Взаимно однозначное соответствие это кратко

Обновлено: 06.07.2024

Взаимно однозначное соответствие - это соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого (ровно один образ). Точно также и со вторым множеством. Существует только 1 прообраз для каждого элемента.
Для функции f: X -> Y это значит, что каждому элементу множества X соответствует ровно одно значение из Y. И наоборот. Например подходит функция y = kx + b. Для разных икс всегда разный игрек. Не подходит функция y = x^2 например. Для x = 3 и -3 одинаковый игрек

Если у вас есть два множества Х и Y, и вы начинаете сопоставлять элементам из X элементы из Y (каждому элементу из X ставите в соответствие какой-нибудь один элемент из Y), то вы тем самым устанавливаете, как говорят, отображение из X в Y. Если вы хорошо постарались, то и ваше отображение может оказаться достаточно хорошим. Например, может оказаться так, что разным элементам из X вы сопоставили разные элементы из Y. В таком случае ваше отображение называется инъективным отображением (или инъекцией) X в Y. Если же вам удалось сделать так, что каждому элементу из Y соответствует какой-нибудь элемент из X, то вы установили сюръективное отображение (или сюръекцию) из Х на Y (обратите внимание на предлоги: инъекция - X в Y, сюръекция - X на Y).

Собственно, биекцией, или взаимно-однозначным соответствием, будет являться отображение, которое одновременно сюръективно и инъективно, т. е. одновременно является и сюръекцией и инъекцией. Это означает, что разным элементам из Х вы сопоставляете разные элементы из Y, при этом каждому элементу из Y вы сопоставляете какой-нибудь элемент из X. В сумме это и значит, что каждому элементу из X ставится в соответствие ровно один элемент из Y.

Биективность взаимно-однозначного отображения позволяет ставить в соответствие элементам из Y элементы из X по обратному закону (т. е. если вы какому-то элементу x1 из X поставили в соответствие элемент y1 из Y, то при обратном отображении вы элементу y1 сопоставите элемент x1). Проблем при этом не возникнет: сюръективность гарантирует нам, что каждому элементу из Y мы сможем что-нибудь сопоставить, а инъективность - что нам не придётся ставить два элемента из X одному элементу из Y (иначе наше сопоставление не будет однозначным). В итоге получается новое отображение, которое называют обратным отображением. Оно тоже будет биекцией.

В теории множеств есть такая характеристика множества - его мощность. Это что-то вроде количества элементов в нём. Понятно, что если вы возьмёте два множества, между которыми вы сумели установить взаимно-однозначное соответствие, то количество элементов в них одинаково (если множества конечны, иначе разговор несколько усложняется). Такие множества теория множеств практически не различает между собой, потому как вы можете просто заменить элементы одного множества элементами другого, что теорию множеств абсолютно не интересует.

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и У называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества У и каждый элемент множества У соответствует только одному элементу множества Х.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пусть Х – множество кругов, У – множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок.

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества У и каждый квадрат из У соответствует только одному кружку из множества Х.

Пусть Х – множество действительных чисел, У – множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.

В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и У часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество У.

Мощностью конечного множества называют число элементов этого множества.

В общем случае мощность множества A обозначают |A|.

Для конечных множеств чаще встречается обозначение n(A).

Конечные множества легко сравнивать по мощности.

Если n(A) = n(B), то конечные множества A и B равномощны.

Например: Мощность множества A= равна n(A)=4.

Мощность множества B = равна n(B) = 4.

Множества A и B равномощны.

Взаимно однозначное соответствие двух множеств

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие , если:

1) каждому элементу множества A соответствует только один элемент множества B;

2) каждый элемент множества B при этом соответствует некоторому элементу множества A;

3) разным элементам множества A соответствуют разные элементы множества B.

С этой точки зрения утверждение

Друзья Толи

Эквивалентность

Множества A и B называют эквивалентными (равномощными) , если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Обозначение: $A \sim B$ .

Такой подход даёт нам возможность сравнивать по мощности не только конечные, но и бесконечные (!) множества.

Сравним мощности множеств натуральных и натуральных чётных чисел:

$ \begin 1 & 2 & 3 & . & n & . \\ 2 & 4 & 6 & . & 2n & . \\ \end$

Несмотря на бесконечность обоих множеств и отношение вложенности $B \subset A$, получаем взаимно однозначное соответствие, и может утверждать, что множества равномощны |A| = |B| и эквивалентны $A \sim B$.

Для мощности натуральных чисел используется специальное обозначение:

Счётные и несчётные множества

Множество называют счётным , если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Чтобы доказать счётность множества достаточно придумать правило, по которому нумеруются его элементы.

Докажем, что множество целых чисел счётно.

$ \begin 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & . & 2n & 2n+1 & . \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & . & n & -n & . \\ \end$

Получаем взаимно однозначное соответствие между множествами целых и натуральных чисел. Значит, эти множества эквиваленты $\Bbb Z \sim \Bbb N$, и множество $\Bbb Z$ счётно.

Что и требовалось доказать.

Множество действительных точек отрезка [0;1] несчётно .

Мощность этого множества равна мощности континуума, $ c \gt \aleph_0$

Таким образом, множество отрезка [0;1]оказывается мощнее всего множества натуральных чисел.

Любой отрезок [a;b] и отрезок [0;1] эквивалентны.

Мощность любого действительного отрезка равна мощности континуума.

Любое множество, эквивалентное отрезку [0;1], называют континуальным .

Чтобы доказать несчётность множества, нужно показать, что нет таких правил, по которым можно его посчитать. Это значительно сложнее, чем доказать счётность.

Примеры

Пример 1. Среди данных конечных множеств укажите пары эквивалентных:

n(A) = 3, n(B) = 3, n(C) = 2

Запишем с помощью перечисления:

n(A) = 3, n(B) = 3, n(C) = 3

$A \sim B, B \sim C, A \sim C$

Пример 2. Пусть A - множество всех окружностей плоскости, B - множество всех правильных треугольников этой плоскости. Каждому треугольнику ставится в соответствие вписанная в него окружность. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

Рассматриваем соответствие $B \rightarrow A$.

В каждый треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Условие единственности (1) выполняется.

Вокруг каждой окружности можно описать бесконечное количество правильных треугольников, поворачивая их на некоторый угол относительно центра окружности.

Условие (2) не выполняется.

Соответствие не является взаимно однозначным.

Пример 3. Постройте взаимно однозначное соответствие между отрезком [0;1] и отрезком [2;7] с помощью линейной функции.

Искомая функция имеет вид y = kx+b, где

$$x \in [0;1], y \in [2;7]$$

Прямая проходит через две точки: A(0;2),B(1;7).

$$ \frac = \frac \Rightarrow 5x = y-2 \Rightarrow y = 5x+2 $$

$$ x \in [0;1] \overset \mapsto y \in [1;7] $$

Пример 4*. Постройте взаимно однозначное соответствие между отрезком [0;1] и отрезком [a;b], $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R$ с помощью линейной функции.

Искомая функция имеет вид y=kx+b, где $x \in \Bbb [0;1], y \in \Bbb [a;b]$

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ (матем.), такое соответствие между элементами двух множеств, при к-ром каждому элементу первого множества соответствует один определённый элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определённый элемент первого множества. В. о. с.- частный вид функции или отображения, когда данная функция и ей обратная являются однозначными. Если между двумя множествами можно установить В. о. с., то эти множества наз. эквивалентными, или р а в н о м о щ н ы м и. Напр., множества целых и их квадратов равномощны, т. к. соответствие п->п 2 является В. о. с.

Смотреть что такое ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ в других словарях:

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

(математическое) такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определённ. смотреть

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

-соответствие между элементами двух множеств, при к-ром каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, приче. смотреть

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

▲ соответствие (между) ↑ взаимно, определенный ▼ отпечаток (рельефа), подобный

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ, такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определенный элемент первого множества.

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ - такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определенный элемент первого множества.
. смотреть

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ , такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определенный элемент первого множества. смотреть

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

такое соответствие между элементами двух множеств, при к-ром каждому элементу первого множества соответствует один определ. элемент второго множества, . смотреть

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

- такое соответствие между элементамидвух множеств, при котором каждому элементу первого множествасоответствует один определенный элемент второго множества, а каждомуэлементу второго множества - один определенный элемент первого множества. смотреть

Читайте также: