Ячейки п бенара кратко

Обновлено: 07.07.2024

Диссипативные структуры – устойчивые пространственно-неоднородные структуры, возникающие в результате развития неустойчивостей в однородной неравновесной диссипативной среде.

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки). При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Вихрь Тейлора является цилиндром, в котором элементарные вихри катятся по цилиндрическим кольцам, не имея возможности перебраться из одного кольца в другое. Поэтому вихрь Тейлора способен катиться только на боку. Вихри Тейлора используют рыбы и птицы для организации плавания и полёта. Вихрями Тейлора являются тайфуны, цунами и солитоны. Вихревые же волны в природе подобны вихрю Тейлора. И возникают они прежде всего на поверхности тела, двигающегося в водной или в воздушной среде.

Ячейки Рэлея — Бенара являются одним из трёх стандартных примеров самоорганизации, наряду с лазером и реакцией Белоусова — Жаботинского.

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестеренки) [1] . При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки [2] . Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Содержание

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи [3] , [4] . Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

$\frac<\partial \vec<v> > <\partial t>+ (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,$

$\frac<\partial T> <\partial t>+ \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,$

$\operatorname<div> \vec v = 0.$

$\frac< \lambda > \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + \vec v \cdot \vec e_z,$

$\operatorname<div> \vec v = 0,$

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

$\vec v \cdot \vec e_z = 0$

, — недеформируемость границ.

$\sigma_<xz> = \sigma_ = 0$
, — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

$\sigma_<ij> =\eta \left( \frac<\partial v_i> <\partial x_j>+ \frac<\partial v_j> <\partial x_i>\right)$
— закон Навье,

$\vec v = \left\< u,v,w \right\> Принимая обозначения для компонент скорости:$
, перепишем гран.условие для касательных напряжений в терминах скорости:

$\frac< \partial u> < \partial z>= 0,$

$\frac< \partial v> < \partial z>= 0$
.

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система гран.условий задачи такова:

$w=0; \frac<\partial u> <\partial z>= \frac<\partial v> <\partial z>= 0; \theta = 0$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — e^ " width="" height="" />
(здесь — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости ) и заменяя операторы дифференцирования — <\partial z^2>- k^2, \nabla = \left\ <\partial z>\right\>" width="" height="" />
, можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

$\frac< \lambda > \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w,$

$\operatorname<div> \vec v = 0.$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

$\frac<\lambda> \Delta w = \Delta^2 w + k^2 Ra \theta,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w.$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

$w = a \sin n \pi z,$

$\theta = b \sin n \pi z,$

где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Далее, обозначая , и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость :

$Ra(\lambda) = \frac<1> \left( D \lambda^2 + D^2 (1 + Pr) \lambda + Pr D^3 \right)$

$\lambda = 0$

Полагая здесь — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

$Ra^* = \frac<(k^2 + n^2 \pi^2)^3> .$

Наименьшее число Рэлея получится при . Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на > " width="" height="" />
, а само минимальное число Рэлея равно \pi^4 \approx 657" width="" height="" />
. В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины " width="" height="" />
(в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708 [5] , для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

В 1900 г. была опубликована статья французского исследователя Х.Бенара с фотографией структуры, наблюдаемой в микроскоп и по виду напоминающей пчелиные соты: при нагревании снизу ртути, налитой в плоский широкий сосуд, весь слой неожиданно распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы. В центральной части ячейки жидкость поднимается, а вблизи вертикальных граней опускается. Иными словами, в сосуде возникают упорядоченные направленные потоки, которые поднимают нагретую жидкость вверх, а холодную опускают вниз. Можно считать, что наблюдение ячеек Бенара – один из способов заметить потоки Стефана – явление, названное в честь открывшего его австрийского физика Йозефа Стефана (1835–1893).

Мы заинтересовались этим явлением после того, как увидели подобные ячейки дома на кухне. Форма ячеек в жидкости была далека от идеальной, но имела все свойства, описанные в [1, 2]. В мелкую толстостенную стеклянную сковороду мы наливали машинное масло, добавляли в него немного алюминиевой пудры и нагревали на электроплите. Для более равномерного прогрева стеклянную сковороду мы ставили на металлическую.

В одной из серий экспериментов мы рассматривали зависимость параметров ячеек от внешних условий (фотографии делали с интервалом 5 с). При нагревании слоя масла толщиной 3 мм ячейки появлялись через 50 с, причём в начале нагрева наблюдались конвективные валы с неустойчивой структурой. При дальнейшем нагреве валы становились более ярко выраженными, а при остывании исчезали. Характерный размер валов увеличивался c высотой слоя. Внутри ячейки масло поднималось в центре, этим и объясняется их более тёмный цвет к центру. Если не было никаких посторонних возмущений, то на поверхности жидкости решётка принимала форму почти правильных шестиугольников – завихрений.

Выводы

1. При нагревании ячейки появляются группой, сначала в отдельном месте поверхности – затем процесс их образования распространяется на всё пространство, проходит через фазу хаотических размеров и форм, и только после этого ячейки принимают характерную стационарную форму.

3. С увеличением толщины слоя масла размеры ячеек увеличиваются.

Элементы теоретических знаний

Всё начинается с равновесного порядка. Пока разность температур невелика, жидкость неподвижна, и тепло передаётся только путём теплопроводности. При некоторой разности температур силы вязкости холодного слоя не могут сдержать силу Архимеда увеличившегося объёма нагретой жидкости и случайно какой-то из легких объёмов первым прорывается наверх. Возникает неустойчивость и через некоторое время устанавливается новый устойчивый режим с паркетной структурой ячеек (валов) оптимальной площади с тороидальным конвективным движением внутри каждой ячейки.

В качестве параметра, определяющего динамику нагреваемого слоя, выбирается безразмерная величина – так называемый критерий подобия Рэлея где g – напряжённость гравитационного взаимодействия, – объёмный коэффициент теплового расширения, – плотность жидкости, T – градиент температуры, Сp – удельная теплоёмкость жидкости, – коэффициент динамической вязкости, – коэффициент теплопроводности [2, 3]. Если подогрев осуществляется снизу, то R > 0, и в системе возникает неустойчивость, в данном случае – образованиие конвективных структур. Если же R

Дарья Трушина, Елена Ермошина

В статье Странности Солнца, которые пытается объяснить наука был показан интересный факт, касающийся изображений фотосферы, поверхности Солнца. Явление называется грануляция.

В динамике грануляция выглядит так:

Но почему конвекционные потоки плазмы образуют такие локальные области? Считается, что это по причине магнитного поля Солнца.

Один из читателей прислал ссылку на видео, где подобные структуры можно повторить на любой кухне. Достаточно налить в кастрюлю силиконовое масло ПМС-10 и насыпать туда алюминиевой пудры. И поставить эту смесь внутрь другой кастрюли с горячей водой (сделать паровую баню). Получится вот такая картина:

Физики вычислили характерные размеры и скорости всех типов конвективных вихревых потоков, аналогичных ячейкам Бенара, возникающим, например, при нагревании пленки масла на поверхности сковородки за счет перепада температур. Полученные данные можно будет использовать для описания конвективных потоков в атмосфере или мантии Земли или, например, на поверхности звезд, пишут ученые в Nature Communications.

В зависимости от разницы температур и вязкости жидкости, в подобных системах могут образовываться не только гексагональные конвективные ячейки, но и замкнутые или протяженные структуры другой формы — такие структуры возникают, например, в атмосфере и мантии Земли или на поверхности звезд. Несмотря на то, что изучению ячеек Рэлея — Бенара было посвящено большое количество работ, общего систематического исследования всех возможных типов структур и определения характерных для всех них значений физических параметров не проводилось, а некоторых значения вязкости жидкости не исследовались вовсе. Группа физиков из Германии и США под руководством Йорга Шумахера (Jörg Schumacher) из Технического университета Ильменау провела подобное исследование с помощью прямого численного моделирования турбулентных течений, основанного на численном решении уравнений Навье — Стокса.

Авторы работы в очень широком диапазоне проварьировали два основных параметра, которые определяют течение жидкости при таком явлении: число Прандтля и число Рэлея. Первое из этих чисел, определяющее отношение вязкости жидкости и ее температуропроводности, ученые меняли от 0,005 до 70, а второе, которое как раз свидетельствует о возможности образования устойчивых конвективных потоков в жидкости из-за градиента температуры, поднимали от 10 тысяч до 10 миллионов (при критическом значении порядка тысячи, более же высокие значения соответствуют большим перепадам температуры).

Усредненные поля скоростей (сверху) и температуры (снизу) в системах с конвективными потоками Рэлея — Бенара с различными числами Прандтля и Рэлея

A. Pandey et al./ Nature Communications, 2018

Читайте также: