ ) = s '( t ₀ ) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀ . Вторая производная a ( t ₀ ) = s ''( t ₀ ) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀ .

Вообще производная функции y = f ( x ) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f ( x ).

6. Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция f дифференцируема в x ₀ , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n -го порядка f ( n ) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

7. Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Лагранжа f ( n ) ( x ₀ ), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f (1) ( x ₀ ) = f '( x ₀ ) = f I ( x ₀ ),

f (2) ( x ₀ ) = f ''( x ₀ ) = f II ( x ₀ ),

f (3) ( x ₀ ) = f '''( x ₀ ) = f III ( x ₀ ),

f (4) ( x ₀ ) = f IV ( x ₀ ), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

— производная первого порядка x по t при t = t ₀ , или — вторая производная f по x в точке x ₀ и т. д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

, или иногда .

В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение U с индексом x (без штрихов), что означает производная U по x.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

Пусть f ( x ) = x 2 . Тогда

Пусть f ( x ) = | x | . Тогда если то

f '( x ₀ ) = sgn x ₀ ,

где sgn обозначает функцию знака. Если x ₀ = 0, то а следовательно f '( x ₀ ) не существует.

9. Правила дифференцирования

[2]

[3]

… (g ≠ 0)

(g ≠ 0)

Если функция задана параметрически:

, то

Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале ( a , b ), то она непрерывна на интервале ( a , b ). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y ( x ) = | x | на [ − 1,1]);

если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x , то f '( x ) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

y = f ( x ) g ( x )

ln y = g ( x )ln f ( x )

10. Таблица производных некоторых функций

Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.

11. Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

— производная суммы есть сумма производных.

— здесь — дифференцируемая скалярная функция.

— дифференцирование скалярного произведения.

— дифференцирование векторного произведения.

— дифференцирование смешанного произведения.

Производная суммы равна сумме производных

Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

Математический анализ объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они четко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие [15].

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведения которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия : производная и дифференциал.

Актуальность данной темы заключается в том, что в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах широко известны дифференциальные уравнения, в которые входят частные производные.

Целью данной работы является изучение понятия частных производных и дифференциалов первого и второго порядка функции двух переменных, а также изучение применения дифференциала к приближенному вычислению.

Изучить и проанализировать литературу по данному вопросу.

На основе изученной литературы сформулировать понятия частных производных и понятие дифференциала функции двух переменных, а также понятие частных производных и дифференциала второго порядка функции двух переменных.
Рассмотреть примеры вычисления частных производных и дифференциала функции двух переменных.
Рассмотреть применение дифференциала к приближенным вычислениям.

§1. Частные производные функции двух переменных

Частной производной по x от функции z = f (x,y) называется предел отношения частного приращения Δ_x zпо x к приращению Δxпри стремлении Δxк нулю.

Частная производная отxпо функцииz = f (x, y) обозначается одним из символов:

Таким образом, по определению,

Аналогично частная производная по y от функции z = f (x,y) определяется как предел отношения частного приращения функции Δ_y zпо y к приращению Δyпри стремлении Δyк нулю[6].

Частная производная по y обозначается одним из символов:

частной производной по x от функции z=f(x,y) называется производная по x, вычисленная в предположении, что y — постоянная.
частной производной по y от функции z=f(x,y) называется производная по y, вычисленная в предположении, что x — постоянная.

Частные производные любого числа переменных определяются аналогично [8].

1.2 Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Пусть уравнение z = f(x ,y) есть уравнение поверхности, изображенной на рисунке 1.

Проведем плоскость x=const. В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия PT. При данном x рассмотрим на плоскости Oxy некоторую точку M(x, y). Точке М соответствует точка P(x, y, z), принадлежащая поверхности z = f(x ,y). Оставляя x неизменным, дадим переменной y приращение Δy = MN = PT'. Тогда функция я получит приращение ∆_y z =TT ' (точке N(x, y + Δy) соответствует точка Т(x, y + Δy, z +∆_y z) на поверхностиz = f (x ,y)) [14].

Отношение равно тангенсу угла, образуемого секущей PT с положительным направлением оси Oy:

равен тангенсу угла β, образованного касательной PB к кривой PT в точке P с положительным направлением оси Oy:

Итак, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f(x, y) плоскостью x= const.

Аналогично частная производная численно равна тангенсу угла наклона α касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью

y= const[14].

Частные производные функции двух переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка исходной функции [1].

Так, например, функция z = f(x, y) двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

частной производной n-ого порядка функции двух переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n – 1) - ого порядка той же функции.

z= f(x, y) есть частная производная первого порядка по y от частной производной второго порядка :

1.4 Смешанные частные производные функции двух переменных

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Например, частные производные

являются смешанными частными производными функции двух переменных z = f (x, y) [7].

3. Пусть дана функция ;

Мы видим, что смешанные частные производные и , отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, то есть последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства [5].

Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных z = f(x, y) имеем:

Аналогично частным производным второго порядка вводятся частные производные третьего, четвертого. n-ого порядка и доказывается теорема о равенстве смешанных производных любого порядка функции нескольких переменных.

ВЫПОЛНИЛ:
СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2
ПИВКОВ В.А.
ПРОВЕРИЛ:
ВОРОНОВА Е.А.

I. Функциинескольких переменных.
Определениефункции нескольких переменных
Предел функциидвух переменных
Непрерывностьфункции двух переменных
II.Частныепроизводные
Частныепроизводные
Полныйдифференциал
Производная идифференциал сложной функции
Неявныефункции и их дифференцирования
III. Частныепроизводные и дифференциалы высших порядков
Частныепроизводные высших порядков
Признакполного дифференцирования
Дифференциалывысших порядков
Списоклитературы

I. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции несколькихпеременных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных xи y, если некоторым парамзначении x и yпо какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.
Множество Gпар значений x и y,которые могут принимать переменные x и y,называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемыхz в области определения, — областью значений функции z.Переменные x и называются аргументами функции.
Пара чисел xи y определяет положение точки Mна плоскости xOy с координатами xи y. Поэтому функцию двухпеременных можно рассматривать либо как функцию двух переменных M
Каждой тройке (x; y; z) впространстве Oxyzсоответствует точка M(x; y; z).Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функциитрех переменных
Аналогично можнодать определение функции четырех и более переменных.

1.2 Предел функции двухпеременных.

Множество точек M(x; y),координаты xи yкоторых удовлетворяют неравенству или называетсяδ-окрестность точки

Определение. Число A называет пределом функции при стремлении точки Mк точке ε>0существует такое δ>0, что для всех точек Mиз области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет местонеравенство : или

Функция называется бесконечномалой при если

1.3 Непрерывность функции двух переменных.

Пустьточка принадлежит областиопределения Определение. Функция называется непрерывнойв точке если
или причем точка Mстремится к M0произвольнымобразом, оставаясь в области определенияфункции.
ОбозначимПолным приращением при переходе от точки Mназывается разность значении функции в этой точке

II. Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частнойпроизводной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной врассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считаядругие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двухпеременных в точке частные производныеопределяются так:

еслиэти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции zв точке по аргументу обозначения частных производных:

Символы как дроби трактоватьнельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрическийсмысл частной производной функции двух переменных: частная производная — угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.
Пользуясь понятием скорости измененияпеременной, можно сказать, что частная производная есть скоростьизменения функции относительно при постоянном
Из определения частных производныхследует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций однойпеременной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если
Пример 2. Если называетсяизотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаютсячастные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

2.2 Полный дифференциал.

(1)
Если приращение (1) можно представить ввиде (2)
ГдеАиВ не зависят от и и стремятся к нулю пристремлении к нулю и называется дифференцируемой в точке приращения функции(т.е. та часть и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначаетсясимволом
(3)
Изопределения дифференцируемости функции следует, что если данная функциядифференцируема в точке
Действительно,если в точке функция дифференцируема, тодля этой точки представимо в форме(2), откуда следует, что

аэто и означает, что в точке функция непрерывна.
Издифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частныхпроизводных в этой точке (необходимоеусловие дифференцируемости).
В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогдаимеет место соотношение (2). Полагая в нем

Деляна и переходя к пределупри

Этоозначает, что в точке существует частнаяпроизводная функции по и (4)
Аналогично доказывается, что в точке существует частнаяпроизводная
(5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) ввиде

Если положить
Теорема(достаточное условие дифференцируемости). Еслифункция имеет частныепроизводные в некоторой окрестности точки и эти производныенепрерывны в самой точке
Доказательство.Дадим переменным и столь малыеприращения и не вышла за пределыуказанной окрестности точки можно записать в виде
Каждаяиз этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждуюиз этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
(6)
Так как производные и непрерывны в точке

Отсюда
и — бесконечно малые при

аэто и означает, что функция дифференцируема вточке

2.3 Производные и дифференциалсложной функции.

Пусть zбудет функцией одной переменной t.Предположим, что непрерывны и существуют. Найдем Дадим переменной tприращение x, y, а следовательно, и zполучат свои приращения и

Устремимтеперь к нулю. Тогда и будут стремиться кнулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположилисуществование производных и и будут стремиться кнулю. В пределе получим:

или,короче,
(7)
Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Предположим, в частности, что рольнезависимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию
(8)
таккак — частная производнаяпо первому аргументу функции двух переменных — обычная производнаясложной функции одной переменной x: полной производной функции. В случае, когда

( — частная производнаяпо второму аргументу функции — полная производнаяфункции одной переменной y:
Пусть теперь ( здесь предполагаетсясуществование первых производных функций по и zбудет функцией двух независимых переменных и
(9)
Аналогично
(10)

Из формул (9) и (10) видно, что символчастной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. Всамом деле, если бы можно было сократить на и
и

2.3 Неявные функции и ихдифференцирование.

Если уравнение, с помощью которогозадается функция одной переменной x, неразрешено относительно y, тоэта функция называется неявной.Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, ноуже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнениеотносительно yневозможно(например,
(11)
Всвязи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, неразрешая уравнения (11) относительно у.
Если в уравнении (11), определяющемнеявную функцию х, то для нахождения соответствующегозначения у надо решать уравнение.Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество.Поэтому можно сказать также, что неявная функция такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение(11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по xсогласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

Отсюда при вытекает формула дляпроизводной неявной функции
(12)

Пример 1. Пусть yкак функция от xзаданасоотношением
Для имеем: и согласно формуле(12)

Пусть уравнение (13)
Определяетz как неявную функцию независимых переменныхxи y.
Пользуясьформулой (12), из равенства (13) имеем:
(14)

Пример 2. Найти частные производныенеявной функции z, заданной уравнением
Согласно формулам (14)

Читайте также: