Аналоговые и цифровые фильтры реферат
Обновлено: 02.07.2024
МОСКВА
2013 г.
Введение
Различают два общих класса сигналов: аналоговые и дискретные. Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени, дискретным сигналом – сигнал, определенный только в дискретные моменты времени. Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначнопредставлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами.
Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной составляющей и т. п.
Цифровым фильтром называется цифроваясистема, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован программным методом или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов как в реальном времени, так и предварительно записанных.
Функциональная схема цифровых фильтров
Рассмотрим упрощенную функциональную схему цифрового фильтра (рис.1,а). Непрерывный сигнал x(t) поступает на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), который фиксирует значения x(n) сигнала в дискретные моменты времени t=nT, n=0,1,… и преобразует их в цифровой код в виде двоичного числа. Последовательность x(n) поступает в процессор, состоящий из арифметического устройства (АУ) и памяти (П). В процессоре осуществляется преобразованиепоследовательности x(n) в соответствии с определенным алгоритмом. В результате на его выходе образуется последовательность y(n).
Рис.1. Функциональная схема цифрового фильтра
Последовательность y(n) поступает на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), в котором текущее значение y(n) , представленное в цифровом виде, преобразуется в постоянное напряжение, удерживаемое в течение соответствующегоинтервала дискретности. На выходе ЦАП формируется непрерывный сигнал в виде ступенчатой функции (рис. 1,б). С помощью фильтра нижних частот (ФНЧ) устраняются высокочастотные колебания, и выходной сигнал y(n) цифрового фильтра приобретает сглаженный вид.
Классификация цифровых фильтров
Каузальные и некаузальные ЦФ
С точки зрения физической реализуемости ЦФ делятся на каузальные инекаузальные.
Каузальным (от лат. слова causal – причинный) или физически реализуемым называется фильтр, у которого реакция в данный момент времени не зависит от значений входного воздействия в последующие моменты. Импульсная характеристика каузального фильтра удовлетворяет условию h(n)=0 при n 0.Некаузальный фильтр – это фильтр, у которого реакция в данный момент времени зависит от значений входного воздействия в последующие моменты. Например, фильтр,осуществляющий сглаживание скользящим усреднением по трем значениям, описывается разностным уравнением
yn=13xn-1+xn=x(n+1)Такой фильтр нельзя физически реализовать в режиме реального времени, так при вычислении очередного значения y(n) необходимо знать будущее значение x(n+1) входного воздействия. Импульсная характеристика фильтра определяется выражениемhn=13δn-1+δn+δ(n+1).Некаузальные фильтры можно использовать на практике в тех случаях, когда процедура фильтрации происходит не в реальном времени, а выполняется над хранящимися в памяти последовательностями конечной длины.
Линейные рекурсивные и нерекурсивные ЦФ
В зависимости от вида разностного уравнения, описывающего работу цифрового фильтра, последние делятся на рекурсивные и.
Сигналы встречаются почти в каждой области науки и техники, например в акустике, в биомедицинских исследованиях, в связи, в системах управления, в радиолокации, физике, сейсмологии и телеметрии. Различаются два общих класса сигналов: аналоговые (сигналы в непрерывном времени) и дискретные (сигналы в дискретном времени).
Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени. Типичными примерами аналоговых сигналов являются изменения во времени напряжения или скорости космического корабля.
Дискретным сигналом называется сигнал, определенный только в дискретные моменты времени, например через каждую миллисекунду, каждую секунду или каждый день. Примерами такого типа сигналов являются цена какого-либо товара в момент закрытия фондовой биржи или количество осадков, выпавших за день, как функции времени.
Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначно представлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами. Эти функции описывают частотный состав сигнала.
Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной частотной составляющей и т. п. Фильтрация нашла многочисленные применения, например для подавления шума, маскирующего сигнал, для устранения искажения сигнала, вызванного несовершенством канала передачи или погрешностями измерения, для разделения двух или более различных сигналов, которые были преднамеренно смешаны для того, чтобы в максимальной степени использовать канал, для разложения сигналов на частотные составляющие, для демодуляции сигналов, для преобразования дискретных сигналов в аналоговые, для ограничения полосы частот, занимаемой сигналами.
Цифровым фильтром называется цифровая система, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован программным методом на ЦВМ или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из.этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов в реальном времени или для фильтрации предварительно записанных сигналов.
В электронике цифровой фильтр - это любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения или подавления определённых частот сигнала. Цифровые фильтры на сегодняшний день применяются практически везде, где требуется обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях. Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП. Различают два вида цифровых фильтров: Фильтр с конечной импульсной характеристикой - один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики. И фильтр с бесконечной импульсной характеристикой - электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Цифровые фильтры являются обычным и неотъемлемым элементом бытовой электроники.
ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР КАК СИСТЕМА
Цифровой фильтр можно представить структурной схемой, изображенной на рис. 1 На этой схеме х(пТ) и у(пТ) —соответственно входное воздействие и реакция фильтра на это воздействие. Между реакцией и воздействием существует определенное соответствие, которое можно выразить соотношением у(пТ) = R х(пТ) где R — оператор.
рисунок 1.
Как и другие системы обработки сигналов, цифровые фильтры могут быть стационарными или нестационарными, физически реализуемыми или нереализуемыми, линейными или нелинейными.
Стационарность. Цифровой фильтр называется стационарным (инвариантным во времени), если его параметры не изменяются во времени. Это означает, что данное воздействие будет всегда приводить к одной и той же реакции независимо от времени приложения воздействия.
Преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала. Определение дискретной свертки. Схемы рекурсивного и нерекурсивного фильтров. Определение отсчетов дискретного сигнала. Отсчеты импульсной характеристики. Введение преобразования Лапласа.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2014 |
| Размер файла | 396,8 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Некоммерческое акционерное общество
Кафедра телекоммуникационных систем
Расчетно-графическая работа № 2
по дисциплине: Основы цифровой обработки сигналов
Специальность: 050719 Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Выполнил: Усен М. № зачетной книжки 103328 Группа БРЭ-10-07
Руководитель: ст. преп. Богомолова Л.Г.
1. ЗАДАЧА 1. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТР
1.1 Условие задачи 1. Исходные данные
1.2 Выполнение задания 1
1.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала
1.2.2 Определение дискретной свертки
1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра
1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала
2. ЗАДАЧА 2. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
2.1 Условие задачи 2. Исходные данные
2.2 Выполнение задания 2
2.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ
2.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра
2.2.3 Отсчеты импульсной характеристики
ВВЕДЕНИЕ
При изучении аналоговых сигналов и линейных аналоговых систем введение преобразования Лапласа оказывается очень полезным. На его основе определяются такие фундаментальные понятия, как передаточная функция, частотные характеристики, устойчивость цепей и т. д. В цифровой обработке сигналов подобным преобразованием является Z-преобразование. Оно позволяет упростить многие формулы, определить основные фундаментальные понятия и оказывается очень наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.
Представления функции f(t) в трех областях (временной, частотной и р-области) однозначно взаимосвязаны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования соответствующих преобразований.
1.1 Условие задачи 3
1. Вычислить Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала , согласно своему варианту.
2. Определить дискретную свертку , если импульсная характеристика системы имеет вид (см. таблицу 1.1). Определить системную функцию H(Z).
3. Построить схему нерекурсивного фильтра, которому соответствует системная (передаточная) функция H(Z) и позволяющего получить рассчитанные выходные отсчеты .
4. По заданному Z-преобразованию X(Z) определить отсчеты дискретного сигнала , согласно своему варианту.
Исходные данные приведены в таблице 1.1.
Т а б л и ц а 1.1 - Исходные данные
1.2 Выполнение задания 1 1.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигналаДана дискретная последовательность отсчетов сигнала:
Прямое одностороннее Z-преобразование имеет вид:
Подставив значения, получим:
дискретный сигнал свертка фильтр
1.2.2 Определение дискретной свертки
Сигнал на выходе дискретной цепи связан с сигналом на входе цепи формулой дискретной свертки, поэтому n-ый отсчет дискретной выходной последовательности рассчитывается как:
где - импульсная характеристика цепи.
10. n=9
На рисунке 1.1 и 1.2 заданы графически воздействие и импульсная характеристика. График вычисленной реакции приведен на рисунке 1.3
Рисунок 1.1 - График воздействия
Рисунок 1.2 - График импульсной характеристики
Рисунок 1.3 - График вычисленной реакции
Системная функция будет иметь вид:
C другой стороны, передаточной (системной) функцией дискретной цепи называют отношение Z-преобразований выходного и входного дискретных сигналов:
Результаты обоих способов совпали.
1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра
КИХ-фильтры реализуются на основе свертки двух функций. Первая функция является входным сигналом , а вторая называется ядром фильтра и определяет его импульсную характеристику
Структурная схема (прямая структура), реализующая алгоритм (1.1) приведена на рисунке 1.4. Её транспонированная реализация приведена на рисунке 1.5
Алгоритм (1.1) можно представить в виде
Формулы (1.1) и (1.2) тождественны, а коэффициенты а0, а1, …аm совпадают с соответствующими отсчетами импульсной характеристики фильтра h0, h1, …, hm.
Рисунок 1.4 - Прямая структурная схема нерекурсивного ЦФ
Рисунок 1.5 - Транспонированная структурная схема нерекурсивного ЦФ
1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала
Дано Z-преобразование. Отыскание оригинала, т. е. функции sД(t) или x(n), по заданному изображению X(Z) производится с помощью разложения на простые дроби:
Согласно формулам
Видно, что первое слагаемое является суммой бесконечной прогрессии с первым членом и знаменателем z -1 , а второе слагаемое - дискретной показательной функции . Следовательно, искомая последовательность имеет вид:
Найденные отсчеты:
2. ЗАДАЧА 4. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
2.1 Условие задачи 2. Исходные данные
1. Определить передаточную характеристику передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ.
2. Разработать структурную схему рекурсивного фильтра, реализующую полученную передаточную функцию (прямую, каноническую и транспонированную реализации).
3. Рассчитать первые три отсчета импульсной характеристики фильтра , полученные при прохождении через разработанный фильтр сигнала =.
Таблица 2.1 - Исходные данные
2.2 Выполнение задания 2
Алгоритм цифровой фильтрации рекурсивного ЦФ имеет вид:
где bi и aj - вещественные коэффициенты.
Или используя (4.13) [2]:
Перегруппировав входные и выходные отсчеты по разные стороны знака равенства, получим традиционную форму записи разностного уравнения:
Применив Z-преобразование к (2.2; 2.3) и решив его относительно , найдем передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ (5.6)[2]:
2.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра
Прямая форма рекурсивных фильтров реализуется непосредственно по его разностному уравнению (2.2) или по передаточной функции (7.2). Она содержит один сумматор, умножители и N+M-2=10 элемента задержки. Порядок фильтра равен пяти (см. рисунок 2.1). Недостаток такого способа реализации - сравнительно большое число ячеек памяти, уменьшить количество которых позволяет каноническая форма (см. рисунок 2.2).
Рисунок 2.1 - Прямая структура рекурсивного фильтра
Рисунок 2.2 - Прямая каноническая структура рекурсивного фильтра
Транспонированная структура представлена на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 - Транспонированная структура рекурсивного фильтра
2.2.3 Отсчеты импульсной характеристики
Воздействие имеет вид:
1) На вход поступает единичный импульс, умножается на a0 и проходит на выход. Получим:
2) Далее входной единичный импульс попадает на входную линию задержки, а выходной отсчет а0 - в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как
3) Если продолжить рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить:
Нерекурсивные фильтры суммируют при расчетах некоторое число входных отсчетов сигнала, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты. Вследствие этого в схеме отсутствют обратные связи, что в свою очередь говорит об устойчивости нерекурсивных фильтров. В реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике.
Рекурсивные фильтры суммируют при расчетах не только входные, но и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов сигнала, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного.
При прямой реализации в линиях задержки хранятся непосредственно отсчеты входного и выходного сигналов, то есть повышенная разрядность линий задержки не требуется. При канонической реализации используется общая линия задержки, что уменьшает число необходимых ячеек памяти. Транспонированная схема позволяет эффективно распараллелить вычисления и потому применяется при реализации дискретных фильтров в виде специализированных интегральных схем. При релизации фильтра в прямой и канонической формах можно одновременно выполнять все операции умножения, но для получения выходного результата необходимо дождаться окончания выполнения всех операций сложения. В транспонированной же схеме, помимо умножения, можно одновременно выполнять и все операции сложения, поскольку они являются независимыми.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бойко В. И., Гуржий А. Н., Жуйков В. Я., Зорн А. А., Спивак В. М., Багрийй В. В. Схемотехника электронных систем. Цифровые устройства. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 512 с.
2. А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
3. Радиотехнические цепи и сигналы/ Под ред. К. А. Самойло. - М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.
4. Казиева Г. С. Основы цифровой обработки сигналов в телекоммуникационных системах. Конспект лекций. - Алматы: АИЭС, 2006. - 46 с.
5. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие. - М.: Радио и связь, 1988. - 368 с.
Актуальность темы данной работы обусловлена тем, что цифровые фильтры на сегодняшний день применяются практически везде, где требуется обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях.
Цифровой фильтр в электронике - любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно, передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.
Цифровая фильтрация является одним из наиболее мощных инструментальных средств ЦОС. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, таких как подавление эха в модемах, подавление шума и распознавание речи 1 .
Цель работы – описать цифровые фильтры.
Задачи работы состоят в раскрытии следующих пунктов:
1. Понятие о цифровой фильтрации ;
2. Виды цифровых фильтров.
1. Понятие о цифровой фильтрации
Процесс проектирования цифровых фильтров состоит из тех же этапов, что и процесс проектирования аналоговых фильтров. Сначала формулируются требования к желаемым характеристикам фильтра, по которым затем рассчитываются параметры фильтра. Амплитудная и фазовая характеристики формируются аналогично аналоговым фильтрам. Ключевое различие между аналоговым и цифровым фильтрами заключается в том, что, вместо вычисления величин сопротивлений, емкостей и индуктивностей для аналогового фильтра, рассчитываются значения коэффициентов для цифрового фильтра. Иными словами, в цифровом фильтре числа заменяют физические сопротивления и емкости аналогового фильтра. Эти числа являются коэффициентами фильтра, они постоянно находятся в памяти и используются для обработки (фильтрации) дискретных данных, поступающих от АЦП.
Цифровой фильтр, работающий в реальном масштабе времени, оперирует с дискретными по времени данными в противоположность непрерывному сигналу, обрабатываемому аналоговым фильтром. При этом очередной отсчет, соответствующий отклику фильтра, формируется по окончании каждого периода дискретизации. Вследствие дискретной природы обрабатываемого сигнала, на отсчеты данных зачастую ссылаются по их номерам, например, отсчет 1, отсчет 2, отсчет 3 и т.д. На рис. 1 представлен низкочастотный сигнал, содержащий высокочастотный шум, который должен быть отфильтрован. Вначале сигнал должен быть оцифрован с помощью АЦП для получения выборки x(n). Далее эта выборка поступает на цифровой фильтр, который в данном случае является НЧ-фильтром. Отсчеты выходных данных y(n) используются для восстановления аналогового сигнала с использованием ЦАП с низким уровнем ложного сигнала.
Тем не менее, цифровые фильтры не могут являться решением всех возможных задач фильтрации, возникающих при обработке сигналов. Для работы в реальном масштабе времени, DSP-процессор должен быть рассчитан на выполнение всех шагов в программе фильтрации в пределах промежутка времени, соответствующего одному такту дискретизации. Высокопроизводительный универсальный DSP-процессор с фиксированной точкой типа ADSP-2189M, обладающий быстродействием 75MIPS, способен выполнить операцию умножения с накоплением при реализации одного каскада фильтра за 13,3 нс. DSP-процессор ADSP-2189M затрачивает N+5 инструкций при реализации фильтра с количеством каскадов N. Для 100-каскадного фильтра полное время вычисления составляет приблизительно 1,4 мкс. Это соответствует максимально возможной частоте дискретизации 714 кГц, ограничивая, таким образом, ширину полосы частот обрабатываемого сигнала несколькими сотнями килогерц.
Рисунок 1. Схема цифровой фильтрации низкочастотного сигнала
Можно заменить универсальный DSP-процессор специализированным аппаратным цифровым фильтром, способным работать на частотах дискретизации, соответствующих видеосигналу. В других случаях ограничения по быстродействию могут быть преодолены сохранением выборки данных, поступающих с большой скоростью от АЦП, в буферной памяти. Затем буферная память читается со скоростью, совместимой с быстродействием цифрового фильтра, основанного на DSP. Используя данный метод, может осуществляться обработка сигнала в псевдореальном масштабе времени в таких системах как радар, где обычно обрабатываются пакеты данных, накапливаемые после каждого излучаемого импульса.
Другой подход заключается в использовании специализированных микросхем цифровых фильтров, подобных фильтрам PulseDSP ™ компании Systolix. 16-разрядный сигма- дельта-АЦП AD7725 имеет на своем кристалле фильтр PulseDSP, который может выполнять за секунду 125 миллионов операций умножения с накоплением.
В дискретных системах, даже с высокой степенью избыточной дискретизации, требуется наличие аналоговых ФНЧ перед АЦП и после ЦАП для устранения эффекта наложения спектра. Более того, с ростом частоты, сигналы выходят за рамки возможностей доступных АЦП, и цифровая фильтрация становится невозможной. Но на крайне высоких частотах и активная аналоговая фильтрация тоже невозможна из-за ограничений, связанных с полосой пропускания и искажениями ОУ, и в этих случаях требования фильтрации удовлетворяются пассивными элементами 2 .
В качестве примера сравним аналоговый и цифровой фильтры, показанные на рис. 2. Частота среза обоих фильтров равна 1 кГц. Аналоговый фильтр реализован в виде фильтра Чебышева первого рода 6 порядка (характеризуется неравномерностью коэффициента передачи в полосе пропускания и равномерностью коэффициента передачи 3 a вне полосы пропускания). На практике этот фильтр может быть собран на трех фильтрах второго порядка, каждый из которых состоит из операционного усилителя и нескольких резисторов и конденсаторов. Проектирование фильтра 6 порядка является непростой задачей, а удовлетворение техническим требованиям по неравномерности характеристики в 0,5 дБ требует точного подбора компонентов.
С другой стороны, представленный цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ) имеет неравномерность характеристики всего 0,002 дБ в полосе пропускания, линейную фазовую характеристику и значительно более крутой спад частотной характеристики. Таких показателей невозможно достичь аналоговыми методами! На практике существует много других факторов, учитываемых при сравнительной оценке аналоговых и цифровых фильтров. В большинстве современных систем обработки сигналов используются комбинации аналоговых и цифровых методов для реализации желаемых функций и используются преимущества всех методов, как аналоговых, так и цифровых.
Рисунок 2. Сравнение частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров 3
2. Виды цифровых фильтров
По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:
Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.
КИХ - фильтры характеризуются выражением:
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.
БИХ - фильтры характеризуются выражением:
Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.
Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.
Единичный сигнал определяется следующим образом:
Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.
Задержанный единичный сигнал определяется следующим образом:
Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.
Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенную линейную фазовую характеристику). Но высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с большим числом операций умножения с накоплением и поэтому требуют использования быстрых и эффективных процессоров DSP. С другой стороны, БИХ-фильтры имеют тенденцию имитировать принцип действия традиционных аналоговых фильтров с обратной связь. Поэтому их импульсная характеристика имеет бесконечную длительность. Благодаря использованию обратной связи, БИХ-фильтры могут быть реализованы с меньшим количеством коэффициентов, чем КИХ-фильтры. Другим способом реализации КИХ или БИХ фильтрации являются решетчатые фильтры, которые часто используются в задачах обработки речи. Цифровые фильтры применяются в приложениях адаптивной фильтрации, благодаря своему быстродействию и простоте изменения характеристик воздействием на его коэффициенты.
С учетом равенства коэффициентов, наиболее простой путь исполнения фильтра скользящего среднего представлен на рис. 4. Первым шагом является запоминание первых четырех отсчетов x (0), x (1), x (2), x (3) в регистрах. Эти величины суммируются и затем умножаются на 0,25 для получения первого выхода y(3). Начальные значения выходов y(0), y(1) и y(2) некорректны, потому что, пока отсчет x(3) не получен, не все регистры заполнены. Когда получен отсчет x(4), он суммируется с результатом, а отсчет x(0) вычитается из результата. Затем новый результат должен быть умножен на 0,25. Поэтому вычисления, требуемые для получения нового значения на выходе, состоят из одного суммирования, одного вычитания и одного умножения, независимо от длины фильтра скользящего среднего.
Рисунок 4. Вычисление выходного сигнала 4-точечного фильтра скользящего среднего 4
БИХ-фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Хотя БИХ- фильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ-фильтры, количеством вычислений, БИХ-фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ-фильтры. Более того, БИХ-фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ-фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины. БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.
Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис. 5. Нули формируются коэффициентами прямой связи b0, b1 и b2; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a1 и a2.
Рисунок 5. Аппаратная реализация БИХ-фильтра второго порядка (биквадратного) форма 1
Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рис. 5, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.
Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z). Проектирование фильтров более высоких порядков выполняется каскадированием биквадратных звеньев.
Наиболее популярными аналоговыми фильтрами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические и Бесселя. Существует множество программ САПР, способных генерировать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразования Лапласа.
Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и в полосе задержки, то есть обладает монотонной характеристикой в обеих полосах.
Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания. Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации (неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.
Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули частотной характеристики и создает пульсации (неравномерность) и в полосе пропускания, и в полосе задержки. Этот фильтр имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая фазовая характеристика.
Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной импульсной характеристикой и линейной фазовой характеристикой, но имеет худший спад частотной характеристики из всех типов обсуждавшихся фильтров при том же числе полюсов (порядке).
Если необходимы фильтры с крутым спадом и испытывается дефицит во времени, отведенном для обработки, хорошим выбором являются эллиптические БИХ-фильтры. Если число операций умножения с накоплением не является чрезмерным и требуется линейная фаза, то должен быть выбран КИХ-фильтр 5 .
Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются:
Высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы).
Стабильность (в отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характеристик элементов).
Гибкость настройки, лёгкость изменения.
Компактность - аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей.
Повторяемость при серийной реализации и высокая идентичность характеристик.
Циклическая повторяемость частотных характеристик.
Трудность работы с высокочастотными сигналами. Хотя полоса рабочих частот не ограничивается частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала, для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, необходимые для подавления внеполосного приёма сигналов. Если на высоких частотах нет полезного сигнала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра нижних частот, затем обрабатывают сигнал цифровым фильтром.
Трудность работы в реальном времени - вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации.
Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное дорогостоящее аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.
1. Иваненко А.А. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике. - М.: Радио и связь, 2010. - 232 c.
2. Босый Н.Д. Электрические фильтры. - М.: Электроника, 2019. - 318 c.
3. Вестон К. Цифровые фильтры. - М.: Арт-Родник, 2020. - 392 c.
4. Гольденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. - М.: Связь, 2019. - 260 c.
5. Лутц фон Вангейхайм. Активные фильтры и генераторы. - М.: Техносфера, 2020. - 416 c.
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Цифровые фильтры
Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики
Новосибирск 1998 г.
Цифровая система обработки сигналов
Обработка дискретных сигналов осуществляется как правило в цифровой форме: каждому отсчёту ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчётами заменяются на действия над кодовыми словами. Таким образом дискретная цепь становится цифровой цепью, цифровым фильтром (ЦФ). Перевод отсчётов в двоичные кодовые слова происходит в аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На выходе ЦФ (рис.3.1) осуществляется обратная операция: кодовые слова в цифро-аналоговом преобразователе превращаются в отсчёты дискретного сигнала и, наконец, на выходе, синтезирующего фильтра (СФ) формируется обработанный аналоговый сигнал.
Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми уравнениями. Отличие состоит в приближённом характере представления отсчётов сигнала кодовыми словами конечной размерности (ошибки квантования). Поэтому сигнал на выходе цифровой цепи отличается от идеального варианта на величину погрешности квантования.
Цифровая техника позволяет получить высокое качество обработки сигналов несмотря на ошибки квантования: ошибки (шумы) квантования можно привести в норму увеличением разрядности кодовых слов. Рациональные способы конструирования цифровой цепи также способствуют минимизации уровня шумов квантования.
Расчёт цифровой цепи по заданным требованиям к её характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи. Эти особенности являются следствием конечной длины импульсного отклика нерекурсивного ЦФ.
Поэтому нерекурсивные фильтры содержат большое число элементов цепи, но вместе с тем имеют целый ряд важных достоинств: нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы, позволяют строить фильтры с минимальной линейной фазой, отличаются простой настройкой. С учётом изложенного становятся понятны причины, по которым методы расчёта нерекурсивных ЦФ и рекурсивных цифровых фильтров принято рассматривать отдельно.
Расчёт нерекурсивных ЦФ общего вида.
Цель расчёта нерекурсивных цифровых фильтров (рис. 3.2,а) заключается в расчёте значений коэффицентови их числа N по допускам на системные характеристики, а так же в расчёте разрядности кодовых слов и выборе оптимального динамического диапазона ЦФ по нормам на помехозащищённость сигнала и вероятность перегрузки системы, что определяется эффектами конечной разрядности кодовых слов.
Требования к системным характеристикам чаще задаютс относительно одной из них: импульсной или частотной. Поэтому различают расчёт ЦФ во временной области и расчёт ЦФ в частотной области.
Расчёт ЦФ во временной области.
Требуемая импульсная характеристика в общем случае имеет бесконечную протяжённость во времени. Поэтому вначале необходимо задаться конечным числом N первых отсчётов требуемой импульсной характеристики
Оставшиеся отсчёты по причине их малости отбрасывают и определяют погрешность приближения, которую можно оценить, например, по среднеквадратичному критерию близости.
Коэффициенты фильтрапринимаются равными соответствующим отсчётам требуемой импульсной
Читайте также: