Запись целых неотрицательных чисел кратко

Обновлено: 06.07.2024

Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия "число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.

Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел "пять", "десять", "двадцать", появились названия некоторых чисел.

Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.

И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении "Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.

В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.

Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: "Сколько машин изображено на рисунке?", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа - число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.

Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.

Лекция 1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Аксиоматический метод в математике.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.

Сложение натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел.

Свойства множества натуральных чисел

Вычитание и деление натуральных чисел.

Аксиоматический метод в математике

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.




Система аксиом должна быть :

а) непротиворечивой:мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;

б) независимой: никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.

в) полной, если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.

Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В множестве Nсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента аиз Nсуществует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента аиз N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество Ммножества Nсовпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что асодержится в М, следует, что и а'содержится в М.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4. Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Определение 2. Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .

Сложение натуральных чисел

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3' =(2+3)'. В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

Число а + bназывается суммой чисел а и b , а сами числа аиb- слагаемыми.

Теорема 6

( а, b N) а + b ≠ b.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а - bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b


Вообще самой старой системой счисления считается двоичная. Она возникла, когда человек вел счет не по пальцам, а при помощи рук, т. е. когда единицей низшего разряда являлась одна рука, а единицей высшего — две руки. Следы этой системы сохранились и сегодня — они выражаются в стремлении считать парами.

Постепенно под влиянием растущих экономических потребностей человечество создавало методы счета. Процесс этот был стихийным и долгим. Начинался он в далекие времена, когда люди вырабаты­вали первые математические понятия, и в частности понятия нату­рального числа и счета.

Их дальнейшее развитие происходило в эпоху формирования древнейших государств — Вавилона, Египта, Китая и др., т. е. около пяти тысяч лет тому назад. В этот период были созданы новые способы записи чисел.

В Древнем Вавилоне считали группами по шестьдесят, т. е. сис­тема счисления здесь была шестидесятеричная. Например, число 137 вавилонский математик представлял себе так: 137 = 2-60+17. Конечно, записывалось это число другими знаками — треугольными клиньями. Дело в том, что записи древние вавилоняне производили на глиняных табличках путем выдавливания из них треугольных клиньев. Потом эти таблички сушили и обжигали.

Однако изобретенная в Древнем Вавилоне запись чисел имела недостатки: в ней трудно было изображать большие числа, не было специального знака для основания системы счисления — числа 60, что приводило к разночтению отдельных записей.

Почему в основу своей системы счисления вавилоняне положили число 60? Однозначно ответить на этот вопрос трудно. Отметим только, что древние вавилоняне располагали достаточно большим запасом знаний в различных областях: математике, астрономии. Существует предположение, что основой для создания шестидесяте­ричной системы счисления послужило деление окружности на 360


десятичную систему счисления, т. е. тот способ записи и чтения чисел, которым теперь пользуется все человечество. Датируется это событие VI в. и. э. В чем состояло это открытие? Ведь люди с древних времен выи запись чисел.

Дело в том, что при таком способе записи чисел, который при думали индийские математики, значение каждой цифры в записи числа зависит от се места, позиции. Например, одна и та же цифра 7 в числе 703 обозначает 7 сотен, в числе 72 — семь десятков, а в числе 7230 — семь тысяч. Оказалось, что при помощи десяти цифр можно записать любое число. Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной. Кроме того, в Индии впервые стал употребляться нуль для обозначения отсутствующих разряд­ных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании записи числа и упрощении вычислений.

Цифры, с помощью которых записываются числа в десятичной системе счисления, тоже были придуманы математиками Древней Индии. Хотя, конечно, их первоначальное написание значительно отличается от современного. Нынешняя форма цифр установилась только после изобретения книгопечатания — в XV веке.

Почему же цифры, изобретенные в Индии, часто называют арабскими? Дело в том, что возникшее в VII веке на Аравийском полуострове государство арабов за двести лет подчинило себе значительное число государств, стоящих на более высокой ступени развития. В состав Арабского халифата входили, например, Север­ная Индия, Египет, Средняя Азия, Месопотамия, Персия, Закав­казье, Северная Африка и другие государства. Столицей этого огром­ного государства был город Багдад, который стал центром арабской культуры. Арабы понимали значение науки и тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык труды ученых завоеванных стран, в том числе Греции, Индии, Средней Азии.

Однако арабские математики не только сохранили труды вы­дающихся ученых древности, но и внесли большой вклад в развитие математики.

Презентация на тему: " Запись целых неотрицательных чисел и действия над ними." — Транскрипт:

1 Запись целых неотрицательных чисел и действия над ними.

2 План: ПППП ооо инн яя тот ии ее с с с с ии сс тот ее мм ыыыы с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя ВВВВ ии ддт ыыыы с с с с ии сс тот ее мм с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя ДДДД ее сс яя тот ии чччч инн аапа яя с с с с ии сс тот ее мм аапа с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Е Е Е Е ёё ооо сс ооо баб ее инн инн ооо сс тот ии.

3 ПППП ооо инн яя тот ии ее с с с с ии сс тот ее мм ыыыы с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Каждому человеку приходится иметь дело с числами, поэтому необходимо уметь правильно называть и записывать любое число, а так же, производить действия над ними. Каждому человеку приходится иметь дело с числами, поэтому необходимо уметь правильно называть и записывать любое число, а так же, производить действия над ними. Для этого мы используем особый способ записи чисел. Он носит название десятичной системы счисления. Для этого мы используем особый способ записи чисел. Он носит название десятичной системы счисления. Вообще, система счисления – язык для записи наименования чисел и действий над ними. Вообще, система счисления – язык для записи наименования чисел и действий над ними.

4 Историческая справка. Необходимость вести счёт появилась ещё до появления письменности. В этом людям помогали пальцы, деревянные палочки с зарубками, шнуры и верёвки с узлами. Но эти способы были не удобны для записи больших чисел. Это затрудняло не только запись числа, но и сравнение чисел, и выполнение действий над ними. Необходимость вести счёт появилась ещё до появления письменности. В этом людям помогали пальцы, деревянные палочки с зарубками, шнуры и верёвки с узлами. Но эти способы были не удобны для записи больших чисел. Это затрудняло не только запись числа, но и сравнение чисел, и выполнение действий над ними.

5 Затем появились иные записи чисел, более экономичные: счёт стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Например, счёт двадцатками использовали люди племени майя. Затем появились иные записи чисел, более экономичные: счёт стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Например, счёт двадцатками использовали люди племени майя.

6 В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц.

7 В Древнем Египте использовались совсем иные знаки, которые наносились на папирус. В Древнем Египте использовались совсем иные знаки, которые наносились на папирус.

8 Китайцы и японцы изобрели собственную систему счёта. Она основана на принципе умножения на десять. Китайцы и японцы изобрели собственную систему счёта. Она основана на принципе умножения на десять.

9 ВВВВ ии ддт ыыыы с с с с ии сс тот ее мм с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Какие виды систем счисления вы знаете? Системы счисления позиционные непозиционные

10 Какие системы счисления называются Какие системы счисления называются непозиционными? Приведите примеры. непозиционными? Приведите примеры. В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. Примером непозиционного счисления является римская система счисления, которую мы используем и сегодня. Она основана на принципах сложения и повторения. В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. Примером непозиционного счисления является римская система счисления, которую мы используем и сегодня. Она основана на принципах сложения и повторения.

12 В позиционных системах счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными. В позиционных системах счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

13 Десятичную систему счисления изобрели в Индии в VI веке нашей эры. Лишь в X веке её завезли в Европу. Десятичную систему счисления изобрели в Индии в VI веке нашей эры. Лишь в X веке её завезли в Европу. (В это время у славян появляется и письменность. Основа словарного алфавита была заимствована у византийцев, поэтому и нумерация славян совпадает с греческой, то есть числа в ней изображались буквами алфавита, над которыми ставили особый знак – титло. (В это время у славян появляется и письменность. Основа словарного алфавита была заимствована у византийцев, поэтому и нумерация славян совпадает с греческой, то есть числа в ней изображались буквами алфавита, над которыми ставили особый знак – титло. НО! Славянская нумерация была непозиционной.) НО! Славянская нумерация была непозиционной.)

15 Немного потренируемся в записи чисел из римской системы счисления в десятичную, и наоборот. 1. Запишите в десятичной системе счисления. XXVII = XLIV = LXXVIII = XCV = MDCCCLXXI = Ответы: 27, 44, 78, 95, 1871

16 2. Запишите в римской системе счисления. 24 = 117 = 1941= 1997 = Ответы: XXIV, CXVII, MCMXLI, MCMXCVII

17 ДДДД ее сс яя тот ии чччч инн аапа яя с с с с ии сс тот ее мм аапа с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. ЕЕЕЕ ёё о о о о сс ооо баб ее инн инн ооо сс тот ии. В десятичной системе счисления используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. В десятичной системе счисления используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Дадим определение.

18 Десятичная запись числа – сумма степеней десяти с коэффициентами. Десятичная запись числа – сумма степеней десяти с коэффициентами. Теорема: Любое натуральное число можно представить в виде его десятичной записи и такое представление единственно. Теорема: Любое натуральное число можно представить в виде его десятичной записи и такое представление единственно. x = a n 10 n + a n-1 10 n a a 0

19 Сравнение чисел в десятичной системе. a n 0, a = Пусть x = a n 10 n + a n-1 10 n a a 0 y = b m 10 m + b m-1 10 m b b 0 x

20 Если натуральное число х представлено в виде Если натуральное число х представлено в виде a n 10 n + a n-1 10 n a a 0, то числа 1,10,10 2, … 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, n+1 разряда, причём 10 единиц одного разряда составляет одну единицу следующего высшего разряда. a n 10 n + a n-1 10 n a a 0, то числа 1,10,10 2, … 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, n+1 разряда, причём 10 единиц одного разряда составляет одну единицу следующего высшего разряда. Выделение классов единиц, тысяч, и т.д. создаёт удобства для записи и прочтения чисел. Выделение классов единиц, тысяч, и т.д. создаёт удобства для записи и прочтения чисел.

21 Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Четвёртый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Четвёртый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Последующие три разряда образуют новый класс и так далее. Последующие три разряда образуют новый класс и так далее.

22 Таблица разрядов и классов.

23 В десятичной системе всем числам можно дать название. Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путём прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (110+а 0 ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько изменённого слова десять: В десятичной системе всем числам можно дать название. Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путём прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (110+а 0 ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько изменённого слова десять: Одиннадцать – один на десять, Одиннадцать – один на десять, Двенадцать – два на десять и т.д. Двенадцать – два на десять и т.д.

24 АОУ СПО Тюменский педагогический колледж 1 Презентация по теоретическим основам начального курса математики студентки 425 группы школьного отделения Крюковой Владлены Тюмень, 2009 г.

1. Понятие о системе счисления. 2. Позиционные и непозиционные системы счисления. 3. Запись целых неотрицательных чисел в позиционных системах счисления.

Лекция 4_октябрь 20 (12 и 15.10.20) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1. Понятие о системе счисления.

2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Запись целых неотрицательных чисел в позиционных системах счисления.

Понятие системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности, и тогда же возникла необ­хо­димость записи чисел. До возникновения письменности люди считали с помощью пальцев, палочек, ракушек, камешков, узелков на веревке и т. п. Но легко дога­дать­ся, что такой способ счета был неудобен, особенно когда приходилось иметь дело с большими числами, их сравнением и выполнением действий над ними.

Поэтому возникла необходимость в более рациональных способах счета. Его начали вести группами сложенных из одинакового количества элементов. Целую группу предметов (палочек, черточек, камней…) начали называть одним словом и обозначать одним знаком.

Этому содействовало развитие счета с помощью пальцев рук и ног. Переход человека к пальцевому и другому погрупповому счету привел к построению раз­личных систем счисления: двоичной, пятеричной, восьмеричной, десятичной (десятеричной), шестидесяте­ричной (60-ной) и др. Самая первая система была двоичная, когда человек считал при помощи рук. Следы этой системы счисления сохранились и до сегодняшних дней. И теперь часто считают парами.

Определение. Системой счисления называется совокупность правил наименова­­ния и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, - двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Все системы счисления на основе записи чисел делятся на 2 класса: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.

1. Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древне­греческая и др.

Единичная система счисления. Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на един­ственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления, нужно записать столько пало­чек, каково само число (взаимно однозначное соответствие между конечными множествами A палочек и B предметов, олицетворяющих данное число). Исполь­зовалась нецивилизованными племенами, потреб­ности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, можно лишь с очень сильной натяжкой считать ее пози­ционной, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа).

Римская система счисления. С помощью семи цифр можно, причем относительно несложно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч:

Чтобы записать число в римской системе счисления, его необходимо разложить на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятерок и единиц. Например, число 2367 в римской системе счисления запишется в виде MMCCСLXVII.

Вначале в римской системе счисления цифры записывались в порядке умень­шения их значения (слева направо). Потом, чтобы уменьшить количество знаков для записи числа, были приняты некоторые уточнения: когда перед цифрой с боль­шим значением стоит цифра с меньшим значением, то это меньшее число необ­ходимо отнять от большего. Например, число 4 стали писать IV вместо IIII, число 9 – IX вместо VIIII, 1994 записывают как MCMXCIV.

Заметим, что уточненная римская система остается непозиционной (каждая циф­ра означает одно и то же число). В рассмотренной римской системе, как и в лю­бой другой непозиционной системе, неудобно записывать большие числа и выпол­нять арифме­тические действия над ними. В наше время римская система счис­ления большого практического применения не имеет и употребляется в основном для нумерации разделов и параграфов в книгах, для нумерации томов книг, месяцев, года, классов и т. д.

Древнегреческая система счисления, также известная как ионийская или ново­греческая – непозиционная система счисления, – алфавитная запись чисел, в которой в ка­честве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи). Одно из начертаний дигаммы внешне похоже на распространившуюся в ви­зантийскую эпоху лигатуру ϛ (ϲτ), поэтому распространилось заблуждение, что для записи числа 6 исполь­зовалась стигма. Эта система пришла на смену аттической, или ста­рогреческой, системе, которая господствовала в Греции в III веке до н. э. Необхо­димость сохранять порядок букв ради сохранения их числовых значений привела к относительно ранней (IV век до н. э.) стабилизации греческого алфавита.


Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись боль­ших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик.

2. В позиционной системе счисления один и тот же знак-цифра может означать разные числа, в зависимости от места (позиции), которое он занимает в записи дан­ного числа. Другими словами, своеобразный вес (значимость) цифры меняется с изме­нением место­положе­ния цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.

Например, в числе 28381 первая цифра 8 показывает количество тысяч, вторая – десятков, а в числе 28 восьмерка показывает количество единиц.

В настоящее время общепринята десятеричная (десятичная) система счисления. Совре­мен­ная десятеричная система счисления была создана в Индии в VI в. (хотя перво­начально ее разработал древнегреческий ученый Архимед в III в. до н. э.). С по­мощью этой системы можно было рационально записывать очень большие числа. Потом система была заимствована арабами и в XII в. от арабских стран перешла в Европу, где к XVI в. была распространена всюду.

Для записи любого числа в этой системе счисления используется, как известно, толь­ко десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т. д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Развернутая форма записи чисел. Всякое натуральное число в де­ся­тич­ной системе счисления можно записать в виде суммы степеней с основанием 10:


(это развернутая форма числа,
или другими словами: запись числа в виде суммы разрядных единиц).

Число а можно записать и так: .

Черта сверху показывает отличие записи числа а от произведения чисел an, an–1, an–2, …, a2, a1, a0. Если вместо букв пишутся цифры, то черта сверху не ставится.

Например, 423071 = 4 ∙ 10 5 + 2 ∙ 10 4 + 3 ∙ 10 3 + 7 ∙ 10 + 1.

Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124.
Решение. 512410 = 5 ∙ 10 3 + 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 4 ∙ 10 0 .

Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327,14.
Решение. 327,148 = 3 ∙ 8 2 + 2 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 + 1 ∙ 8 -1 + 4 ∙ 8 -2 .

Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D2E.
Решение. 3D2E 16 = 3 ∙ 16 3 + D ∙ 16 2 + 2 ∙ 16 1 + E ∙ 16 0 = 3 ∙ 16 3 + 13 ∙ 16 2 + 2 ∙ 16 + 14 ∙ 1.

В позиционной системе счисления числа разбиваются на классы, а каждый класс – на три разряда, которые считаются справа налево. Каждая цифра числа обозначает коли­чество единиц того разряда, в котором она стоит (единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единиц предыдущего). Соответствующие названия имеют следующие разрядные единицы:

10 12 – триллион

10 15 – квадриллион

10 18 – квинтильон

10 21 – секстильон

  • Числа, меньшие 1000, принято называть числами I класса;
  • числа, большие 10 3 , но меньшие 10 6 – 1, – числами II класса;
  • числа, большие 10 6 , но меньшие 10 9 – 1, – числами III класса и т. д.

Обычно на практике имеют дело с числами, не превышающими 10 12 . Существу­ют (ими пользовались и ранее и в настоящее время) позиционные системы с осно­ванием счета, от­лич­ным от 10.

В Древнем Вавилоне использовалась 60-ричная позиционная система счисления, на Ближ­нем Востоке – 12-ричная система счисления, в некоторых африканских племенах и в Китае – 5‑ричная система счисления. Следы этих систем сохранились до настоящего времени: час делят на 60 минут, а минуту – на 60 секунд; дюжина (12) – дю­жинами обычно считают ложки, тарелки, кресла в актовом зале и т. д.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием h нужно иметь алфавит из h цифр. Обычно для этого при h 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Читайте также: