Аналоговые дискретные и цифровые сигналы реферат

Обновлено: 19.05.2024

Аналоговые сигналы ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

Введение
Основные понятия
Использование аналоговых сигналов в сетях
Спектр модулированного сигнала
Дискретная модуляция аналоговых сигналов
Дискретизация аналогового изображения
Заключение
Список используемой литературы

В природе практически все сигналы аналоговые, то есть они изменяются непрерывно в каких-то пределах. Именно поэтому первые электронные устройства были аналоговыми. Они преобразовывали физические величины в пропорциональные им напряжение или ток, производили над ними какие-то операции и затем выполняли обратные преобразования в физические величины. Например, голос человека (колебания воздуха) с помощью микрофона преобразуется в электрические колебания, затем эти электрические сигналы усиливаются электронным усилителем и с помощью акустической системы снова преобразуются в колебания воздуха — в более сильный звук.

Аналоговый сигнал (Analog signal) сигнал, величина которого непрерывно изменяется во времени.

Аналоговый сигнал обеспечивает передачу данных путем непрерывного изменения во времени амплитуды, частоты либо фазы.

Аналоговые сигналы естественным образом передают речь, музыку и изображения.

Аналоговый способ передачи информации это способ, у которого каждому мгновенному значению входной величины (например, звука) соответствует мгновенное значение другой величины, отличающейся по физической природе (например, электрического тока), но изменяющейся по тому же закону, что и входная величина.

В процессе преобразования естественного сигнала в электрический, а затем электрического снова в естественный, форма сигнала сохраняется аналогичной исходному.

Достоинством аналогового способа передачи информации является ее естественность и непрерывность, т. е. способность в данный момент максимально полно представлять непрерывный поток поступающей информации.

Вместе с тем, у аналогового принципа передачи информации есть существенные недостатки, из которых следует упомянуть два наиболее важных: способность к затуханию и чувствительность к помехам.

Передача любого сигнала ограничивается естественным затуханием в среде, создающей сопротивление (27, "https://referat.bookap.info").

Поэтому электрический сигнал требует регулярного усиления в пунктах, далеко отстоящих от уровня своего полного затухания.

Рис. 1 Влияние помехи на передаваемый сигнал (а полезный сигнал, b излучение помехи, с сумма колебаний, т. е. сигнал с помехой) Затухание и подверженность помехам, помимо уже упомянутой необходимости усиливать сигнал, имеют еще одно весьма неприятное следствие. А именно, при каждом копировании аналоговой информации ее качество довольно резко ухудшается.

Использование аналоговых сигналов в сетях.

Для использования аналоговых сигналов в системах и сетях осуществляется квантование и аналого-дискретное преобразование.

Аналоговая модуляция применяется для передачи дискретных данных по каналам с узкой полосой частот, типичным представителем которых является канал тональной частоты, предоставляемый в распоряжение пользователям общественных телефонных сетей.

Устройство, которое выполняет функции модуляции несущей синусоиды на передающей стороне и демодуляции на приемной стороне, носит название модем (модулятор-демодулятор).

Одной из основных тенденций развития сетевых технологий является передача в одной сети как дискретных, так и аналоговых по своей природе данных. Источниками дискретных данных являются компьютеры и другие вычислительные устройства, а источниками аналоговых данных являются такие устройства, как телефоны, видеокамеры, аудиои видеовоспроизводящая аппаратура. На ранних этапах решения этой проблемы в территориальных сетях все типы данных передавались в аналоговой форме, при этом дискретные по своему характеру компьютерные данные преобразовывались в аналоговую форму с помощью модемов.

Методы аналоговой модуляции При физическом кодировании способом аналоговой модуляции информация кодируется изменением амплитуды, частоты или фазы синусоидального сигнала несущей частоты. На диаграмме (рис. 2, а) показана последовательность битов исходной информации, представленная потенциалами высокого уровня для логической единицы и потенциалом нулевого уровня для логического нуля. Такой способ кодирования называется потенциальным кодом и часто используется при передаче данных между блоками компьютера.

Рис. 2 Различные типы модуляции При амплитудной модуляции (рис. 2, б) для логической единицы выбирается один уровень амплитуды синусоиды несущей частоты, а для логического нуля — другой. Этот способ редко используется в чистом виде на практике из-за низкой помехоустойчивости, но часто применяется в сочетании с другим видом модуляции — фазовой модуляцией. При частотной модуляции (рис. 2, в) значения 0 и 1 исходных данных передаются синусоидами с различной частотой — fo и f1. Этот способ модуляции не требует сложных схем в модемах и обычно применяется в низкоскоростных модемах, работающих на скоростях 300 или 1200 бит/с.

1.2 Шумы и помехи

Рисунок 2. Сигнал с помехами.

Следует заметить, что деление сигналов на полезные и мешающие (шумовые) является достаточно условным. Источниками мешающих сигналов также являются определенные физические процессы, явления или объекты. При выяснении природы мешающих сигналов они могут переводиться в разряд информационных.

1.3 Размерность сигналов

В общем случае сигналы являются многомерными функциями пространственных, временных и прочих независимых переменных. Все большее применение находят также многомерные сигналы, образованные некоторым множеством одномерных сигналов.

Рисунок 3. Двумерный сигнал.

Многомерные сигналы могут иметь различное представление по своим аргументам. Также многомерный сигнал может рассматриваться, как упорядоченная совокупность одномерных сигналов. С учетом этого при анализе и обработке сигналов многие принципы и практические методы обработки одномерных сигналов, математический аппарат которых развит достаточно глубоко, распространяются и на многомерные сигналы. Физическая природа сигналов для математического аппарата их обработки значения не имеет.

Вместе с тем обработка многомерных сигналов имеет свои особенности и может существенно отличаться от одномерных сигналов в силу большего числа степеней свободы. Так, при дискретизации многомерных сигналов имеет значение не только частотный спектр сигналов, но и форма растра дискретизации.

1.4 Математическое описание сигналов

Сигналы могут быть объектами теоретических исследований и практического анализа только в том случае, если указан способ их математического описания - математическая модель сигнала. Математическое описание позволяет абстрагироваться от физической природы сигнала и материальной формы его носителя, проводить классификацию сигналов, выполнять их сравнение, устанавливать степень тождества, моделировать системы обработки сигналов. Как правило, описание сигнала задается функциональной зависимостью определенного информационного параметра сигнала от независимой переменной (аргумента) – s(х), y(t) и т.п. Функции математического описания сигналов могут быть как вещественными, так и комплексными.

1.5 Математические модели сигналов

Теория анализа и обработки физических данных базируется на математических моделях соответствующих физических полей и физических процессов. Модели могут задаваться таблицами, графиками, функциональными зависимостями, уравнениями состояний и переходов из одного состояния в другое и т.п. Формализованное описание может считаться математической моделью оригинала, если оно позволяет с определенной точностью прогнозировать состояние и поведение изучаемых объектов путем формальных процедур над их описанием.

Неотъемлемой частью любой математической модели сигнала является также область определения сигнала, которая устанавливается интервалом задания независимой переменной. Примеры задания интервала для переменных:

Рисунок 5. Аналоговый сигнал.

Аналоговый сигнал (analog signal) является непрерывной функцией непрерывного аргумента, т.е. определен для любого значения аргументов. Источниками аналоговых сигналов, как правило, являются физические процессы и явления, непрерывные в динамике своего развития во времени, в пространстве или по любой другой независимой переменной, при этом регистрируемый сигнал подобен (“аналогичен”) порождающему его процессу. Пример математической записи сигнала: y(t) = 4.8 exp[-(t-4)2/2.8]. Пример графического отображения данного сигнала приведен на рисунке 5, при этом как сама функция, так и ее аргументы, могут принимать любые значения в пределах некоторых интервалов y1 Δy Δ y2, t1 Δ t Δ t2. Если интервалы значений сигнала или его независимых переменных не ограничиваются, то по умолчанию они принимаются равными от - Δ до + Δ. Множество возможных значений сигнала образует континуум - непрерывное пространство, в котором любая сигнальная точка может быть определена с точностью до бесконечности. Примеры сигналов, аналоговых по своей природе - изменение напряженности электрического, магнитного, электромагнитного поля во времени и в пространстве.

2.2 Дискретный сигнал

Рисунок 6. Дискретный сигнал.

Дискретный сигнал Δdiscrete signal) по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента. По множеству своих значений он является конечным Δсчетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов Δsamples) yΔnΔt), где y1 Δ y Δ y2, Δt - интервал между отсчетами Δинтервал или шаг дискретизации, sample time), n = 0,1,2. N. Величина, обратная шагу дискретизации: f = 1/Δt, называется частотой дискретизации Δsampling frequency). Если дискретный сигнал получен дискретизацией Δsampling) аналогового сигнала, то он представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного сигнала по координатам nΔt.

Пример дискретизации аналогового сигнала, приведенного на рисунке 5, представлен на рисунке 6. При Δt = const Δравномерная дискретизация данных) дискретный сигнал можно описывать сокращенным обозначением yΔn) или y[t]. При неравномерной дискретизации сигнала обозначения дискретных последовательностей обычно заключаются в фигурные скобки - , а значения отсчетов приводятся в виде таблиц с указанием значений координат ti. Для числовых последовательностей Δравномерных и неравномерных) применяется и следующее числовое описание:

2.3 Цифровой сигнал

Рисунок 7. Цифровой сигнал.

Цифровой сигнал Δdigital signal) квантован по своим значениям и дискретен по аргументу. Он описывается квантованной решетчатой функцией yn = Qk[yΔnΔt)], где Qk - функция квантования с числом уровней квантования k, при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например - логарифмическим. Задается цифровой сигнал, как правило, в виде дискретного ряда числовых данных - числового массива по последовательным значениям аргумента при Δt = const, но в общем случае сигнал может задаваться и в виде таблицы для произвольных значений аргумента.

По существу, цифровой сигнал по своим значениям Δотсчетам) является формализованной разновидностью дискретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр, как это показано на рисунке 7. Цифровой сигнал конечен по множеству своих значений. Процесс преобразования бесконечных по значениям аналоговых отсчетов в конечное число цифровых значений называется квантованием по уровню, а возникающие при квантовании ошибки округления отсчетов Δотбрасываемые значения) – шумами Δnoise) или ошибками Δerror) квантования.

В дискретных системах и в ЭВМ сигнал всегда представлен с точностью до определенного количества разрядов, а, следовательно, всегда является цифровым. С учетом этих факторов при описании цифровых сигналов функция квантования обычно опускается Δподразумевается равномерной по умолчанию), а для описания сигналов используются правила описания дискретных сигналов. Что касается формы обращения цифровых сигналов в системах хранения, передачи и обработки, то, как правило, они представляет собой комбинации коротких одно- или двуполярных импульсов одинаковой амплитуды, которыми в двоичном коде с определенным количеством числовых разрядов кодируются числовые последовательности сигналов Δмассивов данных).

Рисунок 8. Дискретно-аналоговый сигнал.

3 Преобразования типа сигналов

Операция дискретизации Δdiscretization) осуществляет преобразование аналоговых сигналов Δфункций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу, как, например sΔt) ΔsΔnΔt), где значения sΔnΔt) представляют собой отсчеты функции sΔt) в моменты времени t = nΔt, n = 0,1,2. N.

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

В общем случае, дискретизация сигналов может приводить к определенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова-Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.

При преобразовании аналогового сигнала непосредственно в цифровой сигнал операции дискретизации и квантования совмещаются.

Операция цифро-аналогового преобразования ΔЦАП; Digital-to-Analog Converter, DAC) обратна операции квантования, при этом на выходе регистрируется либо дискретно-аналоговый сигнал sΔnΔt), который имеет ступенчатую форму, либо непосредственно аналоговый сигнал sΔt), который восстанавливается из sΔnΔt), например, путем сглаживания.

Так как квантование сигналов всегда выполняется с определенной и неустранимой погрешностью Δмаксимум - до половины интервала квантования), то операции АЦП и ЦАП не являются взаимно обратными с абсолютной точностью.

4 Спектральное представление сигналов

Кроме привычного динамического представления сигналов и функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов Δвремени, линейной или пространственной координаты и т.п.) при анализе и обработке данных широко используется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал, не имеющий разрывов первого рода, можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, что выполняется при помощи преобразования Фурье. Соответственно, математически разложение сигнала на гармонические составляющие описывается функциями значений амплитуд и начальных фаз колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте изменения функций на определенных интервалах аргументов их динамического представления. Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Оба спектра вместе образуют полный частотный спектр сигнала, который по точности математического представления тождественен динамической форме описания сигнала.

Линейные системы преобразования сигналов описываются дифференциальными уравнениями, причем для них верен принцип суперпозиции, согласно которому реакция систем на сложный сигнал, состоящий из суммы простых сигналов, равна сумме реакций от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на гармоническое колебание с определенной частотой определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд гармоник по частотному спектру сигнала

Одной из основных тенденций развития сетевых технологий является передача в одной сети как дискретных, так и аналоговых по своей природе данных. Источниками дискретных данных являются компьютеры и другие вычислительные устройства, а источниками аналоговых данных являются такие устройства, как телефоны, видеокамеры, звуко- и видеовоспроизводящая аппаратура. На ранних этапах решения этой проблемы в территориальных сетях все типы данных передавались в аналоговой форме, при этом дискретные по своему характеру компьютерные данные преобразовывались в аналоговую форму с помощью модемов.

Рис. 2.19. Дискретная модуляция непрерывного процесса

Дискретные способы модуляции основаны на дискретизации непрерывных процессов как по амплитуде, так и по времени Δрис. 2.19). Рассмотрим принципы искретной модуляции на примере импулъсно-кодовой модуляции, ИКМ ΔPulse Amplitude Modulation, РАМ), которая широко применяется в цифровой телефонии.

Амплитуда исходной непрерывной функции измеряется с заданным периодом - за счет этого происходит дискретизация по времени. Затем каждый замер представляется в виде двоичного числа определенной разрядности, что означает дискретизацию по значениям функции - непрерывное множество возможных значений амплитуды заменяется дискретным множеством ее значений. Устройство, которое выполняет подобную функцию, называется аналого-цифровым преобразователем ΔАЦП). После этого замеры передаются по каналам связи в виде последовательности единиц и нулей. При этом применяются те же методы кодирования, что и в случае передачи изначально дискретной информации, то есть, например, методы, основанные на коде B8ZS или 2В 1Q.

На приемной стороне линии коды преобразуются в исходную последовательность бит, а специальная аппаратура, называемая цифро-аналоговым преобразователем ΔЦАП), производит демодуляцию оцифрованных амплитуд непрерывного сигнала, восстанавливая исходную непрерывную функцию времени.

Дискретная модуляции основана на теории отображения Найквиста - Котельникова. В соответствии с этой теорией, аналоговая непрерывная функция, переданная в виде последовательности ее дискретных по времени значений, может быть точно восстановлена, если частота дискретизации была в два или более раз выше, чем частота самой высокой гармоники спектра исходной функции.

Если это условие не соблюдается, то восстановленная функция будет существенно отличаться от исходной.

Преимуществом цифровых методов записи, воспроизведения и передачи аналоговой информации является возможность контроля достоверности считанных с носителя или полученных по линии связи данных. Для этого можно применять те же методы, которые применяются для компьютерных данных Δи рассматриваются более подробно далее), - вычисление контрольной суммы, повторная передача искаженных кадров, применение самокорректирующихся кодов.

Для качественной передачи голоса в методе ИКМ используется частота квантования амплитуды звуковых колебаний в 8000 Гц. Это связано с тем, что в аналоговой телефонии для передачи голоса был выбран диапазон от 300 до 3400 Гц, который достаточно качественно передает все основные гармоники собеседников. В соответствии с теоремой Найквиста - Котельникова для качественной передачи голоса достаточно выбрать частоту дискретизации, в два раза превышающую самую высокую гармонику непрерывного сигнала, то есть 2 * 3400 = 6800 Гц. Выбранная в действительности частота дискретизации 8000 Гц обеспечивает н екоторый запас качества. В методе ИКМ обычно используется 7 или 8 бит кода для представления амплитуды одного замера. Соответственно это дает 127 или 256 градаций звукового сигнала, что оказывается вполне достаточным для качественной передачи голоса.

При использовании метода ИКМ для передачи одного голосового канала необходима пропускная способность 56 или 64 Кбит/с в зависимости от того, каким количеством бит представляется каждый замер. Если для этих целей используется 7 бит, то при частоте передачи замеров в 8000 Гц получаем:

8000 * 7 = 56000 бит/с или 56 Кбит/с;

8000 * 8 = 64000 бит/с или 64 Кбит/с.

Стандартным является цифровой канал 64 Кбит/с, который также называется элементарным каналом цифровых телефонных сетей.

На качество сигнала после ЦАП влияет не только синхронность поступления на его вход замеров, но и погрешность дискретизации амплитуд этих замеров. В теореме Найквиста - Котельникова предполагается, что амплитуды функции измеряются точно, в то же время использование для их хранения двоичных чисел с ограниченной разрядностью несколько искажает эти амплитуды. Соответственно искажается восстановленный непрерывный сигнал, что называется шумом дискретизации Δпо амплитуде).

Существуют и другие методы дискретной модуляции, позволяющие представить замеры голоса в более компактной форме, например в виде последовательности 4-битных или 2-битных чисел. При этом один голосовой канал требует меньшей пропускной способности, например 32 Кбит/с, 16 Кбит/с или еще меньше. С 1985 года применяется стандарт CCITT кодирования голоса, называемый Adaptive Differential Pulse Code Modulation ΔADPCM). Коды ADPCM основаны на нахождении разностей между последовательными замерами голоса, которые затем и передаются по сети. В коде ADPCM для хранения одной разности используются 4 бит и голос передается со скоростью 32 Кбит/с. Более современный метод, Linear Predictive Coding ΔLPC), делает замеры исходной функции более редко, но использует методы прогнозирования направления изменения амплитуды сигнала. При помощи этого метода можно понизить скорость передачи голоса до 9600 бит/с.

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Любая физическая величина по характеру изменения ее значения может быть постоянной (если она имеет только одно фиксированное значение), дискретной (если она может иметь два или более фиксированных значений), или аналоговой (если она может иметь бесчисленное множество значений). Все эти величины могут быть преобразованы в цифровую форму.

Аналоговые сигналы

Аналоговым называется такой сигнал, который может быть представлен непрерывной линией из множества значений, определенных в каждый момент времени относительно временной оси.

Значения аналогового сигнала произвольны в каждый момент времени, поэтому он может быть в принципе представлен как некая непрерывная функция (зависящая от времени как от переменной) либо как кусочно-непрерывная функция времени.

Аналоговым сигналом можно назвать, например, звуковой сигнал, генерируемый обмоткой электромагнитного микрофона или ламповым акустическим усилителем, поскольку такой сигнал непрерывен и его значения (напряжение или ток) сильно отличаются друг от друга в каждый момент времени.

На приведенном ниже рисунке изображен пример подобного рода аналогового сигнала.

Аналоговые величины могу иметь бесконечное множество значений в определенных пределах. Они непрерывны и их значения не могут изменяться скачками.

Пример аналогового сигнала: термопара передает в аналоговом виде значение температуры в программируемый логический контроллер, который управляет с помощью твердотельного реле температурой в электрической печи.

Дискретные сигналы

Если некий сигнал принимает произвольные значения лишь в отдельные моменты времени, то такой сигнал называют дискретным. Чаще всего на практике применяются дискретные сигналы, распределенные по равномерной временной решетке, шаг которой называется интервалом дискретизации.

Дискретный сигнал принимает определенные не нулевые значения лишь в моменты дискретизации, то есть он является не непрерывным в отличие от аналогового сигнала. Если из звукового сигнала вырезать небольшие кусочки определенного размера через равные интервалы, такой сигнал можно будет назвать дискретным.

Ниже приведен пример формирования подобного дискретного сигнала с интервалом дискретизации Т. Обратите внимание, что квантуется лишь интервал дискретизации, но не сами значения сигнала.

Дискретные сигналы имеют два и более фиксированных значений (количество их значений всегда выражается целыми числами).

Пример простого дискретного сигнала на два значения: срабатывание путевого выключателя (переключение контактов выключателя в определенном положении механизма). Сигнал с путевого выключателя может быть получен только в двух вариантах - контакт разомкнут (нет действия, нет напряжения) и контакт замкнут (есть действие, есть напряжение).

Цифровые сигналы

Когда дискретный сигнал принимает только какие-то фиксированные значения (которые могут быть расположены по сетке с определенным шагом), такие что они могут быть представлены как количество квантовых величин, такой дискретный сигнал называется цифровым. То есть цифровой сигнал — это такой дискретный сигнал, который квантован не только по промежуткам времени, но и по уровню.

Практически дискретные и цифровые сигналы в ряде задач отождествляются, и могут быть легко заданы в форме отсчетов с помощью вычислительного устройства.

На рисунке приведен пример формирования цифрового сигнала на базе аналогового. Обратите внимание, что значения цифрового сигнала не могут принимать промежуточных значений, а только определенные — целое количество вертикальных шагов сетки.

Цифровой сигнал легко записывается и перезаписывается в память вычислительных устройств, просто считывается и копируется без потери точности, тогда как перезапись аналогового сигнала всегда сопряжена с утратой некоторой, пусть и незначительной, части информации.

Обработка цифровых сигналов позволяет получать устройства с очень высокими характеристиками благодаря выполнению вычислительных операций совершенно без потерь качества, либо с пренебрежимо малыми потерями.

В силу этих достоинств, именно цифровые сигналы повсеместно распространены сегодня в системах хранения и обработки данных. Вся современная память — цифровая. Аналоговые носители информации (такие как пленочные кассеты и т.д.) давно ушли в прошлое.

Аналоговый и цифровой приборы для измерения напряжения:

Но даже у цифровых сигналов есть свои недостатки. Их невозможно передать напрямую как есть, ибо передача обычно реализуется посредством непрерывных электромагнитных волн. Поэтому при передаче и приеме цифровых сигналов необходимо прибегать к дополнительной модуляции и аналого-цифровому преобразованию. Меньший динамический диапазон цифровых сигналов (отношение наибольшего значения к наименьшему), обусловленный квантованностью значений по сетке, является еще одним их недостатком.

Существуют и такие области, где аналоговые сигналы незаменимы. Например аналоговый звук никогда не сравнится с цифровым, поэтому ламповые усилители и пластинки до сих пор не выходят из моды, несмотря на обилие цифровых форматов записи звука с самой высокой частотой дискретизации.

Сигнал называют аналоговым, если он определен на непрерывной оси времени , и в каждый момент может принимать произвольные значения. Аналоговый сигнал может быть представлен непрерывной, или кусочно-непрерывной функции переменной . Пример аналогового сигнала показан на рисунке 1.

Если сигнал принимает произвольные значения только в фиксированные моменты времени , — целое число, то такой сигнал называется дискретным. Наиболее широкое распространение получили дискретные сигналы, определенные на равноотстоящей сетке , где — интервал дискретизации. При этом в моменты дискретизации дискретный сигнал может принимать произвольные значения. Если значения дискретного сигнала также берутся на фиксированной сетке значений, и при этом сами значения могут быть представлены числом конечной разрядности в одной из систем счисления, то такой дискретный сигнал называется цифровым . Часто говорят, что цифровой сигнал представляет собой квантованный по уровню дискретный сигнал. Примеры дискретного и цифрового сигналов также показаны на рисунке 1. Тонкая разница между дискретными и цифровыми сигналами дает возможность их отождествлять практически во всех прикладных задачах. Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени, в то время как дискретный и цифровой сигналы могут быть заданы вектором отсчетов :

Вектор отсчетов цифрового сигнала может быть помещен в память вычислительного устройства с возможность многократной перезаписи и копирования без потери точности, в то время как перезапись и копирование аналоговых сигналов неизбежно сопровождается потерей части информации. Кроме того, обработка цифровых сигналов позволяет добиться потенциально-возможных характеристик устройств, ввиду возможности выполнения вычислительных операций без потерь, или с пренебрежимо малыми потерями качества.

Указанные преимущества определили повсеместное распространение цифровых систем хранения и обработки сигналов. Но цифровые сигналы также имеют и недостатки по сравнению с аналоговыми.

Другим недостатком цифровых сигналов является меньший динамический диапазон сигнала (т.е. отношение самого большого значения к самому маленькому), из-за квантования сигнала на фиксированной сетке значений.

В данном параграфе мы рассмотрим способ выборки дискретных значений аналогового сигнала. Структурная схема устройства дискретизации показана на рисунке 2. Данное устройство называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП), потому что оно преобразует аналоговый сигнал в набор оценок дискретных значений , где — целое число, взятых через равноотстоящие промежутки времени .

Временны́е осциллограммы, поясняющие принцип работы устройства показаны на рисунке 3 (см. [1, стр. 475–476], или [2, стр. 438]).

На входе АЦП имеется аналоговый сигнал . Генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы , которые управляют ключом, в результате чего на вход усилителя подаются короткие выборки сигнала длительности , взятые через интервал дискретизации .

Оценка дискретного сигнала может быть представлена в виде

где — прямоугольный импульс длительности единичной амплитуды, который мы уже рассматривали в предыдущих разделах.

Интегрируя на каждом интервале длительности стробирующего импульса получим оценку значения сигнала в момент времени . При конечной величине мы можем говорить об оценке значения сигнала в момент времени с некоторой погрешностью, ввиду изменения сигнала на интервале . Поэтому мы используем шапочку над обозначением , чтобы подчеркнуть приближенную оценку.

При уменьшении длительности погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе мы можем получить дискретный сигнал как:

где — смещенная на дельта-функция Дирака, которую мы подробно рассматривали в одном из предыдущих разделов.

Бесконечная сумма смещенных дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается [3, стр. 77]:

Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного аналогового сигнала на решетчатую функцию:

Заметим, что (5) уже не является приближенной оценкой, а представляет собой истинную модель дискретного сигнала.

Графически модель дискретного сигнала , с использованием решетчатой функции показана на рисунке 4.

Для получения численных значений дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (5) в окрестности :

В дальнейшем мы будем широко использовать данную модель дискретного сигнала для перехода от методов анализа и обработки аналоговых сигналов, к цифровым.

Пусть исходный аналоговый сигнал описывает изменение напряжения во времени и имеет размерность вольт . Вспомним, что дельта-функция Дирака имеет размерность, обратную размерности ее аргумента. Тогда решетчатая функция , согласно (4) имеет размерность , а размерность дискретного сигнала (5) будет .

Заметим, что значения дискретного сигнала, полученные из (6) как результат интегрирования дискретного сигнала в окрестности момента времени , будут иметь размерность исходного сигнала .

В данном разделе мы проанализируем спектральную плотность решетчатой функции . Для начала рассмотрим как периодический сигнал. Тогда можно представить в виде разложения в ряд Фурье:

Заметим, что знак аргумента комплексной экспоненты выражения (9) можно изменить, потому что суммирование ведется от минус бесконечности до бесконечности с положительными и отрицательными . Тогда:

Рассмотрим теперь преобразование Фурье решетчатой функции:

Выражение (12) также представляет собой бесконечную сумму комплексных экспонент. Учтем, что и получим:

Таким образом, спектральная плотность решетчатой функции представляет собой также решетчатую функцию.

Период повторения дельта-функций в частотной области равен , при этом дельта-функции масштабируются в раз, как это показно на рисунке 5.

Заметим, что умножение на в частотной области изменяет размерность спектральной плотности , в результате чего спектральная плотность переходит в безразмерный спектр (что не удивительно, потому что исходная решетчатая функция — периодическая).

\label Пусть дан аналоговый сигнал , спектральная плотность которого равна . В данном параграфе мы рассмотрим процесс равноотстоящей дискретизации сигнала в частотной области.

Преобразование Фурье дискретного сигнала (5) равно:

Применим свойство преобразования Фурье произведения сигналов, тогда представляет собой свертку спектральной плотности решетчатой функции и спектральной плотности исходного сигнала :

Уравнение (17) задает спектральную плотность дискретного сигнала как бесконечную сумму масштабированных копий спектральной плотности , отстоящих друг от друга на рад/с по частоте, как это показано на рисунке 6.

Заметим, что мы не накладываем никаких ограничений ни на интервал дискретизации , ни на сигнал , ни на спектральную плотность . Вне зависимости от частоты дискретизации рад/с, и формы , спектральная плотность дискретного сигнала всегда будет представлять собой сумму масштабированных копий , отстоящих друг от друга на величину частоты дискретизации рад/с.

Проанализируем выражение (17) на предмет размерности , в предположении, что исходный аналоговый сигнал имеет размерность :

Таким образом, из (18) можно заключить, что при дискретизации сигнала, его спектральная плотность переходит в спектр, а размерность спектра дискретного сигнала совпадает с размерностью исходного аналогового сигнала .

Если аналоговый сигнал описывает изменения напряжения во времени и измеряется в единицах вольт, то при дискретизации аналогового сигнала, получим дискретные отсчеты, также измеряемые в вольт, и спектр дискретного сигнала также будет измеряться в единицах вольт. Тогда функцию мы можем назвать спектром, а не спектральной плотностью.

Главный вывод: преобразование Фурье дискретного сигнала не изменяет размерности дискретных отсчетов сигнала, в отличии от преобразования Фурье аналогового сигнала, которое возвращает спектральную плотность .

В данном разделе мы ввели понятие дискретного и цифрового сигналов. Мы опеределили, что дискретный сигнал может быть представлен как результат произведения решетчатой функции и аналогового сигнала.

Были детально рассмотрены свойства решетчатой функции и показано, что спектральная плотность решетчатой функции также представляет собой масштабированную по амплитуде решетчатую функцию.

В результате свойств решетчатой функци получили, что спектральная плотность дискретного сигнала представляется бесконечной суммой копий спектральных плотностей исходного сигнала, отставленных дург от друга на величину равную частоте дискретизации.

Читайте также: