Аналитические методы расчета прямоугольных пластин реферат
Обновлено: 04.07.2024
Становясь последовательно на опорные внутренние точки разностной сетки пластинки w 1 , w 2 , …, w 9 , используя таблицу коэффициентов разностного уравнения и учитывая граничные условия, получаем систему алгебраических уравнений.
З десь интенсивность распределенной нагрузки в -том узле (в узле с перемещением ).
На основе этого примера разрабатывается алгоритм формирования системы разностных уравнений прямоугольной пластинки с произвольным опиранием сторон пластинки, который может быть реализован на ЭВМ Отметим, что возможны смешанные условия опирания сторон – частично шарнирное опирание, частично жесткое защемленное каждого края пластинки.
Лекция 12
Метод коллокаций решения дифференциальных уравнений
Метод конечных разностей (метод сеток) относится численным приближенным методом решения дифференциальных уравнений.
Метод коллокаций является численно-аналитическим приближенным методом решения дифференциального уравнения
где - дифференциальный оператор; - функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям на границах интервала (а,b) определения функции.
Решения ищется в виде конечного ряда
Здесь - функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям; - неизвестные коэффициенты; М – число членов ряда.
Для определения коэффициентов решение (12.1) подставляется в дифференциальное уравнение (12.1), которое удовлетворяется в точках хi (i =1, 2, …М ) - точках коллокаций, задаваемых в интервале (а,b):
В результате получаем систему М алгебраических уравнений, решая которую, определяем неизвестные коэффициенты . После определения коэффициентов вычисляется функция и необходимые производные функции в любой точке интервала , а также за пределами интервала. Точность решения зависит как от выбора функций , так и от выбора точек коллокаций. Метод коллокаций относится к наиболее простым приближенным методам решения дифференциальных уравнений, требующих только дифференцирования, вычисления функций и решения системы уравнений. В отличие от метода сеток численно аналитические методы позволяют после определения неизвестных коэффициентов, пользоваться методами математического анализа, дифференцировать, интегрировать, определять точки максимума-минимума и т.д.
Расчет балок методом коллокаций
Рассмотрим однопролетную шарнирно опертую балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой q.
Решение принимаем в виде ряда:
Нетрудно убедится, что каждый член ряда удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания балки. Нечетные множители , обеспечивают симметричность решения при симметричной нагрузке.
Решение должно удовлетворять дифференциальному уравнению изгиба балки в задаваемых точках коллокаций..
Рассмотрим решение с одним членом ряда (12.4)., прияв за точку коллокации. Тогда
Определим изгибающий момент
В середине пролета .
Относительная точность приближенного решения:
Проведем расчет с 2-мя членами ряда:
Приняв за точки коллокации и , получим систему уравнений:
Решая систему, получаем
Таким образом, решение с двумя членами ряда для шарнирно опертой балки дает невязки по прогибу и изгибающему моменту в пределах 5%.
Лекция 13
Расчет прямоугольных пластин на изгиб методом коллокаций
Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 13.1).
Задаемся функцией прогиба пластинки
где , - функции, удовлетворяющие граничным условиям опирания пластинки на краях х = 0, х = а и у = 0, у = b соответственно; - неизвестные коэффициенты.
Задаемся точками коллокаций , ; - количество точек коллокаций равное числу членов ряда.
Удовлетворяем уравнение равновесия пластинки в точках коллокаций:
, или подставляя решение (13.1)
Рассмотрим прямоугольную пластинку, шарнирно опертую на контуре, с размерами в плане , .
Граничные условия опирания пластинки:
Из условия равенства нулю изгибающих моментов на контуре, имеем
Учитывая граничные условия, принимаем , , и решение получаем в виде двойного ряда:
Очевидно, граничные условия (13.3) удовлетворяются
Изгибающие моменты определяется по формулам:
Систему уравнений метода коллокаций (13.2) получаем в виде:
Проведем расчет с одним членом ряда. За точку коллокации принимаем центр пластинки (, ). Тогда получим:
При равномерно распределенной нагрузке получим прогиб и изгибающий момент в центре квадратной пластинки:
Из результатов расчета в первом приближении видно, что и прогиб и изгибающие моменты существенно отличаются от точного решения: ; .
Для прямоугольной пластинки = 1,5 получаем:
Точное решение при = 1,5 [3]:
Определяем относительную точность решения с одним членом ряда для прямоугольной пластинки = 1,5:
Точность расчета методом коллокаций с одним членом ряда не удовлетворительна.
Проведем расчет с 3–я членами ряда: при симметричной нагрузке относительно центральных сечений пластинки:
Нечетные члены ряда обеспечивают симметричность решения относительно центра пластинки.
За точки коллокаций принимаем:
Для квадратной пластинки (С11 = 4, С13 = С31 = 100) при равномерно распределенной нагрузке получим систему уравнений, разделив 2-е и 3-е уравнения на :
Решая систему уравнений, определяем коэффициенты:
Вычисляем прогиб в центре пластинки:
Изгибающие моменты в центре пластинки при:
Для прямоугольной пластинки , принимая за точки коллокации , ; , ; , , получим:
Решая систему уравнений, находим:
Вычисляем прогиб и изгибающий момент в центре пластинки:
Изгибающие моменты в центре пластинки при:
Как видно из приведенных примеров точность расчета зависит не только от числа членов ряда, но и от соотношения сторон пластинки. Для квадратной пластинки точность при расчете 3 членами ряда по сравнению с расчетом с одним членом ряда увеличилась примерно в 3 раза как для прогибов, так т для изгибающих моментов. Для прямоугольной пластинки при = 1,5 существенно увеличилась точность только для прогибов, для изгибающих моментов точность изменилась незначительно
Покажем, что точность результатов расчета зависит и от выбора точек коллокации. Для трех членов ряда заменим точки коллокаций:
Тогда, проводя расчет методом коллокаций, получим для квадратной пластинки :
Для прямоугольной пластинки ;
Из приведенных результатов видно, что для квадратной пластинки изменение точек коллокаций привело к некоторому увеличению точности по прогибам, и уменьшению точности изгибающих моментов. При этом, значения и прогиба и изгибающих моментов оказались больше точных значений, в то время как в предыдущем расчете их значения были меньше соответствующих точных значений.
Для прямоугольной пластинки изменение точек коллокаций привело к некоторому увеличению точности прогиба и к более значительному увеличению точности изгибающих моментов.
Метод коллокаций является наиболее простым методом решения дифференциальных уравнений. Однако зависимость точности решения от выбора точек коллокаций делает его недостаточно надежным. Неправильный выбор точек коллокаций даже при увеличении числа членов ряда может привести к снижению точности расчета. Это связано с тем, что удовлетворение уравнения в точках коллокаций не гарантирует удовлетворение дифференциального уравнения в промежуточных точках, что в свою очередь может приводить к неверным значениям производных искомой функций.
Более надежными являются численно-аналитические методы, основанные на методах функционального анализа, в частности на вариационных принципах теории упругости и строительной механики.
Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема
Рассмотрим пластину постоянной толщины h , опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.1).
Пусть эта пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой, величина которой, приходящаяся на единицу площади, есть р (Мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда р = const, хотя излагаемая ниже теория справедлива и при р = р (z)). Очевидно, что такая пластина в своей средней части, ограниченной сечениями аb и сd, будет изгибаться по цилиндрической поверхности. Иными словами, пластина в средней части не будет иметь кривизны в плоскости хоу .
В связи с этим изгиб рассматриваемой пластины будет характеризоваться изгибом любой балки-полоски, мысленно выделенной из пластины, как показано на рис.1.
Пластинами называются упругие тела, имеющие форму призмы, расстояние между основаниями которой мало по сравнению с размерами оснований.
Геометрическое место точек, равноудаленных от оснований, образует срединную поверхность пластины. Длина отрезка перпендикуляра, восставленного к срединной поверхности между основаниями, называется толщиной пластины.
При исследовании изгиба прямоугольных пластин будем пользоваться декартовой системой координат. Плоскость хоу совместим со срединной плоскостью пластины, а ось оz направим вниз.
Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).
Исходные данные
Модуль упругости материала
Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.
(1)
Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.
Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.
Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и значениями изгибающими моментами.
(2)
где - цилиндрическая жесткость пластины.
Формула (2) дает связь между перемещением w ( прогибом пластины) и моментами, действующими в ее поперечном сечении.
Цилиндрическая жесткость пластины
Действующие в плоскости пластины усилия вызывают напряжения, равномерно распределенные по ее толщине, которые принято называть цепными. Поперечная нагрузка вызывает появление напряжений изгиба, распределенных по толщине пластин по линейному закону.
Подавляющее большинство пластин судового корпуса имеет прямоугольную форму опорного контура. Если одна из сторон этого опорного контура значительно больше другой, пластины будут изгибаться по цилиндрической поверхности.
Практически, если у пластины отношение сторон опорного контура превышает 2,5-З и она загружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой, то на значительной части ее длины, за исключением небольших участков, примыкающих к коротким кромкам, кривизна будет только в одном направлении. К изучению изгиба таких пластин, как будет показано ниже, может быть непосредственно применена теория изгиба балок.
Если отношение сторон опорного контура пластины мало отличается от единицы, то при ее изгибе появляется кривизна в двух направлениях, и форма упругой поверхности получается весьма сложной; все расчетные зависимости соответственно усложняются.
При изгибе под действием поперечной нагрузки опорные кромки судовых пластин, жестко скрепленные с балками набора перекрытия, стремятся сблизиться. Такому сближению препятствуют балки набора; вследствие этого в пластине наряду с напряжениями от изгиба возникают напряжения, равномерно распределенные по их толщине. Цепные напряжения называются также напряжениями распора, а сами связи, препятствующие сближению опорных кромок пластин, - распорами. Заметим, что цепные напряжения в пластинах судового корпуса могут появляться не только за счет наличия распор, но и за счет участия пластин в общем изгибе судна.
Влияние цепных напряжений на характер изгиба пластин может быть весьма различным для различных пластин. Оно зависит от соотношения между размерами пластины в плане и ее толщиной, от величины поперечной нагрузки и ряда других факторов.
В зависимости от характера работы пластины судового корпуса можно разбить на следующие группы:
1. Пластины, при изгибе которых влиянием цепных напряжений на элементы изгиба можно пренебречь. Такие пластины в дальнейшем будем называть абсолютно жесткими.
2. Пластины, при изгибе которых влиянием цепных напряжений на элементы изгиба пренебречь нельзя. Такие пластины будем называть пластинами конечной жесткости.
Следует отметить, что пластины можно относить к той или иной категории только на основании расчета. Так, одна и та же пластина в зависимости от величины действующей на неё продольной нагрузки может изгибаться либо как абсолютно жесткая, либо как пластина конечной жесткости.
Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины.
Выражения для интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины, запишутся в виде
(3)
Определение напряжений изгиба пластины.
Напряжения изгиба вычисляются по формуле:
(4)
где - момент сопротивление балки-полоски единичной ширины.
Определение наибольшей стрелки прогиба в центре пластины.
Наибольшая стрелка прогиба будет в центре пластины
(5)
Определение изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу.
Изгибающие моменты М1 в центре пластины, в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу, определяются по формулам:
(6)
Определение наибольших значений перерезывающих сил по середине опорных кромок пластины, N1 и N2 .
Наибольшие значения перерезывающих сил будут по середине опорных кромок пластины, т.е. N1 на кромках х = 0; х = а и N2 на кромках у = ;
(7)
Определение наибольших значений реакций опорных кромок по их середине г1 и r2 .
Наибольшие значения реакций опорных кромок будут по середине этих кромок, г1 -на кромках х = 0 и х= а; r2 на кромках
у = ;
(8)
Применение ординарных тригонометрических рядов к исследованию изгиба пластин, две противоположные кромки которых свободно оперты, решение дифференциального уравнения изгиба пластины.
Пусть кромки х = 0 и х = а свободно оперты.
Дифференциальное уравнение, определяющее функции fm (у).
(9)
Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл дифференциального уравнения функции fm (у).
(10)
где (у) - частное решение дифференциального уравнения (9).
Изгиб пластины свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением. Расчётная схема (рис.3).
Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента.
(11)
Общий интеграл дифференциального уравнения, определяющего функцию fm (у) (12) Выражение для прогиба пластины, свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением (13).
(12)
Постоянные Аm и Dm , должны быть определены из граничных условий для функций fm (у) при у = .
(13)
Расчёт величины наибольшей стрелки прогиба в центре пластины.
Поскольку для рассматриваемой пластины , то по табл.1 находим
= (см) (14)
Расчёт величины изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу.
= (15)
Расчёт величины наибольших значений перерезывающих сил по середине опорных кромок пластины, N1 и N2 (16).
= (16)
Расчёт величины наибольших значений реакций опорных кромок по их середине г1 и r2 ( 17).
= (17)
Расчёт величины напряжений изгиба пластины (18).
= , =
Расчёт пластины, свободно опертой на кромках х=0 и х=а и жестко заделанной на кромках у = , при действии на пластину, равномерно распределена по всей ее площади. Расчётная схема (рис.4).
Выражение для функции .
(19)
Граничные условия для функций
(20)
Выражение для прогиба пластины свободно опертой на кромках х=0 и х=а и жестко заделанной на кромках у = .
(21)
Расчёт величины стрелка прогиба в центре пластины (22).
Для рассматриваемой пластины длина жестко заделанных кромок больше, чем свободно опертых, поэтому коэффициенты должны определяться по столбцам левой части табл.2. Так как , то k1 = 0,0582, k2 =0,0460, k3 =0,0585, k4 =0,1049.
(22)
Расчёт величины изгибающих моментов в центре пластины (23).
Изгибающие моменты в центре пластины: М1 - момент в сечении, перпендикулярном оси ох; М2 - момент в сечении, перпендикулярном оси оу:
;
;
М2 = 0,0460·0,5·130 2 = 388,7 (кгс)
М1 = 0,0585·0,5·130 2 = 494,325 (кгс)
Расчёт величины изгибающих моментов по середине жестко заделанных кромок (24).
Расчёт величины напряжений изгиба в центре пластины и по середине жестко заделанных кромок (25).
=
Изгиб пластин, жестко заделанных по всем четырем кромкам, при действии равномерно распределенной нагрузки. Расчётная схема (рис.5).
Расчёт величины наибольшей стрелки прогиба (в центре пластины) (26).
Величину коэффициентов k определяем по таблице 3, исходя из условия
= 1,46. k1 =0,0241; k2 =0,0204; k3 =0,0368; k4 =0,0515; k5 =0,0753; k8 =0,465; k9 =0,515; k10 =0,255; k11 =0,332.
=
Расчёт величины изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечении, перпендикулярном оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу (27).
=
Расчёт величины перерезывающей силы по середине коротких сторон опорного контура N1 и по середине длинных сторон опорного контура N2 (28).
=
Расчёт величины наибольшей интенсивности нагрузки коротких сторон опорного контура r1 и длинных сторон опорного контура r2 (29).
=
Расчёт величины напряжений изгиба в центре пластины в сечении, перпендикулярном оси ох, и в сечении, перпендикулярном оси оу (30).
Заключение. Основные выводы
В данной работе рассмотрен изгиб пластин:
свободно опертых по всем четырем кромкам,
свободно опертых на двух кромках х=0 и х=а и жестко заделанных на кромках у=+b/2,жестко заделанных по всем четырем кромкам.
Во всех случаях действует равномерно распределенная нагрузка при постоянной толщине пластины. Большую часть веса судового корпуса составляют листы наружной обшивки, настилов палуб, платформ и обшивки переборок. С точки зрения строительной механики корабля эти листы представляют пластины, опертые на балки набора. Балки набора образуют опорный контур пластин. Жесткость балок набора при изгибе обычно несоизмеримо больше жесткости пластин. Поэтому пластины при изучении их изгиба можно рассматривать как опертые на жесткий контур.
В статье описывается применение аналитического метода расчета пластин с нарушениями регулярности в виде ребер при воздействии сосредоточенных нагрузок. Для аппроксимации локальных влияний используются разрывные функции, что позволяет определять компоненты напряженно-деформированного состояния с такой же точностью, как и в зоне плавного изменения нагрузки. Уравнение изгиба пластин решается методом Власова-Канторовича. Выполнены расчеты прогибов, моментов и перерезающих сил для различных схем загружения пластины. Результаты расчетов при удержании малого числа членов ряда сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов.
При проектировании перекрытий, в выполнении технологических и архитектурных требований, таких как размещение оборудования, обустройство мезонинов в локальных областях, перед конструкторами ставится задача усиления данных зон, например, вводом или изменением геометрии уже существующих ребер жесткости.
Большинство современных программных комплексов основаны на применении метода конечных элементов (МКЭ). При вычислении усилий и моментов в зонах приложения локальных нагрузок из-за высоких градиентов полей напряжений при применении МКЭ требуется существенно сгущать сетку разбивки, что значительно повышает порядок системы разрешающих уравнений. Кроме того, МКЭ позволяет осуществить лишь численный анализ, без получения аналитической зависимости между нагрузкой, геометрическими размерами и напряжением.
В отличии от МКЭ методы расчета конструкций с использованием разрывных импульсных функций позволяют получить аналитические выражения для решения задач с областями нарушения регулярности внутренней геометрии зон приложения полосовой или сосредоточенных нагрузок и рассматривать плиту перекрытия как единый элемент.
Рассмотрим пластину под действием нагрузки вдоль линии q, сосредоточенной P и распределенной нагрузки p (см. рис.1).
Рис. 1. Пластина под действием различных нагрузок
Согласно [1], используя разрывные импульсные функции, нагрузку вдоль линии q запишем в виде:
,
где — единичная импульсная функция; — координата по x приложения нагрузки;
сосредоточенную нагрузку P:
.
Подставим данные выражения для нагрузок в уравнение прогиба для тонкой пластины:
Решение уравнения будем искать методом Власова-Канторовича, сводя краевую задачу для уравнения в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Представим искомую функцию прогиба w тригонометрическим рядом:
, ,
решение будет представлять из себя систему из k обычных дифференциальных уравнений.
Функции нагрузок примут вид:
, ,
,
, .
Преобразуем уравнение прогиба, которое теперь зависит от одной переменной:
Решение уравнения согласно [1] можно представить в виде:
где является решением для ;
— решение для .
,
,
где единичная ступенчатая функция; — постоянные интегрирования, определяются в зависимости от закрепления пластины.
При рассмотрении пластин, усиленных ребрами жесткости, параллельных одной из осей (см. рис. 2), учет ребер так же можно выполнить с помощью дельта-функции.
Рис. 2. Пластина, подкрепленная ребрами жесткости
Выразим согласно [3] продольные усилия и моменты, возникающие в ребристой пластине. Сопротивлением ребер кручению можно пренебречь ввиду малой жесткости на кручение в сравнении с изгибной.
,
,
где — усилия и моменты, возникающие в гладкой части пластины; — характеристики j-ого ребра.
Составим уравнения равновесия:
, .
Перейдем к уравнениям относительно функций перемещения и преобразуем первые два уравнения согласно [2]:
Если пренебречь влиянием ребер на продольные и сдвигающие усилия, то вместо системы получим уравнение относительно прогиба, что существенно упрощает задачу при незначительном уменьшении точности.
Ниже, при проведении сравнений результатов на конкретных примерах, рассматриваются оба варианта расчета: с учетом и без учета продольных усилий.
Согласно [1], дифференциальные уравнения с импульсными коэффициентами
,
(в уравнениях здесь и ниже индекс k опущен)
где — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами 4-го порядка,
— дифференциальный оператор, имеющий порядок не выше порядка оператора ,
имеют решение в виде:
,
где есть решение уравнения ;
— решение уравнения ;
— коэффициент пропорциональности для решения уравнения, и находящийся из системы
где в рамках рассматриваемой задачи обретает физический смысл, как прогиб пластины при . Без учета продольных усилий
C учетом продольных усилий, решение системы уравнений приводим согласно [2]:
где,
При приложении распределенной, сосредоточенных и распределенных по линиям ребер нагрузок получаем систему уравнений:
Порядок данной системы уравнений 2n. Для нахождения прогиба по формуле , при использовании трех членов ряда (при k=1, 3, 5) достаточно решить три независимых системы порядка 2n, что позволяет решить задачу без особого труда стандартными офисными программами, такими как Excel. В данной работе для проверки решений и анализа результатов использовалась система Mathcad, был разработан алгоритм и приведены результаты расчетов.
В таблице 1 приведены результаты расчетов прогибов для различных схем загружения пластины в сравнении с МКЭ.
Схема нагружения
x, м
y,
м
Учитываемые нагрузки
Аналитическое решение
МКЭ
|(wМКЭ- wан)/ wМКЭ|100,%
За предоставленные сканы огромная благодарность Nosferatus.
Книга содержит формулы, таблицы и примеры расчета пластин, применяемых в строительстве, гидротехнике, на транспорте, в судостроении, авиации, машиностроении и других отраслях техники.
Рассматриваются круглые, кольцевые и прямоугольные пластины постоянной и переменной жесткости, пластины, усиленные системой ребер, а также пластины из анизотропных материалов, находящиеся под действием распределенных и местных нагрузок при различных краевых условиях.
Книга рассчитана на инженеров-конструкторов всех специальностей, аспирантов, студентов и на научных работников.
Оглавление
Предисловие 3
Введение 5
РАЗДЕЛ I. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ 9
Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоянной толщины 9
§ 1. Исходные уравнения и зависимости 9
§ 2. Пластина, свободно опертая по контуру 13
§ 3. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической к контуру 37
§ 4. Пластина, опертая по контуру и по концентрической окружности, под действием равномерно распределенной нагрузки 49
§ 5. Пластина, опертая по контуру и в центре, под действием равномерно распределенной нагрузки 51
§ 6. Пластина, опертая в центре 52
§ 7. Пластина с жестко закрепленным контуром 61
Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин постоянной толщины 81
§ 8. Пластина, свободно опертая по наружному контуру 81
§ 9. Пластина с центральным абсолютно жестким диском, свободно опертая по наружному контуру 98
§ 10. Пластина, свободно опертая по внутреннему контуру 101
§ 11. Пластина, внутренний контур которой оперт, а внешний прогибается, но не поворачивается, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 115
§ 12. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической к контуру, под действием нагрузки, равномерно распределенной по окружности, расположенной между опорным и внутренним контурами 117
§ 13. Пластина, жестко закрепленная по внешнему контуру 117
§ 14. Пластина с центральным диском, жестко закрепленная по внешнему контуру 126
§ 15. Пластина с жестко закрепленным внутренним контуром 128
§ 16. Пластина, внутренний контур которой жестко закреплен, а внешний прогибается, но не поворачивается 135
§ 17. Пластина, жестко закрепленная по обоим контурам, под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль концентрической окружности 139
Глава третья. Несимметричный изгиб круглых и кольцевых пластин постоянной толщины 141
§ 18. Основные дифференциальные уравнения и зависимости 141
§ 19. Круглая пластина, свободно опертая по контуру 143
§ 20. Круглая пластина, жестко закрепленная по контуру 154
§ 21. Кольцевая пластина, жестко закрепленная по внутреннему контуру и не опертая по наружному, под действием поперечной нагрузки, приложенной ко всей поверхности пластины и изменяющейся по закону плоскости 161
§ 22. Круглая пластина под действием сосредоточенной поперечной силы, приложенной к контуру, и уравновешенной силой и моментом, действующим на центр пластины 163
§ 23. Круглая пластина, опертая в отдельных точках 168
§ 24. Круглая пластина, нагруженная вдоль нескольких равностоящих радиусов 172
Глава четвертая. Круглые и кольцевые пластины переменной толщины 197
§ 25. Основные дифференциальные уравнения и зависимости 197
§ 26. Свободно опертая круглая пластина толщиной, убывающей от центра по линейному закону 198
§ 27. Пластина толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по экспоненциальному закону, под действием равномерной нагрузки 204
§ 28. Кольцевая пластина толщиной, убывающей от центра по линейному закону, под действием поперечной нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через пластины, при любых условиях на контуре 207
§ 29. Круглая пластина переменной толщины, опертая в равностоящих точках контура 219
§ 30. Круглая пластина гиперболического профиля под действием кон¬турной нагрузки, обладающей циклической симметрией 220
Глава пятая. Изгиб круглых пластин, лежащих на сплошном упругом основании 226
§ 31. Основные предпосылки расчета и классификация пластин 226
§ 32. Абсолютно жесткая пластина постоянной толщины под действием нагрузки, симметричной относительно центра 226
§ 33. Пластина конечной жесткости под действием нагрузки, симмет¬ричной относительно центра 232
Литература 239
РАЗДЕЛ II. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 240
Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоянной толщины, усиленных кольцевыми ребрами 240
§ 1. Пластина с одним кольцевым ребром, свободно опертая по контуру 240
§ 2. Пластина с одним кольцевым ребром, жестко закрепленная по внешнему контуру 245
§ 3. Пластина с двумя кольцевыми ребрами, свободно опертая по внешнему контуру 247
Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин постоянной толщины с кольцевыми ребрами 251
§ 4. Пластина с подкрепленным отверстием, свободно опертая по окружности, концентрической с контуром 251
§ 5. Пластина с подкрепленным отверстием, жестко закрепленная по внешнему контуру, под действием осесимметричной нагрузки 255
§ 6. Пластина с подкрепленным внешним контуром, свободно опертая по этому контуру 258
§ 7. Пластина с подкрепленными наружным и внутренним контурами, свободно опертая по наружному контуру 259
Глава третья. Изгиб круглых пластин, усиленных равноотстоящими радиальными ребрами 260
§ 8. О методе расчета 260
§ 9. Пример расчета ребристой пластины 264
§ 10. Расчетные таблицы и пользование ими 266
Литература 268
РАЗДЕЛ III. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН 270
Глава первая. Техническая теория изгиба пластин 270
§ 1. Основные уравнения и соотношения 270
§ 2. О методах решения 274
§ 3. Переход к разностным уравнениям 277
§ 4. Сеточные операторы для некоторых граничных условий 278
Глава вторая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых по контуру 286
§ 5. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 286
§ 6. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности центрального прямоугольника либо вдоль отрезка оси симметрии 291
§ 7. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 298
§ 8. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через опорную кромку пластины 300
§ 9. Пластина под действием нагрузки в виде трехгранной призмы, основанием которой служит равнобедренный треугольник, перпендикулярный к двум кромкам пластины 309
§ 10. Пластина под действием нагрузки в виде двух прямых трехгранных призм с максимальными ординатами вдоль двух параллельных кромок пластины 312
§ 11. Квадратная пластина под нагрузкой в виде пирамиды 313
§ 12. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеим диагоналям и действующей в одну сторону 314
§ 13. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеим диагоналям и действующей в разные стороны 315
§ 14. Квадратная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по диагонали 315
Глава третья. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых тремя кромками и жестко закрепленных четвертой 316
§ 15. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 316
§ 16. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшей интенсивностью вдоль жестко закрепленной кромки 319
§ 17. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшей интенсивностью вдоль параллельной ей свободно опертой кромки 320
§ 18. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку 321
Глава четвертая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных двумя противоположными кромками и свободно опертых двумя другими 322
§ 19. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 322
§ 20. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности центрального прямоугольника 325
§ 21. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку 337
§ 22. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 338
Глава пятая. Изгиб прямоугольных пластин с частично закрепленным контуром 340
§ 23. Пластина, жестко закрепленная двумя кромками, сходящимися в вершине, и свободно опертая двумя другими, под действием равномер¬но распределенной нагрузки 340
§ 24. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под действием равномерной нагрузки 341
§ 25. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 343
§ 26. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости, проходящей через закрепленную кромку 344
Глава шестая. Изгиб прямоугольных пластин с жестко закрепленным контуром 345
§ 27. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 345
§ 28. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через контур пластины 346
§ 29. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 347
Глава седьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых тремя кромками и неопертых четвертой 351
§ 30. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 351
§ 31. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 354
§ 32. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль неопертой кромки 355
§ 33. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 356
§ 34. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной посредине свободной кромки 359
Глава восьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых двумя параллельными кромками, жестко закрепленных третьей и неопертых четвертой 362
§ 35. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 362
§ 36. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 364
§ 37. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной к середине свободной кромки 365
Глава девятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных двумя противоположными кромками, свободно опертых третьей и неопертых четвертой кромкой 366
§ 38. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 366
§ 39. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 367
§ 40. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль неопертой кромки 368
Глава десятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных тремя кромками и неопертых четвертой 369
§ 41. Пластина под действием равномерно распределенной нагрузки 369
§ 42. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 370
§ 43. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленный кран, параллельный свободной кромке 370
§ 44. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 372
§ 45. Пластина под действием силы, приложенной посредине свободной кромки 375
Глава одиннадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, две противоположные кромки которых жестко защемлены и две другие неоперты 378
§ 46. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 378
§ 47. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 380
§ 48. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной посредине свободной кромки 381
Глава двенадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко защемленных по двум сторонам, сходящимся в одной вершине, и неопертых двумя другими 383
§ 49. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 383
§ 50. Пластина под действием сосредоточенной силы 385
Глава тринадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, опирающихся в углах на несмещаемые опоры 390
§ 51. Пластина, опертая по четырем углам, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 390
§ 52. Прямоугольная пластина, свободно опертая одной стороной и двумя вершинами, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 391
§ 53. Прямоугольная пластина, опертая двумя смежными сторонами и вершиной, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 394
Глава четырнадцатая. Изгиб квадратной пластины на упругих опорах под действием равномерно распределенной нагрузки 395
§ 54. Пластина, свободно лежащая двумя параллельными кромками на жестких опорах и двумя другими — на упруго оседающих балках 395
§ 55. Пластина, свободно лежащая по периметру на упруго оседающих балках одинаковой жесткости 396
Глава пятнадцатая. Изгиб многопролетных пластин 397
§56. Бесконечная пластина, опертая в вершинах прямоугольной сетки, под действием равномерно распределенной нагрузки 397
§ 57. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности двух панелей 399
§ 58. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по средним линиям, параллельным промежуточным опорам 399
§ 59. Приближенный расчет многопролетных пластин, состоящих из прямоугольных панелей 400
§ 60. Приближенный расчет безбалочного перекрытия, опирающегося на несколько рядов равноотстоящих колонн, под действием равномерно распределенной нагрузки 405
§ 61. Квадратная, шарнирно опертая по контуру пластина, поддерживаемая четырьмя промежуточными колоннами 407
Глава шестнадцатая. Изгиб ортотропных пластин 408
§ 62. Приближенная теория расчета 408
§63. Свободно опертая по периметру пластина под действием равномерно распределенной нагрузки 410
§ 64. Пластина, двумя параллельными сторонами свободно опертая и двумя другими, жестко защемленная под действием равномерно распре¬деленной нагрузки 414
§ 65. Свободно опертая полоса под действием нагрузки, равномерно распределенной по прямой, перпендикулярной к опорам 415
§ 66. Свободно опертая полоса под действием сосредоточенной силы, приложенной на оси полосы 416
Глава семнадцатая. Прямоугольные ребристые пластины под действием равномерно распределенной нагрузки 417
§ 67. Приведенные жесткости ребристых и гофрированных пластин 417
§ 68. Свободно опертая пластина, усиленная большим числом ребер 421
§ 69. Пластина, защемленная по всему периметру и подкрепленная посредине одним ребром 423
§ 70. Пластина, жестко защемленная по контуру и подкрепленная двумя параллельными ребрами 425
§ 71. Пластина, жестко защемленная по контуру и усиленная тремя параллельными ребрами 426
§ 72. Пластина, свободно опертая тремя сторонами и снабженная прямоугольным ребром на четвертой кромке 427
§ 73. Полоса, свободно опертая по краям и усиленная рядом равноотстоящих ребер 427
Литература 428
Читайте также: