Вывести уравнение майера кратко

Обновлено: 05.07.2024

Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один градус:

Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости.

Удельная теплоёмкость (С_уд) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус [C_уд] = Дж/К.

Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус:

Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля:

где А – атомная масса; m_ед - атомная единица массы; N_А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12 С.

Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.

Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С_V.

С_Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что .

Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.

Величины С_Р и С_V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.

Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:

Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:

так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).

Из (4.2.4) следует, что

Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса.

Для произвольной идеальной массы газа:

При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории . При изобарическом процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) получим:

Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе.

Используя это соотношение, Роберт Майер в 1842 г. вычислил механический эквивалент теплоты: 1 кал = 4,19 Дж.

Уравнение Майера связывает между собой молярную теплоёмкость для идеального газа в изохорном процессе, и молярную теплоёмкость при в изобарном процессе.

Именно в этом простом уравнении заключена физическая суть величины – универсальной газовой постоянной, равной 8,31 Дж/(моль • К).

Запись уравнения Майера

Уравнение Майера записывают в виде:

$C_-C_ = R$

В нём с_p – молярная теплоёмкость при постоянном давлении, а с_v соответственно – в условиях постоянного объема.

Молярная теплоемкость указывает, сколько теплоты в Джоулях следует подводить к одному молю газа, чтобы нагреть его на 1 Кельвин. Молярную теплоемкость изохорного процесса можно определить по следующей формуле:

$C_<V> =\frac$

где i – количество степеней свободы для молекулы газа. С учётом уравнения Майера, получим формулу для расчёта изобарной молярной теплоемкости:

$C_ =C_ +R= \frac$

Расчеты с использованием уравнения Майера

В практических расчётах часто используют удельную массовую теплоемкость, и как раз она обычно приводится в таблицах теплофизических величин. Умножив молярную теплоёмкость газа на его молярную массу, мы получим удельную массовую теплоемкость:

$C_^ =C_ \cdot M,$

$C_ ^ =C_ \cdot M$

Зачем вообще понадобилось разграничивать изохорную и изобарную теплоемкости?

При изобарном процессе (процессе с постоянным давлением) первый закон термодинамики представляется формулой:

$dU=C_где — количество теплоты, подведенное к газу, \Delta T$
– изменение внутренней энергии газа, – работа расширения, которую совершил газ.

А это значит, что теплота, подведённая к газу в изобарном процессе, будет потрачена на изменение его внутренней энергии и работу по его расширению.

Если же газ закрыть в замкнутом объёме (изохорный процесс), то работа по его расширению выполняться не будет ( ), и вся подводимая теплота будет потрачена на изменение внутренней энергии:

$dQ =dU=C _<V> \Delta T$

Если от первого выражения отнять второе, получим:

$C _ \Delta T+p \Delta V-C_ \Delta T=0,$

$(C_ +R)\Delta T+p \Delta V-C_ \Delta T=0,$

$-R =\frac<p\Delta V > $

Таким образом, газовая постоянная R определяет работу, затраченную на расширение одного моля газа при нагреве его на 1 Кельвин при постоянном давлении.

В основном уравнение Майера используется в теории тепловых машин и теплогидравлике для определения теплофизических характеристик рабочих тел. Однако оно нашло применение и в квантовой физике: постоянная Планка, связывающая энергию кванта света с его частотой, была получена с учётом физического смысла универсальной газовой постоянной.

Примеры решения задач

Задание	Молярная изохорная теплоемкость углекислого газа 28,825 Дж/(моль•К). Найти теплоемкость 1 л углекислого газа при постоянном давлении.
Решение	Найдём изобарную молярную теплоёмкость по формуле Майера:

Дж/(моль•К)

Зная теплоемкость 1 моля углекислого газа, находим изобарную теплоёмкость 1 л углекислого газа:

$C_^ =C_ \cdot V_ =37,135\cdot 22,4=831,8$
Дж/К

$M_<CO _2 > =A_ +2\cdot A_ =12+2\cdot 16=44$
г/моль

$M_<N_2 > =2\cdot A_ =2\cdot 14=28$
г/моль

2) Определим количество вещества каждого из компонентов смеси (в молях):

$\nu _<CO _2 > =\frac > > =\frac =113,636$
моль

$\nu _<N_2 > =\frac > > =\frac =285,714$
моль

3) Вычислим общую изобарную теплоемкость смеси:

$C_ =\nu _ \cdot C_ +\nu _ \cdot C_ =113,636 \cdot 37,135+285,714 \cdot 29,124=$

Дж/К

4) По уравнению Майера определим общую изохорную теплоемкость смеси. Обратите внимание, что теплоемкость в формуле (3) вычислена не для одного моля газовой смеси, а для всего её количества. Фактически, удельная молярная изобарная теплоемкость была умножена на общее количество молей газовой смеси. Поэтому и постоянную R в формуле Майера следует умножить на общее количество молей газовой смеси.

$C_<V> =C_ -(\nu _ +\nu _ )\cdot R=12541,016-(113,636+285,714) \cdot 8,31=$

Дж/К

5) Определим удельную изохорную теплоемкость смеси на единицу массы:

$c_<v> =\frac > +m_ > =\frac =709,3$
Дж/кг•К

Удельной теплоемкостью называется величина, числено равная теплоте, которую надо сообщить единице массы тела для повышения его температуры на один Кельвин:

Отсюда можно определить количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, массы m

Молярная теплоемкость - количество тепла необходимое для нагревания одного моля вещества на один Кельвин

Теплоёмкость при постоянном объёме:

Теплоёмкость при постоянном давлении:

Вывод уравнения Маера:

– газовая постоянная численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарном нагреве на один градус кельвина.

Физический смысл уравнения Маера заключается в том, что при изобарном нагревании газа к нему необходимо подвести большее количество теплоты, нежели при таком же изохорном.

Многие газы в физике принято описывать в рамках идеальной модели, с помощью которой можно легко определить основные термодинамические характеристики системы. В данной статье приведем вывод формулы Майера для газа идеального и покажем, как ее можно использовать для решения задачи.

Идеальный газ и его уравнение

Чтобы понять вывод формулы Майера, следует ближе познакомиться с моделью идеального газа. Согласно ей, термодинамическая система представляет собой совокупность частиц, которые не обладают размерами (являются материальными точками). Их кинетическая энергия является единственной компонентой внутренней энергии системы (потенциальная энергия взаимодействий равна нулю), и скорости частиц подчиняются классическому распределению Максвелла-Больцмана.

Описанная модель хорошо подходит для многих реальных газообразных систем, состоящих из химически инертных атомов и молекул, и имеющих невысокие давления и температуры в несколько сотен кельвин.

Идеальный газ описывается универсальным выражением, которое называется законом Клапейрона-Менделеева. Оно приведено ниже:

Здесь P, V, T - три термодинамических величины: давление, объем и температура. Параметры n и R - это количество вещества в системе и постоянная для всех газов, соответственно.

Внутренняя энергия и изохорный процесс

Согласно определению, внутренняя энергия U произвольной системы равна сумме потенциальной и кинетической энергий ее элементов. Выше отмечалось, что в идеальной модели газовые молекулы и атомы друг с другом не взаимодействуют, это означает, что внутренняя энергия определяется исключительно кинетической составляющей.

Из кинетической теории газов следует равенство, связывающее среднюю кинетическую энергию частицы с абсолютной температурой в системе:

Где m - масса одной частицы, k_B - Больцмана константа, v - скорость средняя квадратичная, z - число степеней свободы. Если обе части равенства умножить на количество N частиц в системе, то мы получим выражение для внутренней энергии U:

При записи этого выражения мы воспользовались следующими равенствами:

Теперь рассмотрим вопрос определения внутренней энергии газа с точки зрения термодинамики. Обратимся к изохорному процессу. В результате него все подводимое тепло идет на нагрев системы, поскольку объем остается постоянный, и работа газа равна нулю, то есть:

В свою очередь, изменение величины U можно записать так:

Где C_V - теплоемкость системы при постоянном объеме. Эта величина показывает, сколько энергии в джоулях необходимо затратить, чтобы нагреть систему на 1 Кельвин. Сравнивая это выражение с формулой для U, которая получена из кинетической теории, приходим к равенству:

Вместо теплоемкости C_V часто пользуются молярной изохорной теплоемкостью, то есть той же величиной, только для 1 моля газа:

Формула Майера для теплоемкостей

Чтобы получить названную формулу, следует рассмотреть с точки зрения термодинамики изобарный процесс. Под ним понимают переход системы между двумя равновесными состояниями, при котором давление не изменяется. Предположим, что в рассматриваемой системе содержится 1 моль газа, тогда первое начало термодинамики для изобарного процесса примет вид:

Теперь введем понятие об изобарной теплоемкости C_P. Под ней понимают количество теплоты, которое следует системе сообщить, чтобы она нагрелась на 1 Кельвин, а ее давление при этом не изменилось. Это определение позволяет переписать равенство выше в виде:

Если вспомнить уравнение для 1 моля идеального газа и выражение для изменения внутренней энергии, то это равенство запишется так:

Это выражение называется формулой Майера для идеального газа. Оно показывает, что изобарная теплоемкость всегда больше изохорной на величину газовой постоянной для 1 моля газа. Значение же газовой постоянной R также приобретает конкретный физический смысл - это работа, которую совершает один моль газа во время его изобарного расширения при нагреве на один Кельвин.

Задача на определение теплоемкостей воздуха

Необходимо вычислить молярные теплоемкости C_P и C_V для воздуха, полагая его идеальным газом.

Решить эту задачу несложно, если вспомнить, что изохорная молярная теплоемкость равна:

Тогда в соответствии с формулой Майера молярная величина C_P будет равна:

Поскольку воздух на 99% образован двухатомными молекулами O₂ и N₂, то z для него равно 5. Подставляя это значение, а также значение R=8,314 Дж/(К*моль) в формулы, получаем ответы на задачу: C_V = 20,8 Дж/(К*моль), C_P = 29,1 Дж/(К*моль).

Читайте также: