Взаимное расположение точки и прямой кратко

Обновлено: 07.07.2024

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В , то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .

Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А , В , С , которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С , следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .

При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b : a ∥ b .

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.

Рассмотрим это на рисунках.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости - понятие.
Взаимное расположение прямой и точки.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости - понятие.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости.

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

К началу страницы

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F. В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d.

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а, можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С. Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В. Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А, а точки А и В лежат по одну сторону от точки С.

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – двалуча. Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О, принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точкиО, а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О.

К началу страницы

Прямая на плоскости – необходимые сведения.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости - понятие.
Взаимное расположение прямой и точки.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости - понятие.

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости.

К началу страницы

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Запомните!

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

(·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
(·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
(·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
(·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .

Решение задачи

Обозначим её буквой a .

Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .

Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

(·)A ∈ a
(·)B ∈ a
(·)P ∉ a
(·)Q ∉ a
(·)R ∉ a

Как обозначается пересечение прямых

На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:

Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Запомните!

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Запомните!

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .

Третий случай расположения прямых

Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .

Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .

В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .

Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .

Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Запомните!

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .

Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Базовыми геометрическими элементами являются точка, прямая и плоскость. Они называются так потому, что из них можно построить многие объекты, например, такие как пирамида или призма. Чтобы понять свойства этих фигур, важно знать взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей. Рассмотрим подробнее этот вопрос в статье.

Определение и описание точки, прямой и плоскости

Вам будет интересно: Пополняем словарный запас: неказистый — это.

Точкой в геометрии называется 0-мерный объект, единственной характеристикой которого являются его координаты. Последние представляют собой набор чисел, привязанный к конкретной системе. Например, на плоскости он состоит из двух элементов, в трехмерном пространстве - из трех.

Прямая - это одномерный объект, который обладает некоторым направлением. Если соединить ее любые две точки, то получится вектор, который ее характеризует. Для описания прямых используют несколько типов уравнений, которые с помощью несложных математических операций могут быть переведены друг в друга. Здесь приведем лишь векторное, которое часто применяется для анализа взаимного расположения в пространстве прямых. Оно для трехмерного случая принимает форму:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)

Элементы с нулевыми индексами соответствуют некоторой точке, которая является частью прямой. Координаты, которые умножаются на параметр α (альфа) описывают ее направляющий вектор, вдоль которого она проходит. Подставляя произвольные числа α можно найти все точки, которые образуют прямую в пространстве.

Очевидно, что для векторного уравнения в двумерном пространстве необходимо использовать лишь две координаты для точек и векторов.

Плоскость является совокупностью точек. Образованные на них вектора перпендикулярны некоторому направлению, задаваемому нормальным к плоскости вектором. Все это можно описать несколькими способами. Тем не менее, для решения задач на определение взаимного расположения плоскости и прямой удобно пользоваться уравнением общего вида. Оно записано ниже:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Удобство этой формы записи заключается в том, что коэффициенты A, B, C являются координатами перпендикулярного вектора n¯ к плоскости.

При решении задач важно учитывать, в каком пространстве решается проблема. Так, приведенный вид уравнения плоскости в двумерном случае без координаты z будет соответствовать уравнению прямой.

Расположение точки и прямой

Вам будет интересно: Обзор основных вузов Сургута

Взаимное расположение этих объектов не зависит от того, рассматриваются они на плоскости или в пространстве. Критерии определения постоянно одни и те же.

Относительно прямой точка может находиться лишь в двух возможных положениях:

лежать на ней;
либо не принадлежать ей.

Определить вариант расположения в конкретной задаче достаточно легко. Для этого следует подставить координаты искомого объекта в уравнение, задающее прямую. Если равенство будет выполняться, значит, точка принадлежит прямой. В противном случае она не является ее частью.

Две прямые на плоскости

Какое может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Существует три разных варианта:

Чтобы понять, каково взаимное расположение прямых в конкретном случае, необходимо провести некоторый математический анализ. Ниже описываются основные идеи, которые следует использовать при его осуществлении.

Если направляющие векторы прямых параллельны друг другу, значит и прямые, как минимум, будут параллельными. Параллельность векторов доказывается, если один из них можно представить в виде другого, умноженного на действительное число.

Если направляющие вектора параллельны, и хотя бы одна точка одной прямой соответствует и другой прямой, тогда речь идет о полностью совпадающих прямых.

Если направляющие вектора не являются параллельными, то прямые пересекаются в одной точке. Найти ее координаты можно с помощью решения системы уравнений (эти координаты должны соответствовать обоим уравнениям прямых).

Частным случаем пересечения прямых является угол пересечения, равный 90o. В таком случае говорят о перпендикулярности между рассматриваемыми объектами. Если две прямые перпендикулярны, то скалярное произведение их векторов направляющих будет равно нулю.

Прямая и окружность на плоскости

Поскольку данный объект часто появляется в геометрических задачах, то полезно также рассмотреть вопрос взаимного расположения окружности и прямой. Возможны такие варианты:

Определить вариант расположения этих объектов для конкретной задачи можно с использованием соответствующих уравнений. Для окружности с центром в (x0; y0) и радиусом R оно имеет вид:

Определение варианта расположения сводится к решению квадратного уравнения.

Две прямые в пространстве

Часто возникает вопрос о том, каково взаимное расположение прямых в пространстве трехмерном. Возможны те же самые варианты, что описаны в предыдущем пункте, однако, к ним добавляется еще один. Скрещивающиеся прямые и не пересекаются, и не являются параллельными. Подробнее - ниже.

Определить, являются ли рассматриваемые одномерные объекты скрещивающимися, также не представляет особого труда. В первую очередь, необходимо выяснить, что их направляющие векторы не параллельные. После этого проще всего рассчитать расстояние между прямыми. Если оно равно нулю, значит, они пересекаются, если отличается (больше или меньше) - тогда они скрещивающиеся.

Расчет расстояния производится по формуле:

v¯ - направляющий вектор первой прямой;
M1M2¯ - вектор, построенный на произвольных точках M1 и M2 первой и второй прямой соответственно.

Формулу можно непосредственно применить, если даны векторные уравнения прямых.

Плоскость и прямая

В данном случае речь идет о трехмерном пространстве. Взаимное расположение плоскости и прямой возможно следующее:

Определить параллельность этих геометрических объектов достаточно просто. Для этого нужно рассчитать скалярное произведение нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой. Равенство нулю этого произведения является достаточным условием параллельности. Если к тому же хотя бы одна точка принадлежит плоскости, значит, вся прямая лежит в ней.

Если скалярное произведение нулю не равно, тогда вывод следующий. Прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Частным случаем является пересечение под прямым углом. Если направляющий вектор прямой можно представить в виде произведения на число вектора нормали к плоскости, значит, прямая и плоскость перпендикулярны.

Задача с двумя прямыми на плоскости

Ниже даны два уравнения в общем виде для прямых в двумерном пространстве:

Необходимо определить взаимное расположение прямых.

Поскольку имеет место случай на плоскости, то нет необходимости приводить эти уравнения к векторному виду. Решить задачу можно проще, если найти корни системы из этих них. Имеем:

2*x - y = 7 => y = 2*x - 7;

-3*x + 2*y = 0 => -3*x + 2*(2*x - 7) = 0 =>

Поскольку система имеет единственное решение, то оно соответствует пересечению рассматриваемых прямых в точке (14; 21).

Задача с двумя прямыми в пространстве

Даны две прямые, которые описываются уравнениями:

r1: (x; y; z) = (1 ; -2; 0 ) + α*(2; -1; 1);

r2: (x; y; z) = (2; 2; 1) + β*(0; 3; -1).

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Можно заметить, что направляющие вектора параллельными не являются (никакое значение параметра β не способно дать направляющий вектор r1). То есть прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

Вычислим расстояние между ними. Для этого на r1 возьмем точку M1(1; -2; 0), а на r2 - точку M2(2; 2; 1). Тогда вектор, соединяющий их, равен:

Его векторное произведение с направляющим вектором для r1 равно:

Поскольку длина этого вектора отлична от нуля, значит, расстояние между прямыми будет больше нуля. Последний факт говорит, что они не имеют общих точек и являются скрещивающимися.

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Если это положение нарушается, то точка данной прямой не принадлежит.

Рассмотрим это положение на чертеже (рис. 1).

Точка F принадлежит прямой АВ, так как горизонтальная проекция / точки принадлежит горизонтальной проекции аЬ прямой, а фронтальная проекция /’ точки принадлежит фронтальной проекции а’Ь’ прямой:

Точка С лежит над прямой АВ, точка D лежит под прямой АВ, точка Е лежит за прямой АВ:

Следы прямой

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. На рис. 2, а точка M горизонтальный след прямой, точка N фронтальный.

Горизонтальная проекция т горизонтального следа прямой совпадает с самим следом — точкой М (рис. 2, а), а фронтальная проекция этого следа т’ лежит на оси х. Фронтальная проекция п’ фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом — точкой N, а горизонтальная проекция п лежит на той же оси проекций.

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки т и т’), надо продолжить фронтальную проекцию аЬ’ прямой до пересечения с осью х (точка т’). Затем через нее провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции аЬ. Точка т — горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек п и п’) необходимо продолжить горизонтальную проекцию аЬ прямой до пересечения с осью х (точка п). Затем через нее провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции а’Ь’. Точка п’ — фронтальная проекция фронтального следа (рис. 2, б).

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях 2 и у.

Способ перемены плоскостей проекций

Для упрощения решения ряда графических задач желательно, чтобы геометрическая фигура (прямая, плоскость) занимала частное положение. Этого можно добиться разными способами, например, способом перемены плоскостей проекций.

Способ перемены плоскостей проекций состоит в том, что одну из плоскостей заменяют новой, которую располагают более рационально по отношению к заданному геометрическому объекту. При этом должны быть выдержаны следующие условия:

новая плоскость располагается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций;
геометрическая фигура не меняет своего положения в пространстве;
на новую плоскость проекций фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.

Например, заменим фронтальную плоскость V на новую V1, которую расположим перпендикулярно плоскости Н и спроецируем на нее точку А. Ось х і — новая ось проекций (рис. 3).

При замене фронтальной плоскости проекций постоянной остается 2-координата точки, так как расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н не изменилось. Следовательно, для построения новой проекции точки А точки а₁‘(рис. 4) необходимо:

Читайте также: