Выведите формулу выражающую скалярное произведение векторов через их координаты 9 класс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов и получаем:

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому

что и требовалось доказать.

1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно получить из (1.10), полагая .

2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если и координатные столбцы векторов

Для векторов на плоскости соответственно получаем

3. Координаты вектора

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты базисного вектора , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).

4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.

Пример 1.15. Даны векторы . Найти скалярные произведения

Решение. По формуле (1.10) вычисляем

Сравнивая вектор со скалярными произведениями обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.

Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам соответствуют координатные столбцы

что совпадает с полученными ранее результатами.

Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед построен на векторах (см. рис. 1.38). Точка — центр грани , точка делит ребро в отношении . Требуется найти:

а) величину угла между векторами и ;

б) длину ортогональной проекции вектора на прямую

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе :

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

Длина была найдена в примере 1.12.

Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:

Скалярное произведение векторов в произвольном базисе

Пусть — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов и :

Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов :

Координаты каждого из векторов и соответственно.

Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе скалярное произведение векторов — координатные столбцы векторов —матрица Грама (1.12) базиса .

1. Для ортонормированного базиса матрица Грама имеет вид

т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем

2. Для произвольного базиса на плоскости скалярное произведение векторов и находится по формуле:

где — координатные столбцы векторов — матрица Грама базиса .

В частности, для ортонормированного базиса матрица Грама является единичной: , поэтому скалярное произведение векторов и находится по формуле , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при .

Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:

а) два единичных вектора , служащие сторонами правильного треугольника (рис.1.39,а);

б) три единичных вектора , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).

Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: .

Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен , получаем

Записываем матрицу Грама

Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора .

Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: . Следовательно, .

б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен , получаем

Записываем матрицу Грама: . Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:

Скалярное произведение векторов во взаимных базисах

Пусть на плоскости задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если

Пусть в пространстве задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если

Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.

1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.

2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.

3. Пусть векторы

Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.

4. Если и взаимные базисы, то координаты любого вектора находятся по формулам

Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис (рис.1.40,а). Вектор взаимного базиса перпендикулярен вектору , так как (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора выбираем то, которое образует острый угол с вектором , так как . Следовательно, направление вектора определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): , так как .

Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.

Заметим, что для стандартного базиса на плоскости (или базиса в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом (соответственно )

Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:

что и требовалось доказать.

Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.

Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).

б) Внутри угла величиной взята точка , удаленная от сторон и на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка (рис.1.41,б).

Решение. а) Так как базисный вектор единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор можно построить следующим образом. Через начало вектора (точку (точку и соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора (его начало совпадает с точкой (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо , а также . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами и равен (напомним, что ), то из прямоугольного треугольника с катетом . Длина вектора такая же.

б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → - это числовая проекция a → на b → , n p a → a → - проекция b → на a → соостветсвенно.

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) в декартовой системе используют:

a → , b → = a x · b x + a y · b y ,

для трехмерного пространства применимо выражение:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) на декартовой системе.

Следует отложить векторы

O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .

Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → - O A → = b → - a → = ( b x - a x , b y - a y ) .

Рассмотрим треугольник O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) .

Тогда из первого определения следует, что b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · ( a → , b → ) , значит ( a → , b → ) = 1 2 · ( a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 ) .

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ( ( a 2 x + a y 2 ) 2 + ( b 2 x + b y 2 ) 2 - ( ( b x - a x ) 2 + ( b y - a y ) 2 ) 2 ) = = 1 2 · ( a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - ( b x - a x ) 2 - ( b y - a y ) 2 ) = = a x · b x + a y · b y

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) и ( a → , a → ) = a x 2 + a y 2 .

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :

коммутативность ( a → , b → ) = ( b → , a → ) ;
дистрибутивность ( a → + b → , c → ) = ( a → , c → ) + ( b → , c → ) , ( a → + b → , c → ) = ( a → , b → ) + ( a → , c → ) ;
сочетательное свойство ( λ · a → , b → ) = λ · ( a → , b → ) , ( a → , λ · b → ) = λ · ( a → , b → ) , λ - любое число;
скалярный квадрат всегда больше нуля ( a → , a → ) ≥ 0 , где ( a → , a → ) = 0 в том случае, когда a → нулевой.

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Из определения имеем, что ( a → , b → ) = a y · b y + a y · b y и ( b → , a → ) = b x · a x + b y · a y .

По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Отсюда следует, что ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b → ) = ( a ( 1 ) → , b → ) + ( a ( 2 ) → , b → ) + . . . + ( a ( n ) → , b → )

и ( a → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( n ) → ) = ( a → , b ( 1 ) → ) + ( a → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a → , b → ( n ) ) ,

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( m ) → ) = = ( a ( 1 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 1 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 1 ) → , b ( m ) → ) + + ( a ( 2 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 2 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 2 ) → , b ( m ) → ) + . . . + + ( a ( n ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( n ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( n ) → , b ( m ) → )

Скалярное произведение с примерами и решениями

Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) ;
( a → , b → ) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y или ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
( a → , a → ) = a → 2 .

Рассмотрим некоторые примеры решения.

Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

Решение

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Ответ: ( a → , b → ) = 21 2 .

Заданны векторы a → = ( 1 , - 1 , 2 - 3 ) , b → = ( 0 , 2 , 2 + 3 ) . Чему равно скалярной произведение.

Решение

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + ( - 1 ) · 2 + ( 2 + 3 ) · ( 2 + 3 ) = = 0 - 2 + ( 2 - 9 ) = - 9

Ответ: ( a → , b → ) = - 9

Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A ( 1 , - 3 ) , B ( 5 , 4 ) , C ( 1 , 1 ) .

Решение

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

A B → = ( 5 - 1 , 4 - ( - 3 ) ) = ( 4 , 7 ) A C → = ( 1 - 1 , 1 - ( - 3 ) ) = ( 0 , 4 )

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

( A B → , A C → ) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .

Ответ: ( A B → , A C → ) = 28 .

Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.

Решение

( a → , b → ) = ( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) . Применив свойство дистрибутивности, получим:

( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) = = ( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → )

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → ) = = 7 · 5 · ( m → , m → ) + 7 · 8 · ( m → , n → ) + 3 · 5 · ( n → , m → ) + 3 · 8 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → )

По свойству коммутативности преобразуем:

35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → )

В итоге получим:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) .

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos ( m → , n → ^ ) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Ответ: ( a → , b → ) = 411

Если имеется числовая проекция.

Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = ( 9 , 3 , - 3 ) , проекция b → с координатами ( - 3 , - 1 , 1 ) .

Решение

n p a → b → → = - n p a → b → → = - ( - 3 ) 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = - 11 ,

Подставив в формулу, получим выражение:

( a → , b → ) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + ( - 3 ) 2 · ( - 11 ) = - 33 .

Ответ: ( a → , b → ) = - 33 .

Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = ( 1 , 0 , λ + 1 ) и b → = ( λ , 1 , λ ) будет равным -1.

Решение

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

( a → , b → ) = 1 · λ + 0 · 1 + ( λ + 1 ) · λ = λ 2 + 2 · λ .

В дано имеем ( a → , b → ) = - 1 .

Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , отсюда λ = - 1 .

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .

Решение

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , ( F → , S → ^ ) = 45 ° , получим A = ( F → , S → ) = F → · S → · cos ( F → , S → ^ ) = 5 · 3 · cos ( 45 ° ) = 15 2 2 .

Ответ: A = 15 2 2 .

Материальная точка, перемещаясь из M ( 2 , - 1 , - 3 ) в N ( 5 , 3 λ - 2 , 4 ) под силой F → = ( 3 , 1 , 2 ) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

Решение

При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = ( 5 - 2 , 3 λ - 2 - ( - 1 ) , 4 - ( - 3 ) ) = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) .

По формуле нахождения работы с векторами F → = ( 3 , 1 , 2 ) и M N → = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) получим A = ( F ⇒ , M N → ) = 3 · 3 + 1 · ( 3 λ - 1 ) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .

По условию дано, что A = 13 Д ж , значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = - 3 , значит и M N → = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) = ( 3 , - 10 , 7 ) .

Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:

Скалярным произведением двух векторов a → и b → будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Так как косинус угла в \(180\) градусов равен \(-1\) , то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

Так как косинус прямого угла равен \(0\) , то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\) .

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Так как в координатах a → = x a 2 + y a 2 и b → = x b 2 + y b 2 , то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → ; cos α = x a ⋅ x b + y a ⋅ y b x a 2 + y a 2 ⋅ x b 2 + y b 2 .

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.

Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами:
и
справедлива формула:
.
Произносится: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Доказательство:
Запишем каждый вектор в виде разложения по базисным векторам:

Запишем скалярное произведение:

Используем свойство 7) :

Используем свойство 6):

Напомним, что — базисные вектора декартовой системы координат, т.е. они попарно перпендикулярны, значит, по свойству 2): .
В итоге получим:

Последний шаг: по третьему свойству, зная, что :
.
Замечание:
Для векторов на плоскости (двумерных) справедлива аналогичная формула, т.е. без последнего слагаемого:
и : .

Формула для вычисления угла между векторами.

Замечание: Не столько угла, сколько косинуса угла.
Итак, на данный момент, для вычисления скалярного произведения есть:
а) определение:
,
б) выведенная чуть ранее формула:
.

Выразим косинус угла между векторами из первого равенства:

Произносится: косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.

А вычислить скалярное произведение можно про второй формуле. В результате получится вот такая формула (её и следует запомнить и применять для вычисления угла):
.
На следующей странице рассмотрим примеры решения задач с использование свойств и полученных формул.

Читайте также: