Зачем нужны апории зенона ответ кратко

Обновлено: 05.07.2024

А зачем нужна теорема Пифагора? Апории - это ступенька в познании человечеством мира.
И если, спустя два с половиной тысячелетия Виктория Королева ими интересуется, значит Зенон не зря их сформулировал.

Апории вызывали интерес и попытки дать объяснение со стороны математиков, физиков, философов и т. д. , проще говоря активность мысли. В апориях фигурирует понятие бесконечности и бесконечной малости. Но проблема не разрешена, т. к. математика работает с абстрактными величинами и искусственно строит мат. лог. аппарат, физика опирается на реальность, однако тогда бесконечно малую нужно отображать на что то реальное.

Иными словами апории показывают естественную несовершенность, неполноту научного знания и связи с реальностью, необходимость дальнейшего совершенствования.

Иные писатели напоминают мне берлинских дамочек, которые, приставая к вам ночью на улице, мурлыкают по-кошачьи: Я такая неукротимая.

Апории Зенона – философа из Элеи и ученика Парменида – представляют собой вполне логичные и последовательные рассуждения, которые заходят в тупик несмотря на всю кажущуюся логичность. Апория как раз имеет такое значение: непроходимость, безвыходность. Наиболее известная апория – апория про Ахиллеса и черепаху, а также другие апории движения, которые, как предполагается, были записаны Зеноном позже других.

В апориях движения основополагающим принципом является предположение: у пространства нет пределов делимости. Сколь угодно малое пространство можно делить сколь угодно большое количество раз, и конца для этого процесса не предусмотрено.

Ахиллес и черепаха

Это самая известная апория, суть которой заключается в том, что Ахиллес и черепаха стартуют одновременно из разных точек. Допустим, Ахилл бежит в десять раз быстрее черепахи и находится на расстоянии в тысячу шагов от нее.

Ахилл фантастически быстр, и довольно очевидно, кто из соревнующихся должен победить в испытании. Но Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. А все потому, что, если рассуждать логически, бегун Ахилл пробежит сто шагов, а черепаха сделает десять. Так будет продолжаться до бесконечности. Расстояние, по идее, сокращается, но никогда не становится нулевым.

Дихотомия (или деление надвое)

Возьмем гипотетического путника, поставим его в точку A на координатной прямой и скажем ему топать до точки B. Чтобы пройти половину пути от A до B, ему надо пройти сначала половину половины, то есть четверть. Чтобы пройти четверть, надо пройти одну восьмую, чтобы пройти одну восьмую, надо пройти одну шестнадцатую, и…

Отрезок AB, графически изображающий путь, делится пополам бесконечное количество раз. За это как раз ответственен гипотетический принцип безграничности в делении пространства.

Летящая стрела

Еще одна известная апория – апория про летящую стрелу. Допустим, стрелу выпустили из лука, и ее траектория параллельна прямой AB. Если зафиксировать стрелу в конкретный момент ее полета, через сколько угодно секунд после ее запуска – неважно, она будет неподвижна. Это как смотреть на видеозаписи за тем, как летит стрела, и поставить на паузу – стрела на изображении будет занимать определенное положение в пространстве, то есть не будет двигаться.

Причем тут современная наука?

Ошибочно полагать, что высшая математика поможет разрешить эти парадоксы. Также не стоит приписывать апории к софизмам – намеренно запутанным высказываниям или задачам с несколькими вариантами решения, — потому что апории очень тесно перекликаются с обнаруженными позже явлениями.

Бертран Рассел, британский философ, писал, что апории Зенона на фундаментальном уровне затрагивают практически все теории времени, пространства, бесконечности. По словам исследователей, апории предвосхищают парадоксы в современной теории множеств, взывают к исследованию природы физического движения и углубляют понимание множества понятий: например, о связи в природе дискретного и непрерывного.

Рассуждениям Зенона, простых на первый взгляд, посвящено множество томов научной литературы. Несколько поколений ученых пытаются понять сущность парадоксов, но до сих пор нет четкого ответа на этот вопрос.

Понравилась статья? Есть что добавить? Не забывай делиться своим мнением в комментариях , ставить лайки и подписываться на канал !

Он составил для своего учителя Парменида, который утверждал, что сущее одно по виду, но множественно согласно очевидности, из сорока эпихейрем в пользу того, что сущее одно, так как считал, что быть союзником учителя — это хорошо. Еще как-то, защищая того же учителя, утверждавшего, что сущее неподвижно, он выдвинул пять эпихейрем в пользу того, что сущее неподвижно. Антисфен-киник, который не смог на них возразить, встал и стал ходить, полагая, что доказательство делом сильнее всякого возражения словом.

Содержание

Философия элеатов

Зенон показывает ученикам двери к Истине и Лжи.
Фреска в библиотеке Эскориала.
Автор: Б. Кардуччи или П. Тибальди (англ.) русск. .

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце VI — первой половине V века до н. э., родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид, учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение [8] . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива [9] . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев, элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью [10] .

Как отмечают В. Ф. Асмус и ряд других историков, элеаты отрицали не сами, видимые нами, движение и множественность мира, а их мыслимость [11] [12] , то есть, на современном языке, соответствие бытия и его научных моделей, которые, по мнению элеатов, невозможны без противоречий — в то время как рационально-логический подход позволяет этих противоречий избежать. Отстаивая свою идеологию в философских спорах, Зенон и другие элеаты использовали изощрённую логическую аргументацию, и важной её частью были апории Зенона, доказывающие нелогичность и противоречивость взглядов оппонентов.

Апории о движении

Это наиболее известные (и, судя по библиографии, наиболее актуальные) парадоксы Зенона.

Модели движения в античной натурфилософии

В V веке до н. э. древнегреческая математика достигла высокой ступени развития, и пифагорейская школа выражала уверенность, что математические закономерности лежат в основе всех законов природы. В частности, математическая модель движения в природе была создана на основе геометрии, которая к этому времени уже была достаточно глубоко разработана. Геометрия пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия — и самым идеализированным было фундаментальное понятие точки пространства, не имеющей никаких собственных измеримых характеристик [13] . Тем самым любая классическая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из бесконечного количества отдельных точек. В математике это противоречие не вызывало проблем, но применение этого же подхода к реальному движению поставило вопрос, насколько правомерен такой внутренне противоречивый подход [14] . Первым проблему ясно сформулировал Зенон Элейский в серии своих парадоксов (апорий).

Содержание апорий о движении

Ахиллес и черепаха

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона [12] . Черепаха как персонаж впервые упоминается у комментатора Симпликия; в тексте парадокса, приведённом у Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.

Дихотомия

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.

Летящая стрела

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

Критика апорий Аристотелем

Мнения историков и комментаторов по поводу аргументов Аристотеля разделились: одни считали их достаточными, другие критиковали за неубедительность и недостаточную глубину. В частности, Аристотель не дал объяснения, как конечный отрезок времени может состоять из бесконечного числа частей [12] . В. Я. Комарова пишет [18] :

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна — и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них [2] :

Немецкий философ Эдуард Целлер.
Французский историк науки Поль Таннери, рассматривавший парадоксы Зенона как аргумент в критике пифагореизма[24] .
Французский историк Виктор Брошар (франц.). По его мнению, логика Зенона безукоризненна.

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона [29] :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени [31] . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля [32] , — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум [33] . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши [34] .

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем. Математической основой теории служит математический анализ, первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода [36] [37] .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век. Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке. Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века. Его анализ построен на обычных вещественных числах, а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов. Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон, Даламбер и Лагранж, хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Четвертый [аргумент] — о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие — от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: [39] .

Два тела движутся навстречу друг другу. В этом случае одно из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько оно затратило бы на прохождение мимо покоящегося. Значит, половина равна целому.

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках [40] :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории .

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея: бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира [15] .

Если их [существующих вещей] много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их [число] ограничено. [Но] если существующих [вещей] много, то их [число] неограничено: ибо всегда существуют другие вещи между существующими [вещами], и снова другие между ними. И так [число] существующих [вещей] неограничено.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX—XX веков антиномии теории множеств [15] [42] , особенно парадокс Кантора: с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Симпликий описывает эту апорию следующим образом [10] .

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее — это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это — всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

Медимн зерна

Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом? [47] .

Историческое значение апорий Зенона

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе [38] . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности — локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Зенон Элейский, мыслию разящий,
Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей,
Хоть сам её полётом пренебрег.
Рождён я звуком, поражён стрелою.
Ужель тень черепахи мне закроет
Недвижного Ахилла быстрый бег!

См. также

Примечания

Литература

Античные авторы

Книги современных авторов

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Ссылки

drevnyaya_gretsiya _ Древняя Греция Математика Физика Философия

Критика Аристотеля

Современным ответом на возражение Аристотеля может быть операция интегрирования, которая отличается от простого суммирования именно возможностью суммирования бесконечно малых величин. Однако открытие интегрального исчисления связано с именами Ньютона и Лейбница, и до тех пор его решение Аристотеля останется наиболее авторитетным.

Апории Зенона в решении математических задач

Другие взгляды на парадоксы Зенона

Разрешение падароксов Зенона

Современные взгляды на апории Зенона

Если говорить о современных российских ученых, то можно привести в пример позицию А.Д. Николенко. Он выводит следующие положения, на которых, по его мнению, базируется апория Зенона об Ахиллесе и черепахе:

1. Объекты точно локализованы во времени и пространстве.

2. Пространство и время могут быть поделены на интервалы.

3. Эти интервалы обладают свойством аддитивности.

В результате, он приходит к выводу о том, что в рамках логики Зенона парадокс не разрешим . Для его преодоления Николенко предлагает не опровергать его, а ограничить его область применения. Он утверждает, что для этого необходимо признать следующие тезисы:

1. Движение не непрерывно.

2. Движение не обладает свойством аддитивности.

Именно таким является движение в рамках квантовой механики. При разбиении отрезка пространства на величины, меньшие по размеру, чем планковская длина, начинают действовать законы микро (квантового) мира.

Для нас является спорным возможность такого разбиения. Говоря о квантовой физике, мы должны вести речь непосредственно о квантах, то есть о мельчайших, неделимых далее отрезках пространства или порций энергии, или промежутков времени. Соответственно, здесь Николенко пытается решить парадоксы Зенона при помощи абстракции, то есть подменить физическое решение математическим.

Читайте дополнительные лекции:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: