Аналитическая геометрия в пространстве реферат

Обновлено: 08.07.2024

Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.

Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

В методической разработке:

содержится теоретическое введение;

решение типовых задач;

Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

Прямая на плоскости

– общее уравнение прямой;

– уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 , у 0 ) перпендикулярно нормальному вектору

уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 , у 0 ) параллельно направляющему вектору ( каноническое уравнение прямой);

параметрическое уравнение прямой;

уравнение прямой в отрезках , где и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях и соответственно;

уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 , у 0 ), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;

уравнение прямой с угловым коэффициентом ; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

тангенс острого угла между двумя прямыми и

и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и

расстояние от точки М 0 (х 0 , у 0 ) до прямой ;

уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и

уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 , у 1 ) и М 2 (х 2 , у 2 );

Пример 1. Даны вершины треугольника М 1 (2; 1), М 2 (-1; -1) и М 3 (3; 4). Составить уравнения его высот.

Пусть М 1 N – высота треугольника М 1 М 2 М 3 . Рассмотрим два вектора и По условию эти векторы ортогональны.

Значит, Аналогично находим другие высоты треугольника.

Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

Воспользуемся уравнением прямой,

Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:

уравнение медианы, проведенной из вершины А.

Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где

Ответ: АВ: ВС: СА: АМ:

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

По условию следовательно,

Тогда искомое уравнение будет:

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты и медианы проведенных из различных вершин.

По условию есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.

Обозначим координаты вершины А через x 1 , y 1 : A(x 1 ; y 1 ). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнению Кроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x 1 ; y 1 ) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Отсюда находим х 1 =-4, у 1 =1, А(-4; 1).

Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору

Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); (АС).

Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми .

Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d 1 и d 2 от этой точки М до данных прямых равны между собой: d 1 =d 2 , т.е.

Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид: , а уравнение другой или

Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми в котором лежит точка А(2; -1).

1) уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору

2) общее уравнение плоскости, - нормальный вектор этой плоскости.

3) уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;

Пусть даны две плоскости

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормальными векторами: или в координатной форме

Условие перпендикулярности двух плоскостей и : или в координатной форме: .

Условие параллельности двух плоскостей и :

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

М 1 (х 1 ; y 1 ; z 1 ), М 2 (х 2 ; y 2 ; z 2 ), М 3 (х 3 ; y 3 ; z 3 ):

или в координатной форме:

Если плоскость задана общим уравнением а - некоторая точка пространства, то есть формула расстояния от точки М 0 до плоскости .

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

Если и есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М 1 (2; 1; -1) и имеет нормальный вектор

Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор

Пример 2. Даны две точки М 1 (3; -1; 2) М 2 (4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М 1 перпендикулярно вектору

По условию вектор является нормальным вектором искомой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно вектору есть или

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (3; 4; -5) параллельно двум векторам и

Отложим векторы и в плоскости, проходящей через точку М 1 , и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.

Получим, что три вектора , лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (2; -1; 3) и М 2 (3; 1; 2) параллельно вектору

Отложим вектор и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М 1 и М 2.

Получим компланарные векторы Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М 1 (3; -1; 2), М 2 (4; -1; -1) и М 3 (2; 0; 2).

Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы

Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (3; -2; 7) параллельно плоскости

Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М 1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору

Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям и , то нормальные векторы и и вектор (М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно, или

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М 1 (1; -1; -2) и М 2 (3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости , то нормальный вектор отложим в плоскости точек М 1 и М 2 .

Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:

Три вектора и - компланарны, поэтому или

Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М 2 (1; 4; 3).

Так как плоскость проходит через ось Оу , то её уравнение можно взять в виде . Плоскость проходит через точку М 2 (1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , к =-3 ,

Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (7; 2; -3) и М 2 (5; 6; -4) параллельно оси Ох .

Уравнение плоскости, параллельной оси Ох , имеет вид: (коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: Так как эта плоскость проходит через точки М 1 и М 2 , то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:

Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы , , .Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.

Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.

Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М 1 (4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.

Уравнение плоскости в отрезках: По условию а= b = c > 0. Тогда уравнение плоскости можно записать Так как точка М 1 (4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2= а , а =9. Следовательно,

Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей параллельно вектору

Векторы и - нормальные векторы данных плоскостей.

Найдем их векторное произведение:

В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор

Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М 1 ( х; у; 0), тогда

Так как векторы компланарны, то 

Прямая и плоскость в пространстве

1) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно направляющему вектору

2) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и М 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 );

3) уравнения параметрическое уравнение прямой в пространстве.

4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами :

, или в координатной форме

5) условие перпендикулярности двух прямых L 1 и L 2 .

6) условие параллельности двух прямых L 1 и L 2 в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

где коэффициенты А 1 , В 1 , С 1 не пропорциональны коэффициентам А 2 , В 2 , С 2 . В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:

Обозначим точки, через которые проходят прямые L 1 и L 2 - М 1 (2; -1; 3) и М 2 (1; 2; -3). Им соответствует вектор

Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор . Таким образом, три вектора и направляющий вектор прямой

компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем или

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

, . Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:

Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (1; 2; -3) параллельно прямым , .

Отложим в искомой плоскости точки М 1 (1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы , .

Тогда три вектора и будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: , т.е.

Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 1 (1; -1; -3) параллельно прямой .

Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы и будут коллинеарные, т.е. . Отсюда получаем

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (2; -2; 1) и прямую

По уравнениям данной прямой находим точку прямой М 2 (1; 2; -3) и направляющий вектор прямой .

Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости: , .

По условию компланарности трех векторов имеем:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

Три вектора , компланарны только тогда, когда или

Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (1; -2; 1) перпендикулярно прямой

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором в одной плоскости. Следовательно, векторы , , компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем:

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (1; 1; -1) и М 2 (3; 4; 1) параллельно прямой .

Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор .

Векторы , , и компланарны. По условию компланарности трех векторов , , имеем:

Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М 0 (2; 3; 1) на плоскость

Нормальный вектор данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М 0 (2; 3; 1). Её уравнение

Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М 1 (3; 2; 1) на прямую .

1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 1 (3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору - направляющему вектору прямой):

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М 2 (0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М 1 (3; 2; 1) и М 2 (0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем . Следовательно, уравнение второй плоскости

Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.

Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (-4; 3; 0) и параллельно прямой

Найдем направляющий вектор прямой ,

Тогда уравнение искомой прямой есть .

Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М 0 (-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым и .

Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.

Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:

Пример 13. Задана плоскость Р: и прямая L: , причем LР.

угол между прямой и плоскостью;

координаты точек пересечения прямой и плоскости.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

, или параметрически х =1, у =2t, z =t-1.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х =1, у =-6, z =-4.

Ответ: а) b) (1; -6; -4).

Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:

Найдем направляющие векторы данных прямых

Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость

Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости

Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х =t+4, у =2t, z =-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.

Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х 0 =5, у 0 =-1, z 0 =0.

Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .

Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L 1 : и

L 2 : Найти расстояние d (L 1 ; L 2 ) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.

Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L 1 , параллельную L 2 . Точка М 1 (0; 1; -2) лежит на прямой L 1 и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор

Уравнение плоскости Р: или в общем виде Расстояние d (L 1 ; L 2 ) равно расстоянию от любой точки прямой L 2 , например, точки М 2 (-1; -1; 2), до данной плоскости Р.

Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р 1 и Р 2 , проходящих через заданные L 1 и L 2 сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М 1 (0; 1; -2)Р 1 и откуда Р 1 :

Аналогично, М 2 (-1; -1; 2)Р 2 (Р) и откуда Р 2 : Так как L=P 1 P 2 , то - общее уравнение прямой L.

Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (2; 1; 0) и пересекающей две прямые и .

Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.

Уравнения этих плоскостей:

или - искомые уравнения прямой.

Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C;
2) найти угловые коэффициенты данных прямых;
3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):

4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят;
5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника;
6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В.

Аналитическая геометрия (2)

Условие задачи аналитической геометрии Найти минимальное и максимальные расстояние от з точек на

. Writeln('▒ Условие задачи по аналитической геометрии: ▒'); Writeln('▒ Найти количество . Writeln('▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒'); Writeln('▒ Условие задачи по аналитической геометрии: ▒'); Writeln('▒ Найти минимальное и .

Элементы аналитической геометрии

. Оглавление Оглавление 2 1. Комплексные числа. 3 2. Элементы аналитической геометрии. 4 3. Вычисление определителей. 6 4. Метод Гаусса. 8 5. . части, приходим к системе: Ответ: . 2. Элементы аналитической геометрии. Треугольник задан координатами вершин на .

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Геометрия Галилея и дуальные числа

Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

В методической разработке:

содержится теоретическое введение;
решение типовых задач;
указана литература.

Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

Прямая на плоскости

1) – общее уравнение прямой;

2) – уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ) перпендикулярно нормальному вектору

3) уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ) параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой);

4) параметрическое уравнение прямой;

5) уравнение прямой в отрезках , где и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях и соответственно;

6) уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ ), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;

7) уравнение прямой с угловым коэффициентом ; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

8) тангенс острого угла между двумя прямыми и

9) и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и

10) расстояние от точки М₀ (х₀ , у₀ ) до прямой ;

11) уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и

12) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁ (х₁ , у₁ ) и М₂ (х₂ , у₂ );

Пример 1. Даны вершины треугольника М₁ (2; 1), М₂ (-1; -1) и М₃ (3; 4). Составить уравнения его высот.

Пусть М₁ N – высота треугольника М₁ М₂ М₃ . Рассмотрим два вектора и По условию эти векторы ортогональны.

Значит,Аналогично находим другие высоты треугольника.

Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

1) Воспользуемся уравнением прямой,

Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:

уравнение медианы, проведенной из вершины А.

2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где

Ответ: АВ: ВС: СА: АМ:

По условию следовательно,

Тогда искомое уравнение будет:

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты и медианыпроведенных из различных вершин.

Решение .

1) По условию есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.

2) Обозначим координаты вершины А через x₁ , y₁ : A(x₁ ; y₁ ). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнениюКроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x₁ ; y₁ ) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору

4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); (АС).

Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми .

Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d₁ и d₂ от этой точки М до данных прямых равны между собой: d₁ =d₂ , т.е.

Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид: , а уравнение другой или

Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми в котором лежит точка А(2; -1).

1) уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору

2) общее уравнение плоскости, - нормальный вектор этой плоскости.

3) уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;

4) Пусть даны две плоскости

5) Условие перпендикулярности двух плоскостей и : или в координатной форме: .

6) Условие параллельности двух плоскостей и :

7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

или в координатной форме:

8) Если плоскость задана общим уравнением а - некоторая точка пространства, то есть формула расстояния от точки М₀ до плоскости.

9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

Еслииесть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁ (2; 1; -1) и имеет нормальный вектор

Пример 2. Даны две точки М₁ (3; -1; 2) М₂ (4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М₁ перпендикулярно вектору

По условию вектор является нормальным вектором искомой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору есть или

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (3; 4; -5) параллельно двум векторам и

Отложим векторы и в плоскости, проходящей через точку М₁ , и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.

Получим, что три вектора , лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (2; -1; 3) и М₂ (3; 1; 2) параллельно вектору

Отложим вектор и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М₁ и М_2.

Получим компланарные векторы Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М₁ (3; -1; 2), М₂ (4; -1; -1) и М₃ (2; 0; 2).

Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (3; -2; 7) параллельно плоскости

Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М₁ провести плоскость, перпендикулярно данному вектору

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁ (1; -1; -2) и М₂ (3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости , то нормальный вектор отложим в плоскости точек М₁ и М₂ .

Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:

Три вектора и - компланарны, поэтому или

Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М₂ (1; 4; 3).

Так как плоскость проходит через ось Оу , то её уравнение можно взять в виде . Плоскость проходит через точку М₂ (1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , к =-3,

Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (7; 2; -3) и М₂ (5; 6; -4) параллельно оси Ох .

Уравнение плоскости, параллельной оси Ох , имеет вид: (коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: Так как эта плоскость проходит через точки М₁ и М₂ , то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:

Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы , ,.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.

Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.

Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁ (4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.

Уравнение плоскости в отрезках: По условию а= b = c > 0. Тогда уравнение плоскости можно записать Так как точка М₁ (4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а , а =9. Следовательно,

Векторы и - нормальные векторы данных плоскостей.

Найдем их векторное произведение:

В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор

Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М₁ (х; у; 0), тогда

Так как векторы компланарны, то Þ

Прямая и плоскость в пространстве

1) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) параллельно направляющему вектору

3) уравнения параметрическое уравнение прямой в пространстве.

4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами :

, или в координатной форме

5) условие перпендикулярности двух прямых L₁ и L₂ .

6) условие параллельности двух прямых L₁ и L₂ в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

где коэффициенты А₁ , В₁ , С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂ , В₂ , С₂ . В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:

Обозначим точки, через которые проходят прямые L₁ и L₂ - М₁ (2; -1; 3) и М₂ (1; 2; -3). Им соответствует вектор

компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем или

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

, . Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (1; 2; -3) параллельно прямым , .

Отложим в искомой плоскости точки М₁ (1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы , .

Тогда три вектора и будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: , т.е.

Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁ (1; -1; -3) параллельно прямой .

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (2; -2; 1) и прямую

По уравнениям данной прямой находим точку прямой М₂ (1; 2; -3) и направляющий вектор прямой .

Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости: , .

По условию компланарности трех векторов имеем:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

Три вектора , компланарны только тогда, когда или

Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (1; -2; 1) перпендикулярно прямой

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (1; 1; -1) и М₂ (3; 4; 1) параллельно прямой .

Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор .

Векторы , , и компланарны. По условию компланарности трех векторов , , имеем:

Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М₀ (2; 3; 1) на плоскость

Нормальный вектор данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М₀ (2; 3; 1). Её уравнение

Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М₁ (3; 2; 1) на прямую .

1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₁ (3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору - направляющему вектору прямой):

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М₂ (0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М₁ (3; 2; 1) и М₂ (0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем . Следовательно, уравнение второй плоскости

Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (-4; 3; 0) и параллельно прямой

Найдем направляющий вектор прямой ,

Тогда уравнение искомой прямой есть .

Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М₀ (-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым и .

Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:

Пример 13. Задана плоскость Р: и прямая L: , причем LÎР.

a) угол между прямой и плоскостью;

b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.

b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

, или параметрически х =1, у =2t, z =t-1.

Ответ: а) b) (1; -6; -4).

Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:

Найдем направляющие векторы данных прямых

Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость

8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости

9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х =t+4, у =2t, z =-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.

10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х₀ =5, у₀ =-1, z ₀ =0.

Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .

Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L₁ : и

L₂ : Найти расстояние d (L₁ ; L₂ ) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.

Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L₁ , параллельную L₂ . Точка М₁ (0; 1; -2) лежит на прямой L₁ и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор

Уравнение плоскости Р: или в общем виде Расстояние d (L₁ ; L₂ ) равно расстоянию от любой точки прямой L₂ , например, точки М₂ (-1; -1; 2), до данной плоскости Р.

Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р₁ и Р₂ , проходящих через заданные L₁ и L₂ сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М₁ (0; 1; -2)ÎР₁ и откуда Р₁ :

Аналогично, М₂ (-1; -1; 2)ÎР₂ (^Р) и откуда Р₂ : Так как L=P₁ ÇP₂ , то - общее уравнение прямой L.

Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (2; 1; 0) и пересекающей две прямые и .

Уравнения этих плоскостей:

или - искомые уравнения прямой.

1. Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство ₁а₁+₂а₂+…+_ла_л=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа ₁, ₂,…, _л=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном _i0 (i=1,…,k)

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u 90, пр-е отриц.

(а,а)=|a| 2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_a=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М₀ в ур-е (1) и получим Ах₀+By₀+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х₀)+B(y-y₀)=0, n(A,B), М₀М(х-х₀, y-y₀). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M₀M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А₁х+B₁y+C₁=0 и А₂х+B₂y+C₂=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А₁=t*А₂ и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M₁М(х-х₁; y-y₁)

Пусть на прямой даны две точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x₂-x₁; y₂-y₁)

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x₁/e/e=y-y₁/m/e. y-y₁=k(x-x₁) при y₁-kx₁=b, y=kx+b

- угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

cos 2 +sin 2 =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t=sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

- угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

cos 2 +sin 2 =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t=sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М₁(x₁;y₁), тогда отклонение точки М₁ = x₁cos+y₁sin-P=0

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁F₂|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a; a

Рассмотрим касательную к кривой

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

Лекции

Лабораторные

Справочники

Эссе

Вопросы

Стандарты

Программы

Дипломные

Курсовые

Помогалки

Графические

Доступные файлы (1):

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Общие уравнения прямой.

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол между прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Угол между прямой и плоскостью.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

^ Поверхности второго порядка.

Конус второго порядка.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = .

Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

Итого, можно записать: = + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Кроме того, для точки М₁ можно записать:

Решая совместно эти уравнения, получим:

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

^ Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D₁ = 0 и + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Угол между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180 0 - ₁, т.е.

Определим угол ₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: .Это условие выполняется, если: .

^ Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = ₁ или  = 180 0 - ₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Условия параллельности и перпендикулярности

прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

^ Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90 0 - , где  - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Условия параллельности и перпендикулярности

прямой и плоскости в пространстве.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

^ Поверхности второго порядка.

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

2) - гиперболический цилиндр.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x 2 + y 2 , z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x 2 + z 2 , y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z 2 + y 2 , x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

- эллипсоид вращения
- однополостный гиперболоид вращения
- двуполостный гиперболоид вращения
- параболоид вращения

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

^ Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Читайте также:

Аналитическая геометрия в пространстве реферат

Похожие страницы:

Аналитическая геометрия (2)

Условие задачи аналитической геометрии Найти минимальное и максимальные расстояние от з точек на

Элементы аналитической геометрии

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Геометрия Галилея и дуальные числа

Доступные файлы (1):

Уравнение прямой в пространстве по точке и

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

Условия параллельности и перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности