Бесконечно малые и бесконечно большие величины реферат

Обновлено: 04.07.2024

Функцию %%f(x)%% называют бесконечно малой (б.м.) при %%x \to a \in \overline<\mathbb>%%, если при этом стремлении аргумента предел функции равен нулю.

Понятие б.м. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.м. функции при %%a \to a + 0%% и при %%a \to a - 0%%. Обычно б.м. функции обозначают первыми буквами греческого алфавита %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Примеры

Функция %%f(x) = x%% является б.м. при %%x \to 0%%, поскольку ее предел в точке %%a = 0%% равен нулю. Согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними эта функция — б.м. как при %%x \to +0%%, так и при %%x \to -0%%.
Функция %%f(x) = 1/%% — б.м. при %%x \to \infty%% (а также при %%x \to +\infty%% и при %%x \to -\infty%%).

Отличное от нуля постоянное число, сколь бы оно ни было мало по абсолютному значению, не является б.м. функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, поскольку функция %%f(x) \equiv 0%% имеет нулевой предел.

Теорема

Функция %%f(x)%% имеет в точке %%a \in \overline<\mathbb>%% расширенной числовой прямой конечный предел, равный числу %%b%%, тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме этого числа %%b%% и б.м. функции %%\alpha(x)%% при %%x \to a%%, или $$ \exists~\lim\limits_ = b \in \mathbb \Leftrightarrow \left( f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left( \lim\limits_\right). $$

Свойства бесконечно малых функций

По правилам предельного перехода при %%c_k = 1~ \forall k = \overline, m \in \mathbb%%, следуют утверждения:

Сумма конечного числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.
Произведение любого числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.

Произведение б.м. функций при %%x \to a%% и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel>(a)%% точки а, есть б.м. при %%x \to a%% функция.

Ясно, что произведение постоянной функции и б.м. при %%x \to a%% есть б.м. функция при %%x \to a%%.

Эквивалентные бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции %%\alpha(x), \beta(x)%% при %%x \to a%% называются эквивалентными и пишутся %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, если

Теормема о замене б.м. функций эквивалентными

Пусть %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% — б.м. функции при %%x \to a%%, причем %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тогда $$ \lim\limits_> = \lim\limits_>. $$

Эквивалентные б.м. функции.

Пусть %%\alpha(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%, тогда

%%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac%%
%%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle\sqrt[n] - 1 \sim \frac%%
%%\displaystyle a^ - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Пример

Бесконечно большие функции

Функцию %%f(x)%% называют бесконечно большой (б.б.) при %%x \to a \in \overline<\mathbb>%%, если при этом стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел.

Подобно б.м. функциям понятие б.б. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.б. функции при %%x \to a + 0%% и %%x \to a - 0%%. Термин “бесконечно большая” говорит не об абсолютном значении функции, а о характере его изменения в окрестности рассматриваемой точки. Никакое постоянное число, как бы велико оно ни было по абсолютному значению, не является бесконечно большим.

Примеры

Функция %%f(x) = 1/x%% — б.б. при %%x \to 0%%.
Функция %%f(x) = x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.

Если выполнены условия определений $$ \begin \lim\limits_ = +\infty, \\ \lim\limits_ = -\infty, \end $$

то говорят о положительной или отрицательной б.б. при %%a%% функции.

Пример

Функция %%1/%% — положительная б.б. при %%x \to 0%%.

Связь между б.б. и б.м. функциями

Если %%f(x)%% — б.б. при %%x \to a%% функция, то %%1/f(x)%% — б.м.

при %%x \to a%%. Если %%\alpha(x)%% — б.м. при %%x \to a%% функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки %%a%%, то при %%x \to a%%.

Свойства бесконечно больших функций

Приведем несколько свойств б.б. функций. Эти свойства непосредственно следуют из определения б.б. функции и свойств функций, имеющих конечные пределы, а также из теоремы о связи между б.б. и б.м. функциями.

Произведение конечного числа б.б. функций при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%. Действительно, если %%f_k(x), k = \overline%% — б.б. функции при %%x \to a%%, то в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, и по теореме о связи б.б. и б.м. функций %%1/f_k(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%. Получается %%\displaystyle\prod^_ 1/f_k(x)%% — б.м функция при %%x \to a%%, а %%\displaystyle\prod^_f_k(x)%% — б.б. функция при %%x \to a%%.
Произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, которая в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% по абсолютному значению больше положительной постоянной, есть б.б. функция при %%x \to a%%. В частности, произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, имеющей в точке %%a%% конечный ненулевой предел, будет б.б. функцией при %%x \to a%%.

Сумма ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% функции и б.б. функции при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%.

Например, функции %%x - \sin x%% и %%x + \cos x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.

Сумма двух б.б. функций при %%x \to a%% есть неопределенность. В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть самым различным.

Пример

Пусть даны функции %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% — б.б. функции при %%x \to \infty%%. Тогда:

Определение. Переменная величина называется бесконечно малой при , если . Иначе: называется бесконечно малой, если для любого , найдется , что для всех выполняется неравенство .

Было бы ошибочно думать, что бесконечно малая величина может принимать только малые значения. Для нее характерным является не то, какие значения она принимает, а то, что ее пределом является число 0. Амплитуда затухающего колебания маятника – пример бесконечно малой величины.

Определение. Переменная называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, найдется такое, что для всех .

О бесконечно большой переменной говорят, что она имеет бесконечный предел и пишут , однако это обозначение условно, так как знак равенства можно ставить между числами. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пусть (значения при любом ). Если – бесконечно малая при , то обратная ей величина – бесконечно большая при ; если – бесконечно большая, то – бесконечно малая при .

Иногда бесконечно малую величину будем условно обозначать символом 0, а бесконечно большую – символом .

Пример 1. Пользуясь определением бесконечно большой величины, доказать, что есть величина бесконечно большая.

Решение. Возьмем произвольное и решим неравенство , то есть . Логарифмируя, получим , откуда . Если теперь взять , то для всех будет выполняться неравенство . Так как число можно взять сколь угодно большим, а значения превзойдут это число, то согласно определению переменная будет бесконечно большой.

Свойства бесконечно малых.

1) Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

2) Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

3) Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

4) Произведение конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

ГОСТ

Что такое бесконечно малая величина

Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.

Проследим изменение бесконечно малых на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Что такое исчисление бесконечно малых величин

Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.

Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:

Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:

Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.

Готовые работы на аналогичную тему

Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было $ <\mathbf \varepsilon >> 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:

Доказать, что функция

является бесконечно малой при $x>+∞$.

Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:

\[\left|f(x)\right|=\left|\frac > \right|=\frac > Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac > =N\]

Аналогично для функции вида

Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.

Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.

Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[] \begin <> & <\begin & \end> \end\]

т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.

Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:

Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.

Свойства бесконечно малых

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых --- бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) --- бесконечно малая.
Если $a_n$ --- бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ --- бесконечно большая последовательность.

Докажем, что функция

Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.

Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 -- функция является бесконечно малой величиной.

Определение 1. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если .

Напомним это определение: , что

Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если , что и при этом пишут .

Пример 1. Покажем, что для функции

Зададим . Получим неравенство

т.е. в этой окрестности точки значения функции по модулю будут больше заданного числа М .

Замечание 1. При определении б.м.в. и б.б.в. следует обратить внимание на фразу «при «, так, например, функция является б.м.в. при и б.б.в. при , что видно, в частности, из графика этой функции.

Замечание 2. Все б.б. в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из примера.

Пример 2. Очевидно, функция является неограниченной при , но она не является б.б.в. Например, для последовательности ,

Замечание 3. Б.м.в. принято обозначать :

Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами :

1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..

Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы  . Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется

и , т.е. сумма  б.м.в.

2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.

Доказывается аналогично с учетом, что , где .

3. Если  б.м.в. при , то  б.б.в. при . Верно и обратное.

Пусть  б.м.в. Это означает, что . Тогда , т.е.  б.б.в. Аналогично доказывается и обратное утверждение.

2.4. Теорема о пределе функции

Эта теорема является важной, так как используется при доказатель-стве многих теорем и утверждений.

Теорема. Если функция имеет предел при , то в некоторой окрестности она представляется в виде суммы , где А  её предел, а  б.м.в. при . Верно и обратное.

Пусть , т.е.  б.м.в. или .

Обратно. Пусть . Тогда , т.е. .

2.5. Основные теоремы о пределах

Предположим, что существуют пределы соответствующих функций. Тогда справедливы теоремы:

Теорема 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про-изведению пределов этих функций, т.е.

Теорема 3. Если , то .

Пусть и Тогда по теореме о пределе функции имеем , , где и  б.м.в. при .

Поскольку является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогда и по теореме о пределе функции получаем

Утверждение следующей теоремы практически очевидно, а её дока-зательство следует из определения предела функции.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности выполняется и , то .

Замечание 5. Доказательства теорем 1–2 аналогичны доказательству теоремы 3 .

Покажем, как с помощью этих теорем вычисляются некоторые пределы.

Так как , то имеем

2.6. Раскрытие неопределённостей

Рассмотрим пример : найти предел .

Этот случай классифицируется как неопределённость вида . Известны также неопределённости следующих видов: и, если 1 является пределом некоторой функции, то .

Чтобы раскрыть эти неопределённости, т.е. найти соответствующие пределы, необходимо выполнить соответствующие тождественные преобра-зования функции под знаком предела, которые зависят от вида неопре-делённости и самой функции. Рассмотрим это на конкретных примерах.

Читайте также: